3.5 Wyznaczanie stosunku e/m (E22) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stosunku ładunku

3.5 Wyznaczanie stosunku e/m (E22)

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stosunku ładunku e do masy m elektronu metodą badania odchylenia wiązki elektronów w poprzecznym polu magnetycznym.

Zagadnienia do przygotowania:

– budowa i działanie lampy oscyloskopowej (źródła elektronów);

– ruch elektronu w polu elektrycznym, wyznaczanie prędkości elektronu;

– ruch elektronu w polu magnetycznym, wyznaczanie promienia krzywizny toru elektronu;

– natężenie pola magnetycznego wytwarzanego przez cewki Helmholtza-Gaugaina;

– rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza. Przygotować obliczenia wartości oporu, który należy zastosować, aby zmienić zakres woltomierza z 1000 V na 3000 V , przy zadanym oporze wewnętrznym woltomierza.

Literatura podstawowa: [2].

3.5.1 Podstawowe pojęcia i definicje

Wyznaczanie stosunku e/m elektronu, nazywanego też ładunkiem właściwym elek- tronu, sprowadza się do badania ruchu elektronu w polach elektrycznym ~E i magnetycz- nym ~B. Znając kształt toru elektronu oraz wartości pól elektrycznego i magnetycznego, można wyznaczyć szukaną wartość.

Elektrony w lampie oscyloskopowej, w obszarze pomiędzy katodą i anodą są przy- spieszane w jednorodnym polu elektrycznym. Różnica potencjałów U pomiędzy katodą i anodą powoduje zmianę energii kinetycznej elektronu o masie m i ładunku e:

eU = 1

2mv², (3.5.1)

gdzie v oznacza prędkość elektronu.

Poza anodą elektrony poruszają się ze stałą prędkością i są poddane działaniu po- la magnetycznego o indukcji ~B prostopadłego do wektora prędkości elektronu. Pole magnetyczne wytwarzane jest przez parę cewek Helmholtza-Gaugaina o promieniu R, umieszczonych we wzajemnej odległości L = R. Takie pole jest wystarczająco jed- norodne i można założyć, że na elektron działa siła Lorentza o wartości F_B = evB.

Działanie tej siły powoduje ruch elektronu po okręgu o promieniu:

r = mv

eB. (3.5.2)

Z równań (3.5.1) i (3.5.2) wynika zależność:

1 r² = e

m B²

2U. (3.5.3)

Indukcja pola magnetycznego B między cewkami Helmholtza-Gaugaina jest równa (wyprowadzenie poniżej):

B = µ0IN

R (5/4)^3/2, (3.5.4)

gdzie µ0– przenikalność magnetyczna próżni, N – liczba zwojów w cewce, R – promień cewek Helmholtza-Gaugaina, I – natężenie prądu płynącego przez cewki.

Obszar, w którym na elektron działa jednorodne, prostopadłe do wektora prędkości

~v pole magnetyczne ma szerokość D. Szerokość ta jest na tyle mała, że elektrony nie zakreślają pełnego okręgu, a na ekranie można mierzyć odchylenie położenia plamki y (ekran pokryty jest luminoforem) od punktu trafienia w ekran w przypadku nieobec- ności pola magnetycznego B (brak zakrzywienia toru, ruch po linii prostej). Jak widać z rysunku 3.5.1, wielkości D, y i r związane są zależnością:

B

y

u D

r

r

Rys. 3.5.1: Zakrzywienie toru elektronu w poprzecznym polu magnetycznym.

r = D²+ y²

2y (3.5.5)

Przy zasilaniu cewek Helmholtza-Gaugaina prądem zmiennym, na ekranie lampy oscyloskopowej pojawi się linia ciągła o długości równej 2y. Znając szerokość obszaru działania jednorodnego pola magnetycznego D, można obliczyć promień toru elektronu r korzystając z równania (3.5.5). Pomiary natężenia prądu I płynącego przez cewki i ich promienia R umożliwiają obliczenie indukcji pola magnetycznego B – równa- nie (3.5.4). Tak otrzymane dane dla ustalonego napięcia U pozwalają na znalezienie szukanej wartości e/m korzystając z równania (3.5.3).

