Rysunek 56 i rys. 57 zawierają przykłady relacji określonych dla wszystkich wartości zmiennej niezależnej w rozpatrywanym przedziale [0.1; 0.9], Pierwszy przykład (rys. 56) ilustruje odwzorowanie, gdzie każdej wartości zmiennej niezależnej odpowiada jedna i tylko jedna wartość zmiennej zależnej (jednoznaczność). Drugi przykład (rys. 57) nie jest przykładem odwzorowania jednoznacznego (nie jest to funkcja), ponieważ wartościom zmiennej niezależnej z przedziału [0.5; 0.7] odpowiada więcej niż jedna wartość zmiennej zależnej. Cechą szczególną przykładów (rys. 56 i rys. 57) jest to, że rozpatrywane relacje określone zostały gęsto, tzn. dla wszystkich wartości zmiennej niezależnej w rozpatrywanym przedziale. Cecha ta umożliwia wykrywanie obszaru, w którym relacja nie jest odwzorowaniem jednoznacznym.
0,8
Rysunek 58 pokazuje dyskretną wersję relacji określonej gęsto (rys. 57). Dyskretny charakter tych danych utrudnia w znacznym stopniu poszukiwanie obszaru, w którym relacja nie jest
Wyróżnić można co najmniej dwa rodzaje niejednoznaczności odwzorowania:
• odwzorowanie niejednoznaczne pierwszego rodzaju („mniej groźne” dla potrzeb odwracania) - odwzorowanie jednej wartości cechy stanu w więcej niż jedną wartość cechy sygnału diagnostycznego;
• odwzorowanie niejednoznaczne drugiego rodzaju („bardziej groźne” dla potrzeb odwracania) - odwzorowanie różnych wartości cechy stanu w tę samą wartość cechy sygnału diagnostycznego.
Niejednoznaczność odwzorowania pierwszego rodzaju może być spowodowana np.
niedokładnościami pomiarów wartości cech sygnałów diagnostycznych. Kolejne pomiary wykonane dla takiego samego stanu mogą różnić się wartościami.
Niejednoznaczność odwzorowania drugiego rodzaju może być spowodowana kilkoma przyczynam i:
• wybór nieodpowiedniej wielkości mierzonej jako cechy sygnału diagnostycznego (mała wrażliwość cechy sygnału diagnostycznego, której wartości nie ulegają zmianie lub ulegają zmianie w bardzo małym zakresie przy odpowiednio dużych zmianach wartości cech stanu);
• zmiany wartości cech stanu występują w bardzo małym stopniu, co nie wpływa na zmiany wartości cech sygnałów diagnostycznych;
• zmiany wartości cech stanu występujące w bardzo dużym stopniu m ogą powodować powstanie tych samych (lub zbliżonych) wartości cech sygnałów diagnostycznych (np. dla kilku różnych stanów niewyrównoważenia wirnika można otrzymać takie same wartości cech sygnałów diagnostycznych).
Przyjmując kryteria oceny jednoznaczności odwzorowania należy pamiętać, że dotyczyć one mają danych wielowymiarowych. Kryteria takie m ogą być określane na podstawie porównania odległości par odpowiadających sobie punktów odpowiednio w przestrzeniach wartości wejść i przestrzeniach wartości wyjść modelu (zmienne niezależne i zmienne zależne).
W [41] zaproponowano następujące ogólne kryteria badania jednoznaczności odwzorowania:
• dla relacji będących odwzorowaniami jednoznacznymi małym odległościom punktów w przestrzeni wejść odpowiadać powinny małe odległości tych punktów w przestrzeni wyjść,
• dla relacji będących odwzorowaniami wieloznacznymi małym odległościom punktów w przestrzeni wejść odpowiadać mogą duże odległości tych punktów w przestrzeni wyjść,
• badanie odległych punktów w przestrzeni wejść nie stanowi podstawy do orzekania o jednoznaczności odwzorowania.
