Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN

3.2 Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN

Celem znalezienia strukturalnego opisu dla logicznej równowa»no±ci mo-deli Kripkego ponownie rozwa»ymy relacj¦ ograniczonej bisymulacji. Zanim jednak przedstawimy denicj¦ bisymulacji, musimy zapozna¢ si¦ z poni»szymi poj¦ciami.

Rozwa»my dwia dowolne ±wiaty A i B oraz ci¡gi a = a1, . . . , a_n i b = b₁, . . . , b_n elementów tych ±wiatów, odpowiednio. Sko«czone odwzorowanie (a; b) = {(a₁, b₁), . . . , (a_n, b_n)} ⊆ A × B nazwiemy cz¦±ciowym P -izomorz-mem pomi¦dzy ±wiatami A oraz B, gdy

A ^P ϕ(a) ⇐⇒ B ^P ϕ(b) dla wszystkich formuª atomowych ϕ(x).

Odwzorowanie (a; b) nazwiemy z kolei cz¦±ciowym N-izomorzmem po-mi¦dzy ±wiatami A oraz B, gdy

A ^N ϕ(a) ⇐⇒ B ^N ϕ(b) dla wszystkich formuª atomowych ϕ(x).

Teraz jeste±my ju» gotowi przedstawi¢ poj¦cie bisymulacji modeli Krip-kego dla logiki intuicjonistycznej pierwszego rz¦du z siln¡ negacj¡. Tak jak w przypadku logicznej równowa»no±ci, wyró»nia¢ b¦dziemy pozytywn¡ i nega-tywn¡ cz¦±¢ bisymulacji. Dla ka»dego z fragmentów bisymulacji sformuªujemy odpowiednie warunki, a peªny jej opis stanowi¢ b¦dzie ich para.

Rozwa»my dwa modele Kripkego K = ^DK, ¬, {(K_α, V_α^P, V_α^N) : α ∈ K}^E i M = ^DM, ¬, {(M_β, U_β^P, U_β^N) : β ∈ M }^E oraz ich dowolne punkty α ∈ K i β ∈ M. Niech π przebiega przez wszystkie odwzorowania pomi¦dzy ±wia-tami modelu K i ±wia±wia-tami modelu M, oraz niech s, t, w ­ 0. Wówczas ogra-niczon¡ bisymulacj¡ pomi¦dzy modelami Kripkego K i M nazywamy par¦

∼ = {∼^P, ∼^N}, gdzie ∼^P oraz ∼^N s¡ 6-argumentowymi relacjami pomi¦dzy π, α, s, t, w, β. Oznaczaj¡c π : α ∼^P_s,t,w β b¡d¹ π : α ∼^N_s,t,w β, speªnione s¡

nast¦puj¡ce warunki:

(i) π : α ∼^P_0,0,0 β =⇒ π jest cz¦±ciowym P -izomorzmem pomi¦dzy ±wia-tami Kα i Mβ

(ii) π : α ∼^N_0,0,0 β =⇒ π jest cz¦±ciowym N-izomorzmem pomi¦dzy ±wia-tami Kα i Mβ

(iii) π : α ∼^P_s+1,t,w β =⇒ π : α ∼^N_s,t,w β (iv) π : α ∼^N_s+1,t,w β =⇒ π : α ∼^P_s,t,w β

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 31

(v) π : α ∼^P_s,t+1,w β =⇒ π jest odwzorowaniem pomi¦dzy Kα i Mβ oraz (→-zig)^P dla ka»dego α⁰ ­ α istnieje β⁰ ­ β takie, »e π : α⁰ ∼^P_s,t,w β⁰ (→-zag)^P dla ka»dego β⁰ ­ β istnieje α⁰ ­ α takie, »e π : α⁰ ∼^P_s,t,w β⁰

(vi) π : α ∼^N_s,t+1,w β =⇒ π : α ∼^P_s,t,w β oraz π : α ∼^Ns,t,w β

(vii) π : α ∼^P_s,t,w+1 β =⇒ π jest odwzorowaniem pomi¦dzy Kα i Mβ oraz (∀-zig)^P dla ka»dego α⁰ ­ α i ka»dego a ∈ Kα⁰ istniej¡ β⁰ ­ β i b ∈ Mβ⁰

takie, »e π ∪ {(a, b)}: α⁰ ∼^P_s,t,wβ⁰

(∀-zag)^P dla ka»dego β⁰ ­ β i ka»dego b ∈ Mβ⁰ istniej¡ α⁰ ­ α i a ∈ Kα⁰

takie, »e π ∪ {(a, b)}: α⁰ ∼^P_s,t,wβ⁰

(viii) π : α ∼^N_s,t,w+1 β =⇒ π jest odwzorowaniem pomi¦dzy Kα i Mβ oraz (∀-zig)^N dla ka»dego elementu a ∈ Kα istnieje element b ∈ Mβ taki, »e

