4. Wyniki badań symulacyjnych
4.3 Badania symulacyjne stosunku PAPR
6 8 10 12 14 16
1,00E+05 1,50E+05 2,00E+05 2,50E+05 3,00E+05 3,50E+05 4,00E+05 4,50E+05 5,00E+05
Częstotliwość harmonicznej zakłócającej [Hz] Maksymalna szybkość transmisji [Mbit/s] DMT DCMT DMT (średnia) DCMT (średnia)
Rys. 4.48. Transmisja danych w 32 kanałach z losowo wybranym zanikiem selektywnym
Jak wynika z wykresu przedstawionego na rysunku 4.13, we wszystkich 32 kanałach z jednym, losowo wybranym zanikiem selektywnym, szybkość transmisji danych możliwa do uzyskania za pomocą transmisji wielotonowej z transformatą kosinusową była wyższa, niż w przypadku DMT.
4.3 Badania symulacyjne stosunku PAPR
Badania symulacyjne dotyczące wartości stosunku mocy maksymalnej do mocy średniej sygnału wielotonowego podzielono na:
• badania bitowej stopy błędów w zależności od wartości PAPR przy braku zastosowania nowej metody korekcji PAPR (podrozdział 3.8),
• badania strat przepływności w przypadku zastosowania nowej metody korekcji stosunku PAPR.
W obu przypadkach prowadzono niezależne badania dla transmisji wielotonowej z transformatą kosinusową oraz, dla porównania, badania dla klasycznej transmisji wielotonowej z transformatą Fouriera.
W badaniach symulacyjnych oceniających wpływ PAPR na bitową stopę błędów BER przyjęto, że wartości amplitud impulsów przekraczające dopuszczalny próg PAPR podlegają tzw. hard-clippingowi, polegającemu na zmniejszeniu amplitud do wartości progu. Jest to najgorszy możliwy przypadek, ponieważ w zależności od:
• implementacji wzmacniaczy analogowych [71],
• konwertera A/D modemu [71],
• metody korekcji PAPR [11, 71],
zamiast hard-clippingu może zachodzić soft-clipping, powodujący mniejsze zniekształcenia sygnału, a co za tym idzie mniejszą bitową stopę błędów oraz mniejszy poziom szumów pozapasmowych (harmonicznych o wyższej częstotliwości) [76].
Wyniki badań bitowej stopy błędów w zależności od dopuszczalnego poziomu PAPR dla transmisji DCMT oraz DMT przedstawiono na rysunkach 4.14 – 4.16. Dla pierwszego przypadku rozmiar próbki wynosił 16 MBit, natomiast dla pozostałych 64 MBit.
Rys. 4.49. Wykres zależności BER od dopuszczalnego progu PAPR dla obu technik transmisji przy rozmiarze transformaty równym 16
Rys. 4.50. Wykres zależności BER od dopuszczalnego progu PAPR dla obu technik transmisji przy rozmiarze transformaty równym 128
Rys. 4.51. Wykres zależności BER od dopuszczalnego progu PAPR dla obu technik transmisji przy rozmiarze transformaty równym 512
bitowa stopa błędów może osiągać nawet 10-4 (przy hard-clippingu) dla dopuszczalnego poziomu PAPR rzędu 15-16 dB. Oznacza to, że dla transmisji wielotonowych niezbędne jest zastosowanie redukcji PAPR, która pozwoli na uniknięcie tak wysokiej stopy błędów i jednocześnie umożliwi redukcję szumów pozapasmowych wynikających z clippingu.
Nowa metoda redukcji PAPR została zaproponowana i opisana w podrozdziale 3.8. Poniżej przedstawiono badania strat przepływności spowodowane zastosowaniem tej metody.
