dam y:
m x - \ - n _ A B '(x - a)- ( x —a ) f x — a ’
czyli m x -4- n ==. A -f- B (x — a) i znajdujemy B = m i 2t = m a -f-n , Obie części możemy następnie całkować.
Możliwy jest również następujący sposób:
/
mx-4- n . m C 2 ( x — a) , , f ma. Ą- n ,— m\ g( x —
a)-2 x — 13 , ’ 3
m a -j-n a: — a '
(a;+2)2 * ® -J-2‘ z
3) Pierwiastki a i p równania a:* -J-y5aa>-f- b = 0 są liczbami zespolonemi postaci:
a = p Ą - q i . P = p — qi.
Wówczas p = — a, q = . \ j b — a s i wzór (4), po uwzględnie
niu wzoru (5) przybiera następującą postać:
f m x + n J r _ i m x + n ^
j
x i - \ - ' l a x - \- bJ
(x— p
— qi) ( x — p - \ - q i )_ \ m { p Ą - q i ) - \ - n } \ g { x ^ p - qi) - \m{p - ąj)-\-n}\g{xm- v - \ - q i ) 2qi
m p - \ - n 1 . x —p — qi , m , . ...
= * >K t ”’ - 2aa--i f . ) ; m ,’ę ! i a r c tB 3” - (7) W zór powyższy może być zresztą dowiedziony bez
pośrednio:
/
m x -f- n , m f 2 x - Q 2 a i C n — am , x t Ą - 2 a x - \ - b X 2 J x ‘-\-2 a x Ą - b x*-\-2 ax-\-b- 1 ‘8 ^ + :2“ + T
Pierwiastek \Jb — a* posiada wartość rzeczywistą, możliwe jest przeto podstawienie ( a - \ - x ) = z\jb a* i otrzymujemy
wtedy:
/
n — am n — am /' 1 n — aw(.x-|-a)3+ ( 6 “ as) x * ~ C tg *!
Mamy więc ostatecznie:
i f m x - { - n m u ani , x - \ - a
i j 5 + 2 5 5 + 4 * = 2 a + r
V , '
Wzor ten rożni się tylko o liczbę stałą od wzoru (7), po
nieważ p — — a, q = \Jb—a*.
Z a d a n i a
/> 7>J g ą r ^ T i i i d u = 'S <«‘ + 2 « + 10! - 1 arc t g i ± 1
P8)/ S — 8 5 T 2 5 <i“ = l8 ("’ “ H“ + 2:,>
69) /
A J u
-70) f * , « * ! * («* - | + ^
¿71) ^ «*« == ł Js («* + 3H ~ 2 V3 arc tg~^
/?> fu ' + S-+-W'f =
'3le + *«+«> “re *8 4 "*
^ 7 3> | **'“ = 5 lg ~ 1U + 20' “ 6 arc łg U' J “
/
5~u? + T2 dU = t y “ ’f * V<i() arc i gu ^U! - • >J S ) ¡ ‘Ui - 1 UQU + — 2)g(?zs — 6M - f 1 0 ) 4 - 7ärctg(M — 3)
r 27«« , 9«6, • . 8 , /3 spełniony, to po wykonaniu dzielenia licznika przez mia
nownik otrzymalibyśmy funkcję całkowitą z dołączonym co (cc\
Biorąc pod uwagę znaleziony pierwiastek cc równania f(x) = 0, należy rozróżniać dwa wypadki. nie posiada pierwiastka a. Kładziemy wówczas
yfo) __ «p(g)-- = A
Ułamki takie, jak ten, który stanowi pierwszą część pra
wej strony ostatniego w zoru, nazywamy u ł a m k a m i p r o s t e m i. Całkowaiiie danej funkcji wymiernej spro
wadza się w ten sposób do całkowania prostszej funkcji wymiernej ponieważ fl(x) jest funkcją całkowitą stopnia (?i— 1). Jeżeli równanie /(x ) = 0 posiada wszystkie pier
wiastki różne, to sposób całko%vania jest już znaleziony.
W tym wypadku mamy wogóle
i gdy f(x) = (x — aj) (x — aź) : . , ( x — a«), to po wykonaniu całkowitego rozkładu funkcji wymiernej na u ł a m k i p r o s t e , otrzymujemy
<?(?) _ cP(a i ) 1 x _j_ _ n n i /'(.r) r f ( a . ) U (' l) + / v(a 2) n ( - + ' *'
+ / l.a«; (* ~ an) ,, , , , (p(a;) l x 2 Ą - 7 x — 1.70 \
P r z y k ł a d ; -■ pśs--;
J f ( x ) a:3— yce“4-ba3-|-ol5
a t = — 2, a , = 4 ,' o , = 7; f ^ ) = 3 ^s — 1 8 * -p fr tp(x) d , d®____ . J 3
f(x) x - \ - 2 x — 4 x — 7 130
f
A
4
_ <P(7
) .n — 2) ~ * 4 ” r (4) - * 3 f \ 7) ■
[ 7 x r+ 7 x
■J
79) "
« » -6
<p(a;) 3 . 2 8 /■(#) .r -j- 2 a: — 4 a; —
Z a d a n i a .
d:z = - 3 lg (* + 2 ) + 2 lg ( ® - 4 )+ 8 lg (x 7).