π ∪ {(a, b)} : α ∼^N_s,t,wβ

(∀-zag)^N dla ka»dego elementu b ∈ Mβ istnieje element a ∈ Kα taki, »e π ∪ {(a, b)} : α ∼^N_s,t,wβ

Powiemy, i» dowolne punkty α oraz β modeli Kripkego K i M, od-powiednio, (s, t, w)-bisymuluj¡, zapisuj¡c α ∼s,t,w β, gdy istnieje relacja

∼ = {∼^P, ∼^N} oraz odwzorowanie π, b¦d¡ce ±wiadkiem bisymulacji, takie,

»e π : α ∼^Ps,t,w β oraz π : α ∼^Ns,t,w β. Tak zdeniowana relacja bisymulacji jest domkni¦ta na operacj¦ sumy. St¡d te» ka»da bisymulacja jest skªadnikiem pewnej bisymulacji maksymalnej. Mówimy, »e bisymulacja ∼ jest domkni¦ta z doªu, gdy

(s⁰, t⁰, w⁰)  (s, t, w) =⇒ ∼_s,t,w⊆ ∼_s⁰_,t⁰_,w⁰ .

Tak wi¦c ka»da bisymulacja maksymalna jest domkni¦ta z doªu. Dla uprosz-czenia naszych bada«, rozwa»a¢ b¦dziemy bisymulacje maksymalne.

Dalsze twierdzenia nakre±l¡ zwi¡zek pomi¦dzy relacj¡ ograniczonej bisy-mulacji a logicznej równowa»no±ci modeli Kripkego.

Twierdzenie 3.1. Rozwa»my punkty α i β modeli Kripkego K oraz M, odpo-wiednio. Zaªó»my, »e s, t, w ­ 0, a (a; b) jest takim odwzorowaniem pomi¦dzy

±wiatami Kα i Mβ, »e dla pewnej bisymulacji maksymalnej ∼ = {∼^P, ∼^N} mamy (a; b): α ∼s,t,w β. Wówczas

(a; b) : α ∼^P_s,t,wβ =⇒ (α, a) ≡^P_s,t,w(β, b) oraz

(a; b) : α ∼^N_s,t,w β =⇒ (α, a) ≡^N_s,t,w (β, b).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 32

Dowód. Ustalmy punkty α i β modeli Kripkego K i M. Niech Kα i Mβ b¦d¡

±wiatami przypisanymi do tych punktów. Ustalmy ponadto ci¡gi a i b ele-mentów ±wiatów Kα i Mβ, odpowiednio. Twierdzenie zostanie udowodnione indukcyjnie wzgl¦dem silnej charakterystyki oraz zªo»ono±ci formuª.

(i) We¹my dowoln¡ formuª¦ ϕ(x) tak¡, »e s-char(ϕ) = (^∼0,^→0,^∀0). Z zaªo»enia (a; b): α ∼^P0,0,0β, to znaczy odwzorowanie (a; b) jest cz¦±ciowym P -izomorzmem pomi¦dzy ±wiatami Kα i Mβ. Ponadto (a; b): α ∼^N_0,0,0 β, wi¦c (a; b) jest tak»e cz¦±ciowym N-izomorzmem mi¦dzy Kα i Mβ. To znaczy,

α ^P ψ(a) ⇐⇒ β ^P ψ(b) oraz

α ^N ψ(a) ⇐⇒ β ^N ψ(b)

dla wszystkich formuª atomowych ψ(x). Z kolei formuªa ϕ(x) jest ∧, ∨-kombinacj¡ pewnych formuª atomowych. St¡d te»

α ^P ϕ(a) ⇐⇒ β ^P ϕ(b) oraz

α ^N ϕ(a) ⇐⇒ β ^N ϕ(b).

Rozwa»my teraz trójk¦ (^∼s,^→t,^∀w)  (^∼0,^→0,^∀0) i zaªó»my, i» teza twierdzenia zachodzi dla wszystkich trójek (^∼s⁰,^→t⁰,^∀w⁰) ≺ (^∼s,^→t,^∀w). Niech (a; b) b¦dzie takim odwzorowaniem pomi¦dzy ±wiatami Kα i Mβ, »e (a; b) : α ∼_s,t,wβ.

Ustalmy tak¡ formuª¦ ϕ(x), »e s-char(ϕ)  (^∼s,^→t,^∀w). Zauwa»my, i»

musimy jedynie rozwa»y¢ przypadki, gdy formuªa ϕ(x) jest postaci ∼ ψ(x), (ψ₁ → ψ₂)(x) oraz ∀yψ(x, y).

(ii)Niech ϕ(x) =∼ ψ(x), gdzie s-char(ψ)  (^∼s−1,^→t,^∀w). Na pocz¡tek zaªó»my, »e α ^P∼ ψ(a). Z denicji wymuszania

α ^P∼ ψ(a) ⇐⇒ α ^N ψ(a).

