1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej . . . . 1

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Marcin Orchel

Spis treści

1 Wstęp 1

1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej . . . . 1

1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej . . . . 2

1.2 Równanie różniczkowe Lagrange’a . . . . 3

1.3 Całki osobliwe i punkty osobliwe . . . . 4

1.3.1 Wyszukiwanie rozwiązań osobliwych . . . . 4

1.3.2 Punkty osobliwe równania różniczkowego . . . . 6

1.4 Wyszukiwanie równań różniczkowych . . . . 7

1.5 Zagadnienia dodatkowe . . . . 9

2 Zadania 9 2.1 Zadania na 3.0 . . . . 9

2.2 Zadania na 4.0 . . . . 10

2.3 Zadania na 5.0 . . . . 10

1 Wstęp

1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej:

F x, y, y

= 0 (1)

Twierdzenie 1.1. Przez punkt P (x

, y

) przechodzi dokładnie n krzywych całkowych, jeśli spełnione są poniższe warunki:

1. W punkcie P (x

, y

) równanie:

F (x

, y

, p) = 0 (2)

gdzie p = dy/dx ma n pierwiastków rzeczywistych p

, . . . , p

.

2. Funkcja F (x, y, p) i jej pierwsze pochodne w punkcie (x

, y

, p

) są ciągłe, przy czym

∂F

∂p 6= 0 (3)

Jeśli dane równanie można rozwiązać ze względu na y

, to problem rozpada się na n równań, ostatecznie otrzymujemy więc n rodzin krzywych całkowych równania wyjścio- wego.

1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej Jeśli równanie daje się przedstawić w formie

x = ϕ y, y

(4)

lub

y = ψ x, y

(5)

to podstawiając w nim

y

= p (6)

oraz różniczkując po y lub x odpowiednio otrzymujemy równanie na dp/dy lub dp/dx.

Jego rozwiązanie wraz z równaniem wyjściowym opisuje rozwiązanie tego ostatniego w postaci parametrycznej. Zmienna p zastępuje zmienną niezależną x lub zmienną zależną y odpowiednio.

Przykład 1.

x = yy

+ y

(7)

Stosujemy podstawienie y

= p i otrzymujemy

x = yp + p

(8)

Po zróżniczkowaniu względem y (zakładamy, że x jest funkcją y oraz p jest funkcją y) otrzymujemy:

dx

dy = p + y dp

dy + 2p dp

dy (9)

dx

dy = p + dp

dy (y + 2p) (10)

Jako że:

dy

dx = p (11)

otrzymujemy:

1

p = p + dp

dy (y + 2p) , p 6= 0 (12)

1

p − p = dp

dy (y + 2p) (13)

1 − p

p = dp

dy (y + 2p) (14)

(y + 2p) p 1 − p

= dy

dp (15)

dy

dp − py

1 − p

= 2p

1 − p

(16)

Jest to równanie różniczkowe liniowe, w którym p traktujemy jako zmienną niezależną.

Rozwiązaniem tego równania jest:

y = −p + c + arc sin p

p 1 − p

(17)

Podstawiając powyższe do równania wyjściowego z p otrzymujemy drugie równanie:

x = p −p + c + arc sin p p 1 − p

!

+ p

(18)

Oba powyższe równania tworzą rozwiązanie w postaci parametrycznej. Równanie na wol- framalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= x+ %3D+ yy% 27+ %2B+ y%

27^2 .

1.2 Równanie różniczkowe Lagrange’a

Równanie różniczkowe Lagrange’a to równanie różniczkowe postaci:

a y

x + b y

y + c y

= 0 (19) Równanie to można rozwiązać powyżej przedstawioną metodą rozwiązywania w postaci parametrycznej.