Indukcja pola magnetycznego pary cewek Helmholtza-Gaugaina

Rozpatrzmy pętlę o promieniu R, przez którą płynie prąd o natężeniu I. Stosując prawo Biota-Savart’a :

d ~B =µ0I 4π

d~l × ~ρ

ρ³ (3.5.6)

można obliczyć przyczynek do indukcji pola magnetycznego w odległości ρ od elementu pętli o długości d~l (rysunek 3.5.2). Wektor d~l jest prostopadły do wektora ~ρ stąd:

d ~B = µ0I

4πρ²d~l = µ0I 4π

d~l

R²+ z², (3.5.7)

l d

r

r r

B d

r Br

d r

Bz

d r

I

R z

Rys. 3.5.2: Indukcja pola magnetycznego pochodzącego od pojedynczej pętli.

gdzie z jest odległością od pętli mierzoną wzdłuż jej osi. Wektor d ~B można rozłożyć na dwie składowe prostopadłe d ~B_z i d ~B_r. Składowe d ~B_z mają ten sam kierunek dla wszystkich elementów d~l wzdłuż pętli, co powoduje że poszczególne przyczynki doda- ją się. Natomiast składowe d ~B_r pochodzące od elementów pętli znajdujących się po przeciwnych stronach odejmują się. W konsekwencji ~B_r= 0, natomiast

B = ~~ Bz= Z

d ~Bz = µ0I 2

R²

(R²+ z²)^3/2 = µ0I 2R

 1 +z

R

2−3/2

. (3.5.8)

Dla dwóch cewek, po N zwojów każda, umieszczonych względem siebie w odległości d otrzymujemy więc:

B(z, r = 0) =~ µ0IN 2R

h

1 + A²1

−3/2

+ 1 + A²2

−3/2i

(3.5.9) gdzie: A1 = ^z+d/2_R , A2 = ^z−d/2_R , punkt z = 0 odpowiada środkowi układu cewek (rysunek 3.5.3).

Dla z = 0 i d = R indukcja pola magnetycznego osiąga maksimum wartości i wynosi B(0, 0) = µ0IN

R (5/4)^3/2. (3.5.10)

Z analizy wyrażenia (3.5.9) dla d = R wynika, że pole B jest w dobrym przybliżeniu jednorodne w obszarze −R/2 < z < +R/2 (rysunek 3.5.4). Dlatego używa się układu dwóch cewek ustawiając je we wzajemnej odległości równej ich promieniowi d = R.

d=R

R

- /2R 0 R/2 cewkiNzwojów ka¿da

z

Rys. 3.5.3: Układ cewek Helm- holtza-Gaugaina.

-1.0 -0.5 0.0

0.5

1.0 B z( ) m₀IN

[

]

0.5 z/R 1.0

1.5

Rys. 3.5.4: Wykres zależności pola magnetycznego B(z) dla dwóch cewek umieszczonych w odległości równej ich promieniowi.

3.5.2 Przebieg pomiarów Układ doświadczalny

Do wykonania tego doświadczenia służy układ pomiarowy, w którego skład wcho- dzą: lampa oscyloskopowa z układem zasilającym i skalą milimetrową na ekranie; pa- ra cewek Helmholtza-Gaugaina (60 zwojów każda), między którymi wytwarzane jest jednorodne pole magnetyczne B; autotransformator; amperomierz; woltomierz; opór (posobnik) wmontowany w rozdzielacz.