Z zaªo»enia (a; b): α ∼^Ps,t,w β, wi¦c (a; b): α ∼^Ns−1,t,w β. Korzystaj¡c z zaªo»e-nia indukcyjnego dla ∼^N, otrzymamy

β ^N ψ(b) ⇐⇒ β ^P∼ ψ(b).

Teraz zaªó»my, »e α ^N∼ ψ(a). Z denicji wymuszania α ^N∼ ψ(a) ⇐⇒ α ^P ψ(a).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 33

Z zaªo»enia (a; b): α ∼^Ns,t,w β, wi¦c (a; b): α ∼^Ps−1,t,w β. Korzystaj¡c z zaªo»e-nia indukcyjnego dla ∼^P mamy

β ^P ψ(b) ⇐⇒ β ^N∼ ψ(b).

(iii) Niech teraz ϕ(x) = (ψ1 → ψ₂)(x), gdzie s-char(ψ1), s-char(ψ2)  (^∼s,^→t − 1,^∀w). Zaªó»my najpierw, »e

α ^P (ψ1 → ψ₂)(a). (3.1)

Ustalmy dowolny punkt β⁰ ­ β taki, »e β^{0 P} ψ₁(b).

Z warunku (→ -zag)^P dla ka»dego punktu β⁰ ­ β istnieje punkt α⁰ ­ α taki,

»e (a; b): α⁰ ∼^P_s,t−1,w β⁰. Zatem z zaªo»enia indukcyjnego dla ∼^P otrzymujemy α^{0 P} ψ₁(a),

a z (3.1) tak»e

α^{0 P} ψ₂(a).

Korzystaj¡c ponownie z zaªo»enia indukcyjnego mamy β^{0 P} ψ₂(b).

Wobec dowolno±ci punktu β⁰ ­ β otrzymujemy β ^P (ψ₁ → ψ₂)(b).

Analogiczne rozumowanie z punktu β ∈ M do punktu α ∈ K przeprowa-dzamy za pomoc¡ warunku (→ -zig)^P.

Nast¦pnie zaªó»my, »e

α ^N (ψ₁ → ψ₂)(a).

To znaczy, i»

α ^P ψ₁(a) oraz α ^N ψ₂(a).

Z zaªo»enia (a; b): α ∼^Ns,t,w β, a wi¦c na mocy denicji ograniczonej bisy-mulacji (a; b): α ∼^P_s,t−1,w β oraz (a; b): α ∼^N_s,t−1,w β. St¡d, oraz z zaªo»enia indukcyjnego dla ∼^P i ∼^N, otrzymujemy

β ^P ψ₁(b) oraz β ^N ψ₂(b).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 34

A zatem

β ^N (ψ₁ → ψ₂)(b).

(iv)Na koniec rozwa»my przypadek, gdy formuªa ϕ(x) = ∀yψ(x, y), gdzie s-char(ψ)  (^∼s,^→t,^∀w − 1). Zaªó»my, »e

α ^P ∀yψ(a, y). (3.2)

Ustalmy dowolny punkt β⁰ ­ β oraz element b ∈ Mβ⁰. Warunek (∀-zag)^P mówi, i» dla ka»dego β⁰ ­ β i ka»dego b ∈ Mβ⁰ istniej¡ α⁰ ­ α i a ∈ Kα⁰

takie, »e

(a; b) ∪ {(a, b)} : α⁰ ∼^P_s,t,w−1 β⁰. W szczególno±ci, z (3.2) mamy

α^{0 P} ψ(a, a).

A zatem, z zaªo»enia indukcyjnego dla ∼^P, otrzymamy β^{0 P} ψ(b, b),

a st¡d

β ^P ∀_yψ(b, y).

Analogicznie, wnioskowanie wychodz¡ce z punktu β ∈ M do punktu α ∈ K uzasadniamy za pomoc¡ warunku (∀-zig)^P.

Aby zako«czy¢ dowód zaªó»my, i»

α ^N ∀_yψ(a, y).

To znaczy dla pewnego elementu a ∈ Kα mamy α ^N ψ(a, a).

Warunek (∀-zig)^N mówi, i»

∀_a∈Kα∃_b∈Mβ (a; b) ∪ {(a, b)} : α ∼^N_s,t,w−1 β.

Zatem, korzystaj¡c z zaªo»enia indukcyjnego dla ∼^N, dla pewnego elementu b ∈ Mβ otrzymujemy

β ^N ψ(b, b), a st¡d

β ^N ∀_yψ(b, y).

Tak jak poprzednio, nale»y jeszcze uwzgl¦dni¢ rozumowanie z punktu β ∈ M do punktu α ∈ K. Cel ten realizujemy korzystaj¡c z warunku (∀-zag)^N.