Przykład 2.

y = y

x + 1

y (20)

Otrzymujemy

dx dp + 2

p − 1 x = 1

p

(p − 1) (21)

Rozwiązanie

x = 1 − 2p

2p

(1 − p)

+ C

(1 − p)

(22)

y = 1 − 2p

2 (1 − p)

+ Cp

(1 − p)

+ 1

p (23)

Rozwiązanie szczególne tego równania y = x + 1 nie jest uwzględnione w rozwiązaniu

powyższym.

1.3 Całki osobliwe i punkty osobliwe

Trójkę uporządkowaną (x

, y

, y

) nazywamy elementem osobliwym równania różniczko- wego w postaci uwikłanej, jeśli oprócz samego równania wyjściowego

F x, y, y

= 0 (24)

spełnia ona również równanie

∂F

∂y

= 0 (25)

Krzywą całkową przechodzącą tylko przez elementy osobliwe dla każdego x z pewnego przedziału nazywamy krzywą całkową osobliwą, jej równanie:

φ (x, y) = 0 (26)

jest wtedy całką osobliwą (singular solution) danego równania.

1.3.1 Wyszukiwanie rozwiązań osobliwych

Rozwiązanie osobliwe zazwyczaj nie daje się wyznaczyć z rozwiązania ogólnego przez dobór odpowiedniej stałej. Dla równania w postaci uwikłanej dokonujemy podstawienia:

p = y

(27)

dołączamy równanie

∂F

∂p = 0 (28)

i eliminujemy p. Jeśli tak otrzymana funkcja spełnia równanie wyjściowe, to jest ona rozwiązaniem osobliwym. Równanie wyjściowe należy przedtem przekształcić do postaci, która nie zawiera funkcji wieloznacznych, w szczególności pierwiastników, przy czym musimy brać pod uwagę również zespolone wartości funkcji.

Przykład 3.

x − y − 4

9 y

+ 8

27 y

= 0 (29)

x − y − 4

9 p

+ 8

27 p

= 0 (30)

Warunek dla całki osobliwej jest następujący:

− 8 9 p + 8

9 p

= 0 (31)

8

9 p (p − 1) = 0 (32)

p = 0 lub p = 1 (33)

Podstawiając powyższe do równania wyjściowego otrzymujemy:

x − y = 0 lub x − y = 4

27 (34)

y = x lub y = x − 4

27 (35)

W pierwszym przypadku otrzymujemy sprzeczność, więc nie jest to rozwiązanie. W dru- gim przypadku równanie jest spełnione, więc jest to rozwiązanie osobliwe. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= x-y-4% 2F9y% 27^2+

%2B+ 8% 2F27y% 27^3+ %3D+ 0 . Przykład 4.

y − xy

= 0 (36)

y − xp = 0 (37)

Warunek dla całki osobliwej:

x = 0 (38)

Po podstawieniu otrzymujemy y = 0. A więc (0, 0, 0) jest elementem osobliwym, aczkol- wiek w tym przypadku nie ma rozwiązania osobliwego. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y-xy% 27% 3D0 .

Przykład 5.

2y

y

+ y

− 1 = 0 (39)

2y

p

+ y

− 1 = 0 (40)

Warunek dla całki osobliwej:

4y

p = 0 (41)

p = 0 lub y = 0 (42)

W drugim przypadku po podstawieniu do równania wyjściowego otrzymujemy sprzecz- ność. Dlatego też:

y = −1 lub y = 1 (43)

Po podstawieniu do równania wyjściowego w obu przypadkach równanie jest spełnione (y

= 0) , więc elementami osobliwymi są trójki (x, −1, 0), (x, 1, 0). Obie funkcje są cał- kami osobliwymi. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/

input/ ?i= 2y^2y% 27^2+ %2B+ y^2+ -+1+ %3D+ 0 . Przykład 6.

y

− x

= 0 (44)

Warunek dla całki osobliwej:

p = 0 (45)

Po podstawieniu:

x = 0 (46)

Elementy osobliwe to trójki: (0, y, 0). Krzywa x = 0 nie jest całką osobliwą. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27^2+ -+x^2+

%3D+ 0 .

