Kolokwium z Analizy matematycznej II - 15.VI.2007 r. Zestaw A Czas rozwiązywania - 90 min.

(1)

Kolokwium z Analizy matematycznej II - 15.VI.2007 r. Zestaw A Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo – po 10 punktów. Zadanie 6 ^∗ jest warte 20 punktów.

Wybieramy i rozwiązujemy tylko 4 zadania.

Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.

Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie oddzielając rozwiązania zadań (np. grubą poziomą kreską na całą szerokość strony), najlepiej rozwiązywać zadania na oddzielnych stronach. Każdą kartkę należy podpisać imieniem oraz nazwiskiem; pierwszą dodatkowo

numerem indeksu. Proszę ponumerować kartki. Brudnopisu nie oddajemy. W razie jakichkolwiek wątpliwości proszę pytać!

1. Wyznacz ekstrema funkcji z(x, y) zadanej równaniem:

x ² + y ² + z ² − 6z = 0.

(czyli wyznacz, w jakich punktach powyższe równanie nie zadaje funkcji uwikłanej, następnie wyznacz pierwszą pochodną z...)

2. W zależności od parametru a wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x ³ + y ³ − 3axy.

3. Oblicz (dokładnie uzasadniając odpowiedź):

Z +∞

−∞

xn ³ − 2n ² + 1 n ³ − 3n

p

n

3n|x| + 1 · e ^−x

²

dx

4. Dane są miary

µ _n = 1 2 ⁿ δ _{

¹

2n

} oraz ν =

+∞

X

k=0

µ _k

Zbadaj czy ν jest miarą skończoną, czy jest miarą probabilistyczną. Oblicz ν [ ¹ ₅ , 3] oraz całkę R

R x ² dν(x).

5. Oblicz całkę

Z Z

W

1 y + x ²

dx dy gdzie obszar W to W = n

(x, y) ∈ R ² : _y ¹

2

< x 6 _y ²

²

, 3y 6 x ² < 4y o

6.* Dana jest prosta R i σ-ciało M na tej prostej. i Mówimy, że miara µ 1 jest bezwzględnie ciągła względem miary µ 2 , co zapisujemy µ 1 µ 2 , jeśli

∀ _A∈M µ ₂ (A) = 0 =⇒ µ ₁ (A) = 0

Rozpatrzmy miary dane wzorami µ = δ −1 + ¹ ₃ δ ₁ oraz ν(A) =

1 R

−1

x ² χ(A)dx.

Zbadaj, czy któraś z miar jest bezwzględnie ciągła względem drugiej. Czy któraś jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a? Podaj przykład miar α i β takich, że α ν ∧ α µ oraz µ β ∧ ν β.

Powodzenia!

(2)

Kolokwium z Analizy matematycznej II - 15.VI.2007 r. Zestaw B Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo – po 10 punktów. Zadanie 6 ^∗ jest warte 20 punktów.

Wybieramy i rozwiązujemy tylko 4 zadania.

Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.

Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie oddzielając rozwiązania zadań (np. grubą poziomą kreską na całą szerokość strony), najlepiej rozwiązywać zadania na oddzielnych stronach. Każdą kartkę należy podpisać imieniem oraz nazwiskiem; pierwszą dodatkowo

numerem indeksu. Proszę ponumerować kartki. Brudnopisu nie oddajemy. W razie jakichkolwiek wątpliwości proszę pytać!

1. Wyznacz ekstrema funkcji z(x, y) zadanej równaniem:

x ² + y ² + z ² + 6z = 0.

(czyli wyznacz, w jakich punktach powyższe równanie nie zadaje funkcji uwikłanej, następnie wyznacz pierwszą pochodną z...)

2. W zależności od parametru b wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x ³ + y ³ + 3bxy.

3. Oblicz (dokładnie uzasadniając odpowiedź):

Z +∞

−∞

xn ³ + n ² + 2 n ³ − 2n

p

n

5n|x| + 1 · e ^−x

²

dx

4. Dane są miary

µ _n = 1 2 ⁿ δ _{

¹

2n

} oraz ν =

+∞

X

k=0

µ _k

Zbadaj czy ν jest miarą skończoną, czy jest miarą probabilistyczną. Oblicz ν [ ¹ ₇ , 4] oraz całkę R

R x ² dν(x).