Układ eksperymentalny przedstawiony jest na rysunku 3.5.5. Centralnym elemen- tem układu jest lampa oscyloskopowa z zasilaczem. Odpowiednie bloki regulacyjne pozwalają na przesuwanie wiązki elektronów (plamki) na ekranie (odchylanie pozio- me X i pionowe Y ). Napięcie U pomiędzy katodą i anodą może być zmieniane po- tencjometrem N , a wartość napięcia jest mierzona za pomocą woltomierza napięcia stałego V , którego zakres rozszerzamy włączając szeregowo opornik R (posobnik).

Jasność i ostrość plamki na ekranie można optymalizować używając odpowiednich re- gulatorów umieszczonych na płycie czołowej zasilacza lampy. Lampa oscyloskopowa znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym ~B wytwarzanym pomiędzy cewka- mi Helmholtza-Gaugaina. Cewki połączone są szeregowo i zasilane prądem zmiennym (autotransformator Atr, rozdzielacz Ro), którego natężenie mierzone jest amperomie- rzem prądu zmiennego A. Proszę pamiętać, że to jest pomiar natężenia skutecznego.

Dla B 6= 0 na ekranie widoczna jest linia, której długość odpowiada podwojonemu odchyleniu położenia plamki od położenia przy B = 0 (2y). Dopuszczalne natężenie prądu wynosi 0.7 A. Można przyjąć, że szerokość obszaru d na którym na elektron działa pole magnetyczne jest równa odległości anoda-ekran, która wynosi 24 cm.

Przebieg doświadczenia

Sprawdzić opór wewnętrzny woltomierza i obliczyć wartość oporu (posobnika), któ- ry należy włączyć przy rozszerzaniu zakresu od 1000 V do 3000 V . Zanotować klasę

X Y

X Y ^6.3V

R

V

CC CC

L

~220V

A

1.8kV

Ro

Atr

O J

N

Rys. 3.5.5: Schemat aparatury pomiarowej: L – lampa oscyloskopowa, C – cewki Helmholtza- Gaugaina, X(Y ) – odchylanie poziome (pionowe) wiązki elektronów, R – opór (posobnik), V – woltomierz, A – amperomierz, Ro – rozdzielacz, Atr – autotransformator, O – regulacja ostrości, J – regulacja jasności, N – regulacja napięcia anodowego.

przyrządu. Przy zerowym natężeniu prądu w cewkach (B = 0) zmierzyć kilkakrotnie średnicę cewek 2R.

Połączyć obwody według schematu układu pomiarowego przedstawionego na rysun- ku 3.5.5. Ustawić minimalne napięcie anodowe U , kiedy na ekranie pojawia się plamka, zoptymalizować jej jasność i ostrość. Za pomocą regulacji X i Y ustawić plamkę na środku skali.

Dla znanej wartości napięcia anodowego (przyspieszającego) U , mierzonego wolto- mierzem, wykonać pomiary wartości odchylenia plamki na ekranie (2y) dla 10 wartości natężenia prądu I zasilającego cewki Helmholtza-Gaugaina. Pionowa linia, odpowia- dająca wychyleniu plamki nie może wykraczać poza skalę.

Pomiary powtórzyć dla innych wartości napięcia przyspieszającego U . Przy zmianie napięcia należy ponownie ustawić ostrość i jasność plamki oraz położenie jej na środku skali.

3.5.3 Opracowanie wyników

Dla każdej wartości natężenia prądu I, obliczyć indukcję pola magnetycznego B pomiędzy cewkami Helmholtza-Gaugaina – równanie (3.5.3) oraz odpowiednie niepew- ności pomiarowe.

Dla każdej serii pomiarowej (ustalona wartość U ), metodą regresji liniowej dopaso- wać prostą 1/r² = αB²+ β. W granicach niepewności pomiarowych wyraz β powinien

być równy zero. Dopasowana zależność opisywana jest przez równanie (3.5.3). Dla- tego znając wartość współczynnika α można obliczyć szukaną wartość e/m oraz jej niepewność pomiarową.

Obliczyć średnią ważoną wartości e/m, uzyskanych dla różnych napięć przyspie- szających, wraz z jej niepewnością pomiarową i porównać z wartością tablicową.