PRZYK LADOWE PYTANIA NA EGZAMIN 1. Poda´ c przyk lady zmiennych losowych

(1)

Modelowanie statystyczne z pakietem R (semestr zimowy, 2015/2016)

PRZYK LADOWE PYTANIA NA EGZAMIN 1. Poda´ c przyk lady zmiennych losowych

(a) dyskretnych, (b) ci¸ ag lych.

Niech X b¸edzie zmienn¸ a losow¸ a ci¸ ag l¸ a i a ∈ R. Ile wynosi P (X = a)?

2. Zmienna losowa X ma rozk lad dany tabelk¸ a: x

k

-1 0 1 p

k 1

10

C

₁₀¹

.

Wyznaczy´ c C. Obliczy´ c warto´ s´ c oczekiwan¸ a, wariancj¸ e i odchylenie standardowe X.

3. Poda´ c par¸ e w lasno´ sci rozk ladu normalnego.

4. Kiedy zmienne losowe X

₁

, X

₂

, . . . , X

_d

, tworz¸ ace wektor losowy X, s¸a niezale˙zne? Poda´c wa- runek r´ ownowa˙zny niezale˙zno´ sci w przypadku wektor´ ow losowych

(a) dyskretnych, (b) ci¸ ag lych,

(c) dowolnych.

5. Niech X = (X

1

, X

2

, . . . , X

_d

) b¸ edzie wektorem losowym o d-wymiarowym rozk ladzie normal- nym N

_d

(µ, Σ). Poda´ c interpretacj¸e parametr´ ow µ i Σ. Kiedy zmienne losowe X

₁

, X

₂

, . . . , X

_d

s¸ a niezale˙zne - warunek poda´ c w terminach parametr´ ow.

6. Poda´ c, wraz z za lo˙zeniami, model jednokrotnej regresji liniowej. W jaki spos´ ob mo˙zemy szacowa´ c parametry tego modelu?

7. Poda´ c przyk lad danych (najlepiej zilustrowa´ c je na wykresie rozproszenia), do kt´ orych dopa- sowywanie modelu jednokrotnej regresji liniowej

(a) nie ma sensu, (b) jest uzasadnione.

8. Om´ owi´ c wsp´ o lczynnik determinacji R

²

. Poda´ c jego interpretacj¸e.

9. Sformuowa´ c model wielokrotnej regresji linowej z pi¸ ecioma zmiennymi obja´ sniaj¸ acymi. Poda´ c za lo˙zenia tego modelu. Jakie testy mo˙zemy przeprowadza´ c w tym modelu - poda´ c hipotezy zerowe i alternatywne tych test´ ow oraz ich interpretacj¸e.

10. Co zak ladamy o b l¸ edach w modelu regresji liniowej? Jak sprawdzi´ c czy dla konkretnych danych za lo˙zenia te s¸ a spe lnione? Jak post¸ epowa´ c w przypadku, gdy nie mo˙zemy uzna´ c, ˙ze za lo˙zenie o r´ ownych wariancjach b l¸ ed´ ow jest spe lnione?

11. Co to s¸ a obserwacje wp lywowe oraz obserwacje odstaj¸ ace w modelu regresji liniowej? Jak je wykry´ c? Jakie informacje mo˙zemy uzyska´ c analizuj¸ ac odleg lo´ sci Cooke’a? Jak post¸epowa´ c w przypadku wykrycia obserwacji wp lywowych lub odstaj¸ acych?

12. Om´ owi´ c metod¸e Boxa-Coxa.

13. Om´ owi´ c na przyk ladzie problem wsp´ o lliniowo´ sci zmiennych obja´ sniaj¸ acych w modelu regresji liniowej. Jakie informacje uzyskujemy z analizy wsp´ o lczynnik´ ow podbicia wariancji?

14. Wymieni´ c kryteria s lu˙z¸ ace do wyboru najlepszego modelu spo´ sr´ od wielu modeli regresji linio- wej. Kiedy i dlaczego zamist wsp´ o lczynnika determinacji stosujemy skorygowany wsp´ o lczynnik determinacji?