5. Oblicz całkę

Z Z

W

1 y + x ²

dx dy gdzie obszar W to W = n

(x, y) ∈ R ² : _y ¹

2

< x 6 _y ³

²

, 2y 6 x ² < 3y o

6.* Dana jest prosta R i σ-ciało M na tej prostej. i Mówimy, że miara µ 1 jest bezwzględnie ciągła względem miary µ 2 , co zapisujemy µ 1 µ 2 , jeśli

∀ _A∈M µ ₂ (A) = 0 =⇒ µ ₁ (A) = 0

Rozpatrzmy miary dane wzorami µ = δ −1 + ² ₃ δ ₁ oraz ν(A) =

1 R

−1

x ² χ(A)dx.

Zbadaj, czy któraś z miar jest bezwzględnie ciągła względem drugiej. Czy któraś jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a? Podaj przykład miar α i β takich, że α ν ∧ α µ oraz µ β ∧ ν β.

Powodzenia!

Kolokwium z Analizy matematycznej II - 15.VI.2007 r. Zestaw A Czas rozwiązywania - 90 min.

Kolokwium z Analizy matematycznej II - 15.VI.2007 r. Zestaw A Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo – po 10 punktów. Zadanie 6 ∗ jest warte 20 punktów.

Wybieramy i rozwiązujemy tylko 4 zadania.

Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.

Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie oddzielając rozwiązania zadań (np. grubą poziomą kreską na całą szerokość strony), najlepiej rozwiązywać zadania na oddzielnych stronach. Każdą kartkę należy podpisać imieniem oraz nazwiskiem; pierwszą dodatkowo

numerem indeksu. Proszę ponumerować kartki. Brudnopisu nie oddajemy. W razie jakichkolwiek wątpliwości proszę pytać!

1. Wyznacz ekstrema funkcji z(x, y) zadanej równaniem:

x 2 + y 2 + z 2 − 6z = 0.

(czyli wyznacz, w jakich punktach powyższe równanie nie zadaje funkcji uwikłanej, następnie wyznacz pierwszą pochodną z...)

2. W zależności od parametru a wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x 3 + y 3 − 3axy.

3. Oblicz (dokładnie uzasadniając odpowiedź):

Z +∞

−∞

xn 3 − 2n 2 + 1 n 3 − 3n

p

3n|x| + 1 · e −x

dx

4. Dane są miary

µ n = 1 2 n δ {

} oraz ν =

+∞

X

k=0

µ k

Zbadaj czy ν jest miarą skończoną, czy jest miarą probabilistyczną. Oblicz ν [ 1 5 , 3] oraz całkę R

R x 2 dν(x).

5. Oblicz całkę

Z Z

W

 1 y + x 2

 dx dy gdzie obszar W to W = n

(x, y) ∈ R 2 : y 1

< x 6 y 2

, 3y 6 x 2 < 4y o

6.* Dana jest prosta R i σ-ciało M na tej prostej. i Mówimy, że miara µ 1 jest bezwzględnie ciągła względem miary µ 2 , co zapisujemy µ 1  µ 2 , jeśli

∀ A∈M µ 2 (A) = 0 =⇒ µ 1 (A) = 0

Rozpatrzmy miary dane wzorami µ = δ −1 + 1 3 δ 1 oraz ν(A) =

1

R

−1

x 2 χ(A)dx.

Zbadaj, czy któraś z miar jest bezwzględnie ciągła względem drugiej. Czy któraś jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a? Podaj przykład miar α i β takich, że α  ν ∧ α  µ oraz µ  β ∧ ν  β.

Powodzenia!

Kolokwium z Analizy matematycznej II - 15.VI.2007 r. Zestaw B Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo – po 10 punktów. Zadanie 6 ∗ jest warte 20 punktów.

Wybieramy i rozwiązujemy tylko 4 zadania.

Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.

Rozwiązania należy redagować starannie, wyraźnie oddzielając rozwiązania zadań (np. grubą poziomą kreską na całą szerokość strony), najlepiej rozwiązywać zadania na oddzielnych stronach. Każdą kartkę należy podpisać imieniem oraz nazwiskiem; pierwszą dodatkowo

numerem indeksu. Proszę ponumerować kartki. Brudnopisu nie oddajemy. W razie jakichkolwiek wątpliwości proszę pytać!