Niedogodnością powyższych warunków jest stosowanie niedokładnych określeń: mała odległość, duża odległość oraz potrzeba rozpatrywania przestrzeni wejść i przestrzeni wyjść jako przestrzeni metrycznych, w których zdefiniowano pojęcie odległości. W celu uniknięcia kłopotów występujących podczas definiowania odległości w przestrzeniach, które rozpięte są nad cechami o różnych wielkościach fizycznych (np. temperatura i prędkość drgań), stosować można odpowiednią normalizację wartości tych cech [25],
W [41] podjęto próbę zdefiniowania miar pozwalających na oceny jednoznaczności odwzorowania bazujące na badaniu odległości w przestrzeni wejść i wyjść. Odległości w przestrzeni wejść i wyjść mogą być badane za pomocą histogramów ich łącznego rozkładu.
Można w tym celu zastosować również badanie lokalnych odchyleń oraz badanie liczby najbliższych sąsiadów. W kolejnych podrozdziałach będą opisane definicje wymienionych miar [41]. Prezentowane w dalszej części pracy miary były badane pod kątem poprawności oceniania jednoznaczności odwzorowania i zostały sformułowane następujące wnioski [67]:
• opisane miary są ocenami heurystycznymi i jako takie w większości przypadków prowadzą do zadowalających wyników, choć nie zawsze;
• badanie jednoznaczności odwzorowania jest możliwe;
• dla zaproponowanych miar jednoznaczności odwzorowania trudno jest znaleźć granice (progi), które pozwalałyby na jednoznaczne klasyfikowanie stopnia niejednoznaczności odwzorowania;
• za pomocą wprowadzonych miar jednoznaczności odwzorowania możliwe jest (w większości przypadków) rozstrzygnięcie, czy dane są odwzorowane jednoznacznie;
• w celu zastosowania zaproponowanych miar jakości odwzorowania należy dobrać odpowiednie wartości parametrów (np. liczba najbliższych sąsiadów), dla których zaproponowane miary najlepiej różnicują przypadki niejednoznaczności odwzorowania.
A.2. B a d a n ie h isto g ra m ó w łąc z n e g o ro z k ła d u
Prezentowane w tym podrozdziale rozważania zaproponowano w [39]. Histogramy łącznego rozkładu pozwalają na badanie związków występujących pomiędzy odległościami elementów wejść i wyjść modelu. W celu określenia podstawowego parametru histogramu, jakim są rozmiary elementarnej jego komórki, wyznacza się (lub przyjmuje arbitralnie) zakresy zmian wartości wejść i wyjść:
^ m a x ( k } ) = maxi=T1 max^=, + 1(i/i5i(x(.,x y.)) (126)
a fa 'm a x ({ z } )= m a x ^ l ' m a x 7 = ' + l ( & { z / ’Z y ) ) (1 2 7 )
Po przyjęciu tych zakresów ustalane są szerokości odpowiednich przedziałów (rozmiary komórek histogramu):
(l28)
S / f e } ) ( k i ] (129)
gdzie:
Lpx - liczba przedziałów (klas) rozróżnianych wartości wejść;
Lpy - liczba przedziałów (klas) rozróżnianych wartości wyjść.
Rysunek 59 pokazuje przykłady histogramów łącznego rozkładu, w których zaznaczono komórki o niezerowych wartościach. Ze względu na to, że badanie odległych elementów (punktów) w przestrzeni wejść nie stanowi postawy do orzekania o jednoznaczności
odwzorowania, pokazane zostały na histogramach wyłącznie początkowe przedziały dla odległości wejść.
Przedziały odległości wejściowych Przedziały odległości wejściowych
Rys. 59. Przykłady histogramów wyznaczonych dla odwzorowań:
a) jednoznacznych, b) wieloznacznych [39]
Fig. 59. Examples o f histograms determined for:
a) one-to-one mapping, b) not one-to-one mapping [39]
Podstawą wnioskowania o rodzaju odwzorowania są następujące stwierdzenia:
• dla relacji będących odwzorowaniami jednoznacznymi małym odległościom elementów (punktów) w przestrzeni wejść odpowiadać powinny małe odległości w przestrzeni wyjść (rys. 59a);
• dla relacji będących odwzorowaniami wieloznacznymi małym odległościom elementów (punktów) w przestrzeni wejść odpowiadać mogą duże odległości tych punktów w przestrzeni wyjść, czego przykład pokazano na rys. 59b.
