Zadania s¡ równo punktowane. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi).

Egzamin 15.06.2020 r.

Zadania s¡ równo punktowane. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢ starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi).

Nale»y ±ci±le przestrzega¢ wszystkich zasad tycz¡cych si¦ formatu odsyªanej pracy.

Nieprzekraczalny termin odesªania pracy to godzina 13:25.

Kolejno±¢ rozwi¡zywania jest oczywi±cie dowolna, ale prosz¦ by w pliku ko«cowym (wysyªanym) zadania byªy w kolejno±ci.

Zadania s¡ cz¦±ciowo personalizowane, dlatego tre±ci zale»¡ od warto±ci trzech parametrów.

Prosz¦ popatrze¢ na swój nr albumu (5 ostatnich cyfr u osób z 6-cio cyfrowym numerem).

Zsumuj drug¡ i pi¡t¡ cyfr¦, je±li wynik jest wi¦kszy (ostro) od 9, to odejmij 10. Jest to parametr A.

Dodaj do siebie trzeci¡ i pierwsz¡ cyfr¦, nast¦pnie odejmij czwart¡. Je±li wynik jest ujemny, dodaj 10; je±li wynik jest wi¦kszy (ostro) od 9, to odejmij 10. Wynik ko«cowy to parametr B.

Zsumuj wszystkie cyfry, a nast¦pnie podziel przez 8. Do reszty z tego dzielenia dodaj 1.

Otrzymany wynik to parametr C.

Dla przykªadu, nr albumu 13579 daje A = 2, B = 9, C = 2.

Zad. 1. Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, zbie»ny warunkowo czy rozbie»ny. Wybieraj¡

Pa«stwo dwa podpunkty (szeregi); pierwszy w zale»no±ci od parametru A i drugi w zale»no±ci od parametru C.

• Dla osób z A < 3

+∞

X

n=9

sin  (Kn)!

n ^Kn , gdzie K = 2, je±li B < 5 albo K = 3, je±li B > 4.

• Dla osób z A = 3 lub A = 4

+∞

X

n=9



cos  3 ⁿ π ⁿ + (4 + B) ⁿ

 − 1



• Dla osób z A = 5 lub A = 6

+∞

X

n=9

n + (3 + B) ln(n) n ² ln ^1+C (n)

• Dla osób z A > 6

+∞

X

n=9

n! + (2 + B) ⁿ + (−1) ⁿ n! − (2 + B) ⁿ
n ⁿ

• Dla osób z C = 1 lub C = 2

+∞

X

n=9

cos(nπ)(n + B) n ² − (A + C)n

• Dla osób z C = 3 lub C = 4

+∞

X

n=9

(−1) ⁿ 3n ³ − 2n ^B+C + ln(n) n √

n − (B + 2)n
3

• Dla osób z C = 5 lub C = 6

+∞

X

n=9

(−1) ⁿ n − (A + 3) ln(n) ( √

n − A − B − C) ³

• Dla osób z C = 7 lub C = 8

+∞

X

n=9

(−2) ³ⁿ + 5 ⁿ

9 ^A+

ⁿ + 6 ^B+n

Zad. 2. Wyznacz ekstrema lokalne (podaj ich typ) podanej ni»ej funkcji. W niektórych punktach stacjonarnych macierz drugiej pochodnej nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum. Obetnij tam funkcj¦ do wybranej prostej by wykaza¢ brak ekstremum. Funkcja zale»y od parametru A.

Wsk. Przy szukaniu punktów stacjonarnych warto skorzysta¢ z przeksztaªcenia w stylu a ² + 2ab − 3b ² = (a + b) ² − 4b ² = (a + b − 4b)(a + b + 4b) .

• Dla osób z A = 0 lub A = 5 ϕ(x, y, z) = x ² y − xz + 2yz + z ³ + y ³ .

• Dla osób z A = 1 lub A = 6 δ(x, y, z) = y ³ − 8x ³ − 4xy + z ² y + 2xz .

• Dla osób z A = 2 lub A = 7 α(x, y, z) = x ³ + xy ² + 2xz + yz + z ³ .

• Dla osób z A = 3 lub A = 8 β(x, y, z) = 2xy − y ³ + 4x ² z + 2yz + z ³ .

• Dla osób z A = 4 lub A = 9 γ(x, y, z) = x ³ − 2xz + xy + y ² z + xy + z ³ .

