Charakterystyka Eulera ogniw rodziny zbiorów semianalitycz-

Wniosek 4.9 Istnieje takie h = h2

1 + . . . + h2

q ∈ A(Ω)_c[[x]], »e Xω = V (h_ω) dla ka»dego ω ∈ Ω.

4.2 Charakterystyka Eulera ogniw rodziny

zbio-rów semianalitycznych i analitycznych

We¹my h ∈ A(Ω)c[[x]]. Wtedy Σ = {ω ∈ Ω | h(0) = 0} jest zbiorem domkni¦-tym. Poka»emy, »e istnieje takie k > 0, »e dla ω ∈ Σ

gω(x) = hω(x) − (x²₁+ . . . + x²_n)^k ma w 0 izolowany punkt krytyczny oraz

gdzie ∇gω =^∂gω

∂x1, . . . , ^∂gω

∂xn

: (Rⁿ, 0) −→ (Rⁿ, 0).

Powtórzymy argumentacj¦ z dowodu [44, Theorem 1]. Oznaczmy r(x) = x2

1 + . . . + x2

n. Zaªó»my, »e hω, r s¡ reprezentantami kieªków zdeniowanymi w otwartym otoczeniu U punktu 0. Deniujemy V_ω = {(x, , y) ∈ U × R × R | r(x) = ², rank(dr(x), dh_ω(x)) ≤ 1, y = h_ω(x)}. Wtedy x i y s¡ odpowiednio punktami i warto±ciami krytycznymi funkcji hω

na sferze o promieniu . Niech π : Rn

× R × R −→ R × R b¦dzie rzutem na dwie ostatnie wspóª-rz¦dne. Vω jest zbiorem analitycznym (nierówno±¢ w denicji mo»na zast¡pi¢ przyrównaniem odpowiednich minorów do zera, otrzymamy wtedy sko«czon¡ liczb¦ równa«) i π : Vω −→ π(V_ω) jest w pewnym otoczeniu zera odwzoro-waniem wªa±ciwym. St¡d π(Vω) jest domkni¦ty i subanalityczny w pewnym otoczeniu zera.

Oznaczmy Y1 = R × {0}, Y2^ω = π(V_ω) \ Y₁. Wtedy Yω

2 jest zbiorem suba-nalitycznym. Je±li 6= 0, to

π(V_ω) ∩ {} × R = {} × {zbiór warto±ci krytycznych hω|_Sn−1 }. Na mocy wniosku 3.2 istnieje taka staªa α > 0, »e dla ω ∈ Ω

|y| = |h_ω(x)| ≥ ||x||^α = ^α dla ka»dej takiej pary (, y) ∈ Yω

2 , »e < ω i y jest dostatecznie bliski 0. We¹my liczb¦ caªkowit¡ k > α. Deniujemy gω(x) = hω(x) − r^k(x).

Niech

V_ω⁰ = {(x, , y) ∈ U × R × R | r(x) = ², rank(dr(x), dg_ω(x)) ≤ 1, y = g_ω(x)}. Poniewa» rank(dr(x), dgω(x)) = rank(dr(x), dhω(x)), to

V_ω⁰ = {(x, , y) ∈ U ×R×R | r(x) = ², rank(dr(x), dh_ω(x)) ≤ 1, y = h_ω(x)−^2k}. Deniujemy G(, y) = (, y − 2k). Wtedy π(V0

ω) = G(π(V_ω)), zatem mamy π(V_ω⁰) ∩ R × {0} = {(0, 0)}

w odpowiednio maªym otoczeniu zera. St¡d, je±li 6= 0 jest dostatecznie blisko 0, to 0 jest warto±ci¡ regularn¡ gω|_Sn−1

, zatem gω ma w 0 izolowany punkt krytyczny.

Rzeczywi±cie, gdyby punkt krytyczny gω w 0 nie byª izolowany, to z lematu o wyborze ªuku 1.4 istniaªaby taka krzywa γ(t), »e ∇g(γ(t)) ≡ 0. Je»eli x ∈ Sⁿ⁻¹ i ∇gω(x) = 0, to x jest punktem krytycznym gω|_Sn−1

. Mamy d dt^g^ω^{(γ(t)) =} ∇g_ω(γ(t)), ^d dt^γ(t) =

= ^∂g^ω ∂x₁^(γ(t)) dγ1 dt ^{(t) + . . . +} ∂gω ∂x_n^(γ(t)) dγn dt ^{(t) ≡ 0,} gdzie hu, vi = Pn j=1ujvj dla u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn) ∈ Rⁿ.