1.3.2 Punkty osobliwe równania różniczkowego

Punktami osobliwymi równania różniczkowego w postaci jawnej nazywamy te punkty, w których prawa strona równania w postaci jawnej jest nieokreślona. Równania różniczkowe z prawą stroną wymierną

dy

dx = ax + by

cx + ey , ae − bc 6= 0 (47)

Równanie to w punkcie (0, 0) ma punkt osobliwy odosobniony. Zachowanie krzywych całkowych w otoczeniu punktu osobliwego zależy od pierwiastków równania charaktery- stycznego

λ

− (b + c) λ + bc − ae = 0 (48)

Przypadek 1: Jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i mają ten sam znak, wtedy punkt osobliwy jest węzłem. W otoczeniu tego punktu osobliwego wszystkie krzywe całkowe przechodzą przez niego i mają, o ile tylko pierwiastki są róż- ne, z wyjątkiem jednej krzywej całkowej, tę samą styczną. W przypadku pierwiastka dwukrotnego albo wszystkie krzywe całkowe mają wspólną styczną, albo dla każdego kierunku w tym punkcie istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa.

Przykład 7.

dy dx = 2y

x (49)

Pierwiastki równania charakterystycznego to λ

= 2, λ

= 1. Krzywe całkowe y = Cx

. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

StreamPlot[ { 1% 2C2y% 2Fx}% 2C+ { x% 2C+ -10% 2C+ 10}% 2C+ { y% 2C+ -10% 2C+ 10}] lub http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= stream+ plot+ %281% 2C2y% 2Fx% 29 . Przykład 8.

dy

dx = x + y

x (50)

Pierwiastek dwukrotny λ

= λ

= 1. Krzywe całkowe y = x ln |x| + Cx. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= StreamPlot[ { 1%

2C% 28x% 2By% 29% 2Fx}% 2C+ { x% 2C+ -10% 2C+ 10}% 2C+ { y% 2C+ -10% 2C+ 10}] . Przykład 9.

dy dx = y

x (51)

Pierwiastek dwukrotny λ

= λ

= 1, krzywe całkowe y = Cx. Punkt osobliwy jest tzw.

punktem promienistym. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha.

com/ input/ ?i= stream+ plot+ %281% 2C2y% 2Fx% 29 .

Przypadek 2: Jeśli pierwiastki są rzeczywiste i mają różny znak, to punkt osobliwy

jest punktem siodłowym. Przechodzą przez niego dwie krzywe całkowe.

Przykład 10.

dy dx = − y

x (52)

Pierwiastki: λ

= 1, λ

= −1. Krzywe całkowe xy = C. Pole kierunkowe na wolframal- pha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= stream+ plot+ %281% 2C-y% 2Fx%

29 .

Przypadek 3: Jeśli pierwiastki są zespolone sprzężone oraz < (λ) 6= 0 to punkt osobli- wy jest ściekiem (ujściem). Krzywe całkowe nawijają się wokół niego nieskończenie wiele razy.

Przykład 11.

dy

dx = x + y

x − y (53)

Pierwiastki: λ

= 1 + i, λ

= 1 − i. Krzywe całkowe we współrzędnych biegunowych r = Ce

. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/

input/ ?i= stream+ plot+ %281% 2C% 28x% 2By% 29% 2F% 28x-y% 29% 29 .

Przypadek 4: Jeśli pierwiastki są urojone, to punkt osobliwy jest wirem. Punkt ten jest otoczony przez rodzinę zamkniętych krzywych całkowych.

Przykład 12.

dy dx = − x

y (54)

Pierwiastki urojone λ

= i, λ

= −i. Krzywe całkowe x

+ y

= C. Pole kierunkowe na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= stream+ plot+ %281%

2C-x% 2Fy% 29 .