Zad. 3. Oblicz poni»sze caªki, wybieramy w zale»no±ci od reszty z dzielenia parametru C przez 4.

Wsk. Zbiory s¡ bardzo zbli»one do siebie. Zatem wyniki te» powinny by¢ w miar¦ blisko.

• Gdy reszta równa jest 0, to

zbiór W opisany jest nierówno±ciami x ² + y ² < 1 , y > 0 oraz y < √ 3x ; zbiór T to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (0,0), (1,0) i ( ¹ ₂ , ^√ ₂ ³ );

liczymy caªki Z Z

W

(A + 1)x + (B + 2)y dx dy oraz Z Z

T

(A + 1)x + (B + 2)y dx dy .

• Gdy reszta równa jest 1, to

zbiór W opisany jest nierówno±ciami x ² + y ² < 1 , y < 0 oraz y > − √ 3x ; zbiór T to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (0,0), (1,0) i ( ¹ ₂ ,− ^√ ₂ ³ );

liczymy caªki Z Z

W

(A + 2)x − (B + 1)y dx dy oraz Z Z

T

(A + 2)x − (B + 1)y dx dy .

• Gdy reszta równa jest 2, to

zbiór W opisany jest nierówno±ciami x ² + y ² < 1 , y > 0 oraz y < − √ 3x ; zbiór T to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (0,0), (-1,0) i (− ¹ ₂ , ^√ ₂ ³ );

liczymy caªki Z Z

W

(B + 1)y − (A + 1)x dx dy oraz Z Z

T

(B + 1)y − (A + 1)x dx dy .

• Gdy reszta równa jest 3, to

zbiór W opisany jest nierówno±ciami x ² + y ² < 1 , y < 0 oraz y > √ 3x ; zbiór T to trójk¡t o wierzchoªkach w punktach (0,0), (-1,0) i (− ¹ ₂ ,− ^√ ₂ ³ );

liczymy caªki Z Z

W

−(A + 2)x − (B + 2)y dx dy oraz Z Z

T

−(A + 2)x − (B + 2)y dx dy .

Zad. 4. Wybieramy podpunkt w zale»no±ci od reszty dzielenia parametru B przez 3.

• Je±li reszta równa si¦ 0, to rozwi¡zujemy zadanie:

Korzystaj¡c z rozwini¦cia Taylora oszacuj warto±¢ ln( ^94−A ₁₀₀ ) z dokªadno±ci¡ do ₁₀₀₀₀ ¹ . Podaj faktycznie otrzymany bª¡d przybli»enia.

• Je±li reszta równa si¦ 1, to rozwi¡zujemy zadanie:

Podaj dwa pierwsze niezerowe wyrazy rozwini¦cia w szereg Taylora w x 0 = 0 funkcji f (x) = arctg(2x)(x ² − x) oraz g(x) = ln(1 − x ² ) cos(x) .

Korzystaj¡c z rozwini¦¢ oblicz granic¦: lim

x→0

f (x) + 2x ² g(x) + x ²

• Je±li reszta równa si¦ 2, to rozwi¡zujemy zadanie:

Dany jest ci¡g funkcyjny f n (x) = cos  x ² + A n ² − Cn .

Wyznacz granic¦ punktow¡ tego ci¡gu dla x ∈ (0, +∞).

Wyka», »e ci¡g nie jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (0, +∞).

Wyka», »e jest zbie»ny jednostajnie na przedziale (0, 100π).

Zad. 5. Poni»ej dane jest równanie, wybieramy w zale»no±ci od parametru B. Dodatkowo, podziel parametr C przez 4, a nast¦pnie do reszty z dzielenia dodaj 1  wynik to parametr U.

Podaj w jakich punktach na pªaszczy¹nie równanie nie zadaje funkcji uwikªanej x(y). Wy- znacz ekstrema lokalne (podaj ich typ) tej funkcji.

• Dla osób z B < 3 równanie to: x ³ + y ² = 3U xy .

• Dla osób z B = 3 lub B = 4 równanie to: x ³ − 3U xy = y ² .

• Dla osób z B = 5 lub B = 6 równanie to: 4y ² − x ³ = 6U xy .

• Dla osób z B > 6 równanie to: 4y ² + 6U xy = −x ³ .

Powodzenia!