Zatem gω byªaby staªa na krzywej γ, a poniewa» γ(0) = 0, to gω(γ(t)) ≡ 0. Jest to sprzeczne z tym, »e π(V0

ω) ∩ R × {0} = {(0, 0)}.

[44, Lemma 1] implikuje, »e dla ka»dego ω ∈ Σ i dla dostatecznie maªego = (ω)

χ(Sⁿ⁻¹∩ {h_ω ≤ 0}) = 1 − deg₀∇g_ω.

Zauwa»my, »e dla ω ∈ Ω i dostatecznie maªych > 0 je±li hω(0) 6= 0, to mamy χ(Sn−1

∩ {h_ω ≤ 0}) = 0 dla n parzystych i χ(Sn−1

∩ {h_ω ≤ 0}) = 1 + sgn(−h_ω(0)) dla n nieparzystych. Zatem na Ω \ Σ

χ(Sⁿ⁻¹∩ {h_ω ≤ 0}) =

0, n parzyste 1 + sgn(−h_ω(0)), nnieparzyste^. Stosuj¡c twierdzenie 4.7 oraz uwag¦ 4.5, otrzymujemy:

Twierdzenie 4.10 Dla h ∈ A(Ω)c[[x]] istniej¡ takie v1, v₂, . . . , v_s ∈ A(Ω), »e dla ω ∈ Ω χ(lk(0, {h_ω ≤ 0}) = s X i=1 sgn v_i(ω).

Nast¦pny lemat b¦dzie odgrywaª kluczow¡ rol¦ w dowodach twierdze« 4.13 i 5.2.

Lemat 4.11 Dla h ∈ A(Ω)c[[x]] istniej¡ takie h1, h₂, . . . , h_s ∈ A(Ω), »e dla ω ∈ Ω 1 2^{(χ(lk(0, {h}^ω ≥ 0})) ± χ(lk(0, {h_ω ≤ 0}))) = s X i=1 sgn h_i(ω).

Dowód. Deniujemy g(ω, t, x) = th(ω, x) dla ω z pewnego otoczenia zbioru Ω, t ∈ [−1; 1]. Zbiór Ω × [−1, 1] jest zwarty i semianalityczny, zatem g nale»y do A(Ω × [−1, 1])c[[x]].

Wtedy dla ω ∈ Ω, t ∈ [−1; 1] mamy gω,t ≥ 0je±li hω ≥ 0i t ≥ 0 lub hω ≤ 0 i t ≤ 0.

Niech dla t > 0 i ustalonego ω ∈ Ω

A₁ = {(x, τ ) ∈ S_(0,t),ⁿ | g_ω,τ(x) ≥ 0 i τ ≥ t} A₂ = {(x, τ ) ∈ S_(0,t),ⁿ | g_ω,τ(x) ≥ 0 i τ ≤ t}. Wtedy dla dostatecznie maªych Sn

(0,t),∩ {g_ω,t ≥ 0} = A₁∪ A₂ oraz A₁∩A₂ = {(x, τ ) ∈ S_(0,t),ⁿ | g_ω,τ(x) ≥ 0 i τ = t} = {(x, t) ∈ Sn

Zbiory A1 i A2 s¡ homeomorczne ze zbiorem {x ∈ Rn | h_ω(x) ≥ 0, kxk ≤ }, który dla maªych > 0 jest homeomorczny ze sto»kiem. Poniewa» A1 i A2 s¡ ±ci¡galne do punktu, to χ(A1) = χ(A₂) = 1 i dla t > 0 i dostatecznie maªych > 0 mamy

χ(S_(0,t),ⁿ ∩ {gω,t ≥ 0}) = 2 − χ(Sⁿ⁻¹∩ {hω ≥ 0}). Analogicznie

χ(S_(0,−t),ⁿ ∩ {g_ω,t ≥ 0}) = 2 − χ(Sn−1

∩ {h_ω ≤ 0}) dla t > 0 i dostatecznie maªych .