Równanie różniczkowe z prawą stroną będącą ilorazem funkcji:

dy

dx = P (x, y)

Q (x, y) (55)

Równanie powyższe ma dwa punkty osobliwe. Muszą one spełniać równanie:

P (x, y) = Q (x, y) = 0 (56)

1.4 Wyszukiwanie równań różniczkowych

Zadanie polega na znalezieniu równania różniczkowego które opisuje zadaną rodzinę krzywych. Rodzina krzywych zdefiniowana jest w postaci

F (x, y, C) = 0 (57)

Przykłady:

y − Cx

= 0 (58)

y − Cx = 0 (59)

x + y − C = 0 (60)

Gdy y

oznacza pochodną funkcji y(x, C) określonej w postaci uwikłanej przez (57) możemy zróżniczkować to równanie obustronnie po x i otrzymamy

∂F (x, y, C)

∂x + ∂F (x, y, C)

∂y y

= 0 (61)

Otrzymujemy układ równań (57) oraz (61). Jeśli pozbędziemy się parametru C to otrzy- mamy równanie

ϕ x, y, y

= 0 (62)

które jest równanie różniczkowym rodziny linii (57).

Przykład 13. Przykład wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny parabol

y − Cx

= 0 (63)

Układ równań wyniesie

y − Cx

= 0 (64)

y

− 2Cx = 0 (65)

i równanie różniczkowe

y − 1

2 xy

= 0 (66)

Krzywą, która w każdym swym punkcie tworzy kąt prosty z krzywą rodziny (57) nazywamy trajektorią ortogonalną.

Aby znaleźć rodzinę trajektorii ortogonalnych rodziny krzywych (57) należy wyzna- czyć równanie różniczkowe dla niej, a następnie dokonać podstawienia

y

→ − 1

y

(67)

i rozwiązać otrzymane równanie.

Przykład 14. Znaleźć trajektorie ortogonalne rodziny parabol

y − Cx

= 0 (68)

Równanie różniczkowe dla tej rodziny to y − 1

2 xy

= 0 (69)

Po zastąpieniu pochodnej otrzymujemy yy

+ 1

2 x = 0 (70)

Rozwiązanie to rodzina elips

x

+ 2y

= C (71)

Przykład 15. Wyznaczyć trajektorie ortogonalne rodziny krzywych

x

+ y

= 2Cy (72)

Równanie różniczkowe dla tej rodziny to

2xy + y

^ y

− x

^ = 0 (73)

A równanie dla trajektorii ortogonalnych to

2xyy

+ x

− y

= 0 (74)

Rozwiązanie

x

+ y

= Cx (75)

1.5 Zagadnienia dodatkowe Równanie różniczkowe Clairauta.

2 Zadania

2.1 Zadania na 3.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1.

y = 1 + y

x + y

(76)

Odp.:

x = Ce

− 2p + 2 (77)

y = C (1 + p) e

− p

+ 2 (78) 2.

2yy

= x ^ y

+ 4 ^ (79)

Odp.:

y = Cx

+ 1

C lub y = 2x lub y = −2x (80)

2.2 Zadania na 4.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1.

y = −xy

+ y

(81)

Odp.:

x = C

√ p + 2

3 p (82)

y = 1

3 p

− C √

p (83)

2.

2y y

+ 2
= xy

(84)

Odp.:

y = 1

C (x − C)

C 6= 0 lub y = 0 lub y = −4x (85) Znaleźć rozwiązania osobliwe równania:

p

^ (x − y)

− 1 ^ − 2p + (x − y)

− 1 = 0 (86) Znaleźć położenie i rodzaj punktów osobliwych dla równania Jacobiego:

(−6x + 9y) dx + (6x − 6y) dy + (−4x + 5y) (xdy − ydx) = 0 (87) 2.3 Zadania na 5.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1.

xy

− y

− y

− 1 = 0 (88) Odp.:

y = Cx ± ^p C

− 1 (89)

Rozwiązanie osobliwe:

x

+ y

= 1 (90)

Literatura

[1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompen- dium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004.

[2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydaw-

nictwa AGH, 2001.