W podrozdziale 3.8 stwierdzono, że jedyną wadą zaproponowanej metody redukcji PAPR jest konieczność transmisji dwóch symboli w miejsce każdego symbolu, dla którego przekroczony zostanie dopuszczalny próg PAPR. Wynika stąd, że straty przepływności (wyrażone w procentach), związane z metodą zaproponowaną w podrozdziale 3.8, równe są prawdopodobieństwu przekroczenia dopuszczalnego progu PAPR.
Do badań przyjęto typowy dla systemów ADSL dopuszczalny próg PAPR równy 15 dB [71]. Wyniki dla innych zastosowań niż ADSL nie powinny znacząco odbiegać od przedstawionych w niniejszym rozdziale. Rezultaty badań przedstawiono na rysunkach 4.17 – 4.21. Symulacje prowadzono niezależnie, dla różnych rozmiarów konstelacji. W ramach każdej symulacji transmitowano od 100 000 do miliona impulsów.
Rys. 4.52. Straty przepływności dla obu technik transmisji w przypadku zastosowania nowej metody redukcji PAPR przy rozmiarze transformaty równym 16
Rys. 4.53. Straty przepływności dla nowej metody redukcji PAPR przy rozmiarze transformaty równym 128
Rys. 4.54. Straty przepływności dla nowej metody redukcji PAPR przy rozmiarze transformaty równym 256
Rys. 4.55. Straty przepływności dla nowej metody redukcji PAPR przy rozmiarze transformaty równym 512
Rys. 4.56. Straty przepływności dla nowej metody redukcji PAPR przy rozmiarze transformaty równym 1024
Z rysunków 4.17 – 4.21 wynika, że zaproponowana metoda redukcji poziomu PAPR nie powoduje istotnych strat przepływności. W przypadku obu technik transmisji DMT i DCMT wyniki są podobne, a to z kolei wynika z faktu, że wartość PAPR zależy przede
wszystkim od liczby składowych harmonicznych, równej liczbie impulsów wyjściowych transformaty odwrotnej, przypadających na jeden transmitowany symbol [67, 71].
Badania symulacyjne wpływu nowej metody redukcji poziomu PAPR na bitową stopę błędów były prowadzone analogicznie, jak w podrozdziale 4.1. We wszystkich testach przyjęto, że wpływ odpowiedzi impulsowej kanału jest korygowany w podobny sposób dla wszystkich algorytmów transmisji. Rozmiar transformaty wynosił 128 i dla wszystkich przypadków zastosowano technikę prefiksu. Dla każdego punktu na wykresach zależności BER od SNR przesłano od 107 do 5⋅108 bitów. Na wszystkich wykresach przedstawiono słupki błędów obrazujące 99% przedziały ufności pomiarów. Podobnie jak w podrozdziale 4.1, ze względu na dużą liczebność próby są one widoczne na wykresach tylko dla małych wartości BER. Na wykresach jako poziom odniesienia przedstawiono zależności BER od SNR dla technik transmisji stosujących nową metodę redukcji PAPR oraz bez zastosowania redukcji PAPR, przy założeniu nieskończonego progu clippingu.
