WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH NA ICH ROZRZUT

(1)

36, s. 19-26, Gliwice 2008

WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH NA ICH ROZRZUT

L

ESZEK

B

ARANOWSKI

, J

ÓZEF

G

ACEK

Instytut Techniki Uzbrojenia, Wojskowa Akademia Techniczna e-mail:leszek.baranowski@wat.edu.pl, jozef.gacek@wat.edu.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono metodę wyznaczania rozrzutu pocisków strzeleckich powodowanego asymetrią masową pocisku. Wyprowadzono równa- nia ruchu niewywaŜonego statycznie i dynamicznie pocisku wirującego, traktowanego jako bryła sztywna, w układzie związanym z głównymi centralnymi osiami bezwładności. Przeprowadzono badania wpływu asymetrii masowej na za- kłócenie warunków początkowych wylotu pocisku z lufy oraz na zakłócenie ruchu pocisku dookoła środka masy na całej trajektorii lotu, a w konsekwencji na zwiększenie rozrzutu (zmniejszenie skupienia).

1. WSTĘP

Charakterystyki rozrzutu punktów uderzenia pocisków strzeleckich zaleŜą głównie od rozrzutu wartości następujących parametrów: prędkości początkowej, kąta podniesienia i odchylenia lufy, masy pocisku oraz początkowej prędkości kątowej leŜącej w płaszczyźnie prostopadłej do osi podłuŜnej pocisku. W pracy przedstawiono metodę wyznaczania rozrzutu powodowanego pomijanym dotąd czynnikiem, a mianowicie asymetrią masową pocisku. Kla- syczne równania ruchu pocisków stabilizowanych wirowo [2] zakładają symetrię masową pocisku. Oznacza to, iŜ oś symetrii powierzchni zewnętrznej pocisku pokrywa się z podłuŜną centralną osią bezwładności pocisku, a masowe momenty bezwładności pocisku względem dwu osi prostopadłych do osi podłuŜnej są sobie równe. Osie takiego układu tworzą układ związany O_wxyz (rys. 1). Pocisk taki nazywamy pociskiem wywaŜonym (standardowym).

Rys. 1. Orientacja układu głównych osi bezwładności pocisku Oxbybzb względem układu związanego z osią symetrii kształtu powierzchni zewnętrznej pocisku O_wxyz

(2)

W przypadku niejednorodności rozkładu masy elementów składowych pocisku, pocisk nie ma symetrii masowej (mówimy, Ŝe jest niewywaŜony). Osie układu związanego z pociskiem nie pokrywają się z jego głównymi osiami bezwładności Oxbybzb (rys. 1). Kąty δz i δy repre- zentują niewywaŜenie dynamiczne pocisku, natomiast wektor e (będący odległością między środkiem masy pocisku wywaŜonego i niewywaŜonego) określa niewywaŜenie statyczne.

W celu określenia wpływu asymetrii masowej na lot pocisku opracowano model fizyczny pocisku z naboju pośredniego 5,56x45 mm (SS109) i wyprowadzono równania ruchu niewy- waŜonego statycznie i dynamicznie pocisku wirującego, traktowanego jako bryła sztywna, w układzie związanym z głównymi centralnymi osiami bezwładności. Wyprowadzone rów- nania posłuŜyły do opracowania oryginalnego programu komputerowego symulacji lotu nie- wywaŜonych pocisków strzeleckich i przeprowadzenia badań wpływu asymetrii masowej pocisku na zakłócenie warunków początkowych wylotu pocisku z lufy oraz na zakłócenie ruchu pocisku dookoła środka masy na całej trajektorii lotu, a w konsekwencji na zwiększenie rozrzutu pocisków na tarczy (zmniejszenie skupienia).

2. MODEL FIZYCZNY POCISKU TESTOWEGO

Na potrzeby modelowania fizycznego w pracy wykorzystano układy odniesienia zgodne z Polską Normą PN-83 [6]. Wykaz układów oraz kątów Bryanta [7] stosowanych przy wy- prowadzaniu macierzy transformacji między układami przedstawiono na rys. 2. Szczegółowy opis kątów i konstruowania macierzy transformacji moŜna znaleźć w pracy [1].