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 35

Wniosek 3.2. Rozwa»my punkty α i β modeli Kripkego K oraz M, odpo-wiednio. Zaªó»my, »e s, t, w ­ 0, a (a; b) jest takim odwzorowaniem pomi¦-dzy ±wiatami Kα i Mβ, »e dla pewnej bisymulacji ∼ = {∼^P, ∼^N} mamy (a; b) : α ∼_s,t,wβ. Wówczas

(α, a) ≡_s,t,w (β, b).

Naturalnym pytaniem jest czy implikacja odwrotna do powy»szej w Twier-dzeniu 3.1 równie» zachodzi. Tak jak w Rozdziale 2 nale»y spodziewa¢ si¦

pewnych dodatkowych zaªo»e« dotycz¡cych modeli Kripkego. Na pocz¡tek, sko«czon¡ sygnatur¦ j¦zyka b¦dziemy rozpatrywa¢ bez symboli funkcyjnych.

Ponadto, rozwa»a¢ b¦dziemy silnie sko«czone modele Kripkego. Zdeniujmy jeszcze poj¦cie sko«czonej N-nasycono±ci modeli Kripkego.

Denicja 3.3. Punkt α modelu Kripkego K nazywamy sko«czenie N-nasyco-nym wzgl¦dem klasy formuª Γ wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary formuª ϕ(x), ψ(x) ∈ Γ, je±li istniej¡ model Kripkego M oraz taki punkt β modelu M, »e

α ≡^N_Γ β, a tak»e taki element b ∈ Mβ, »e

β ^N ϕ(b) i β 6 ^N ψ(b), to istnieje wówczas taki element a ∈ Kα, »e

α ^N ϕ(a) i α 6 ^N ψ(a).

Model Kripkego K b¦dziemy nazywa¢ sko«czenie N-nasyconym wzgl¦-dem klasy formuª Γ, gdy wszystkie jego punkty s¡ sko«czenie N-nasycone wzgl¦dem Γ.

Uwzgl¦dniaj¡c powy»sze zaªo»enia mo»emy udowodni¢ nast¦puj¡ce twier-dzenie.

Twierdzenie 3.4. Rozwa»my silnie sko«czone modele Kripkego K i M.

Niech s, t, w ­ 0. Ponadto, niech K i M b¦d¡ modelami sko«czenie N-nasyconymi wzgl¦dem klasy formuª

Γ = {ϕ(x) : s-char(ϕ)  (^∼s + t + w,^→t + w,^∀w)}.

Rozwa»my dowolne punkty α i β modeli K i M, odpowiednio, oraz dowolne ci¡gi a i b elementów ±wiatów Kα i Mβ, odpowiednio. Wówczas, je±li

(α, a) ≡_Γ (β, b),

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 36

to

(a; b) : α ∼_s,t,wβ dla pewnej bisymulacji ∼.

Dowód. Ustalmy punkty α i β silnie sko«czonych modeli Kripkego K i M.

Niech Kα i Mβ b¦d¡ sko«czonymi ±wiatami przypisanymi do tych punktów.

Ustalmy ponadto ci¡gi a i b elementów ±wiatów Kα i Mβ, odpowiednio. Za-kªadamy, i» (α, a) ≡Γ (β, b), to znaczy

α ^Kϕ(a) ⇐⇒ β ^M ϕ(b)

dla wszystkich takich formuª ϕ(x), »e s-char(ϕ)  (^∼s + t + w,^→t + w,^∀w). Ustalmy dowolne punkty γ ­ α oraz δ ­ β dost¦pne z α i β oraz dowolne ci¡gi c i d elementów ±wiatów Kγ oraz Mδ, odpowiednio. Relacj¦ ∼ = {∼^P, ∼^N} deniujemy dla 0 ¬ i ¬ s, 0 ¬ j ¬ t, 0 ¬ k ¬ w w nast¦puj¡cy sposób:

(c; d) : γ ∼^P_i,j,k δ ⇐⇒ (γ ^P ϕ(c) ⇔ δ ^P ϕ(d)) oraz

(c; d) : γ ∼^N_i,j,k δ ⇐⇒ (γ ^N ϕ(c) ⇔ δ ^N ϕ(d))

dla wszystkich takich formuª ϕ(x), »e s-char(ϕ)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k). Indukcyjnie wzgl¦dem i, j, k udowodnimy i» ∼ {∼^P, ∼^N} jest ograniczon¡

bisymulacj¡.

(i)Na pocz¡tek zaªó»my, »e (c; d): γ ∼^P0,0,0 δ.To znaczy γ ^P φ(c) ⇐⇒ δ ^P φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼0,^→0,^∀0). W szczegól-no±ci dla dowolnej formuªy atomowej ψ(x) mamy

γ ^P ψ(c) ⇐⇒ δ ^P ψ(d),

co oznacza, »e odwzorowanie (c; d) jest cz¦±ciowym P -izomorzmem pomi¦-dzy strukturami Kγ i Mδ.