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 11 13 15 17 19 21 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 256 bitów
DMT
DMT z korekcją PAPR
Rys. 4.57. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 256 bitów
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 7 9 11 13 15 17 19 21 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 256 bitów
DCMT z korekcją PAPR DCMT
Rys. 4.58. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 256 bitów
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 384 bity
DMT
DMT z korekcją PAPR
Rys. 4.59. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 384 bity
1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 384 bity
DCMT z korekcją PAPR DCMT
Rys. 4.60. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 384 bity
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 384 bity
DMT
DMT z korekcją PAPR
Rys. 4.61. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 384 bity
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 10 15 20 25 30 35 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 512 bitów
DCMT z redukcją PAPR DCMT
Rys. 4.62. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 512 bitów
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 5 10 15 20 25 30 35 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 512 bitów
DMT
DMT z redukcją PAPR
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 6 11 16 21 26 31 36 41 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 640 bitów
DCMT z redukcją PAPR DCMT
Rys. 4.64. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 640 bitów
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 6 11 16 21 26 31 36 41 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 640 bitów
DMT
DMT z redukcją PAPR
Rys. 4.65. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 640 bitów
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 BER SNR [dB]
Rozmiary ramek 768 bitów
DCMT z korekcją PAPR DCMT
Rys. 4.66. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 768 bitów
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 12 17 22 27 32 37 42 47 BER SNR [dB]
Rozmiary ramek 768 bitów
DMT
DMT z korekcją PAPR
Rys. 4.67. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 768 bitów
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 28 33 38 43 48 53 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 896 bitów
DCMT z korekcją PAPR DCMT
Rys. 4.68. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 896 bitów
1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 28 33 38 43 48 53 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 896 bitów
DMT
DMT z korekcją PAPR
Rys. 4.69. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 896 bitów
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 28 33 38 43 48 53 58 BER SNR [dB]
Rozmiar ramki 1024 bity
DCMT z korekcją PAPR
DCMT
Rys. 4.70. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 1024 bity
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 28 33 38 43 48 53 58 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 1024 bity
DMT
DMT z redukcją PAPR
1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 42 47 52 57 62 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 1152 bity
DMT
DMT z redukcją PAPR
Rys. 4.72. Zależność BER od SNR dla DMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 1152 bity
1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 42 47 52 57 62 BER SNR [dB] Rozmiar ramki 1152 bity
DCMT z redukcją PAPR DCMT
Rys. 4.73. Zależność BER od SNR dla DCMT z zastosowaniem nowej metody redukcji PAPR dla ramek o długości 1152 bity
Z analizy rysunkach 4.22 – 4.37 wynika, że nowa metoda redukcji PAPR nie ma znaczącego wpływu na bitową stopę błędów dla kanału z szumem białym. Ponieważ widmo sygnału powstałego w wyniku zastosowania tej metody redukcji PAPR jest identyczne, jak widmo sygnału oryginalnego, nie wpływa ona również na dopasowanie do szumu wąskopasmowego ani w przeciwieństwie do wielu metod wymienionych w rozdziale 3 nie stanowi źródła emisji pozapasmowych. Zatem, jedyną wadą nowej metody redukcji PAPR jest nieznaczny (poniżej 1%) spadek przepływności. Tym samym można przyjąć, że zaproponowana metoda jest najlepszą ze znanych obecnie metod redukcji poziomu stosunku mocy szczytowej do średniej w systemach z transmisją wielotonową.
Wnioski końcowe
Przedmiotem niniejszej rozprawy była analiza efektywności transmisji wielotonowej z transformatą kosinusową DCMT. W ramach rozprawy opracowano model transmisji DCMT, który umożliwił porównanie jej z transmisją DMT. W modelu tym wykorzystano popularny algorytm transformaty kosinusowej, stosowany powszechnie w przetwarzaniu sygnałów oraz uproszczony i zoptymalizowany koder konstelacji.
Do najważniejszych wyników, przeprowadzonej w niniejszej pracy, oceny efektywności transmisji wielotonowej z transformatą kosinusową DCMT należy zaliczyć:
1. Szczegółowe porównanie techniki transmisji DMT z proponowaną transmisją DCMT, w tym:
a) algorytmów i procesów transmisji dla pojedynczych wejściowych słów binarnych,
b) przepływności osiąganych w kanale z szumem białym, c) sposobów dopasowania do szumu kolorowego,
d) złożoności obliczeniowej.
2. Konstrukcję diagramu konstelacji oraz struktury modulatora i demodulatora DCMT. 3. Propozycję nowej metody redukcji stosunku PAPR mocy szczytowej do średniej
sygnału wielotonowego, która pozwala na rozwiązanie wielu istotnych dla transmisji wielotonowych problemów, w tym dotyczących stopnia złożoności algorytmicznej modemów, szumów pozapasmowych czy dużych strat przepływności.
