1. Założenia metodologiczne
1.1. Charakterystyka metody parametrycznej
Podstawowy opis metod parametrycznych został zawarty w poprzed-niej publikacji127, jednakże z uwagi na skomplikowaną ich naturę i dla wy-gody czytelnika streszczone zostaną najbardziej istotne kwestie. W podej-ściu parametrycznym wyróżnia się dwa rodzaje modeli – deterministyczne oraz stochastyczne.
W metodzie parametrycznej, czyli analizie stochastycznej funkcji gra-nicznej, w przeciwieństwie do opisanej wcześniej metody nieparametrycznej, konieczne jest sprecyzowanie postaci analitycznej funkcji charakteryzującej krzywą możliwości produkcyjnych. W praktyce trudno jest jednoznacznie stwierdzić, jaką postać należy zastosować w analizie procesu produkcyjnego przedsiębiorstwa czy (częściej) grupy przedsiębiorstw. Zakłada się wówczas, że technologię produkcji opisuje wybrana a priori funkcja. Zwykle dokonuje się aproksymacji nieznanej funkcji produkcji za pomocą funkcji liniowej, potęgo-wej (np. Cobb-Douglasa), kwadratopotęgo-wej, translogarytmicznej, CES, Leontiefa itp. Najczęściej jednak stosowane są funkcja translogarytmiczna i będąca jej szczególnym przypadkiem funkcja Cobb-Douglasa. Zaletą tych typów funkcyj-nych jest to, że są nieliniowe a jednocześnie w prosty sposób można je sprowa-dzić do postaci liniowej. Można zatem stwiersprowa-dzić, że są one kompromisem po-między prostotą funkcji liniowej a trudnościami w estymacji funkcji CES czy Leontiefa. Z tego głównie wynika ich częste zastosowanie w badaniach proce-sów produkcyjnych. Jednakże, jak stwierdzono na wstępie, wybór typu funkcji to jedynie uproszczenie, które niejednokrotnie prowadzi do błędnego wniosko-wania na temat istoty badanego zjawiska. Bardzo ważne jest przeprowadzenie weryfikacji szacowanych funkcji pod względem ich statystycznej istotności, gdyż brak takiego postępowania skutkować może wyciąganiem błędnych wnio-sków. Konieczność założenia postaci funkcji technologii jest główną wadą po-dejścia parametrycznego w analizie efektywności. W metodzie parametrycznej, jak już wspomniano, najczęściej stosowane są funkcje Cobb-Douglasa i
127 Analiza efektywności ekonomicznej i finansowej…, op. cit.
garytmiczna. W celu ustalenia efektywności technicznej, która przypomnijmy rozumiana jest jako stosunek uzyskiwanego efektu do maksymalnego możliwe-go do osiągnięcia efektu, stosuje się funkcję produkcji.
Przykładem deterministycznego podejścia do estymacji efektywności jest podejście zaproponowane przez Aignera i Chu (1968), którzy oszacowali stochastyczny model graniczny o postaci:
i
ui – dodatnia zmienna losowa wyrażająca nieefektywność.
W modelu deterministycznym, podobnie jak w metodzie DEA, każde od-chylenie od krzywej granicznej przypisywane jest nieefektywności technicznej.
Jednakże odchylenia od tej krzywej mogą wynikać również z innych przyczyn (błędne obserwacje, wpływ zmiennych nieujętych w modelu, takich jak np.
szczęście, pogoda itp.), które noszą nazwę tzw. szumu. Zaletą zastosowania po-dejścia stochastycznego w estymacji równań granicznych jest to, że uwzględnia się w nim istnienie szumu statystycznego, który reprezentowany jest przez do-datkową zmienną losową vi. Stochastyczny model graniczny został jednocześnie i niezależnie zaproponowany przez Aignera, Lovella i Schmidta (1997) oraz Me-eusena i van den Broecka (1977). Jest to model o następującej ogólnej postaci:
i
vi – zmienna losowa reprezentująca błąd losowy, który uwzględnia istnienie szumu statystycznego.
