Optymalizacja systemów z wykorzystaniem dynamicznych reguł priorytetowych
10 S/RPT+SPT Zbieranie
3.6 Analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
Analiza wrażliwości jest definiowana, jako badanie, jak niepewność na wyjściu modelu jest zależne od różnych źródeł niepewności w danych wejściowych modelu danego systemu. (Saltelli i in., 2004).
Analiza ta jest kolejnym z etapów podejmowania decyzji. Pozwala ocenić, jaki wpływ na miary efektywności, przy wybranej optymalnej decyzji, miałyby zmiany podstawowych warunków zewnętrznych lub wewnętrznych działania danego systemu. Analiza wrażliwości, która często stosowana jest w naukach ekonomicznych, jest wykorzystywana dla rozważenia potencjalnego wpływu różnych struktur cen i kosztów, które mogą być związane z różnymi systemami produkcji lub operacji. Jej podstawą jest opracowanie optymistycznego i pesymistycznego wariantu zmian warunków działania przedsiębiorstwa.
W tej pracy analiza wrażliwości jest używana do przewidywania podstawowych miar efektywności systemu produkcji poligraficznej, przy zastosowaniu zmiennych układów mających wpływ na wyniki. Dotyczy ona ustalania wrażliwości optymalnego ustawienia reguł priorytetowych w buforach przed stanowiskami produkcyjnymi na zmiany parametrów wejściowych modelu symulacyjnego. Zmienianymi parametrami wejściowymi w modelu będą:
• odchylenie standardowe liczby kopii danego typu produktu
• intensywność przychodzącego strumienia zamówień na dany typ produktu
Zmiany tych parametrów odzwierciedlają niepewność rynkową, którą trzeba założyć przy urzeczywistnieniu wyników optymalnego ustawienia. W badaniach można uwzględnić zmianę jednego parametru przy innych niezmienionych wartościach lub też równoczesną zmianę kilku parametrów. Analiza wrażliwości jest przydatna, gdyż (Helton i in., 2006):
• Pozwala uwypuklić podstawowe cechy problemu mające wpływ na decyzję.
• Umożliwia ocenę wpływu na podstawowe miary efektywności zmian czynników, które podlegają losowości.
76
• Pozwala dojść do optymalnych rozwiązań w przypadku decyzji powtarzających się w zmodyfikowanych warunkach.
Analizę wrażliwości można wykonywać zarówno dla modeli matematycznych jak i symulacyjnych złożonych systemów. Istnieje wiele sposobów podejścia do wykonywania analizy wrażliwości, które różnią się poprzez rodzaj i rozmiar wielkości wejściowych, co powoduje większą złożoność obliczeń. Dane wejściowe mogą być zarówno liniowe jak i nieliniowe, mogą być także skorelowane. Na sposób przeprowadzania analizy wrażliwości mają także wpływ interakcję pomiędzy zmiennymi wyjściowymi, to znaczy zmiany wartości dwóch lub więcej zmiennych wejściowych powodują zmiany zmiennej wyjściowej, które są większe niż przy zmianach tych zmiennych z osobna (Saltelli i in.
2008, Kleijnen 2009). W tej pracy została wykorzystana analiza wrażliwości dla modeli symulacyjnych, która ocenia zmiany parametrów wyjściowych z modelu symulacyjnego przy zmianach parametrów wejściowych tego modelu. W modelach z udziałem wielu zmiennych wejściowych, analiza wrażliwości staje się podstawowym składnikiem analizy modelu i zapewnienia jakości wyników (Cacuci i in., 2005). Większość procedur analizy wrażliwości przebiega następująco:
• Określenie niepewności każdego wejścia (zakresy, rozkłady prawdopodobieństwa).
Relacje pomiędzy parametrami wejściowymi (ewentualne korelacje).
• Identyfikacja analizowanego wyjścia z modelu (analizowane wyjście powinno mieć bezpośredni związek z problemem badanym poprzez wykorzystanie modelu).
• Przeprowadzenie eksperymentów (w tym wypadku symulacyjnych) na modelu odpowiednią liczbę razy z wykorzystaniem metodyki planowania eksperymentów (DOE), która jest podyktowana metodą analizy wrażliwości oraz niepewnością wejścia.
• Korzystając z wyników wyjściowych modelu określenie wrażliwości poszczególnych wyjść (miar efektywności systemu) na zmiany wartości wejściowych.
W niektórych przypadkach procedura ta jest powtarzana, na przykład w wielowymiarowych problemach, w którym użytkownik ma do odfiltrowania nieistotne
77 zmienne przed wykonaniem pełnej analizy wrażliwości. Istnieją różne podstawowe grupy metod analizy wrażliwości, które są alternatywnie wykorzystywane:
• Metoda „jeden na raz” (ang. One-at-a-time – OAT) jak wskazuje nazwa polega na zmianie jednego czynnika (parametru wejściowego) przy niezmienionych pozostałych. Jest to jedna z najprostszych i najpopularniejszych metod analizy wrażliwości, w której po kolei sprawdza się wpływ poszczególnych zmiennych wejściowych na zmienne wyjściowe danego modelu.