W celu umożliwienia ilościowej oceny charakteru rozkładu wprowadzona została miara jednoznaczności odwzorowania (MJO) [39]:
// >j
Ź Ź
Ai j wi j MJO =---(130)
/ / ' j
i = l / = l
+ 1 dla i > j
' , / 1 - 1 dla i < j ’ (131)
gdzie:
A,, - liczba jednoczesnych wystąpień w i-tym przedziale odległości elementów w przestrzeni wejść oraz j-tym przedziale odległości elementów w przestrzeni wyjść;
li - liczba rozpatrywanych przedziałów histogramu dla odległości elementów w
• wartość ujemna może oznaczać, że odwzorowanie jest wieloznaczne;
• wartość dodatnia może oznaczać, że odwzorowanie jest jednoznaczne, z tym że im wartość ta jest bliższa 1, tym liczba klas różnych wartości wejść jest mniejsza.
Linia podwójna (rys. 60) ogranicza z prawej strony fragment histogramu łącznego rozkładu,
Fig. 60. Distribution ofweights (131) [39]
A.3. B a d a n ie lo k a ln y c h o d c h y le ń
Prezentowane w tym podrozdziale rozważania zaproponowano w [21], Podstawowym kryterium jednoznaczności odwzorowania jest stwierdzenie, że małym odległościom punktów w przestrzeni wejść odpowiadają małe odległości punktów w przestrzeni wyjść. Miarą stopnia spełnienia tego kryterium dla wyjściay/, może być [2 1]:
(132)
lub
Z ^ l m
s\
(n) (133)gdzie jest ogólnym (globalnym) odchyleniem kwadratowym wyjścia yh :
(134)
— 1
y h = N
A , = iyn,h
(135)dla wartości wyjść y„j, ze zbioru danych (1 0), zawierającego IV danych oraz gdzie s[,(n) jest lokalnym odchyleniem kwadratowym wyjścia y* w ruchomym otoczeniu e(x„) kolejnych wejść x„:
dla wartości wejść Xj i odpowiadających im wyjść yhb ze zbioru danych (10). Liczbę elementów J(n) ruchomego otoczenia s(x^) określa (138). W większości przypadków dla odwzorowań jednoznacznych wartości tej miary są bliskie wartości 1. Im wartość miary jest bliższa zeru, tym większy może być „stopień” niejednoznaczności odwzorowania.
Wyznaczane wartości qi, wg (132) i (133) zależą od przyjętej definicji ruchomego otoczenia eix„) (rozdział 2.2).
A.4. B a d a n ie lic z b y n a jb liż s z y c h s ą sia d ó w
Prezentowane w tym podrozdziale rozważania zaproponowano w [21]. Podczas wyznaczania wartości stopnia jednoznaczności odwzorowania (132) uwzględniane są wartości wyjść y„./„
co może prowadzić do niezadowalających wyników, zwłaszcza wtedy, gdy rozpatrywane wyjścia charakteryzują się dużą dynamiką zmian. Postępowaniem alternatywnym jest rozpatrywanie ruchomego otoczenia £(*,,) wartości wejścia oraz ruchomego otoczenia dj&i) wartości odpowiadającego mu wyjścia y,, -y(x,i)- M iarą stopnia jednoznaczności odwzorowania jest [2 1]:
(136)
(137)
J(n) = Z 1
Ł j ^ ( x n)(138)
V/,
1 N
N ^ " = 1
Z 1
Z 1
(1 3 9 )Wadą metod związanych z badaniem najbliższych sąsiadów jest wysoka złożoność obliczeniowa tych metod. W większości przypadków dla odwzorowań jednoznacznych (tak jak w poprzednim przypadku) wartości tej miary są bliskie wartości 1. Im wartość miary jest
bliższa zeru, tym większy może być „stopień” niejednoznaczności odwzorowania.