Na mocy twierdzenia 4.10 istniej¡ takie g1, g₂, . . . , g_s ∈ A(Ω × [−1; 1]), »e ∀_{(ω,t)∈Ω×[−1;1]} χ(lk(0, {g_ω,t ≥ 0})) = s X i=1 sgn g_i(ω, t). Otrzymujemy 1 2^{(χ(lk(0, {h}^ω ≥ 0})) − χ(lk(0, {h_ω ≤ 0}))) = = ¹ 2t→0^lim+(2 − χ(lk(0, {g_ω,t ≥ 0})) − 2 + χ(lk(0, {g_ω,t ≥ 0}))) = = ¹ 2t→0^lim+(χ(lk(0, {gω,−t ≥ 0})) − χ(lk(0, {gω,t ≥ 0}))) = = ¹ 2t→0^lim+ s X i=1 (sgn g_i(ω, −t) −sgn gi(ω, t)).

Niech D b¦dzie domkni¦tym podzbiorem nierozkªadalnym Ω. Mo»emy za-ªo»y¢, »e gi 6≡ 0 na D × [−1; 1]. Dla i = 1, . . . , s istniej¡ hi ∈ A(Ω × [−1; 1]) i nieujemne liczby caªkowite ki takie, »e gi(ω, t) = tkih_i(ω, t) oraz hi 6≡ 0 na D × {0}. Niech

Σ := {ω ∈ D | ∃_{i∈{1,...,s}} h_i(ω, 0) = 0},

wtedy Σ jest wªa±ciwym domkni¦tym podzbiorem D. Dla ω ∈ D \ Σ 1 2t→0^lim+ s X i=1 (sgn gi(ω, −t) − sgn gi(ω, t)) = s X i=1 sgn h⁰_i(ω), gdzie h0

i(ω) = −h_i(ω, 0) je±li ki jest nieparzyste, a h0

i(ω) = 0 je±li ki jest parzyste. Oczywi±cie h0 i ∈ A(Ω). Z drugiej strony 1 2^{(χ(lk(0, {h}^ω ≥ 0})) + χ(lk(0, {h_ω ≤ 0}))) =

= ¹ 2t→0^lim+(2 − χ(lk(0, {g_ω,t ≥ 0})) + 2 − χ(lk(0, {g_ω,−t ≥ 0}))) = = ¹ 2t→0^lim+(4 − χ(lk(0, {g_ω,−t ≥ 0})) − χ(lk(0, {g_ω,t ≥ 0}))) = = 2 − ¹ 2t→0^lim+ s X i=1 (sgn g_i(ω, −t) + sgn g_i(ω, t)) i dla ω ∈ D \ Σ otrzymujemy jak wy»ej

1 2t→0^lim+ s X i=1 (sgn g_i(ω, −t) + sgn g_i(ω, t)) = s X i=1 sgn h⁰⁰_i(ω), gdzie h00

i(ω) = h_i(ω, 0)je±li kijest parzyste, a h00

i(ω) = 0je±li ki jest nieparzyste. Pokazali±my, »e 1

2(χ(lk(0, {hω ≥ 0})) ± χ(lk(0, {hω ≤ 0}))) jest sum¡ zna-ków funkcji analitycznych na D \ Σ. Zastosowanie lematu 4.6 ko«czy dowód.

Wniosek 4.12 Dla f ∈ A(Ω) istniej¡ takie g1, g₂, . . . , g_q ∈ A(Ω), »e dla ω ∈ Ω 1 2^{χ(lk(ω, V (f ))) =} 1 2^{χ(lk(0, V ( ˜}^f^ω^{))) =} q X i=1 sgn g_i(ω), gdzie V (f) jest kieªkiem w ω, a V ( ˜f_ω) kieªkiem w 0.

Dowód. Mamy

χ(Sⁿ⁻¹∩ V ( ˜fω)) = χ(Sⁿ⁻¹∩ { ˜fω ≤ 0}) + χ(Sⁿ⁻¹∩ { ˜fω ≥ 0}) − χ(Sⁿ⁻¹), zatem na mocy lematu 4.11

1 2^χ(S n−1 ∩ V ( ˜f_ω)) = s X i=1 sgn h_i(ω) − ^{1 + (−1)} n−1 2 ^. Wnioski 4.9 i 4.12 implikuj¡:

Twierdzenie 4.13 Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie zwartym zbiorem semianalitycznym i niech F b¦dzie dowoln¡ rodzin¡ funkcji zawart¡ w A(Ω). Dla ω ∈ Ω oznaczmy przez Iω ideaª generowany w R{x} = R{x1, . . . , x_n} przez zbiór ^{n ˜}f_ω| f ∈ Fo, a przez Xω reprezentanta kieªka w zerze zbioru V (Iω). Wtedy istniej¡ takie v₁, v₂, . . . , v_q∈ A(Ω), »e ∀_ω∈Ω ¹ 2^{χ(lk(0, X}^ω^{)) =} q X i=1 sgn v_i(ω).