4. Wszechstronne badania symulacyjne, mające na celu weryfikację modelu analitycznego modemu DCMT, w tym:
a) weryfikację wniosków przedstawionych w podrozdziale 3.4,
b) oszacowanie strat przepływności związanych z nową metodą redukcji PAPR, opisanej w podrozdziale 3.8, a ponadto ocenę znaczenia problemu wysokiej wartości PAPR dla transmisji wielotonowych.
Z przeprowadzonych analiz symulacyjnych wynika, że transmisja wielotonowa z transformatą kosinusową DCMT, w porównaniu z DMT umożliwia uzyskanie większej:
• odporności na szum biały, dla wszystkich możliwych długości wejściowych słów binarnych,
Wnioski powyższe wynikają z analizy rezultatów badań symulacyjnych przedstawionych na rysunkach 4.2 – 4.9 oraz na rysunku 4.13. Ponadto z badań, których wyniki znajdują się w podrozdziale 4.3, można wnioskować, że straty szybkości transmisji związane z zastosowaniem nowej metody redukcji poziomu PAPR są pomijalnie małe i nie niosą ze sobą kosztów typowych dla innych metod, takich jak duże straty przepływności, wzrost bitowej stopy błędów oraz wzrost emisji pozapasmowych.
W podrozdziale 3.9 przedstawiono wyniki badań przeprowadzonych nad możliwością zastosowania popularnych i efektywnych obliczeniowo transformat Walsha w procesie transmisji wielotonowej. Analiza wyników pozwoliła na wskazanie problemów, jakie niesie ze sobą próba wprowadzenia transformaty Walsha do technik transmisji z modulacjami wielotonowymi. Rozwiązanie przedstawionych tu zagadnień wymaga jednak dalszych, intensywnych badań.
Wszystkie przeprowadzone eksperymenty symulacyjne oraz analiza porównawcza transmisji DMT i DCMT pozwalają stwierdzić, że w tych samych warunkach szumowych transmisja wielotonowa z transformatą kosinusową DCMT jest bardziej efektywna, niż powszechnie obecnie stosowana transmisja DMT.
Literatura
[1] J. A. C. Bingham „ADSL, VDSL and Multicarrier Modulation” J. Wiley&Sons 2000. [2] J. Figueroa, B. Guzek, “Cable modems—Broadband highway to the home”, Ericsson Review No. 1, 2001
[3] M. Schlegel “High Bit Rate Data Transmission over the Telephone loop plant, Emphasising on DMT Modulation Scheme” Diploma Thesis, Department of Electronics, Technological Educational Institute of Piraeus 2000
[4] S. D. Sandberg, M. A. Tzannes “Overlapped Discrete Multitone Modulation for High Speed Copper wire communications”, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Dec. 1995
[5] Telecommunication Standardization Sector of ITU “Asymmetric digital subscriber line (ADSL) transceivers” ITU-T Recommendation G.992.1, ITU 2000
[6] Telecommunication Standardization Sector of ITU “Splitterless asymmetric digital subscriber line (ADSL) transceivers” ITU-T Recommendation G.992.2, ITU 2000
[7] Z. Papir “Analiza częstotliwościowa sygnałów” Skrypty uczelniane 1410, Wyd. AGH, Kraków 1995
[8] M. Wnuk „Systemy wizyjne”, Wykłady opublikowane na stronach WWW Instytutu Cybernetyki Technicznej, Politechniki Wrocławskiej, 2002
[9] F. van der Heijden “Image Based Measurement Systems”, Wiley&Sons, 1994
[10] J. Dańda, A. Dziech “Discrete Cosine Transform in Digital Subscriber Line Applications” Proc. of IEEE ICCS 2002, Singapore
[11] X. Huang, J. Lu, J. Zheng, “Reduction in PAPR of OFDM system using a revised companding”, Proc. of IEEE ICCS 2002, Singapore