1

(2)

Modelowanie statystyczne z pakietem R (semestr zimowy, 2015/2016)

15. Om´ owi´ c metody wyboru najlepszego podzbioru zmiennych obja´ sniaj¸ acych do modelu regresji liniowej. Jako kryterium wyboru najlepszego modelu przyj¸ a´ c

(a) skorygowany wsp´ o lczynnik determinacji, (b) kryterium Akaike,

(c) kryterium Schwarza.

16. Poni˙zsza tabela zawiera koszty produkcji (w PLN) pewnego wyrobu, kt´ ory mo˙ze by´ c wytwa- rzany trzema metodami: A, B, C. Chcemy oceni´ c czy koszty produkcji s¸ a takie same dla ka˙zdej z tych metod. Jakie narz¸ edzie statystyczne nale˙zy u˙zy´ c do rozwi¸ azania tego problemu, jakie za lo˙zenia sprawdzi´ c i jakie hipotezy postawi´ c?

metoda A metoda B metoda C

10 50 30

15 30 35

30 40 20

25 20 10

20 45 15

17. Sformuowa´ c i opisa´ c model jednoczynnikowej analizy wariancji. Poda´ c za lo˙zenia tego modelu.

(a) Jakie hipotezy w tym modelu weryfikujemy i co w praktyce oznacza ich przyj¸ ecie b¸ ad´ z odrzucenie?

(b) Jak sprawdzi´ c czy za lo˙zenia analizy wariancji s¸ a spe lnione, gdy i. liczno´ sci grup s¸ a du˙ze,

ii. liczno´ sci grup s¸ a bardzo ma le?

18. Co to znaczy, ˙ze pomi¸ edzy dwoma czynnikami (czynnik A i czynnik B) wyst¸ epuj¸ a interak- cje, gdy badamy ich wp lyw na zmienn¸ a odpowiedzi? Jak w przypadku istnienia interakcji wygl¸ adaj¸ a wykresy ´ srednich wewn¸ atrzgrupowych? Sformuowa´ c i opisa´ c model dwuczynniko- wej analizy wariancji z interakcjami i poda´ c za lo˙zenia tego modelu. Jakie hipotezy w tym modelu weryfikujemy i co oznacza ich przyj¸ ecie b¸ ad´ z odrzucenie?

19. Co to znaczy, ˙ze pomi¸ edzy dwoma czynnikami (czynnik A i czynnik B) nie ma interakcji, gdy badamy ich wp lyw na zmienn¸ a odpowiedzi? Jak w przypadku braku interakcji wygl¸ adaj¸ a wykresy ´ srednich wewn¸ atrzgrupowych? Sformuowa´ c i opisa´ c model dwuczynnikowej analizy wariancji bez interakcjami i poda´ c za lo˙zenia tego modelu. Jakie hipotezy w tym modelu weryfikujemy i co oznacza ich przyj¸ ecie b¸ ad´ z odrzucenie?

20. Chcemy zbada´ c czy poziom cholesterolu w´ sr´ od kobiet zamieszkuj¸ acych trzy stany USA: Ka- liforni¸ e, Alabam¸e i Alask¸ e jest taki sam. Poniewa˙z wiadomo, ˙ze poziom cholesterolu wzrasta wraz z wiekiem, do badania wprowadzimy kozmienn¸ a wiek. Jaki model statystyczny wyko- rzystamy do rozstrzygni¸ ecia postawionego problemu (poda´ c nazw¸ e modelu i jego r´ ownanie b¸ ad´ z r´ ownania). Jakie za lo˙zenia powinny by´ c w tym modele spe lnione? Jakie postawimy hipotezy i jak b¸ edziemy interpretowa´ c ich przyj¸ ecie b¸ ad´ z odrzucenie?

21. Co to jest

(a) odchylenie resztowe, (b) odchylenie zerowe

modelu regresji logistycznej b¸ ad´ z probitowej? Jak interpretujemy warto´ s´ c tego odchylenia?