Uwaga 4.14 ledz¡c dowód lematu 4.11 mo»na sprawdzi¢, »e wynik ten jest prawdziwy tak»e w przypadku, gdy zamiast A(Ω) b¦dziemy rozpatrywa¢ tak¡ algebr¦ Ωnoetherowsk¡ O(Ω) (gdzie Ω jest lokalnie domkni¦tym podzbiorem Rⁿ), »e

1) istnieje taki podzbiór I ⊂ R zawieraj¡cy otoczenie 0, »e O(Ω × I) jest (Ω × I)noetherowska oraz istnieje naturalne wªo»enie O(Ω) ,→ O(Ω×I) 2) dla g ∈ O(Ω×I) i skªadowej nierozkªadalnej D zbioru Ω takich, »e g 6≡ 0 na D×I, istniej¡ h ∈ O(Ω×I) i nieujemne caªkowite k takie, »e g(ω, t) = tkh(ω, t) dla ω ∈ D i t dostatecznie blisko 0, h(·, 0) ∈ O(Ω) oraz h 6≡ 0 na D × {0}.

Algebra funkcji Nasha na otwartym zbiorze semialgebraicznym Ω ⊂ Rn

z przykªadu 2.10 oraz algebry z przykªadów 2.13, 2.14 speªniaj¡ te warunki. Dla przykªadu podamy argumentacj¦ dla algebry funkcji Nasha (dla pozosta-ªych analogicznie).

Mo»emy przyj¡¢ I = (−1; 1). Niech g ∈ N (Ω × I), g 6≡ 0 na D × I, gdzie D jest skªadow¡ nierozkªadaln¡ Ω. Je±li g ≡ 0 na D × {0} (w przeciwnym wypadku przyjmujemy h = g), to:

g(x, t) = g(x, t) − g(x, 0) = Z 1 0 d ds^{g(x, st) ds =} = Z 1 0 t^∂g ∂t^{(x, st) ds = t} Z 1 0 ∂g ∂t^{(x, st) ds,} czyli g(x, t) = tf(x, t). Poka»emy, »e f(x, t) = R1

0 ∂g

∂t(x, st) ds ∈ N (Ω × I). Skorzystamy z nast¦puj¡cego twierdzenia:

Twierdzenie 4.15 ([7, Proposition 8.1.8]) Niech U b¦dzie otwartym semial-gebraicznym podzbiorem Rn. Funkcja f : U −→ R jest funkcj¡ Nasha wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcj¡ analityczn¡, speªniaj¡c¡ nietrywialne równanie algebraiczne na U.

Innymi sªowy funkcja f jest Nasha wtedy i tylko wtedy, gdy jest anali-tyczna oraz istnieje taki wielomian P ∈ R[x1, . . . , xn, y] = R[x, y], P 6≡ 0, »e P (x, f(x)) = 0 na U.

Niech P ∈ R[x, t, y] b¦dzie takim wielomianem dla funkcji g, tzn. na Ω × I mamy P (x, t, g(x, t)) = 0. Przyjmijmy P0

∈ R[x, t, y], P0(x, t, y) = P (x, t, ty), wtedy P0 6≡ 0. Funkcja f(x, t) = R1

0 ∂g

∂t(x, st) ds jest funkcj¡ analityczn¡ oraz speªnia równanie P0(x, t, f (x, t)) = P (x, t, tf (x, t)) = P (x, t, g(x, t)) = 0 na Ω × I, zatem jest funkcj¡ Nasha na Ω × I.

Je±li f ≡ 0 na D × {0}, to powtarzamy dla f wcze±niejszy rachunek, po sko«czonej liczbie kroków otrzymamy h o »¡danych wªasno±ciach.

