ϕ 1 dx jest równa polu

trójk¡tajakitworzywykrestejfunk jinaod inkupomidzywzªami 1i2.

f ⁽²⁾ =

Element 2 mawzªy (4,3,1). Po agrega ji jegoma ierzy i wektora

K = 1

( ) Wektor ob i¡»eniaelementu 3jest równy

f ⁽³⁾ =

Element 3 mawzªy (3,4,5). Po agrega ji jegoma ierzy i wektora

K = 1

Otrzymali±myw ten sposób ukªad równa« algebrai zny h

1

zyliwektorystopniswobodyiob i¡»eniamo»nazapisa¢ukªadrówna«algebrai zny hwzwarty

sposób

Ku = f

⁽⁵⁸⁾

Poniewa»

T 2 = T 4 = T 5 = 500

^{, mno»ymy} odpowiadaj¡ e tym stopniom swobody kolumny ma ierzysztywno± iprzezznanewarto± iiprzenosimynapraw¡stron. Nastpnierezygnujemy

zrówna« 2,4,5 zastpuj¡ je równaniami

T 2 = 500, T 4 = 500, T 5 = 500

^{o prowadzi doukªadu}













1 0 −0.5 0 0

0 1 0 0 0

−0.5 0 1.5 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1























 T 1

T 2

T 3

T ₄ T 5













=











 390 500 661 500 500













(59)

któregorozwi¡zaniem s¡

T 1 = 732, T 2 = 500, T 3 = 685, T 4 = 500, T 5 = 500 [K]

⁽⁶⁰⁾

5. Wyniki obli ze«

Znaj¡ stopnieswobody,które przyzastosowany hfunk ja hksztaªtus¡warto± iami

rozwi¡za-nia przybli»onego w wzªa h mo»na opra owa¢ wyniki element po elemen ie. Wiedz¡ , na

podstawie rela jielement-wzªy jakie s¡ numery wzªów pobieramy wspóªrzdne ty h wzªów

orazstopnie swobody elementu (ozna zaj¡ je zzastosowaniemlokalnejnumera ji

T ₁ , T ₂ , T ₃

⁾ⁱ

zapisujemy rozwi¡zanieMES w rozwa»anym elemen ie sko« zonym

T _h ^e (x) = T 1 ϕ 1 (x, y) + T 2 ϕ 2 (x, y) + T 3 ϕ 3 (x, y)

⁽⁶¹⁾

Przykªadowo, dla elementu 1, stosuj¡ numera j lokaln¡

T 1 = 732, T 2 = 0.500, T 3 = 500

^{, a}

zatem

T _h ⁽¹⁾ (x, y) = 732y + 500(1 − x − y) + 500x = 232y + 500

⁽⁶²⁾

Stosuj¡ prawo Fourieramo»emy obli zy¢strumie« iepªa wtym elemen ie

q ⁽¹⁾ _h = −k∇T _h ⁽¹⁾ = [0, −232]

⁽⁶³⁾

Wektory

q _h

^{s¡ staªe w elementa h i nie i¡gªe midzy nimi. Podobnie mo»na obli zy¢}

q ⁽²⁾ _h = [47, −185]

ⁱ

q ⁽³⁾ _h = [0, −185]

^{. Wykres i¡gªego pola} temperatury pokazano na rys. 11b, a wektory strumienia iepªa obli zonego na podstawie przyjtej bardzo zgrubnej dyskretyza ji

narys. 14.

6. Wiarygodno±¢ wyników

Zastosowana dyskretyza ja byªa bardzo zgrubna. Aby osza owa¢ bª¡d uzyskany h wyników

nale»aªoby powtórzy¢ obli zenia z przynajmniej dwa razy mniejszymi elementami o daªoby

ok. 4x wi ej stopniswobody. Porównanietakuzyskanegowyniku z przedstawionym powy»ej

daªoby informa j o bªdzie tego pierwszego rozwi¡zania. Na rys. 15 porównano wyniki

uzyskane przy 5 i 120 stopnia h swobody. Poniewa» rozwi¡zanie jest do±¢ wolno zmieniaj¡ ¡

sifunk j¡ oba wynikinieró»ni¡ sizna znie.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Figure14: Przykªadowe zadanie 2D. Wektoryintensywno± i strumienia iepªa obli zone zapomo ¡

MESdla3 elementów sko« zony h.

Na zako« zenie tego rozdziaªu warto wspomnie¢, »e stosowane tu równanie Lapla e'a (± i±lej

Pois-son'a) modeluje równie» inne zjawiska ni» sta jonarny przepªyw iepªa. Przykªadowo, zamiast

tem-peratury pozwala obli zy¢ ustalone st»enie substan ji w zjawisku dyfuzji, poten jaª elektry zny

wywoªany ªadunkiem elektrostaty znym, ugi ia membrany (na i¡gnitego pªótna) od ob i¡»enia

prostopadªego do jej powierz hni, deforma j przekroju prta pryzmaty znego poddanego

skr a-niu.... Dla wszystki h ty h zada« MES pozostaje bez zmian, gdy» wszystkie wspomniane

zjawiska s¡opisywane takimsamym równaniem.