Jaki test mo˙zemy skonstuowa´ c w oparciu o to odchylenie? Czy mo˙zemy u˙zy´ c tego testu gdy model zbudowali´ smy na podstawie (i) n = 1000 danych niepogrupowanych, (ii) n = 7 danych niepogrupowanych?

22. Om´ owi´ c metody weryfikacji czy dany model regresji logitowej jest dobrze dopasowany do danych.

2

(3)

Modelowanie statystyczne z pakietem R (semestr zimowy, 2015/2016)

23. W celu zbadania skuteczno´ sci pewnego ´ srodka owadob´ ojczego w zale˙zno´ sci od jego dawki, przeprowadzono do´ swiadczenie i jego wyniki zapisano w poni˙zszej tabeli:

logarytm liczba insekt´ ow liczba

st¸e˙zenia ´ srodka poddanych dzia laniu ´ srodka zabitych insekt´ ow

0 30 2

1 30 8

2 30 15

3 30 23

4 30 27

Jaki model statystyczny u˙zyjemy do rozwi¸ azania postawionego problemu (poda´ c nazw¸ e mo- delu i jego r´ ownanie). Jak graficznie b¸ edziemy mogli sprawdzi´ c czy model ten jest dobrze dopasowany do danych?

ROZWIA ¸ ZANIE zadania 2: C = 0, 8; EX = 0; V ar(X) = 0, 2; σ

X

PRZYK LADOWE PYTANIA NA EGZAMIN 1. Poda´ c przyk lady zmiennych losowych

Modelowanie statystyczne z pakietem R (semestr zimowy, 2015/2016)

PRZYK LADOWE PYTANIA NA EGZAMIN 1. Poda´ c przyk lady zmiennych losowych

(a) dyskretnych, (b) ci¸ ag lych.

Niech X b¸edzie zmienn¸ a losow¸ a ci¸ ag l¸ a i a ∈ R. Ile wynosi P (X = a)?

2. Zmienna losowa X ma rozk lad dany tabelk¸ a: x

-1 0 1 p

C

.

Wyznaczy´ c C. Obliczy´ c warto´ s´ c oczekiwan¸ a, wariancj¸ e i odchylenie standardowe X.

3. Poda´ c par¸ e w lasno´ sci rozk ladu normalnego.

4. Kiedy zmienne losowe X

, X

, . . . , X

, tworz¸ ace wektor losowy X, s¸a niezale˙zne? Poda´c wa- runek r´ ownowa˙zny niezale˙zno´ sci w przypadku wektor´ ow losowych

(a) dyskretnych, (b) ci¸ ag lych,

(c) dowolnych.

5. Niech X = (X

, X

, . . . , X

) b¸ edzie wektorem losowym o d-wymiarowym rozk ladzie normal- nym N

(µ, Σ). Poda´ c interpretacj¸e parametr´ ow µ i Σ. Kiedy zmienne losowe X

, X

, . . . , X

s¸ a niezale˙zne - warunek poda´ c w terminach parametr´ ow.

6. Poda´ c, wraz z za lo˙zeniami, model jednokrotnej regresji liniowej. W jaki spos´ ob mo˙zemy szacowa´ c parametry tego modelu?

7. Poda´ c przyk lad danych (najlepiej zilustrowa´ c je na wykresie rozproszenia), do kt´ orych dopa- sowywanie modelu jednokrotnej regresji liniowej

(a) nie ma sensu, (b) jest uzasadnione.

8. Om´ owi´ c wsp´ o lczynnik determinacji R

. Poda´ c jego interpretacj¸e.

9. Sformuowa´ c model wielokrotnej regresji linowej z pi¸ ecioma zmiennymi obja´ sniaj¸ acymi. Poda´ c za lo˙zenia tego modelu. Jakie testy mo˙zemy przeprowadza´ c w tym modelu - poda´ c hipotezy zerowe i alternatywne tych test´ ow oraz ich interpretacj¸e.

