Bloki elementarne i struktura układu równań liniowych

Zerowanie się funkcji bazowych MES w obszarze obliczeniowym wszędzie, poza bardzo małymi podobszarami, prowadzi, na mocy mechanizmu tworzenia układu równań, do charakterystycznego dla metody elementów skończonych zerowania się większości wyrazów macierzy A. Dzięki temu niska jest złożość całkowania numerycznego i rozwiązywania układów równań liniowych. Dla ści-słego określenia struktury układu równań liniowych wprowadza się następującą definicję:

Definicja 2.2 Podobszarem całkowania nazywany jest pojedynczy element lub bok elementu, po obszarze którego wykonuje się całkowanie dla co najmniej jednego wyrazu ze sformułowania słabego.

Pojedynczy wyraz A_ml, obliczany z wzorów (2.42), jest niezerowy wtedy, gdy odpowiadające mu funkcje bazowe φ_m i φ_l są jednocześnie różne od zera przy-najmniej w jednym podobszarze całkowania.

Jeśli rozważana aproksymacja jest aproksymacją wyższego stopnia (kiedy z pojedynczym obiektem siatki może być związane kilka funkcji bazowych) lub aproksymacją problemu wektorowego, funkcje bazowe w sposób naturalny łączą się w grupy. Takie grupowanie się funkcji bazowych indukuje podział glo-balnego wektora niewiadomych u (jako wektora współczynników kombinacji li-niowej funkcji bazowych) na mniejsze podwektory. Wprowadza się następującą definicję:

Definicja 2.3 Podwektorem elementarnym u^E_k wektora niewiadomych u nazywany jest zbiór stopni swobody odpowiadający funkcjom bazowym związa-nym z pojedynczym obiektem siatki.

Na mocy założeń dotyczących aproksymacji MES i powiązania funkcji bazo-wych z obiektami siatki, podwektory u^E_k są rozłączne i sumują się do całego wektora niewiadomych u. Podobne podziały wprowadza się dla wektora pra-wej strony b i macierzy układu A, która uzyskuje postać blokową zgodnie z wzorem:

Nble

X

k=1

A^E_jku^E_k = b^E_j j = 1, ..., N_ble (2.44)

gdzie N_ble oznacza liczbę wszystkich podwektorów elementarnych u^E_k.

Definicja 2.4 Blokami elementarnymi A^E_jk macierzy układu A nazywane są bloki określone za pomocą wzoru (2.44)¹².

Pojedynczy blok elementarny macierzy A odpowiada parze obiektów siatki.

Wyjątkiem są bloki na przekątnej głównej, zwane blokami diagonalnymi, które odpowiadają pojedynczemu obiektowi. Blok jest niezerowy, jeśli odpowiada-jące mu obiekty siatki znajdują się blisko siebie. Bliskość jest definiowana w kontekście zerowania się funkcji bazowych związanych z obiektami siatki. Dwa obiekty są blisko siebie, jeśli funkcje bazowe związane z nimi są jednocześnie różne od zera w co najmniej jednym podobszarze całkowania¹³.

Struktura macierzy A zilustrowana jest na rys. 2.7 dla przykładu skalar-nej aproksymacji trzeciego stopnia w elementach czworokątnych. Wypisane są tylko niezerowe wyrazy macierzy: e₁ oznacza pewien czworokąt (ściśle jego wnętrze), w₁ jeden z jego wierzchołków, a b₁ jeden z jego boków; b₂ oznacza krawędź należącą do elementu sąsiedniego e₂, nie należącą do e₁. Z obiektami siatki związane są grupy funkcji bazowych, a tym z kolei odpowiadają zazna-czone na rys. 2.7 grupy wierszy i kolumn A. Poszczególne bloki elementarne opisane są poniżej dla kolejnych grup wierszy macierzy A związanych z kolej-nymi obiektami siatki. Taka grupa wierszy, poziome pasmo macierzy A, będzie miało istotne znaczenie przy implementacji solwera równań liniowych.