Rys. 2. Układy wykorzystywane w modelowaniu lotu pocisków z asymetrią masowo- bezwładnościową

Podstawowe charakterystyki modelu fizycznego, standardowego (wywaŜonego) pocisku kalibru 5,56 (rys. 1) z naboju pośredniego 5,56x45 mm (SS109), przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1. Podstawowe charakterystyki modelu fizycznego pocisku testowego Charakterystyki geometryczne Charakterystyki masowo-bezwładnościowe

d = 5,56 mm – średnica pocisku m_ON = 4,0 g – masa

l = 23,30 mm – długość pocisku x_ś.mON = 14,6 mm – współrzędna środka masy S = 24,27 mm²– powierzchnia cha-

rakterystyczna

IxON = 0,136710 gcm² IyON = IzON = 1,162034 gcm²

główne momenty bezwładnościowe Ze względu na płaski tor oraz krótki czas lotu rozpatrywanych pocisków, w modelu fi-

(3)

zycznym uwzględniono tylko dwie najistotniejsze siły działające na pocisk w normalnym układzie współrzędnych związanym z ziemią O₀x_gy_gz_g: siłę aerodynamiczną i siłę cięŜkości.

Wektor wypadkowy układu sił aerodynamicznych R^A działający na pocisk wyznaczono w układzie przepływu O_wx_ay_az_a, natomiast wypadkowy moment układu sił aerodynamicznych M_O^A względem środka masy pocisku - wyznaczono w układzie związanym z pociskiem O_wxyz. Wówczas składowe sił i momentów aerodynamicznych moŜna przedstawić w następującej postaci [3]:

2

, , , , ,

2

A

xa ya za xa ya za

P P P C C C

ρ

V S

   

=  = 

R (1)

2

, , , ,

2

A A A A A A A

O l m n

L M N C C C

ρ

V Sd

   

=  = 

M (2)

gdzie

ρ

V²/ 2 - ciśnienie dynamiczne.

W przypadku osiowosymetrycznych pocisków wirujących, gdy parametry lotu przyjmują małe wartości, współczynniki sił i momentów aerodynamicznych, po rozwinięciu w szereg Maclaurina i pominięciu wyrazów mało znaczących, moŜna przedstawić w następującej postaci uwzględniającej zaleŜność od: Ma – liczby Macha, Re – liczby Reynoldsa, α – kąta natarcia, β – kąta ślizgu, , ,p q r - bezwymiarowych składowych prędkości kątowej pocisku Ω:

2 2

0( , Re) ( ) ( )

xa x x x

C =C Ma +C_α Ma

α

+C_β Ma

β

(3)

0( ) ( ) ( )

ya y y y p

C =C Ma +C _β Ma β +C _α Maαp (4)

0( ) ( ) ( )

za z z z p

C =C Ma +C_α Ma α+C_β Ma βp (5)

0( ) ( )

A A A

l l lp

C =C Ma +C Ma p (6)

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A A A A A

m m m mq m m p

C =C Ma +C _α Maα +C Ma q+C _α_& Ma α&+C _β Ma βp (7)

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A A A A A

n n n nr n n p

C =C Ma +C_β Ma β+C Ma r+C _β_& Ma β&+C_α Maαp (8)

Ze względu na płaski tor lotu wektor siły cięŜkości w układzie normalnym związanym z ziemią o początku w środku masy pocisku Oxgygzg moŜna wyrazić prostą zaleŜnością

[

0

]

, , 0, 0,

g g g

x y z

m g  g g  m g

=   =

G

⁽⁹⁾

3. MODEL MATEMATYCZNY RUCHU POCISKU Z UWZGLĘDNIENIEM ASYMETRII MASOWEJ

Przestrzenny ruch pocisku, jako bryły sztywnej o stałej masie, na podstawie twierdzenia o zmianie pędu i krętu [3, 4, 5], moŜna w układzie poruszającym się z pociskiem, którego początek pokrywa się ze środkiem masy pocisku niewywaŜonego, opisać następującym ukła- dem równań wektorowych:

K A

m K

dt

δ + × = +

 

 

V Ω V R G (10)

dt

O A

O O

δK + × =

Ω K M (11)

gdzie:

[ , , ]

K = uKg vKg wKg

V - wektor prędkości środka masy pocisku względem Ziemi, K_O - wektor momentu pędu (krętu) pocisku względem jego środka masy.