Algebra R[x][f1, . . . , f_q] (przykªad 2.11) tak»e speªnia powy»sze warunki. Mo»emy bowiem zdeniowa¢ algebr¦ R[x, t][F1, . . . , F_q], dla której odwzoro-wania Fi : Rn × [−1; 1] −→ R s¡ dane wzorami Fi(x, t) = f_i(x). Jest to algebra Rn× [−1; 1]noetherowska i F1, . . . , F_q nie zale»¡ od ostatniej zmien-nej, analogicznie jak w przypadku funkcji Nasha mo»na pokaza¢, »e posiada ona wªasno±¢ 2).

Sumy znaków rzeczywistych

funkcji analitycznych

Niech Y ⊂ Rn b¦dzie rzeczywistym zwartym zbiorem semianalitycznym. Za-ªó»my, »e funkcj¦ φ : Y −→ Z posiada reprezentacj¦ jako sko«czona suma

φ =^X

m_i1_Y_i,

gdzie mi s¡ liczbami caªkowitymi, Yi s¡ semianalitycznymi podzbiorami Y , a 1Yi oznaczaj¡ funkcje charakterystyczne zbiorów Yi.

Mo»emy tak wybra¢ Yi, »eby byªy zwartymi semianalitycznymi podzbio-rami Y . Zgodnie z [33] i [12] deniujemy caªk¦ Eulera, operator linku Λ i ope-rator dualny D: Z Y φ =^X i m_iχ(Y_i), Λφ(y) = Z Y φ1_Sn−1 y, , gdzie = (y) jest dostatecznie maªy,

D φ(y) = φ(y) − Λφ(y).

Niech Ω b¦dzie jak wy»ej zwartym semianalitycznym podzbiorem Rn. B¦-dziemy mówi¢, »e funkcja g : Ω −→ Z jest sum¡ znaków funkcji analitycz-nych na Ω, je±li istniej¡ takie v1, v₂, . . . , v_s ∈ A(Ω), »e g(ω) = Ps

i=1sgn v_i(ω). Wtedy g jest w rzeczywisto±ci zdeniowana na zwartym semianalitycznym oto-czeniu Y zbioru Ω, na którym zdeniowane s¡ wszystkie funkcje vi. W tym przypadku dla ω ∈ int Y ⊃ Ω mamy:

Λg(ω) = Z Y g1_Sn−1 ω, = Z Sω,ⁿ⁻¹ g = s X i=1 χ({v_i ≥ 0} ∩ Sk−1 ω, ) − χ({v_i ≤ 0} ∩ Sk−1 ω, ) , gdzie jest dostatecznie maªy.

Wykorzystuj¡c twierdzenie 4.13, lemat 4.11 i argumentacj¦ podobn¡ do przeprowadzonej w [40, Corollary 6.3 i Theorem 6.4] poka»emy, jak otrzyma¢ wynik analogiczny do gªównego twierdzenia [16].

Je±li a 6= 0 6= b, to mamy sgn a + sgn b = 1 + sgn ab mod 4.

Zaªó»my, »e f ∈ A(Ω). Wtedy X = f−1(0) jest zbiorem analitycznym zdeniowanym w otoczeniu Ω.

Na mocy twierdzenia 4.13 istniej¡ takie funkcje v1, v₂, . . . , v_q ∈ A(Ω), »e 1

2χ(lk(0, Xω)) =Pq

i=1sgn vi(ω). Niech Ω = Ω1∪ . . . Ωm b¦dzie rozkªadem na skªadowe nierozkªadalne. Zaªó»my, »e vi 6≡ 0 na Ω1 dla i = 1, . . . , l ≤ q. Przyjmuj¡c v = v1v₂. . . v_l i Σ = {ω ∈ Ω1 | v(ω) = 0} ∪Sm

i=2Ω_i otrzymujemy Wniosek 5.1 Istniej¡ wªa±ciwy domkni¦ty podzbiór Σ ⊂ Ω, staªa caªkowita µ = l − 1 i funkcja analitycza v ∈ A(Ω) takie, »e v jest ró»na od zera na Ω \ Σ i dla ω ∈ Ω \ Σ

2^{χ(lk(0, X}^ω^{)) = µ + sgn v(ω)} ^{mod 4.} W szczególno±ci dla takich ω

2^{χ(lk(0, X}^ω^{)) = µ + 1} ^{mod 2.}

Lemat 4.11 implikuje te» twierdzenie analogiczne jak w [33]:

Twierdzenie 5.2 Je±li g : Ω −→ Z jest sum¡ znaków funkcji analitycznych v₁, v₂, . . . , v_s ∈ A(Ω) na Ω (w szczególno±ci je±li g(ω) = 1