10. Co zak ladamy o b l¸ edach w modelu regresji liniowej? Jak sprawdzi´ c czy dla konkretnych danych za lo˙zenia te s¸ a spe lnione? Jak post¸ epowa´ c w przypadku, gdy nie mo˙zemy uzna´ c, ˙ze za lo˙zenie o r´ ownych wariancjach b l¸ ed´ ow jest spe lnione?

11. Co to s¸ a obserwacje wp lywowe oraz obserwacje odstaj¸ ace w modelu regresji liniowej? Jak je wykry´ c? Jakie informacje mo˙zemy uzyska´ c analizuj¸ ac odleg lo´ sci Cooke’a? Jak post¸epowa´ c w przypadku wykrycia obserwacji wp lywowych lub odstaj¸ acych?

12. Om´ owi´ c metod¸e Boxa-Coxa.

13. Om´ owi´ c na przyk ladzie problem wsp´ o lliniowo´ sci zmiennych obja´ sniaj¸ acych w modelu regresji liniowej. Jakie informacje uzyskujemy z analizy wsp´ o lczynnik´ ow podbicia wariancji?

14. Wymieni´ c kryteria s lu˙z¸ ace do wyboru najlepszego modelu spo´ sr´ od wielu modeli regresji linio- wej. Kiedy i dlaczego zamist wsp´ o lczynnika determinacji stosujemy skorygowany wsp´ o lczynnik determinacji?

1

Modelowanie statystyczne z pakietem R (semestr zimowy, 2015/2016)

15. Om´ owi´ c metody wyboru najlepszego podzbioru zmiennych obja´ sniaj¸ acych do modelu regresji liniowej. Jako kryterium wyboru najlepszego modelu przyj¸ a´ c

(a) skorygowany wsp´ o lczynnik determinacji, (b) kryterium Akaike,

(c) kryterium Schwarza.

metoda A metoda B metoda C

10 50 30

15 30 35

30 40 20

25 20 10

20 45 15

17. Sformuowa´ c i opisa´ c model jednoczynnikowej analizy wariancji. Poda´ c za lo˙zenia tego modelu.

(a) Jakie hipotezy w tym modelu weryfikujemy i co w praktyce oznacza ich przyj¸ ecie b¸ ad´ z odrzucenie?

(b) Jak sprawdzi´ c czy za lo˙zenia analizy wariancji s¸ a spe lnione, gdy i. liczno´ sci grup s¸ a du˙ze,

ii. liczno´ sci grup s¸ a bardzo ma le?

21. Co to jest

(a) odchylenie resztowe, (b) odchylenie zerowe

modelu regresji logistycznej b¸ ad´ z probitowej? Jak interpretujemy warto´ s´ c tego odchylenia?

Jaki test mo˙zemy skonstuowa´ c w oparciu o to odchylenie? Czy mo˙zemy u˙zy´ c tego testu gdy model zbudowali´ smy na podstawie (i) n = 1000 danych niepogrupowanych, (ii) n = 7 danych niepogrupowanych?

22. Om´ owi´ c metody weryfikacji czy dany model regresji logitowej jest dobrze dopasowany do danych.

2

Modelowanie statystyczne z pakietem R (semestr zimowy, 2015/2016)

23. W celu zbadania skuteczno´ sci pewnego ´ srodka owadob´ ojczego w zale˙zno´ sci od jego dawki, przeprowadzono do´ swiadczenie i jego wyniki zapisano w poni˙zszej tabeli:

logarytm liczba insekt´ ow liczba

st¸e˙zenia ´ srodka poddanych dzia laniu ´ srodka zabitych insekt´ ow

0 30 2

1 30 8

2 30 15

3 30 23

4 30 27

Jaki model statystyczny u˙zyjemy do rozwi¸ azania postawionego problemu (poda´ c nazw¸ e mo- delu i jego r´ ownanie). Jak graficznie b¸ edziemy mogli sprawdzi´ c czy model ten jest dobrze dopasowany do danych?

ROZWIA ¸ ZANIE zadania 2: C = 0, 8; EX = 0; V ar(X) = 0, 2; σ

= √ 0, 2.

3