[12] S. Trautmann and N. J. Fliege, Fellow, IEEE “A New Equalizer for Multitone Systems Without Guard Time”, IEEE Communications Letters, VOL. 6, NO. 1, JANUARY 2002 [13] K. S. Yap, and J. V. McCanny, "Improved Time-Domain Equalizer Initialization Algorithm for ADSL Modems", 6th International Symposium On Digital Signal Processing For Communication Systems DSPCS’2002, Sydney-Manly, 28-31 January 2002
[14] F. Ouyang, P. Duvaut, O. Moreno, L. Pierrugues “First Step of Long-Reach ADSL: Smart DSL Technology, READSL”, IEEE Communications Magazine, Sept. 2003, Vol. 41, Issue: 9, page(s): 124- 131
[15] S. W. Smith “The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing”, Second Edition, California Technical Publishing, www.DSPguide.com 1999
[16] Z. Papir “Podstawy modulacji i detekcji, część I” Skrypty uczelniane 1329, Wyd. AGH, Kraków 1992
[17] P. Ödling, W. Henkel, Per Ola Börjesson, G. Tauböck, Niklas Petersson, and A. Johansson, “The Cyclic Prefix of OFDM/DMT - An Analysis”, International Zürich Seminar, Page(s): 22_1-22_3, 2002
[18] W. Henkel, “Analog Codes for Peak-to-Average Ratio Reduction”, 3rd ITG Conference Source and Channel Coding, Munich, Germany, Jan. 17-19, 2000.
[19] V. Fischer, A. Kurpiers and D. Karsunke, “ICI Reduction Method for OFDM Systems”, 8th International OFDM-Workshop 2003 (InOWo'03), Hamburg, Conference Proceedings [20] F. Tufvesson, T. Maseng, "Optimization of Sub-Channel Bandwidth For Mobile OFDM Systems", Multiaccess, Mobility and Teletraffic - Advances in Wireless Networks, pp. 103-114, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1998
[21] Ching-Chi Chang, Muh-Tian Shieu, Chorng-Kuang Wang, "A VLSI Architecture of DMT Based Transceiver for VDSL System", IEEE AP-ASIC, Taipei, Taiwan, Aug.,2002 [22] F. Kohandani, A. K. Khandani, "PAPR Reduction in OFDM Systems", Communications and Information Technology Ontario CITO 2002, Ottawa, Ontario
[23] C. Conroy, et.al., „A CMOS Analog Front-End IC for DMT ADSL“, Proceedings of ISSCC99, pp 240-241
[24] H. J. Casier, “Requirements for Embedded Data Converters in an ADSL Communication System” 8th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems (ICECS'01) [25] D. Robertson, “Selecting Mixed-Signal Components for Digital Communications Systems—Part V” Analog Dialogue, Volume 31, Number 3, 1997
[26] P. J. W. Melsa, R. C.Younce, C.E. Rohrs “Impulse Response Shortening for Discrete Multitone Transceivers”, IEEE Transactions on Communications, Dec 1996 pp. 1662-1672, Volume 44, Issue 12, ISSN 0090-6778
[27] K. Van Acker, G. Leus, M. Moonen, O. Wiel, T. Pollet, "Per Tone Equalization for DMT Receivers", Proc. IEEE Global Telecommunications Conf., GLOBECOM, Rio de Janeiro, Dec. 1999
[28] J. S. Chow, J. M. Cioffi, “A Cost-Effective Maximum Likelihood Receiver for Multicarrier Systems” Proc. IEEE Int. Conf. Comm., vol. 2, pp. 948-952, June 1992
[30] W. Lindner, „Ausgleichsrechnung, überbestimmte LGS und Pseudoinverse mit MuPAD“
http://www.mupad.de/schule/en/Booklets/m1xa/band-7.pdf
[31] D. C. Lay, “Linear Algebra and its Applications”, Pearson Addison Wesley, 3rd edition, 2002