2χ(lk(0, X_ω))), to funkcje 1

2Λg i 1

2(g + D g) maj¡ warto±ci caªkowite i s¡ sumami znaków funkcji analitycznych na Ω. Dowód. Mamy 1 2^{Λg(ω) =} s X i=1 1 2 ^χ({vⁱ^{(ω) ≥ 0} ∩ S} n−1 ω, ) − χ({v_i(ω) ≤ 0} ∩ S_ω,ⁿ⁻¹) = = s X i=1 1 2^{(χ(lk(ω, {v}ⁱ ≥ 0})) − χ(lk(ω, {v_i ≤ 0})) dla dostatecznie maªego , zatem teza wynika z lematu 4.11.

[1] Akbulut, S., King, H.: The topology of real algebraic sets. Enseign. Math. 29 (1983), 221261.

[2] Akbulut, S., King, H.: Topology of real algebraic sets. MSRI Publ. 25, Springer Verlag, New York, 1992.

[3] Balcerzyk, S., Jozeak, T.: Pier±cienie przemienne. PWN Warszawa (1985).

[4] Benedetti, R., Dedò, M.: The topology of two dimensional real algebraic varieties. Annali Math. Pura Appl. 127 (1981), 141171

[5] Bierstone, E., Milman, D.: Semianalytic and subanalytic sets. Inst. Hau-tes Études Sci. Publ. Math. No. 67 (1988), 542.

[6] Bierstone, E., Milman, D.: Relations among analytic functions. Ann. Inst. Fourier 37 (1987), 187239.

[7] Bochnak, J., Coste, M., Roy, M.F.: Real algebraic geometry. Berlin: Springer Verlag (1998).

[8] Bonnard, I.: Nash constructible functions. Manuscripta Math. 112 (2003), no. 1, 5575.

[9] Bonnard, I.: Combinatorial characterizations of algebraic sets. Algori-thmic and quantitative real algebraic geometry (Piscataway, NJ, 2001), 2333, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., 60, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003.

[10] Bonnard, I.: Description of algebraically contructible functions. Adv. Geom. 3 (2003), no. 2, 145161.

[11] Bonnard, I.: Un critére pour reconâitre les fonctions algébriquement con-structibles. J. Reine Angew. Math. 526 (2000), 6188.

[12] Bonnard, I., Pieroni, F.: Constructible functions on 2dimensional ana-lytic manifolds. (preprint)

[13] Coste, M.: Sousensembles algébriques réels de codimension 2. Real Ana-lytic and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math. 1420, Springer Verlag (1990), 111120.

[14] Coste, M.: Reconnâitre eectivement les ensembles algébriques réels. Bull. IREM, Rennes (1990).

[15] Coste, M., Kurdyka, K.: On the link of a stratum in a real algebraic set. Topology 31 (1992), no. 2, 323336.

[16] Coste, M., Kurdyka, K.: Le discriminant d'un morphisme de variétés algébriques réelles. Topology 37 (1998), no. 2, 393399.

[17] Eisenbud, D., Levine, H. I.: An algebraic formula for the degree of a C∞

map germ. Ann. of Math., 106 (1977), 1944.

[18] El Khadiri, A., Hlal, M.: Noethérianité de certaines algébres de fonctions analytiques et applications. Ann. Polon. Math. 75 (2000), no. 3, 247256. [19] El Khadiri, A., Tougeron, J.Cl.: Familles noethériennes de modules sur

k[[x]] et applications. (preprint, 1984)

[20] El Khadiri, A., Tougeron, J.Cl.: Familles noethériennes de modules sur k[[x]] et applications. Bull. Sci. math. 120 (1996), 253292.

[21] El Khadiri, A., Tougeron, J.Cl.: Familles noethériennes de sousmodules de k[[x]]p et applications. I. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 301 (1985), no. 9, 423426.

[22] El Khadiri, A., Tougeron, J.Cl.: Familles noethériennes de sousmodules de k[[x]]pet applications. II. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 301 (1985), no. 10, 475478.

[23] Hermite, C.: Remarques sur le théorème de Sturm. C. R. Acad. Sci. Paris 36 (1853), 5254.

[24] Hermite, C.: Sur l'extension du théorème de M. Sturm à un système d'équations simultanées. Oeuvres de Charles Hermite, Tome 3, ed. E. Picard, Edition Paris, Gauthier Villars, 1912, 134.