3.1. Skalarne równania ruchu z uwzględnieniem asymetrii masowej pocisku

(4)

W ostatecznej postaci wektorowo-macierzowej model matematyczny ruchu pocisku w atmosferze ziemskiej z uwzględnieniem asymetrii masowej zawiera:

- dynamiczne równania ruchu środka masy pocisku w układzie Oxbybzb

( )

/ 0

g

Kb x x b b Kb

Kb y y b b Kb

Kb z z b b Kb

x y z

u P m g r q u

v P m g r p v

w P m g q p w

α β

δ δ δ ⁻ ΦΘΨ

  −

         

  =   +   + −    

         

     −   

           

L L L

&

(12)

- kinematyczne równania ruchu środka masy pocisku

1

g Kg Kb

x u u

y v v

z w w

−

ΦΘΨ

     

  = =  

     

     

   

L

&

(13)

- dynamiczne równania ruchu pocisku dookoła środka masy w układzie Ox_by_bz_b

( )

0 0

x y z

A

xb b xb xa

A

yb b yb ya

A

zb b zb za

x y z

I p L e P

I q M e P

I r N e P

δ δ δ δ δ δ α⁻β

 

       

 

   =  + ⊗  +

       

 

       

         

L

&

0 0 0

b b xb b

b b yb b

b b zb b

r q I p

r p I q

q p I r

 −     

     

+ −     

 −     

     

(14) - kinematyczne równania ruchu pocisku dookoła środka masy

0 sin cos cos cos

0 cos sin

1 sin tg cos tg

b b b

p q r

 Ψ  Φ Θ Φ Θ  

  Θ = Φ − Φ   

     

  Φ  Φ Θ Φ Θ     

 

&

(15)

- związki geometryczne i równania uzupełniające:

- na kąt pochylenia i odchylenia wektora prędkości środka masy pocisku względem Ziemi VK

arcsin

^Kg

K

w

γ = V

,

arctg

^Kg

Kg

v

χ = u

(16)

- na składowe wektora prędkości wiatru V^W w układzie Oxbybzb.

W xb W xg

Wyb Wyg

Wzb Wzg

V V

ΦΘΨ

 

 

=  

 

   

L

(17)

- na składowe prędkości pocisku względem powietrza V w układzie związanym Owxyz

1

x y z

Kb W xb

Kb W yb

Kb W zb

u u V

v v V

w w V

δ δ δ

−

 − 

   

  =  − 

   

  −

   

L (18)

- na kąt natarcia i kąt ślizgu

arctg w α = ^  − u ^ 

 

,

arcsin v

β = V

(19)

- na bezwymiarowe składowe prędkości kątowej pocisku w układzie związanym Owxyz

(5)

1

x y z

b b b

p p

q q d

r r V

δ δ δ

−

   

 =  

   

   

L (20)

gdzie:

2 2 2

K kb kb kb

V = u +v +w - prędkość pocisku względem ziemi,

2 2 2

V = u +v +w - prędkość pocisku względem powietrza, , ,

Wxg Wyg Wzg

V V V - składowe wektora prędkości wiatru w układzie ziemskim.

3.2. Warunki początkowe wylotu pocisku z lufy z uwzględnieniem asymetrii masowej Scałkowanie numeryczne równań róŜniczkowych ruchu pocisku (12÷20) wymaga określe- nia warunków początkowych na wektor prędkości postępowej środka masy pocisku VK0 oraz na wektor prędkości kątowej pocisku ΩΩΩΩ0 w przekroju wylotowym lufy pistoletu.

Rys. 3. Składowa prędkości postępowej środka masy pocisku w przekroju wylotowym lufy generowana niewywaŜeniem statycznym pocisku re i prędkością obrotową pocisku p₀ W przypadku pocisku niewywaŜonego, gdy jego środek masy O nie leŜy na osi symetrii powierzchni zewnętrznej pocisku (rys. 3), wektor prędkości postępowej VK0 zgodnie z zasa- dami mechaniki klasycznej [5] moŜna wyrazić w postaci następującej sumy

0 0 0

K = + × e

V V Ω r (21)

gdzie:

V0 – prędkość wylotowa pocisku wzdłuŜ przewodu lufy. W układzie związanym z pociskiem V₀ =[u_K₀, 0, 0]

ΩΩ

ΩΩ0 – prędkość kątowa pocisku w przekroju wylotowym lufy. W układzie związanym z pociskiem Ω₀ =[p₀, , ]q₀ r₀ ,

r_e - wektor określający połoŜenie środka masy pocisku niewywaŜonego względem osi symetrii powierzchni zewnętrznej pocisku. W układzie związanym z głów- nymi osiami bezwładności r_e =[0, e_yb, e_zb]