[32] L. Rutkowski “Filtry adaptacyjne i przetwarzanie sygnałów”, WNT, Warszawa 1994 [33] R. K. Martin, C. Richard Johnson, Jr “Blind, Adaptive, Per Tone Equalization for Multicarrier Receivers”, Conference on Information Sciences and Systems, Princeton University, March 20–22, 2002
[34] I. Barhumi, G. Leus, M. Moonen, “Per-Tone Equalization for OFDM over Doubly-Selective Channels”,
[35] S. M. Kuo, B. H. Lee, “Real-Time Digital Signal Processing”, John Wiley & Sons Ltd., 2001
[36] B. G. Sherlock, D. M. Monro, “Algorithm 749 Fast Discrete Cosine Transform”
[37] Ed. K. R. Rao and P.C. Yip, “The Transform and Data Compression Handbook”, CRC Press, 2001
[38] H. S. Hou, “A Fast Recursive Algorithm for Computing the Discrete Cosine Transform”, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process, 10 (Oct.) 1987, 1455-1461
[39] N. Ahmed, T. Natarajan, K. R. Rao, “Discrete Cosine Transform”, IEEE Trans. Comput., 1 (Jan.) 1974, 90-93
[40] J. Danda, K. Loziak, M. Sikora, and R. Watza, “Multicarrier Modulation with the Discrete Cosine Transform”, Proc. (472) Communication Systems and Applications 2005 [41] K. R. Rao, P. Yip, “Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications” Academic Press, Boston, 1990
[42] “Matrix and Vector Basics”, University of Florida, Department of Statistics
http://ifasstat.ufl.edu/seminars/ifasstat/matrix/matrixa.htm
[43] D. Babic, “Discrete Cosine Transform Algorithms for FPGA Devices”, Faculty of Electrical Engineering and Computing of Zagreb University, Zagreb, 2003
[44] G. Vollbeding „Neue Methoden zur adaptiven Farbquantisierung für komprimierte Farbbildrepräsentation”, Compression Forum (www.groupsrv.com/science/), korespondencja własna, http://jpegclub.org, 2005
[45] T. P. Zieliński „Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów“, Wyd. EAIiE AGH, Kraków, 2002
[46] Wikipedia „Cooley-Tukey FFT algorithm”
[47] J. R. Graham “Fourier Transforms & the Frequency Domain”
http://astro.berkeley.edu/~jrg/ngst/fft/fftalgrm.html, University of California, Berkeley [48] Wikipedia „ Gray code” http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_coding, Wikipedia, 2006 [49] D.-J. Guan, “Generalized Gray codes with applications”, Proc. Natl. Sci. Counc. ROC(A) 22, 841—848, 1998
[50] U. K. Chakraborty, C. Z. Janikow “Binary and Gray Encoding in Univariate Marginal Distribution Algorithm, Genetic Algorithm, and Stochastic Hillclimbing” The Genetic and Evolutionary Computation Conference GECCO 2003, str. 8-14, Jul. 12-13 2003, Chicago, USA
[51] G. Takahara, F. Alajaji, N. C. Beaulieu, H. Kuai “Constellation Mappings for Two-Dimensional Signaling of Nonuniform Sources” IEEE Transactions On Communications, Vol. 51, NO. 3, March 2003
[52] G. Takahara, F. Alajaji, N. C. Beaulieu and H. Kuai “Mappings for Signaling of Non-Uniform Sources in Two-Dimensional Fixed Constellations”, Technical Report, Mathematics and Engineering Communications Laboratory, Queens University, February 2001
[53] “Gray Encoding a Modulated Signal”, http://www.mathworks.com/
access/helpdesk/help/toolbox/comm/ug/bqfq1zh-1.html, The MathWorks, Inc., 2006
[54] United States Patent and Trademark Office, Patent Collection database,
http://www.uspto.gov/
[55] Vision Research and Image Sciences Laboratory, “DCT-Based Image Compression”
http://visl.technion.ac.il/labs/anat/8/dct.pdf, Department of Electrical Engineering, Technion