Graficzna prezentacja stochastycznego modelu granicznego typu Cobb- -Douglasa została zaczerpnięta z pracy T.J. Coelliego128. Założono, że dwa przedsiębiorstwa produkują jeden produkt przy tylko jednym nakładzie:
i
Na rysunku 26 zaprezentowano nakłady i efekty dla dwóch przedsię-biorstw A i B. Na osi odciętych umieszczono wielkość nakładów, natomiast na osi rzędnych wielkość efektów. Przedsiębiorstwo A wykorzystuje nakład w wielkości xA do wytworzenia efektu qA, przedsiębiorstwo B odpowiednio nakład xB do wytworzenia efektu qB (punkty zostały zaznaczone na wykresie znakiem ×). Jeśli nie występowałaby nieefektywność (czyli uA = 0 i uB = 0), wówczas tak zwany graniczny efekt (oznaczony na rysunku znakiem ⊗) byłby dany wzorami, odpowiednio dla przedsiębiorstw A i B:
)
Graniczny produkt przedsiębiorstwa A leży nad krzywą deterministycz-nej części produkcyjnego modelu granicznego, ponieważ wpływ szumu jest dodatni (vA>0), natomiast graniczny efekt dla przedsiębiorstwa B leży na tej krzywej, gdyż wpływ szumu był ujemny (uB<0). W przypadku, w którym wpływ szumu jest dodatni i większy od nieefektywności, empiryczny (obser-wowany) efekt będzie znajdował się ponad krzywą deterministycznej części produkcyjnego modelu granicznego.
Rysunek 26 Graficzna prezentacja stochastycznego modelu granicznego
)
Miernikiem efektywności technicznej, który można ustalić, wykorzystując oszacowany stochastyczny model graniczny, jest stosunek empirycznego efektu do efektu granicznego:
Współczynnik TE przyjmuje wartości od zera do jedności i jest miarą efektywności względnej.
Stochastyczny model graniczny zawiera dwa czynniki losowe: vi o syme-trycznym rozkładzie oraz dodatni składnik losowy ui. Zakłada się, że rozkład vi jest niezależny od ui, oraz że oba składniki losowe są nieskorelowane ze zmien-nymi objaśniającymi. Ponadto przyjmuje się, że składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zero, oraz że vi i ui są homoskedastyczne, czyli ich wariancje są skończone i stałe. W praktyce przyjmuje się z góry rozkład składnika loso-wego ui. Najczęściej zakłada się, że ma on rozkład półnormalny, ucięty normal-ny, wykładniczy lub gamma.
Estymacjia stochastycznych modeli granicznych jest bardzo skompliko-wana, lecz ułatwiają ją specjalistyczne programy komputerowe, m.in. pakiety statystyczne, np. STATA, GAUSS oraz specjalistyczne: LIMDEP i FRON-TIER129. Pierwszy z nich jest bardziej zaawansowany, lecz płatny. FRONTIER natomiast jest programem darmowym; pomimo że jego możliwości w porów-naniu z LIMDEP są ograniczone, wystarcza do przeprowadzenia również za-awansowanych analiz z zakresu stochastycznej analizy granicznej.
Procedury testowania hipotez dotyczą wielu aspektów estymacji sto-chastycznych modeli granicznych, od istotności oszacowań parametrów re-gresji poczynając, przez właściwość przyjętej postaci funkcji czy zakładanego rozkładu składnika losowego, a kończąc na testowaniu występowania nie-efektywności.
Istotność parametrów zarówno modelu szacowanego metodą najmniej-szych kwadratów, jak i metodą największej wiarygodności weryfikowana jest testem t-Studenta, przy czym testy te w przypadku równania oszacowanego me-todą największej wiarygodności są testami o własnościach asymptotycznycz-nych, a zatem wymagają dużej próby.