• Metody lokalne bazujące na pochodnych cząstkowych zmiennej objaśnianej liczonej dla poszczególnych zmiennych objaśniających. Podobnie jak metody grupy OAT metody lokalne stosowane są dla małych zmian wielkości wejściowych, typowo przy zmianie jednej wielkości wejściowej. Skutkuje to tak samo jak w metodach OAT tym, że nie są określane wzajemne interakcję zmiennych wejściowych na parametry wyjściowe modelu.
• Metody oparte o wykres rozproszenia (diagram rozrzutu, wykres rozrzutu, ang.
scatter plot) - rodzaj wykresu, który pozwala badać, jaki wpływ mają na siebie dwie zmienne. Jest to proste, ale i użyteczne narzędzie pomagające ustalić poszczególne wielkości parametrów wyjściowych poprzez losowo próbkowane punkty z rozkładów zmiennych wejściowych. Na podstawie otrzymanego diagramu można stwierdzić o kierunku współzależności tych dwu zmiennych.
• Metody związane z analizą regresji (jedno lub wieloczynnikowej) oraz narzędziami opartymi o wariancję. Metody te w przypadku, gdy istnieje więcej niż jeden parametr wejściowy (zmienna objaśniająca) biorą pod uwagę wzajemne interakcje pomiędzy nimi, co pozwala lepiej wyjaśnić zmiany wartości parametrów wyjściowych w modelu.
W tej pracy wykorzystana zostanie metoda regresji wielorakiej, która uwzględnia interakcje parametrów wejściowych. Regresja wieloraka pozwala na włączenie do równania regresji więcej niż jednej zmiennej objaśniającej oraz na poszukiwanie zależności nieliniowych. Model dla klasycznej regresji wielorakiej liniowej przy k zmiennych objaśniających wygląda następująco:
78
Podczas stosowania modelu regresji wielorakiej należy uwzględnić następujące założenia (Aczel, 2005):
• Powinna występować zależność liniowa pomiędzy zmiennymi niezależnymi xi a zmienna zależną Y,
• Wartości zmiennych niezależnych muszą być ustalone (nie są losowe),
• Błąd losowy pomiaru ε musi być zmienną o średniej równej zero i stałej wariancji,
• Liczba obserwacji (w naszym przypadku liczba eksperymentów symulacyjnych) powinna przekraczać liczbę szacowanych parametrów modelu,
• Nie powinna występować silna zależności pomiędzy zmiennymi objaśniającymi. W szczególności żadna zmienna objaśniająca xi nie powinna być kombinacją liniową innych zmiennych objaśniających.
Często jednak nie jest możliwe przyjęcie prostej (płaszczyzny lub hiper-płaszczyzny), jako funkcji odwzorowującej dane. Można wtedy zastosować inny typ regresji. Jedną z metod dobrze odzwierciedlających nieliniowy związek pomiędzy zmiennymi jest regresja wielomianowa. Metoda ta oblicza zależność między zmienną zależną a jedną lub więcej zmiennymi niezależnymi, które mogą występować w wyższych potęgach. Statystycy zalecają korzystanie z wielomianów stopnia drugiego, ewentualnie trzeciego. Nie powinno się stosować wielomianów stopnia większego od 6 (O'Hagan, 2006). Występuje wtedy ryzyko nadmiernego dopasowania do danych, stąd tez należy kontrolować zarówno liczbę zmiennych objaśniających oraz stopień wielomianu, tak, aby zachować dobre zdolności predykcyjne tworzonego modelu. Model regresji wielomianowej z jedną zmienną
79 objaśniającą x w ogólnej postaci wygląda następująco:
ε
Taki wielomian zmiennej x nadal jest traktowany, jako model regresji liniowej poprzez dokonywanie odpowiednich podstawień:
x= x1
x2= x2 ...
xn= xn
Wówczas regresja liniowa dopasuje do danych wielomianu n-tego stopnia zamiast n-wymiarowej płaszczyzny.
Innym sposobem rozszerzenia regresji liniowej jest dodanie do jego modelu interakcji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi. Jest to tak zwana regresja czynnikowa (frakcyjna), w której iloczyn dwóch lub więcej zmiennych objaśniających. Pozwala to na określenie wpływu jednej zmiennej przy różnych wartościach innej zmiennej. Przykładowy model z trzema zmiennymi objaśniającymi X1, X2, X3 uwzględniający wszystkie efekty interakcji (interakcję stopnia trzeciego oraz wszystkie interakcje stopnia drugiego) przyjmuje wówczas postać:
Y=b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X1X2 + b5X1X3 + b6X2X3 + b7X1 X2 X3 (31)
Analiza wrażliwości oparta na modelach regresyjnych będzie wykorzystywana do badania rozwiązania optymalnego znalezionego przez algorytm genetyczny. Badaniu będą podlegały zmiany wszystkich wartości wyjściowych z modelu symulacyjnego (czyli odpowiednie miary efektywności systemu) użyte, jako funkcje kryterialne w optymalizacji
80 przy pomocy algorytmu genetycznego przy odpowiednich zmianach wartości wejściowych tego modelu.
81