8 MES dla liniowej spr»ysto± i

Naj z± iej rozwi¡zywanym zadaniem przy projektowaniu konstruk ji jest statyka iaª spr»ysty h.

Dlatego zajmijmysi wybranymi sz zegóªamizastosowania MESdo tegotypuzada«. Za znijmy od

sformuªowania matematy znego znanego z me haniki pozwalaj¡ ego obli zy¢ niezmienne w zasie

przemiesz zenia

u (x)

^, odksztaª enia

ǫ (x)

^{i napr»enia}

σ (x)

^{w zakresie liniowym, przy zerowym}

przyspieszeniu, gdzie

x

^{ozna za wektor} wspóªrzdny h przestrzenny h punktu



 

 



 

 



−divσ = q w Ω

σ = Cǫ w Ω

ǫ = sym(∇u) w Ω u = 0 na ∂Ω u

σn = ˆt na ∂Ω t

(64)

q, ˆt

^{s¡ znanymi} ob i¡»eniami wewn¡trz i na brzegu,

C

^{ozna za tensor parametrów} materiaªowy h reprezentowany przez 4 wska¹nikow¡ ma ierz(zwan¡ zasem skrótowo ma ierz¡sztywno± i),

n

^jest

skierowanym na zewn¡trz wersorem prostopadªym do brzegu (rys. 16). Sformuªowaniem sªabym

zadaniaspr»ysto± i mo»e by¢ zasada pra wirtualny h: znale¹¢

u

⁽

x

^{), takie »e}

u = 0

^na

∂Ω u

ⁱ

Z

Ω

ǫ (v) : Cǫ(u) dΩ = Z

Ω

v · q dΩ + Z

∂Ω t

v · ˆt ds ∀v : v = 0

^na

∂Ω u

⁽⁶⁵⁾

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

500 550 600 650 700

Figure 15: Przykªadowe zadanie 2D. Rozwi¡zania MES uzyskane przy 5 i 120 stopnia h swobody.

Maksymalne temperatury ró»ni¡ si o mniej ni» 1 % ale rozkªady temperatur wewn¡trz obszaru

wykazuj¡ wiksze ró»ni e.

PSfrag repla ements

∂Ω _t

∂Ω _u

q

ˆt n

Figure16: Ozna zeniastosowane wzadaniuspr»ysto± i,2D.

q

^{-ob i¡»eniewewn¡trz iaªa,}

ˆt

^-znane

ob i¡»eniepowierz hniowena brzegu,

n

^{-wersor normalny nabrzegu.}

Problem(65)mo»eby¢sformuªowanyrównie»jakominimumfunk jonaªu,t.zn. znale¹¢

u(x), u = 0

^na

∂Ω u

^{, takie »e}

J(u) = min v : v =0 na ∂Ω u

J(v)

⁽⁶⁶⁾

gdzie

J

^{jest aªkowit¡ energi¡}poten jaln¡ukªadu

J(v) = 1 2

Z

Ω

ǫ(v) : Cǫ(v) dΩ − Z

Ω

v · q dΩ − Z

∂Ω t

v · ˆt ds

⁽⁶⁷⁾

Podstawow¡ e h¡zadaniame hanikijestfakt»eniewiadomafunk japrzyjmujewarto± iwektorowe.

Zastanówmy si jak mo»e wygl¡da¢ aproksyma ja rozwi¡zania którym s¡ tutaj przemiesz zenia

maj¡ e w ogólno± i trzy skªadowe

u x , u y , u z

^{. Dla} uprosz zenia zajmijmy si pªaskim stanem od-ksztaª enia, bd¡ ego dobrym modelem dla obiektów pryzmaty zny h z ob i¡»eniem i podpar iem

niezale»nym od poªo»enia w kierunku osi obiektu (np. mur oporowy) 11

. Ponownie zajmijmy si

11

Pªaski stannapr»eniaanalizujesi wbardzo podobny sposób i mazastosowaniedo obiektówomaªym jednym

wymiarze(grubo± i),np. ± ian.

zwi¡zane z trzema wierz hoªkami. Mo»emy je teraz zastosowa¢ do aproksyma ji ka»dej skªadowej

przemiesz zenia wnastpuj¡ y sposób

u _h =  ϕ 1

0

 u ₁ +

 0 ϕ 1



u ₂ +  ϕ 2

0

 u ₃ +

 0 ϕ 2



u ₄ +  ϕ 3

0

 u ₅ +

 0 ϕ 3



u ₆

⁽⁶⁸⁾

Zatemozna zaj¡ wektoryz funk jami ksztaªtu literami

N _i

^{, t.zn.}

N ₁ =  ϕ 1

0



, N ₂ =

 0 ϕ 1



, N ₃ =  ϕ 2

0



, . . .

