Badania auto-korelacji

Badania przeprowadzono dla szeregów czasowych za ostatnie 10 tys. lat, gdzie ze względu na stabilną temperaturę można założyć stabilny układ wiatrów oraz stabilny obieg jonów i izotopów w atmosferze. Badanie auto-korelacji może dostarczyć ważnych informacji na temat szeregów czasowych. Różne pochodzenie jonów Na⁺, K⁺, Ca²⁺, Mg²⁺ oraz Cl^- może sugerować różne auto-korelacje oraz wpływ czynników deterministycznych i stochastycznych. Jeżeli koncentrację jonów w czasie 𝑡_𝑛 zapiszemy jako 𝐾(𝑡_𝑛), zgodnie z modelem zaproponowanym w rozdziale 2, zakładając, że jest ona częściowo stochastyczna i częściowo deterministyczna, to pozwala to zaadoptować wzór (31) i zapisać go w postaci (103):

𝐾(𝑡_𝑛) = 𝐾₀+ 𝑊 + 𝑘(𝐾(𝑡_𝑛+1), 𝐾(𝑡_𝑛+2), … . 𝐾(𝑡_𝑛+𝑚)), (103)

gdzie użyto oznaczeń analogicznych jak we wzorze (31): 𝑊 to czynnik losowy, 𝑘 odpowiada za auto-korelacje, 𝑡𝑛+1, … 𝑡_𝑛+𝑚 to czas odpowiadający okresom wcześniejszym niż 𝑡𝑛, natomiast 𝐾0

odpowiada za stały poziom koncentracji, względem którego odbywają się fluktuacje. Dane 𝐾(𝑡) dla wszystkich jonów przedstawiono na rysunku 18 - wstępna analiza tego rysunku sugeruje, iż mogą one posiadać człon stochastyczny oraz człon deterministyczny. Na rysunku można również zauważyć, że dane występują w postaci następujących po sobie wyższych oraz niższych koncentracji, dlatego aby badać trend liniowy za pomocą DFA należy zbudować szereg skumulowany. W takim razie, aby zastosować metodę DFA do analizy danych należy przeprowadzić transformację podobną do tej, ujętej we wzorach (32) oraz (33). W tym celu zdefiniowano następujący szereg skumulowany 𝐾_𝑐𝑚:

𝐾_𝑐𝑚(𝑡_𝑘) = ∑(𝐾(𝑡_𝑖) − 𝐾̅)

𝑘

𝑖=1

, (104)

71

gdzie 𝐾̅ to globalna średnia arytmetyczna sygnału, natomiast wielkości 𝐾(𝑡_𝑖) odpowiadają koncentracjom, które występowały od teraźniejszości do czasu 𝑡𝑘. Na rysunku 19 przedstawiono sygnał skumulowany dla sodu i magnezu - 𝐾𝑐𝑚𝑁𝑎(𝑡), 𝐾_𝑐𝑚^𝑀𝑔(𝑡) - jonów, które, jak zasugerowano w poprzednim rozdziale, w główniej mierze pochodzą z morza. Sygnały skumulowane wyznaczono za pomocą skryptu napisanego w programie Python (dodatek A).

0 2 4 6 8 10

Na rysunku 20 przedstawiono sygnał skumulowany dla pozostałych jonów, które według sugestii z poprzedniego rozdziału w głównej mierze pochodzą z lądu.

0 2 4 6 8 10

72

0 2 4 6 8 10

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

(b)

czas - tys. lat K cm [ppb]

Cl

Rysunek 20 kont. Szereg: (b) - 𝐾𝑐𝑚𝐶𝑙(𝑡) - ostatnie 10 tys. lat, czas historyczny.

Dla jonów pochodzenia morskiego (𝐾𝑐𝑚𝑁𝑎(𝑡) oraz 𝐾_𝑐𝑚^𝑀𝑔(𝑡)) widać wyraźny wzrost wartości szeregu skumulowanego za ostatnie 1.3 tys. lat, co jest związane z wyższymi koncentracjami jonów.

Następnie do skumulowanych szeregów czasowych zastosowano standardową procedurą DFA - wzór (24) i (25), z tą różnicą, że wartości szeregów czasowych nie były równomiernie rozmieszczone w czasie, ale odpowiadały punktom czasowym 𝑡1, … 𝑡_𝑛, w których odczytano pomiary.

Zostało to uwzględnione we wzorze (105) analogicznym do wzoru (24), z tą różnicą, że przy wyznaczaniu wartości przewidywanej przez trend liniowy użyto 𝑟(𝑡_𝑖, 𝜏), a 𝑡_𝑖 odpowiada punktom czasowym w którym zarejestrowano dane:

𝐹(𝜏)²= ∑^{𝜏+𝑘−1}_𝑡=𝑘 (𝑥(𝑡) − 𝑟(𝑡, 𝜏))²

𝜏 . (105)

Wykładnik Hursta został wyznaczony z użyciem relacji ujętej we wzorze (28), badając wykładnik z jakim skaluje się pierwiastek ze średniego kwadratowego odchylenia w funkcji czasu. Badania przeprowadzono lokalnie dla okna o długości 𝑁 = 1000 𝑝𝑘𝑡. Oknu temu odpowiadały różne długości czasu ze względu na różną gęstość danych, która była mniejsza dla danych starszych. Okno o długości 𝑁 dzielono na mniejsze o długości 𝜏 według następującego wzoru:

73 𝜏 = ⌈𝑁

𝑘⌉ , (106)

gdzie 𝑘 = 1, 2, … . , 100. Dla danego punktu czasowego 𝑡𝑛 użyto jedynie danych za okres wcześniejszy 𝑡_𝑚 taki, że 𝑚 ≥ 𝑛. Dlatego wartości wykładnika Hursta 𝐻(𝑡_𝑛) można użyć podczas próby przewidywania wartości szeregu czasowego dla okresu 𝑡_𝑛′ późniejszego w stosunku do 𝑡_𝑛 - dla 𝑛^′< 𝑛 - w analogii do wykorzystania 𝐻 podczas przewidywania dynamiki danych finansowych.

Ze względu na użyte okno o długości 𝑁 wartości wykładnika Hursta zarejestrowano dla ostatnich 3 tysięcy lat. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 21 dla jonów o dominującym pochodzeniu morskim. Na rysunku 22 przedstawiono wyniki dla jonów o dominującym pochodzeniu lądowym.

Wartości DFA wyznaczono za pomocą skryptu napisanego w programie Python (dodatek B).

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75

H(t)

czas - tys. lat

Na Mg

Rysunek 21. Wykładnik Hursta 𝐻(𝑡) wyliczony dla jonów o sugerowanym pochodzeniu morskim, czas historyczny w odniesieniu do teraźniejszości.

74

Rysunek 22. Wykładnik Hursta wyliczony dla pozostałych jonów, czas historyczny w odniesieniu do teraźniejszości.

Z analizy rysunków 21 oraz 22 można wyciągnąć następujące wnioski. Wartości wykładnika Hursta dla jonów pochodzenia morskiego oscylują wokół wartości 𝐻 = 0.5 oznaczającej brak auto-korelacji. Z drugiej strony cechują się one zmiennością w tym sensie, że występują okresy, dla których 𝐻 < 0.5 oraz okresy dla których 𝐻 > 0.5. Jest to zjawisko podobne do zachowania się wykładników Hursta wyliczonych dla danych finansowych. Analizując rysunek 21 można stwierdzić, że dla okresu ok. 0.8 – 1.5 tys. lat przed chwilą obecną stwierdzono występowanie fazy anty-korelacji z 𝐻 < 0.5.

Począwszy od tego okresu nastąpiła stosunkowo wysoka koncentracja jonów Na⁺ oraz Mg²⁺. Co jest zobrazowane przez szeregi skumulowane na rysunku 19 - sygnał anty-korelacji poprzedził wysokie wartości koncentracji jonów. W tym miejscu pojawiła się analogia do danych finansowych, dla których sygnał anty-korelacji poprzedza wysoki spadek kursów akcji. Ponadto stwierdzono duże podobieństwo w dynamice wykładnika Hursta dla sodu i magnezu, co świadczy o podobnej dynamice czynników lokalnych kształtujących obiegi tych jonów, oraz potwierdza hipotezę, iż jony magnezu w głównej mierze pochodzą tak samo jak jony sodu z soli morskiej. Najważniejszy czynnik lokalny - intensywność wiatrów wiejących nad morzem - jest w głównej mierze czynnikiem stochastycznym posiadającym niewielkie, zmienne auto-korelacje. Można tutaj doszukać się analogii do czynnika lokalnego kształtującego poszczególne kursy akcji, którym są indywidualne strategie inwestorów.

Dla pozostałych jonów, pochodzących głównie z lądu, stwierdzono inną dynamikę wykładnika Hursta. Stwierdzono występowanie dodatnich auto-korelacji zobrazowanych przez 𝐻 > 0.5.

75

Przypuszczalnie auto-korelacja ta wynika z czynników lokalnych związanych z akumulacją pierwiastków na lądzie, co może mieć wieloletni wpływ na ich koncentrację. Jednak w przypadku lądowym, nie stwierdzono takiego podobieństwa w dynamice wykładnika Hursta , jak w przypadku morskim. Może to świadczyć o różniących się lokalnych czynnikach kształtujących koncentrację jonów pochodzenia lądowego [67, 77], np. wiatrach wiejących nad obszarami, gdzie znajdują się iły lub osady szelfów kontynentalnych. Dokładność analizy była stosunkowo dobra, a niepewność wyznaczenia wykładnika Hursta nie przekroczyła wielkości 𝛿𝐻 = 0.0165, lub 2.2% otrzymanej wartości 𝐻.

Badaniom poddano również auto-korelacje dla szeregów czasowych koncentracji ¹⁸O oraz ²D za ostanie 10 tys. lat. Badano dane o tej samej rozdzielczości w oknie 𝑁 = 160, przyjęto podział okna według wzoru (106) dla 𝑘 = 1, 2, … 20. Okazało się, że występuje tu w przybliżeniu stały sygnał auto-korelacji z 𝐻 ≈ 0.75. Wyniku takiego można się było spodziewać, ponieważ koncentracja izotopów zależy od temperatury na Ziemi, która wykazuje auto-korelacje. Badanie auto-korelacji pozwoliło na pewną ocenę dynamiki danych i zostanie ono rozszerzone w następnym rozdziale o badanie korelacji.