GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 10
21.1. Ile (a) ścian (b) krawędzi (c) wierzchołków ma każdy z wielościanów archimedesowych?
21.2. Narysuj siatki pięciu wielościanów foremnych i tylu wielościanów archimedesowych, ile potrzebujesz, żeby nabrać wprawy w rysowaniu siatek.
21.3. Na każdej ścianie czworościanu foremnego postawiono ostrosłup prawidłowy o pod- stawie trojkątnej. Wysokość ostrosłupa dobrano tak, aby trzy nowe krawędzie wy- chodzące z jednego wierzchołka leżały w jednej płaszczyźnie. Znajdź kąty (płaskie) ścian otrzymanej bryły.
21.4. Które wielościany archimedesowe mają następującą własność: dla każdej pary krawę- dzi istnieje izometria własna wielościanu przenosząca jedną krawędź na drugą?
21.5. Wierzchołki wielościanu foremnego można ściąć nawet głębiej niż „mocno”: zamiast do połowy długości krawędzi, na całą długość krawędzi. Pokaż, że to co zostanie (czy zawsze coś zostanie?) jest wielościanem dualnym do wyjściowego.
21.6. W przypadku wykonywania operacji z poprzedniego zadania dla sześcianu, można ograniczyć się do ścinania „co drugiego” wierzchołka. (Dla innych brył nie wiadomo, co to miałby być „co drugi wierzchołek”, bo mają one nieparzystokątne ściany.) Za- uważ, że dostanie się wtedy czworościan foremny. Czy można zrobić to samo dla tych wielościanów archimedesowych, które mają tylko parzystokątne ściany? (Jest takich dwa i jedna nieskończona seria.) Co się wówczas dostanie?
21.7. (Zadanie Rafała Sroki) Dwudziestościan foremny można rozciąć na dwadzieścia jed- nakowych czworościanów (wierzchołkami każdego czworościanu są: środek dwudzie- stościanu i trzy wierzchołki jednej ściany dwudziestościanu). Czy te czworościany są foremne?
21.8. Pokaż, że permutościanami da się wypełnić R3. Wskazówka: oblicz kąty dwuścienne.