Niezbędne jest również rozstrzygnięcie, czy w analizowanej próbie wy-stępuje zjawisko nieefektywności, to znaczy, czy różnica pomiędzy efektem empirycznym a granicznym wynika z nieefektywnego zastosowania nakładów, czy też odchylenia w efektach wynikają jedynie z szumu. Przez γ określany jest
129 http://www.uq.edu.au/economics/cepa/frontier.htm.
iloraz wariancji składnika losowego ui i całkowitej zmienności zmiennej
σui – wariancja składnika ui – charakteryzującego nieefektywność, σvi – wariancja składnika vi – charakteryzującego nieefektywność.
Hipotezę zerową: H0: γ = 0 należy odrzucić, jeśli wartość statystyki LR (Likelihood ratio – iloraz wiarygodności) jest wyższa niż krytyczna wartość testu χ12−α(1), która dla poziomu istotności α = 0,05 wynosi: χ0,29(1) = 2,71. Je-żeli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, oznacza to, że wariancja składnika losowego równa się zero, a zatem składnik ten (ui) można wyelimi-nować z modelu, a co za tym idzie nie występuje nieefektywność. Wszelkie odchylenia od linii granicznego efektu (deterministycznej) wynikają wówczas z szumu statystycznego. Jeśli stwierdzono, że w analizowanej próbie występu-je zjawisko nieefektywności, wówczas parametr gamma informuwystępu-je, w jakim stopniu zróżnicowanie (wariancja) składnika losowego wywołane jest warian-cją składnika utożsamianego z nieefektywnością.
Zarówno testy istotności parametrów szacowanych modeli granicznych, jak również dotyczące parametru gamma mogą służyć do stwierdzenia, czy zakładana postać funkcji została dobrana poprawnie. W przypadku, gdy roz-ważane są np. dwie postacie funkcji – typu Cobb-Douglasa i translogarytmicz-na – w pierwszej kolejności translogarytmicz-należy stwierdzić, czy oszacowane regresory (współ-czynniki zmiennych objaśniających w równaniu regresji) są istotne statystycznie, a następnie ocenić, w którym przypadku zróżnicowanie składnika losowego (repre-zentującego różnicę między efektem empirycznym a granicznym) wynika w więk-szym stopniu ze zróżnicowania części oznaczającej nieefektywność.
Ustalenie efektywności ekonomicznej i alokacyjnej metodą paramtetrycz-ną, podobnie jak w przypadku metody nieparametrycznej, wymaga znajomości cen analizowanych nakładów. W celu oszacowania tzw. kosztowej efektywności (efektywności ekonomicznej) stosuje się dwa podejścia. W pierwszym szacuje się funkcję kosztów. Odwrotnie niż w przypadku funkcji produkcji, w której poszu-kiwana jest funkcja maksymalnego efektu (graniczna funkcja produkcji), w funk-cji kosztów dąży się do ustalenia funkfunk-cji je minimalizującej. Oszacowanie efek-tywności ekonomicznej, inaczej zwanej kosztową (CE – cost efficiency), następu-je przy użyciu następującej funkcji:
i
gdzie:
ci – koszt całkowity, wni – wektor cen nakładów,
βi, φi – szacowane parametry funkcji, qi – wektor wielkości produkcji,
vi – część składnika losowego reprezentująca szum stochastyczny, ui – część składnika losowego utożsamiana z nieefektywnością.
Zakłada się dalej, że część składnika losowego odpowiedzialna za szum informacyjny (vi) charakteryzuje się rozkładem symetrycznym, natomiast część świadcząca o nieefektywności (ui) jest zawsze dodatnia. Ponadto, podobnie jak w przypadku granicznych modeli produkcji o składniku ui, zakłada się, że ma on rozkład niezależny od rozkładu vi.
Efektywność kosztową można ustalić w sposób analogiczny do efektyw-ności technicznej w przypadku funkcji produkcji. Korzystając ze wspomnianego symetrycznego rozkładu vi, można funkcję kosztów zapisać w postaci:
i
Wówczas, w celu ustalenia efektywności ekonomicznej (kosztowej), można skorzystać ze wzoru:
)
CE – efektywność kosztowa (cost efficiency), pozostałe oznaczenia jak wyżej.