(ii)Zaªó»my, »e (c; d): γ ∼^N_0,0,0 δ. To znaczy γ ^N φ(c) ⇐⇒ δ ^N φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼0,^→0,^∀0). W szczegól-no±ci dla dowolnej formuªy atomowej ψ(x) mamy

γ ^N ψ(c) ⇐⇒ δ ^N ψ(d),

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 37

co oznacza, »e odwzorowanie (c; d) jest cz¦±ciowym N-izomorzmem pomi¦-dzy strukturami Kγ i Mδ.

Nast¦pnie zakªadamy, i» teza twierdzenia zachodzi dla pewnych (i, j, k)  (^∼0,^→0,^∀0).

(iii)Dla i < s, j ¬ t, k ¬ w zaªó»my, »e (c; d): γ ∼^Pi+1,j,k δ, to znaczy γ ^P φ(c) ⇐⇒ δ ^P φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k,^∀k). Aby wykaza¢, i» (c; d): γ ∼^Ni,j,k δ przypu±¢my nie wprost istnienie takiej formuªy ϕ(x), »e s-char(ϕ)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k) oraz

γ ^N ϕ(c) i δ 6 ^N ϕ(d) lub

γ 6 ^N ϕ(c) i δ ^N ϕ(d).

Korzystaj¡c z denicji relacji wymuszania dostaniemy γ ^P∼ ϕ(c) i δ 6 ^P∼ ϕ(d)

lub

γ 6 ^P∼ ϕ(c) i δ ^P∼ ϕ(d).

Poniewa» s-char(∼ ϕ)  (^∼i+j +k +1,^→j +k,^∀k), otrzymali±my sprzeczno±¢

z zaªo»eniem, i»

γ ^P φ(c) ⇐⇒ δ ^P φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k,^∀k). (iv) Nast¦pnie dla i < s, j ¬ t, k ¬ w zakªadamy, »e (c; d): γ ∼^Ni+1,j,k δ, to znaczy

γ ^N φ(c) ⇐⇒ δ ^N φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k,^∀k). Aby wykaza¢, i» tak»e (c; d): γ ∼^Pi,j,k δ przypu±¢my, »e istnieje taka formuªa ψ(x), »e s-char(ψ)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k)oraz

γ ^P ψ(c) i δ 6 ^P ψ(d) lub

γ 6 ^P ψ(c) i δ ^P ψ(d).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 38

Korzystaj¡c ponownie z denicji wymuszania dostaniemy γ ^N∼ ψ(c) i δ 6 ^N∼ ψ(d)

lub

γ 6 ^N∼ ψ(c) i δ ^N∼ ψ(d).

Zauwa»my, »e s-char(∼ ψ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k,^∀k). A zatem, ponownie otrzymali±my sprzeczno±¢ z zaªo»eniem, zgodnie z którym

γ ^N φ(c) ⇐⇒ δ ^N φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k,^∀k). (v)Dla i ¬ s, j < t, k ¬ w zaªó»my, »e (c; d): γ ∼^Pi,j+1,k δ. Czyli

γ ^P φ(c) ⇐⇒ δ ^P φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i+j+k+1,^→j+k+1,^∀k). Zwerykujemy wªasno±¢ (→ -zig)^P. Nale»y wi¦c pokaza¢, »e

∀γ⁰ ­ γ ∃δ⁰ ­ δ ^γ^{0 P} ϕ(c) ⇐⇒ δ^{0 P} ϕ(d)^

dla wszystkich formuª ϕ(x), dla których s-char(ϕ)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k). Przypu±¢my nie wprost, i» istnieje taki punkt γ⁰ ­ γ, »e dla ka»dego punktu δ⁰ ­ δ znajdziemy tak¡ formuª¦ ϕδ⁰(x), »e s-char(ϕδ⁰)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k)oraz

(γ^{0 P} ϕδ⁰(c) i δ⁰ 6 ^P ϕδ⁰(d)) lub

(γ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰(c) i δ^{0 P} ϕ_δ⁰(d)).

Oznaczmy przez Θ zbiór wszystkich formuª ϕδ⁰(x)wybranych w powy»szy sposób. Poniewa» punkty δ⁰ ­ δ przebiegaj¡ sko«czony model Kripkego M, wi¦c zbiór Θ tak»e jest sko«czony. Rozwa»my dwa nast¦puj¡ce podzbiory zbioru Θ,

Θ0 = {ϕδ⁰(x) ∈ Θ : γ^{0 P} ϕ_δ⁰(c) i δ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰(d)}

oraz

Θ₁ = {ϕ_δ⁰(x) ∈ Θ : γ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰(c) i δ^{0 P} ϕ_δ⁰(d)}.