9^6^4-51)
j 2“ 7tt+13 j 11. v i n , y 37. f «V s ? - n _ ' , / t t = ~ | g ( w , i ) l9 lg ( u - 2 ) + Y lg (« -3 )
131
80)J ( . T ^ ^ ^ ) rf“ = 5 laJ“ + 3|+:5-| «(” - 1) ^ 2 5 |e ( “ - 5 ) , 81) / - 3—— j - d u — —^ Ig (w2 — a2) — \ !g«
J n a u <■
2
a2
' a2
b¿ v r i o ^ - i - i d ^ + ^ i w + f i 7 , , 7 , 7 , „
82)
jOtt» + 11 «" + 67* ^ = 1«»+ -i >6 (« + 1)
+ 3 lg (u + 2 1 - f 4 lg (« -j- 3)
= I lg<" - « -
j m. + u *
+ y l g ( « 2) - ~ l g ( t i + " 2)
„ . f 4m3-)- 9 ii21— 2 7 p i -f* 65^ .
84>J ¡ u - 3 K » — 0 (« — 7H « + 5)
+ 4 1 g ( « ~ 7 ) - 2 1 g ( « + 5>
4 ^ 7 ^ J Ó £?“ === 2 l lg(u+2)+28 Jfii«-!)
s « f 5m2— 7 a « 4 - l l a ł 9 . ■ ■_ '
\ j
«» —Ga«*-|-1
1¿*'«— 60* 2 g ^ “ a)~ g (M_ >
+ ^ l g ( w — 3 a) f 2 u 3+ 12aM2 — 8 a2« — 12a3^ , , 2 ,N , 01 u — 2a 7 ‘ (w2— a2) O 2 - 4a2) g(u a ‘ + gw + 2 a OON /'2//.4- 1 0 m 3+ 2 1 w 2- 2 0 m + 5 j 2m3 0 „ , r 88)J . ^ T 3?, + 2 ---= ^ - d u = - 2 u 2 + 5 u
- f l g ( u — 2) 4 - 21g(M — 1).
Jeżeli równanie f\x) — 0, o współczynnikach rzeczy
wistych, posiada pierwiastek zespolony a — p - \ - q i , to po
siada również sprzężony z nim pierwiastek fi = p - <7*.
Rozkład na ułamki proste może być i wówczas również wykonany podług powyższej metody z uwzględnieniem następujących zm ian:
a’
Mamy
y ( a ? l _ ( p f p - f - g ł ) 1 cp ( p -- qi) 1 f(cc) ~~ f'(p-Ą-qi)oc — p — qi f ' { p - q i ) x — p Ą - q i i zakładając ~ T ^ = -i + t i skąd %rr- - C ^ = s — t i otrzymujemy:
i / i c = ( s + i i ) lg(a: - p — gi) + (s — it) Ig( * —^ + i .
= slgf(a? - p)8+ ' i aJ - ł- ^ 'l g *
P 91
1 132/
przyczem w prawej stronie wzoru dodać możemy dowolną liczbę stałą. Zgodnie z uwagą uczynioną na str. 12G od
nośnie do wzoru (5), mamy W ig* - *
x — p - \ - q i 2 ? x — p- j - ą z
= — 2 t arc tg —— — 4- C.
° ff
Dochodzimy tym sposobem do wzoru zawierającego war
tości rzeczywiste
f
f (x j 7,) 2 + ?s] — 2 ia r c t g ? —
i-Przekształcenia powyższe przerobimy w następujących przykładach:
v M = 2 a : • 2 x __________ r — q 3
/ ( x ) ( x 2 - f l ) ( , x 2 - f 3 ) ( x — i / ( x - f - z ) ( x — r i ) ( x - f - r i) J
y C*7) -^i - 1 -4ą i i_ £^4_
f(x) x — i x Ą - i x — r i x -j- r i
a _ yCO _ 1 a — * ) _ 1 a _ tP(r Ó _ _ ■ 1 f ' ( i j 2 ’ : ~ f ( — *) 2 ’ s / > / ) 2 ' .