W celu oszacowania funkcji kosztów estymacji dokonuje się jednocześnie z zestawem równań udziału kosztów poszczególnych nakładów. Podejście to posiada jednakże pewne ograniczenie, jeśli celem analizy jest ustalenie efek-tywności technicznej i alokacyjnej. Dzieje się tak, ponieważ efektywność eko-nomiczna określona z funkcji kosztów wynika zarówno z nieefektywności w sensie alokacyjnym, jak i technicznym (ponieważ jedna i druga nieefektyw-ność prowadzi do zwiększania kosztów), natomiast stosowane równania udzia-łów kosztów odnoszą się jedynie do efektywności alokacyjnej. W literaturze problem ten znany jest jako problem Greene’a130.
W drugim podejściu nie szacuje się funkcji kosztów a ustala się ją z funkcji produkcji. Ponieważ konieczne jest skorzystanie z lematu Shephar-da131, wymagane jest by funkcja produkcji, z której wyznaczona ma być
130 Porównaj T.J. Coeli, et al., op. cit.
131 Który mówi, że jeśli funkcja kosztów jest ciągła i różniczkowalna c(w, q), to istnieje wek-tor x, taki, że ∂c(w,q)/∂ w = x.
cja kosztów, była symetryczna. Czyli inaczej mówiąc, by postać funkcji kosz-tów była taka jak funkcji produkcji. Taką własność posiada funkcja produkcji Cobb-Douglasa. Skorzystali z tego Schmidt i Lovell (1979). Opis metody przy-toczony zostanie za Coellim132. W celu ustalenia kosztowej efektywności tech-nicznej i kosztowej efektywności alokacyjnej w tym podejściu koniecznie jest wyznaczenie minimalnego kosztu przy danej technologii produkcji. Dokonuje się tego, wyznaczając lagrangian (funkcję Lagrange’a), a następnie oblicza się jej pochodne pierwszego rzędu i przyrównuje się je do zera. Logarytm z ilora-zów pierwszego i każdego kolejnego warunku pierwszego rzędu minimalizacji funkcji kosztów jest następujący:
ni
W powyższym równaniu ηni jest czynnikiem losowym reprezentującym efektywność alokacyjną.
Korzystając z tej zależności, można z funkcji kosztów typu Cobb- -Douglasa ustalić kosztową efektywność alokacyjną, techniczną oraz kosztową efektywność (ekonomiczną), gdyż równanie graniczne funkcji kosztów można zapisać w sposób następujący:
)
ui/r – wyraża wzrost logarytmu kosztu wynikający z nieefektywności technicznej,
Ai – lnr – mierzy wzrost logarytmu kosztu z uwagi na istnienie nieefektywno-ści alokacyjnej, przy czym Ai wyznacza się z równania:
Wyrażenie ui/r mierzy wzrost kosztu (w tym przypadku jego logaryt-mu) z powodu kosztowej nieefektywności technicznej, natomiast różnica Ai -lnr mierzy wzrost tego kosztu z uwagi na występowanie kosztowej nieefek-tywności alokacyjnej.
Z iloczynu efektywności technicznej (którą ustala się z następującej formuły:
) / exp( u r
CTEi = − i ) i alokacyjnej (ustalanej z równania: CAEi =exp(lnr−Ai)) wy-nika efektywność ekonomiczna (EE, inaczej kosztowa). Warto dodać,
132 T.J. Coelli, et al., op. cit.
że w przypadku występowania stałych korzyści skali (r=1) kosztowa efektyw-ność techniczna równa jest efektywności technicznej, kosztowa efektywefektyw-ność alokacyjna odpowiada efektywności alokacyjnej. Innymi słowy, oszacowania wszystkich efektywności są wtedy równe dla obu podejść.