Zad. 1. a) (za 5 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze

Egzamin z TCiWdTD dn. 02.02.2009

...

Nazwisko i im i ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz Cw ´ X

Zad. 1. a) (za 5 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze

J ν (z) =

+ ∞

X

k=0

(−1) ^k z ^ν+2k

Γ (k + 1) Γ (k + ν + 1) 2 ^ν+2k dla z ∈ C, ν ∈ C, wyrazi´c funkcj ˛e J ₋

2

(z) za pomoc ˛ a funkcji elementarnych zmiennej z.

b) (za 5 pkt.)

Korzystaj ˛ ac z tego, ˙ze C = −Γ ⁰ (1) pokaza´c, ˙ze Z 1

0

1 − e ^−t − e ⁻

t dt = C.

Zad. 2. (za 10 pkt.)

Niech L [f ] (s) = F (s) b ˛edzie transformat ˛ a Laplace’a funkcji f (t). Pokaza´c, ˙ze

L

∙ f (t) t

¸ (s) =

Z ∞

s

F (σ) dσ,

(całkujemy po takiej drodze, ˙ze Re s → +∞). Korzystaj ˛ac z udowodnionego wzoru, obliczy´c

+ ∞

Z

0

sin kt t dt

oraz L [Si kt] (s), gdzie Si kt :=

Z t

0

sin kτ

τ dτ (tzw. sinus całkowy).

Zad. 3. a) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie Borela o splocie dla transformaty Laplace’a.

b) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o zachowaniu si ˛e transformaty Laplace’a w niesko´ nczono´sci.

Zad. 4. a) (za 6 pkt.)

Wyznaczy´c pierwsz ˛ a i drug ˛ a pochodn ˛ a w sensie dystrybucyjnym funkcji f (x) = |x − 2| + 2 [x]

b) (za 4 pkt.)

Poda´c definicj ˛e no´snika dystrybucji, równo´sci dystrybucji na zbiorze otwartym, definicj ˛e dystrybucji temperowanej (wolnorosn ˛ acej).

Zad. 5. a) (za 5 pkt.)

Funkcj ˛e f (x) = x ² + x ⁴ rozwin ˛ ac na przedziale (0, 1) na szereg Fouriera-Bessela.

b) (za 5 pkt)

Wyznaczy´c transformat ˛e Mellina funkcji f (x) = _1+x ¹

. Zad. 6. a) (za 8 pkt)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x n+3 + 3x n+2 + 3x n+1 + x n = 1, gdzie x 0 = 0, x 1 = 0, x 2 = 1.

b) (za 2 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o splocie dla Z−transformaty.