Zauwa»my, »e zbiory Θ0oraz Θ1nie mog¡ by¢ jednocze±nie puste. Rozwa»my najpierw przypadek, gdy Θ1 = ∅. Wówczas, jak ªatwo zauwa»y¢

γ^{0 P ^}Θ₀(c).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 39

A wi¦c

γ 6 ^P ¬^{^}Θ₀(c).

Ponadto dla wszystkich δ⁰ ­ δ

δ⁰ 6 ^{P ^}Θ₀(d).

To znaczy, »e

δ ^P ¬^{^}Θ₀(d),

co jest sprzeczne z naszym zaªo»eniem, gdy» s-char(¬^VΘ0)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k).

Natomiast, gdy Θ0 = ∅, otrzymujemy γ⁰ 6 ^{P _}Θ1(c).

St¡d

γ 6 ^{P _}Θ₁(c).

Dodatkowo

δ^{0 P _}Θ₁(d) dla wszystkich δ⁰ ­ δ. Wi¦c, w szczególno±ci,

δ ^{P _}Θ₁(d).

Ale poniewa» s-char(^WΘ1)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k), otrzymujemy natychmiast sprzeczno±¢ z zaªo»eniem.

Pozostaje rozwa»y¢ przypadek, gdy Θ0 6= ∅ oraz Θ1 6= ∅. Zauwa»my, »e γ^{0 P ^}Θ0(c) i γ⁰ 6 ^{P _}Θ1(c) (3.3) oraz

δ⁰ 6 ^{P ^}Θ₀(d) lub δ^{0 P _}Θ₁(d) (3.4) dla wszystkich δ⁰ ­ δ. Rozwa»my wi¦c formuª¦ (^VΘ₀ →^WΘ₁)(x). Zauwa»my najpierw, »e s-char^VΘ₀ →^WΘ₁^ (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k). Z (3.3) otrzymujemy

γ 6 ^P (^{^}Θ₀ →^_Θ₁)(c), natomiast z (3.4)

δ ^P (^{^}Θ0 →^_Θ1)(d), co jest sprzeczne z zaªo»eniem, i»

γ ^P φ(c) ⇐⇒ δ ^P φ(d)

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 40

dla wszystkich formuª φ(x), dla których s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k).

(vi) Nast¦pnie dla i ¬ s, j < t, k ¬ w zaªó»my, »e (c; d): γ ∼^Ni,j+1,k δ, to znaczy

γ ^N φ(c) ⇐⇒ δ ^N φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k) Nale»y wykaza¢, »e (c; d): γ ∼^P_i,j,k δ oraz (c; d): γ ∼^N_i,j,k δ. Najpierw przypu±¢my nie wprost, i» istnieje takia formuªa ϕ⁰(x), »e s-char(ϕ⁰)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k)oraz

γ ^P ϕ⁰(c) i δ 6 ^P ϕ⁰(d) lub

γ 6 ^P ϕ⁰(c) i δ ^P ϕ⁰(d).

Wówczas, korzystaj¡c z denicji wymuszania, otrzymamy γ ^N ¬ϕ⁰(c) i δ 6 ^N ¬ϕ⁰(d)

lub

γ 6 ^N ¬ϕ⁰(c) i δ ^N ¬ϕ⁰(d).

Poniewa» s-char(¬ϕ⁰)  (^∼i+j +k +1,^→j +k +1,^∀k), otrzymali±my sprzecz-no±¢ z zaªo»eniem, i»

γ ^N φ(c) ⇐⇒ δ ^N φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i+j+k+1,^→j+k+1,^∀k). Nast¦pnie przypu±¢my, i» istnieje taka formuªa ψ⁰(x), »e s-char(ψ⁰)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k)oraz

γ ^N ψ⁰(c) i δ 6 ^N ψ⁰(d) lub

γ 6 ^N ψ⁰(c) i δ ^N ψ⁰(d).

Korzystaj¡c ponownie z denicji wymuszania dostaniemy γ ^P∼ ψ⁰(c) i δ 6 ^P∼ ψ⁰(d)

lub

γ 6 ^P∼ ψ⁰(c) i δ ^P∼ ψ⁰(d).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 41

A st¡d

γ ^N ¬ ∼ ψ⁰(c) i δ 6 ^N ¬ ∼ ψ⁰(d) lub

γ 6 ^N ¬ ∼ ψ⁰(c) i δ ^N ¬ ∼ ψ⁰(d).

A zatem, ponownie otrzymali±my sprzeczno±¢ z zaªo»eniem, gdy» s-char(¬ ∼ ψ⁰)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k).

(vii)Dla i ¬ s, j ¬ t, k < w zaªó»my, »e (c; d): γ ∼^Pi,j,k+1 δ, tzn.