Składowe początkowej prędkości postępowej pocisku niewywaŜonego VK0 (21) w układzie związanym z głównymi osiami bezwładności Oxbybzb dają się wówczas sprowadzić do nastę- pującej postaci wektorowo-macierzowej

(6)

0 0 0 0

0 0 0

0 0

x y z x y z

Kb K

K Kb yb

Kb zb

u u r q

v r p e

w q p e

δ δ δ δ δ δ

     −   

       

= =  −  −   

    −   

       

V L L (22)

Natomiast składowe początkowej prędkości kątowej pocisku niewywaŜonego ΩΩΩΩ0, w układzie związanym z głównymi osiami bezwładności Ox_by_bz_b, moŜna wyrazić w następu- jącej postaci wektorowo-macierzowej

0 0

0 0 0

0 0

x y z

b b b

p p

q q

r r

δ δ δ

   

   

= =  

   

   

Ω L (23)

4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Badania wpływu asymetrii masowej na rozrzut pocisków przeprowadzono na przykładzie symulacji strzelania z karabinka kal. 5,56 nabojem pośrednim 5,56x45 mm (SS109) dla na- stępujących parametrów początkowych: u_K₀ = 896,3 m/s, p0 = 31673 rad/s, kąt podniesienia lufy (kąta celownika) C = 0,08°, gwarantujący zerowe przewyŜszenie toru pocisku standardowego na odległości xg = 200 m. Zbadano wpływ zakłóceń (odchyleń) następujących cha- rakterystyk masowych:

- odchyłki masy pocisku w granicach ± 10%, charakterystyczne parametry lotu pocisku dla kilku wybranych odległości xg = [50, 100, 200, 400] m zestawiono w tabeli 2,

- niewywaŜenia statycznego pocisku e_x = 1% l = 0,233 mm oraz e_x = 5% l = 1,165 mm (śro- dek masy przesunięty do tyłu względem środka masy pocisku standardowego), wyniki uzyskanych obliczeń numerycznych w postaci uchybów na tarczy punktów uderzenia (w poziomie ∆y_g = y_gON −y_g i w pionie ∆ =h z_gON −z_g oraz ∆ = ∆ + ∆y_g² z²_g ) w odniesieniu do punktu uderzenia pocisku standardowego, w funkcji odległości x_g zawarto w tabeli 3, - niewywaŜenia statycznego pocisku ² ²

e y z

r = e +e , ϕ₀ = ° (środek masy odsunięty od osi 0 symetrii pocisku standardowego o r_e = 1% d = 0,056 mm oraz r_e = 5% d = 0,278 mm), wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 4,

- niewywaŜenia dynamicznego pocisku δy = 0,1° oraz δy = 1,0°, wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 5.

Tabela 2. Porównanie parametrów lotu pocisku o róŜnych masach w funkcji odległości x_g masa pocisku - m [g] / prędkość początkowa - u_K₀ [m/s]

m = 3,6 / u_K₀= 899,1 mON = 4,0 / u_K₀= 896,3 m = 4,4 / u_K₀= 894,1

xg t h=-zg yg VK tON hON ygON VKON t h=-zg yg VK [m] [ms] [mm] [mm] [m/s] [ms] [mm] [mm] [m/s] [ms] [mm] [mm] [m/s]

50 57 54,8 0,3 847,2 57 54,8 0,3 849,6 57 54,7 0,3 851,6 100 118 75,6 1,5 796,6 118 75,8 1,3 804,0 118 75,6 1,2 810,1

(7)

200 252 -3,2 6,6 698,7 250 0,0 5,9 715,3 248 2,6 5,3 729,1 400 584 -829,3 34,4 519,6 568 -780,1 29,7 551,2 556 -742,3 26,1 577,8

Tabela 3. Uchyby wywołane niewywaŜeniem statycznym pocisku e_x e_x = 1% l = 0,233 mm e_x = 5% l = 1,165 mm

x_g h=-z_g y_g ∆ h ∆ y_g ∆ h=-z_g y_g ∆ h ∆ y_g ∆ [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm]

50 54,75 0,25 0,02 0,06 0,06 54,70 0,16 0,07 0,15 0,17 100 75,66 1,08 0,09 0,23 0,25 75,53 0,63 0,22 0,68 0,71 200 -0,39 4,85 0,39 1,01 1,08 -1,04 2,77 1,04 3,09 3,26 400 -782,05 24,66 1,94 5,01 5,37 -785,88 14,62 5,77 15,05 16,12