[25] Galligo, A.: Théorème de division et stabilité en géometrié analytique locale. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 29 (1979), 107184.

[26] Khimshiashvili, G. M.: On the local degree of a smooth map. Soobshch. Akad. Nauk. Gruz. SSR, 85 (1977), 309311.

[27] Kurdyka, K.: Ensembles semialgébriques symétriques par arcs. Math. Ann. 282 (1988), 445462.

[28] ojasiewicz, S.: Wst¦p do geometrii analitycznej zespolonej. Biblioteka Matematyczna, 68. Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), War-szawa, 1988.

[29] ojasiewicz, S.: Ensembles semianalytiques, IHES 1965.

[30] ojasiewicz, S.: Triangulation of semianalytic sets. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 18 (1964), 449474.

[31] Massey, W. S.: A basic course in algebraic topology. Springer Verlag, New York (1991).

[32] Mather, J.: Stratications and mappings. Dynamical systems (Proc. Sym-pos., Univ. Bahia, Salvador,1971), Academic Press, New York, 1973, 195 232.

[33] McCrory, C., Parusi«ski, A.: Algebraically constructible functions, Ann. Scient. Ecole Norm. Sup. (4) 30 (1997), 527552.

[34] McCrory, C., Parusi«ski, A.: Complex monodromy and the topology of real algebraic sets. Compositio Math. 106, (1997), 211233.

[35] McCrory, C., Parusi«ski, A.: Topology of real algebraic sets of dimension 4: necessary conditions. Topology 39 (2000),495523.

[36] Milnor, J. W.: Topologia z ró»niczkowego punktu widzenia. PWN War-szawa (1969).

[37] Narasimhan, R.: Introduction to the theory of analytic spaces. Lecture Notes in Mathematics, No. 25 Springer Verlag, Berlin New York 1966. [38] Nirenberg, L.: Topics in nonlinear functional analysis. With a chapter by E. Zehnder. Notes by R. A. Artino. Lecture Notes, 19731974. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, New York, 1974. [39] Nowel, A.: Topological invariants of analytic sets associated with

Noethe-rian families. (uka»e si¦ w: Annales de l'Institut Fourier 55, 2005). [40] Parusi«ski, A., Szafraniec, Z.: Algebraically constructible functions and

signs of polynomials. Manuscripta Math. 93 (1997), no.4, 443456. [41] Parusi«ski, A., Szafraniec, Z.: On the Euler characteristic of bres of real

polynomial maps. Singularities Symposium ojasiewicz 70 (Kraków, 1996; Warsaw, 1996), 175182, Banach Center Publ., 44, Polish Acad. Sci., Warsaw, 1998.

[42] Sullivan, D.: Combinatorial invariants of analytic spaces. Proc. Liverpool Singularities Symposium I, Lecture Notes in Math. 192, Springer Verlag (1971), 127138.

[43] Sylvester, J. J.: On a theory of syzygetic relations of two rational inte-gral functions, comprising an application to theory of Sturm's functions. Philos. Trans. Roy. Soc. London 143 (1853).

[44] Szafraniec, Z.: On the Euler characteristic of analytic and algebraic sets. Topology 25 (1986), no. 4, 411414.

[45] Szafraniec, Z.: On the Euler characteristic of complex algebraic varieties. Math. Ann. 280 (1988), 177183.

[46] Teissier, B.: Varietes polaires II. Multiplicités polaires, sections planes, et conditions de Whitney. Centre de Mathématiques de l'Ecole Polytechni-que, France, Laboratoire Associé au C.N.R.S. No 169, 1980.

[47] Tougeron, J.Cl.: Algébres analytiques topologiquement noethériennes. Théorie de Khovanski. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 41 (1991), no. 4, 823840.

[48] Tougeron, J.Cl.: Idéaux de fonctions diérentiables. Springer Verlag Berlin Heidelberg New York, 1972.

[49] Tougeron, J.Cl.: Sur certaines algébres de fonctions analytiques. Sémi-naire sur la géométrie algébrique réelle, Tome I, II, 35121, Publ. Math. Univ. Paris VII, 24, Univ. Paris VII, Paris, 1986.

[50] Whitney, H.: Tangents to an analytic variety. Ann. of Math. 81 (1965), 496549.

W dokumencie (pdf) (Stron 45-57)