γ ^P φ(c) ⇐⇒ δ ^P φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k + 1). Aby zwerykowa¢ wªasno±¢ (∀-zig)^P, wystarczy pokaza¢, »e dla ka»dego punktu γ⁰ ­ γ i ka»dego elementu c ∈ Kγ⁰ istniej¡ punkt δ⁰ ­ δ oraz element d ∈ Mδ⁰ takie, »e

γ^{0 K} ϕ(c, c) ⇐⇒ δ^{0 M} ϕ(d, d)

dla wszystkich takich formuª ϕ(x), »e s-char(ϕ)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k). Dla uproszczenia b¦dziemy pomija¢ parametry c i d.

Przypu±¢my nie wprost, i» istnieje taki punkt γ⁰ ­ γ i taki element c ∈ K_γ⁰, »e dla ka»dego punkt δ⁰ ­ δoraz ka»dego elementu d ∈ Mδ⁰ istnieje taka formuªa ϕδ⁰,d(x), »e s-char(ϕδ⁰,d)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k)oraz

(γ^{0 P} ϕ_δ⁰_,d(c) i δ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰_,d(d)) lub

(γ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰_,d(c) i δ^{0 P} ϕ_δ⁰_,d(d)).

Jak poprzednio, przez Θ oznaczamy zbiór wszystkich formuª ϕδ⁰,d(x), które zostaªy wybrane w powy»szy sposób. Poniewa» punkty δ⁰ ­ δ oraz elementy d przebiegaj¡, odpowiednio, sko«czony model Kripkego M oraz sko«czon¡ struktur¦ Mδ⁰, wi¦c zbiór Θ tak»e jest sko«czony. Rozwa»my dwa nast¦puj¡ce podzbiory zbioru Θ,

Θ₀ = {ϕ_δ⁰_,d(x) ∈ Θ : γ^{0 P} ϕ_δ⁰_,d(c) i δ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰_,d(d)}

oraz

Θ₁ = {ϕ_δ⁰_,d(x) ∈ Θ : γ⁰ 6 ^P ϕ_δ⁰_,d(c) i δ^{0 P} ϕ_δ⁰_,d(d)}.

Najpierw rozwa»my przypadek, gdy Θ1 = ∅. Wówczas γ^{0 P ^}Θ₀(c).

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 42

St¡d, jak ªatwo zauwa»y¢

γ⁰ 6 ^P ¬^{^}Θ₀(c).

Poniewa» punkt γ⁰ ­ γ oraz element c ∈ Kγ⁰ byªy ustalone, wi¦c otrzymu-jemy

γ 6 ^P ∀_x¬θ(x).

Ponadto, dla ka»dego δ⁰ ­ δ oraz ka»dego d ∈ Mδ⁰ mamy δ⁰ 6 ^{P ^}Θ0(d),

co oznacza, »e

δ^{0 P} ¬^{^}Θ₀(d)

dla ka»dego punktu δ⁰ ­ δ oraz ka»dego elementu d ∈ Mδ⁰. A zatem δ ^P ∀_x¬^{^}Θ0(x),

co jest sprzeczne z naszym zaªo»eniem, gdy» s-char(∀x¬^VΘ₀)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k + 1).

Natomiast kiedy Θ0 = ∅, otrzymujemy γ⁰ 6 ^{P _}Θ₁(c).

A st¡d

γ 6 ^P ∀_x^_Θ₁(x).

Dodatkowo dla wszystkich δ⁰ ­ δ oraz wszystkich d ∈ Mδ⁰

δ^{0 P _}Θ₁(d).

Wi¦c

δ ^P ∀_x^_Θ₁(x).

Ale poniewa» s-char(∀xW

Θ1)  (^∼i+j+k+1,^→j+k+1,^∃k+1), otrzymujemy sprzeczno±¢ z zaªo»eniem.

Tak jak w poprzedniej cz¦±ci dowodu, pozostaje rozwa»y¢ przypadek, gdy Θ0 6= ∅ oraz Θ1 6= ∅. Poniewa»

γ^{0 P ^}Θ₀(c) i γ⁰ 6 ^{P _}Θ₁(c), otrzymujemy

γ 6 ^P ∀_y(^{^}Θ₀ →^_Θ₁)(y).

Ponadto, dla ka»dego punktu δ⁰ ­ δ oraz ka»dego d ∈ Mδ⁰

δ⁰ 6 ^{P ^}Θ₀(d) lub δ^{0 P _}Θ₁(d),

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 43

wi¦c otrzymujemy

δ ^P ∀_y(^{^}Θ₀ →^_Θ₁)(y).

Ale s-char^∀y(^VΘ0 → ^WΘ1)^  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k + 1), wi¦c otrzymujemy sprzeczno±¢ z zaªo»eniem, »e (c; d): γ ∼i,j,k+1δ.

(viii) Aby zako«czy¢ dowód, dla i ¬ s, j ¬ t, k < w, zaªó»my, »e (c; d):

γ ∼^N_i,j,k+1 δ, tzn.

