Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6 ∗ można dostać 15 punktów.

03.VI.2004 r.

Kolokwium nr 2 z Analizy matematycznej I Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 6 ^∗ można dostać 15 punktów.

Należy rozwiązać cztery spośród sześciu zadań.

1. Zbadaj ekstrema lokalne funkcji:

f (x, y) = x ³ + y ² − 6xy − 48x.

2. Oblicz:

n→∞ lim

Z 2 0

q

|x + sin ⁿ x|dx 3. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych oblicz całkę:

ZZ

A

x ⁵ y ⁵ dxdy gdzie A = {(x, y) ∈ R ² : 1 < xy < 2 ∧ x < y ⁴ < xe ² }.

4. Oblicz objętość bryły wyznaczonej danej nierównościami: z ­ 0, z ¬ 8 − x ² − y ² , x ² + y ² ¬ 6.

Wykonaj odpowiedni rysunek.

5. Dane są dwie miary µ, ν określone na σ-ciele M zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a na prostej R w następujący sposób:

dla każdego zbioru A ∈ M : µ(A) =

Z

A∩(−1,1)

e ^−|x| dx, ν(A) = 1

2 δ −1 (A) + 1 2 δ ₁ A, gdzie δ _x (A) =

( 1 jeśli x ∈ A 0 jeśli x / ∈ A . Dla jakich c ∈ R funkcja

P (A) = cµ(A) + 1 2 ν(A)

jest miarą na M? Czy istnieje c takie, że jest to miara probabilistyczna? Jeśli tak, to dla znalezionego c oblicz ^R _R xdP (wartość oczekiwaną x względem miary P ).

6 ^∗ Rozpatrzmy następującą definicję:

Definicja Niech (X, M, µ) - przestrzeń z miara unormowaną. Dane jest odwzorowanie

T : X → X, takie że, dla każdego zbioru A ∈ M mamy T ⁻¹ (A) ∈ M. Powiemy, że miara µ jest T niezmiennicza, jeśli:

∀ _A∈M µ(A) = µ(T ⁻¹ (A)).

Rozpatrzmy odcinek (0, 1) z miara Lebesgue’a określoną na σ-ciele zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a na (0, 1). Wykaż, że miara ta jest niezmiennicza dla przekształcenia:

T (x) =

( y = 2x dla x ∈ (0, ¹ ₂ );

y = 2x − 1 dla x ∈ ( ¹ ₂ , 1)

Podaj przykład innych odwzorowań T : (0, 1) → (0, 1) względem których µ jest niezmiennicza.

Wskazówka: Zacznij od wykazania niezmienniczości tej miary dla zbiorów ”prostych” - np.

przedziałów. Potem spróbuj uzasadnić, że to już wystarczy...

Powodzenia!