Tabela 4. Uchyby wywołane niewywaŜeniem statycznym pocisku ² ²

e y z

r = e +e , ϕ₀ = ° 0 re = 1% d = 0,056 mm re = 5% d = 0,278 mm

50 52,8 -98,0 2,0 98,3 98,3 45,0 -487,7 9,7 488,0 488,1 100 71,9 -195,5 3,8 196,8 196,9 56,8 -975,8 19,0 977,1 977,3 200 -7,7 -387,7 7,7 393,6 393,7 -38,0 -1948,1 38,0 1954,0 1954,4 400 -795,5 -757,6 15,4 787,3 787,5 -856,6 -3878,4 76,5 3908,1 3908,9

Tabela 5. Uchyby wywołane niewywaŜeniem dynamicznym pocisku δy

δy = 0,1° δy = 1,0°

50 42,1 92,1 12,7 -91,8 92,7 -71,6 917,9 126,4 -917,6 926,3 100 51,1 183,3 24,7 -182,0 183,7 -168,5 1822,1 244,3 -1820,8 1837,1 200 -49,4 370,2 49,4 -364,3 367,6 -495,0 3652,1 495,0 -3646,2 3679,7

(8)

400 -879,9 758,0 99,8 -728,3 735,1 -1780,4 7311,1 1000,3 7281,4 7349,8

4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE

Przeprowadzone badania numeryczne wpływu odchyłki masy oraz asymetrii masowej pocisku (spowodowanej niejednorodnością rozkładu masy) na wielkość rozrzutu rozpatrywane- go pocisku testowego pozwalają wyciągnąć następujące wnioski:

• największy wpływ na rozrzut pocisków ma niewywaŜenie dynamiczne (tabela 5) oraz niewywaŜenie statyczne, gdy środek masy nie leŜy na osi symetrii pocisku standardowego (tabela 4),

• zdecydowanie mniejszy wpływ na rozrzut ma niewywaŜenie statyczne, gdy środek masy pozostaje na osi symetrii pocisku standardowego (tabela 3),

• poniewaŜ asymetria masowa ma kilkakrotnie większy wpływ na rozrzut niŜ odchyłka masy pocisku (tabela 2), naleŜałoby rozwaŜyć konieczność określania w dokumentacji tech- nicznej pocisków tolerancji nie tylko na masę, ale i na jej jednorodność rozkładu.

Praca naukowa finansowana ze środków Komitetu Badań Naukowych w latach 2004-2006 jako projekt badawczy 0T00B00127

LITERATURA

1. Baranowski L.: Modelowanie i badania procesu samonaprowadzania rakiety z-p w zmiennych wa- runkach atmosferycznych. Rozprawa doktorska. Warszawa 1998.

2. Baranowski L.: Modele trajektorii ruchu pocisku artyleryjskiego w układach odniesienia zgodnych z polską normą PN-83. Biuletyn WAT 2002, LI, 10, s. 85-104.

3. Gacek J.: Balistyka zewnętrzna. Cz. I.: Modelowanie zjawisk balistyki zewnętrznej i dynamiki lotu. Warszawa : Wyd. WAT, 1999.

4. Лебедев A., Чернобровкин Л. С.: Динамика полета. Машиностроение, Москва 1973.

5. Osiński Z.: Mechanika ogólna. Warszawa : PWN, 1994.

6. PN-83/L-01010.00÷10: Mechanika lotu samolotów i śmigłowców. Dz. Norm i Miar nr1/1984 poz1.

7. García de Jalón, Bayo E.: Kinematic and dynamic simulation of multibody systems. The Real-Time Challenge. New York : Springer-Verlag, 1994.

DISPERSION OF SPIN-STABILIZED PROJECTILES DUE TO ITS MASS ASYMMETRY

Summary. The method of estimation of dispersion of the projectile caused by their asymmetry is presented. The equations of motion of statically and dynamically unbalanced projectile in coordinate system that coincides with the principle axis of inertia are derived. The computer simulations of an unbalanced projectile motion are performed. The influence of mass asymmetry on the muzzle velocity and the charac- teristics of angular motion of the projectile on their whole trajectory, as well as the resulting dispersion magnitude are investigated.

WPŁYW ASYMETRII MASOWEJ POCISKÓW WIRUJĄCYCH NA ICH ROZRZUT