γ ^N φ(c) ⇐⇒ δ ^N φ(d)

dla wszystkich takich formuª φ(x), »e s-char(φ)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∀k + 1). Nale»y jeszcze zwerykowa¢ wªasno±¢ (∀-zig)^N. Musimy wi¦c pokaza¢, »e

∀c ∈ Kγ ∃d ∈ Mδ

γ ^N ϕ(c, c) ⇐⇒ δ ^N ϕ(d, d)^

dla wszystkich takich formuª ϕ(x), »e s-char(ϕ)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k). Ponownie, dla uproszczenia b¦dziemy pomija¢ parametry c i d.

Przypu±¢my nie wprost, i» istnieje taki element c ∈ Kγ, »e dla ka»dego elementu d ∈ Mδ istnieje taka formuªa ψd(x), »e s-char(ψd)  (^∼i + j + k,^→j + k,^∀k)oraz

(γ ^N ψ_d(c) i δ 6 ^N ψ_d(d)) lub

(γ 6 ^N ψ_d(c) i δ ^N ψ_d(d)).

Niech Λ b¦dzie zbiorem wszystkich takich formuª ψd(x). Z zaªo»enia kla-syczna struktura Mδ jest sko«czona, wi¦c zbiór Λ tak»e jest sko«czony. Roz-wa»my wi¦c dwa nast¦puj¡ce podzbiory zbioru Λ,

Λ₀ = {ψ_d(x) ∈ Λ : γ ^N ψ_d(c) i δ 6 ^N ψ_d(d)}

oraz

Λ1 = {ψd(x) ∈ Λ : γ 6 ^N ψd(c) i δ ^N ψd(d)}.

Dodatkowo, zdeniujmy nast¦puj¡ce podzbiory struktury Mδ

S₀ = {d ∈ Mδ: ψd ∈ Λ₀}, S₁ = {d ∈ M_δ: ψ_d ∈ Λ₁}.

Zauwa»my najpierw, »e dla dowolnego elementu d ∈ Mδ

d ∈ S₀ ⇐⇒ δ 6 ^{N _}Λ₀(d) (3.5)

3.2. Bisymulacje Modeli Kripkego dla IQC+SN 44

oraz

d ∈ S₁ ⇐⇒ δ ^{N ^}Λ₁(d). (3.6) Zwró¢my jeszcze uwag¦, i» zgodnie z zaªo»eniem S0∪ S₁ = M_δ.

W przypadku, gdy Λ1 = ∅ otrzymamy γ ^{N _}Λ₀(c).

A st¡d

γ ^N ∀_x^_Λ₀(x).

Ponadto, dla ka»dego elementu d ∈ Mδ

δ 6 ^{N _}Λ₀(d).

Zatem

δ 6 ^N ∀_x^_Λ₀(x).

Zauwa»my, i» s-char(∀xW

Λ0)  (^∼i + j + k + 1,^→j + k + 1,^∃k + 1), co daje sprzeczno±¢ z zaªo»eniem, i» (c; d): γ ∼i,j,k+1δ.

W przypadku, gdy Λ0 = ∅otrzymamy Mδ = S₁. Przez χ(x) ∈ Γ oznaczmy dowoln¡ formuª¦ obalan¡ w intuicjonistycznej logice predykatów z siln¡ ne-gacj¡. Wówczas

γ ^N χ(c) i γ 6 ^{N ^}Λ₁(c).

Z zaªo»enia γ ≡i+j+k+1,j+k+1,k+1 δ. A poniewa» punkt δ jest sko«czenie N-nasycony wzgl¦dem Γ, istnieje wi¦c taki element d ∈ Mδ, »e

δ ^N χ(d) i δ 6 ^{N ^}Λ₁(d).

A zatem, z (3.6), otrzymujemy d /∈ S1 = M_δ, co daje sprzeczno±¢.

Na koniec rozwa»my przypadek, gdy Λ0 6= ∅ oraz Λ1 6= ∅. Wtedy γ ^{N _}Λ₀(c) i γ 6 ^{N ^}Λ₁(c).

Z zaªo»enia γ ≡i+j+k+1,j+k+1,k+1 δ. Dodatkowo s-char(^WΛ₀), s-char(^VΛ₁)  (^∼i+j +k,^→j +k,^∀k), czyli^WΛ₀,^VΛ₁ ∈ Γ. Poniewa» punkt δ jest sko«czenie N-nasycony wzgl¦dem Γ, istnieje taki element d ∈ Mδ, »e

δ ^{N _}Λ0(d) i δ 6 ^{N ^}Λ1(d).

Zatem, z (3.5) oraz (3.6), otrzymujemy

d /∈ S₀ i d /∈ S1.

St¡d S0∪ S₁ 6= M_δ, co jest sprzeczne z naszym zaªo»eniem.

Rozdziaª 4

W dokumencie Bisymulacje modeli Kripkego dla teorii intuicjonistycznych pierwszego rzędu (Stron 39-54)