⁽⁶⁹⁾

aproksyma jaw zwartejposta i maposta¢

u _h = N 1 u 1 + N 2 u 2 + · · · + N 6 u 6

⁽⁷⁰⁾

gdziestopnie swobody

u 1 , u 3 , u 5

^maj¡ interpreta je poziomy h skªadowy h przemiesz ze« wzªów, a

u ₂ , u ₄ , u ₆

^{s¡poziomymiskªadowymi (rys. 17).}

PSfrag repla ements

u ₁ u ₂

u 3

u ₄ u ₅

u ₆

Figure17: Stopnie swobody elementu trójwzªowego dlazadaniaspr»ysto± i.

Stosuj¡ lokaln¡numera jstopniswobody,wspóª zynnikima ierzysztywno± i(

K ^e

^)iwektora

ob i¡»enia(

f ^e

^{) elementu}

e

^{obli zasi, napodstawie} sformuªowania (65), ze wzorów

K _ij ^e = Z

e

ǫ(N i ) : Cǫ(N j ) dΩ, i, j = 1, 2, . . . , n

⁽⁷¹⁾

f _i ^e = Z

e

N _i · q dΩ + Z

∂e∩∂Ω t

N _i · ˆt ds i, j = 1, 2, . . . , n

⁽⁷²⁾

gdzie

n

^{ozna za li zbstopniswobody elementu(6narys. 17),}

∂e ∩ ∂Ω t

^{jest z± i¡brzeguelementu}

le»¡ ¡na ob i¡»onym (ob i¡»enierozªo»one

ˆt

^{jest znane) fragmen iebrzegu aªego obszaru.}

Obli zanie ma ierzy i wektorów elementowy h obli zane s¡ w ogólno± i numery znie, z

zas-tosowaniem kwadratury Gaussa. Zajmijmy si jedynie obli zaniem wspóª zynników wektora

ob- i¡»enia. Zaªó»my, »e analizujemy pªaski stan odksztaª enia wobszarze 2D pokazanym narysunku

18. Jest to ¢wiartka koªa o promieniu dªugo± i 1. Lewa krawd¹ jest zamo owana a jedynym

ob- i¡»eniem jest liniowo zmieniaj¡ e si ob i¡»enie na górnej krawdzi. Przyjmijmy dyskretyza j za

1

Figure 18: Przykªadowy obszar 2D i jego dyskretyza ja za pomo ¡ 4 elementów sko« zony h z

wyró»nionym ztero wzªowymelementem nr. 1. Wzeª 2jest w poªowie dªugo± igórnej krawdzi.

pomo ¡ ztere helementówsko« zony hpokazany hna rysunku 18b zwyró»nionymelementem nr.

1. Ze wzgldu nato »e jedna z krawdzi tego elementu jest krzywoliniowa, dobrze jest wprowadzi¢

naniej dodatkowy wzeª w elu lepszego przybli»enia geometrii. Przyjmijmy numera j wzªów jak

narysunku. Dla uprosz zenia numera jalokalna pokrywa siz numera j¡ globaln¡dlaelementu 1.

Wzorynafunk je ksztaªtudlatakiegoelementus¡skomplikowane(w prakty eniepotrzebne). W

rozwa»anymprzykªadzie,dlaelementu1skorzystamyzewzorównafunk jeksztaªtuwzdªu»krawdzi

1-2. Skalarnefunk je ksztaªtu natej krawdzi s¡równe

ϕ 1 = ^x−1/2 _1−1/2 = 2x − 1 ϕ 2 = _1/2−1 ^x−1 = 2(1 − x) ϕ 3 = 0

ϕ 4 = 0

(73)

Zatemniezerowe na od inku 1-2wektorowe funk jeksztaªtu to

N ₁ =  ϕ 1

Poniewa» ob i¡»enie na krawdzi 1-2 ma kierunek pionowy to niezerowe ilo zyny skalarne tego

ob- i¡»eniai funk ji

N _i

^{s¡ niezerowe jedyniedla}

N ₂ , N 4

^{mamy zatem}

Rozwi¡zaniepowy»szego zadaniaprzy ok. 4400 stopnia h swobody pokazano narys. 19.

Figure 19: Przykªadowy obszar 2D i rozwi¡zanie (

u x , σ xx

^{) uzyskane za pomo ¡ ok. 4400 stopni}

swobody dlabezwymiarowy h E=1000,

ν

^=0.3.

9 Analiza kratowni za pomo ¡ MES

Drgania s¡ bardzo powsze hnym zjawiskiem. W niektóry h przypadka h s¡ po»yte zne (muzyka,

maszyny do przesiewania). W niektóry h negatywnym (drgania budynków, mostów, fundamentów

podturbozespoªy). In»ynierowie zajmuj¡ sizarówno wywoªywaniemdrga« jak itªumieniemdrga«.

1. Zadaniadynamiki

•

^{drgania wªasne}

•

^{odpowied¹na zmienne w zasie ob i¡»enie}(periody zne albonieperiody zne)

•

^{propaga jafal} me hani zny h

2. Przykªad z 1stopniem swobody, punkt materialny

PSfragrepla ements

W dokumencie AEu = q x (0,l) u(0) = 0 AEu (l)n(l) = S (Stron 21-38)