Blokami elementarnymi na rys. 2.7 są:

• dla wierzchołka w₁ – blok diagonalny {A_1,1} i bloki pozadiagonalne:

n A_1,2 A_1,3 ^o,ⁿ A_1,4 A_1,5 A_1,6 A_1,7 ^oiⁿ A_1,8 A_1,9 ^o,

• dla krawędzi b₁– blok diagonalny

( A_2,2 A_2,3

12W przypadku liniowej aproksymacji funkcji wektorowych, takiej jak np. opisywana w pracy aproksymacja równań Eulera czy klasyczna aproksymacja równań liniowej teorii sprę-żystości, bloki elementarne A^E_jk bezpośrednio odpowiadają macierzom występującym we wzorach (2.38) i (2.39).

13Przy aproksymacji związanej [60] na siatkach nieregularnych nie ze wszystkimi obiek-tami siatki można związać funkcje bazowe. Jednocześnie niektóre funkcje bazowe mogą być niezerowe w elementach nie zawierających obiektu, z którym związana jest dana funkcja.

Mimo to ogólna struktura macierzy A pozostaje taka sama – niezerowe są te bloki, które odpowiadają obiektom siatki bliskim sobie, komplikuje się nieco tylko definicja bliskości.

w₁ b₁ e₁ b₂

Rys. 2.7. Przykładowa struktura niezerowych wyrazów macierzy A układu równań liniowych MES

• dla elementu e₁ – blok diagonalny



• dla krawędzi b₂– blok diagonalny

( A_8,8 A_8,9

Bloki diagonalne są zawsze kwadratowe, bloki pozadiagonalne mogą być prostokątne. Schemat tworzenia bloków elementarnych macierzy A można w sposób prosty powtórzyć dla większych bloków związanych z grupami obiek-tów siatki. Łatwo wyobrazić sobie bloki związane ze wszystkimi obiektami tworzącymi element e₁. Znów powstałby jeden kwadratowy blok diagonalny (jego fragmentem byłby kwadrat A_1,1÷ A_1,7 × A_1,1÷ A_1,7) oraz bloki poza-diagonalne związane z obiektami sąsiadującymi z e₁. Fragmentem jednego z takich bloków, odpowiadającemu parze elementów e₁ i e₂, byłby prostokąt

A_1,8÷ A_1,9× A_1,1÷ A_1,7. Idąc dalej, można tworzyć bloki związane z małymi grupami sąsiadujących elementów („łatami” elementów) i jeszcze dalej, bloki związane z dużymi podobszarami obszaru obliczeniowego.

Istotną cechą bloków elementarnych jest to, że dla standardowych apro-ksymacji wszystkie ich wyrazy są niezerowe. Dla większych bloków nie jest to prawdą. Już bloki związane z pojedynczym elementem zawierają zerowe fragmenty macierzy A. Na rys. 2.7 widać, że prostokątny blok pozadiagonalny związany z e₁ i e₂ będzie miał zera we wszystkich wierszach odpowiadają-cych wnętrzu e₁ (wyrazy na przecięciu wierszy od 4 do 7 i kolumn od 8 do 9). Przy tworzeniu jeszcze większych bloków zera pojawiają się także w blo-kach diagonalnych. Dla bloku diagonalnego związanego z parą elementów e₁ i e₂ wymienione wyżej zera z bloku pozadiagonalnego przenoszą się do bloku diagonalnego. W sytuacji gdy bloki odpowiadają dużym podobszarom, ich struktura jest zbliżona do struktury samej macierzy A.

Rzadka struktura macierzy A jest wykorzystywana przez wszystkie solwery układów równań liniowych używane w programach MES. Proste rozumowanie dla strukturalnej siatki sześciennej i ciągłej liniowej skalarnej aproksymacji po-kazuje, że liczba niezerowych wyrazów w pojedynczym wierszu A jest stała i wynosi 27. Przy liczbie niewiadomych rzędu milionów daje to współczynnik rzadkości (procent zer w macierzy) ponad 99.99%. Dla dowolnej siatki i ograni-czonego stopnia aproksymacji (zazwyczaj w praktyce stopień aproksymacji nie przekracza dwudziestu) liczba niezerowych wyrazów w pojedynczym wierszu A jest ograniczona. W obliczeniach wielkiej skali, gdy liczba stopni swobody wynosi kilka milionów, współczynnik rzadkości przekracza 99%, nawet w przy-padku aproksymacji wyższego stopnia i siatek niestrukturalnych.