1. Wyznacz ekstrema funkcji z(x, y) zadanej równaniem:

x 2 + y 2 + z 2 + 6z = 0.

(czyli wyznacz, w jakich punktach powyższe równanie nie zadaje funkcji uwikłanej, następnie wyznacz pierwszą pochodną z...)

2. W zależności od parametru b wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x 3 + y 3 + 3bxy.

3. Oblicz (dokładnie uzasadniając odpowiedź):

Z +∞

−∞

xn 3 + n 2 + 2 n 3 − 2n

p

5n|x| + 1 · e −x

dx

4. Dane są miary

µ n = 1 2 n δ {

} oraz ν =

+∞

X

k=0

µ k

Zbadaj czy ν jest miarą skończoną, czy jest miarą probabilistyczną. Oblicz ν [ 1 7 , 4] oraz całkę R

R x 2 dν(x).

5. Oblicz całkę

Z Z

W

 1 y + x 2

 dx dy gdzie obszar W to W = n

(x, y) ∈ R 2 : y 1

< x 6 y 3

, 2y 6 x 2 < 3y o

6.* Dana jest prosta R i σ-ciało M na tej prostej. i Mówimy, że miara µ 1 jest bezwzględnie ciągła względem miary µ 2 , co zapisujemy µ 1  µ 2 , jeśli

∀ A∈M µ 2 (A) = 0 =⇒ µ 1 (A) = 0

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo – po 10 punktów. Zadanie 6 ^∗ jest warte 20 punktów.

x ² + y ² + z ² − 6z = 0.

2. W zależności od parametru a wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x ³ + y ³ − 3axy.

xn ³ − 2n ² + 1 n ³ − 3n

3n|x| + 1 · e ^−x

µ _n = 1 2 ⁿ δ _{

µ _k

Zbadaj czy ν jest miarą skończoną, czy jest miarą probabilistyczną. Oblicz ν [ ¹ ₅ , 3] oraz całkę R

R x ² dν(x).

1 y + x ²

dx dy gdzie obszar W to W = n

(x, y) ∈ R ² : _y ¹

< x 6 _y ²

, 3y 6 x ² < 4y o

6.* Dana jest prosta R i σ-ciało M na tej prostej. i Mówimy, że miara µ 1 jest bezwzględnie ciągła względem miary µ 2 , co zapisujemy µ 1 µ 2 , jeśli

∀ _A∈M µ ₂ (A) = 0 =⇒ µ ₁ (A) = 0

Rozpatrzmy miary dane wzorami µ = δ −1 + ¹ ₃ δ ₁ oraz ν(A) =

x ² χ(A)dx.

Zbadaj, czy któraś z miar jest bezwzględnie ciągła względem drugiej. Czy któraś jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a? Podaj przykład miar α i β takich, że α ν ∧ α µ oraz µ β ∧ ν β.

Zadania 1-5 punktowane są jednakowo – po 10 punktów. Zadanie 6 ^∗ jest warte 20 punktów.

x ² + y ² + z ² + 6z = 0.

2. W zależności od parametru b wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x ³ + y ³ + 3bxy.

xn ³ + n ² + 2 n ³ − 2n

5n|x| + 1 · e ^−x

µ _n = 1 2 ⁿ δ _{

µ _k

Zbadaj czy ν jest miarą skończoną, czy jest miarą probabilistyczną. Oblicz ν [ ¹ ₇ , 4] oraz całkę R

R x ² dν(x).

1 y + x ²

dx dy gdzie obszar W to W = n

(x, y) ∈ R ² : _y ¹

< x 6 _y ³

, 2y 6 x ² < 3y o

6.* Dana jest prosta R i σ-ciało M na tej prostej. i Mówimy, że miara µ 1 jest bezwzględnie ciągła względem miary µ 2 , co zapisujemy µ 1 µ 2 , jeśli

∀ _A∈M µ ₂ (A) = 0 =⇒ µ ₁ (A) = 0

Rozpatrzmy miary dane wzorami µ = δ −1 + ² ₃ δ ₁ oraz ν(A) =

x ² χ(A)dx.

Zbadaj, czy któraś z miar jest bezwzględnie ciągła względem drugiej. Czy któraś jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue’a? Podaj przykład miar α i β takich, że α ν ∧ α µ oraz µ β ∧ ν β.