City, Haifa 2006
[56] A. Cuddy, E. Walden, S. Zalewski, „The Discrete Cosine Transform 110.312 - Introduction to Wavelets”, School of Mathematics, Georgia Institute of Technology, http://www.math.gatech.edu/~metcalfe/teaching/wavelets/projects/DCT.pdf, Atlanta, 2001 [57] Wikipedia, S. G. Johnson et al., “Discrete cosine transform”,
http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Cosine_Transform, 2006
[58] S. A. Khayam, “The Discrete Cosine Transform (DCT): Theory and Application”, Department of Electrical & Computer Engineering, Michigan State University, March 2003 [59] J. Proakis, “Digital Communications”, McGraw Hill, 2000
[60] C. E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication”, Reprint with corrections from The Bell System Technical Journal, Vol. 27, pp. 379–423, 623–656, July, October, 1948 [61] ITU - Telecommunication Standardization Sector, “Temporary Document CF-038”,
[62] J. A. Torres, “Method for using non squared constellation and how to decoded them with independent I and Q”, IEEE 802.16 Broadband Wireless Access Working Group, 4 July 2002 [63] Ye Wang, M. Vilermo, L. Yaroslavsky, “Energy Compaction Property of the MDCT in Comparison with Other Transforms” the 109th AES Convention, September 22-25, 2000, Los Angeles, California, USA
[64] ISO/IEC JTC1/SC29 „Coding of moving pictures and associated audio”, WG11/602, November 1993, Seoul
[65] J. Bułat “Wykorzystanie modelu transmisji wielonośnej do maksymalizacji przepływności bitowej modemu xDSL”, AGH, Kraków 2005
[66] Pin-Hsun Lin, et al. “Peak to average power ratio reduction for multicarrier systems using dirty paper coding”, IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, 14-19 May 2006, Toulouse
[67] D. Jayalath, C. R. N. Athaudage “On the PAR Reduction of OFDM Signals Using Multiple Signal Representation”, IEEE Communications Letters 8(7):pp. 425-427, 2004
[68] C. Tellambura, “Phase optimization criterion for reducing peak to-average power ratio in OFDM”, Electronics Letters, vol. 34, Jan. 1998
[69] C. Tellambura, “Computation of the Continuous-Time PAR of an OFDM Signal with BPSK Subcarriers”, IEEE Communications Letters, vol. 5, May 2001
[70] R. Stephens, “Active Output Impedance for ADSL Line Drivers”, Application Report SLOA100 - High Performance Linear Products, Texas Instruments, November 2002
[71] R. van Nee, R. Prasad, “OFDM Wireless Multimedia Communications”, Artech House, 2000
[72] T.A. Wilkinson, A.E. Jones, “Minimisation of the Peak to Mean Envelope Power Ratio of Multicarrier Transmission Schemes by Block Coding”, IEEE 45th Vehicular Technology Conference, 25-28 Jul 1995, Vol. 2, Chicago, USA
[73] C.-J. Lin, “The reduction of PAPR for OFDM by using Transform Kernel Shaping”, Tatung University 2005, Taiwan
[74] A. Piątyszek, „Realizacja korektora adaptacyjnego w modemie wielotonowym OFDM”, Politechnika Poznańska, Poznań 2002
[75] T. T. Nguyen, L. Lampe, “On partial transmit sequences for PAR reduction in OFDM systems”, IEEE Transactions on Wireless Communications, February 2008 Vol. 7, Issue: 2, pp. 746-755
[76] N. N. Malik, N. Idrus, S. M. Latif, N. D. Abdul, “Peak to Average Power Ratio (PAPR) Reduction in OFDM System”, RF and Microwave Conference, Putra Jaya 2006, Malaysia