_ _ cp ( — ?- / ) _ 1 ł “ r l S o 2
y(-y) _ 1 , ł ____ 1 _____ ł :
-f(x) x — z x .-j- z x — r i x - \ - r i
/ '
dx— X- \ \ z ( x - i) + 1 g(x4 - * ) ] - i [Ig(x- r i)+ 1g(cc+ri)) Rozważane zagadnienie jest właściw ie równoznaczne z poszukiwaniem całki ułamka posiadającego postaćrp I ry\
gdy 6 > a 2. Zagadnienie takie może być ar + 2 a x + o _
rozwiązane bezpośrednio.
r tnx + n , , f(2x-\-2a)dx . , 'Z' , d x
J
x'i-{-'2ax-\-b' X ~ 2
j c c 2 + 2 a a + ó mJ
(x+a)2+(b a2) i , , ,, i n— m a f de -4;m Ig .(ar-+2a* + 6) + • = = j
134
l
kładąc: + a 22= c c + « . Otrzymujemy przeto:
tr.?Ł— d x = ¿w Ig(cc2+ 2 occ+5)+ U a rc l g A-i-JA. (9)
cc2+ 2 ncc+ó 2 vV*— a*
cp (cc) 8 cc2 — 29cc + (i l A mx -f- n
~f ( x ) (cc — l)(cc2— 6a: + 13) x — 1 ”■x - - - (i cc + 13 2t = ~ - ^ = 5. Podstawiamy znalezioną wartość; wówczas:
Sa;2 . 2 9 » + .61___ __5(cc|— 6+ + 1 3 ) + (wcc+ ?i) (cc— 1) (cc— 1) (cc2 — G af+ liij (cc— I) (cc2 — 6cc + 13) Przez porównanie współczynników odpowiednich wyrazów znajdujemy następujące związki: 8 = 5 + »*, 6 1 = 6 5 - - », czy i i m = 3, n = 4
j> ( « ) 5 3 r + |
—
-f {x) x 1 x- - 6 x + 13
cp (a ) 1 m x -j- n , r x + 1 ■ / (cc) .C: -j- CC2+ i CC2 — j X i 1 1 X- « + 1
Sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika, otrzymujemy z porównania współczynników:
1 = (»¡a; + n ) (cc2 - a; + 1) + (ccc + /) ( r 2 + x + 1);
111 —|— V = r r ( ł , n — . ) ) i ~ j - c —|— t = ^ 0 111 — - ) i —f” )■ + / = ( ) , 11 —j - 1 ;
m = + n = / , t = i c = — \ 1 _ h x + i- ¡¡x — ' .rl + c c 2+ l a:2 + a : + l .c- — » + 1
oó\ / - -f*-iSi3<* — 'l.)tx -)- 5 51 . 5 . , ^ 1„ , ...
9(>) I >—— T7.— i ,-iW7~ ~ f i l d x — ,v lg(a;*— 10a;-{-69) J (:r- l (i a? + (>9) (> l (>) 2 ’
lii x —(S ii „ 2 x - 3
+ “ arc *P " — 7r lg (* — b *'+ lO )—-= a rc tg -j= -.
Y. ) V •> 2 V ? V ?
2. J e d e n z p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a f(x) — 0, a m i a n o w i c i e a j e s t p i e r w i a s t k i e m r - k r o t n y m , to znaczy, że f (x ) dzieli się przez (re— a)r, ale nie dzieli
•się przez (x — a)r+ \ a więc f (x) = g (as) (x —- a)r, prżyczem równanie g (pc) = 0 nie posiada pierwiastka a. Zakładamy V :'XY _ _ _f(X)_ _ A l , A - L | ^ , ^(3?) f(x) ( x —a y g {x ) (x — a)r (a*— a) r_1 . os—a g(x)' i szukamy liczników A {, A . , , . . . A r dla powyższych ułam ków prostych. Wyprowadzanie wzorów ogólnych i obli czauie za pomocą takich wzorów nie jest dogodne w da
nym wypadku; dogodniejszy jest sposób następujący. Za
kładamy x — a ==y i mnożąc obie strony przez y r u k ła
damy wzór
+ 4 , » + . . + x v - ' +
//(?/ + «) « )
95) / (/ x ~ 5 I« (a (-;H )+ lg (a ;i + 4 ) - f 6 arctg |
a
136uporządkowawszy następnie licznik i m ianownik lewej strony podług potęg wzrastających, wykonywam y zaznaczone dzielenie dochodząc w otrzymanym ilorazie do po
tęgi 2/’’-1 włącznie; przez porównanie współczynników znaj
dujemy poszukiwane liczby A.
11 i i j 1 ® + 2 Ai . A, ' A. .1 P r z y k ł a d 1: ——i— i — ~ r -j- -—a-j- +
Wpro-J £Cł —j—£C3 Xs 1 ' X ' —|— 1 v wadzanie pomocniczej liczby y jest tu zbyteczne. Dzieląc
2 + ^ 0 i , , .
i ^ = 2 r * + ? ■ * * + • • • >
znajdujemy
x + 2 _ 2 1
i i
1'
1 a^-f-rc3 x 3 x* x a?-}-lDla licznika znajdujemy podług dawnej metody wartość równą — 1.
n £C2 + X -j- 1 zł. A.z . 4(3?)
P r z y k ł a d 2: < x - 2 y ( ? + l ) ~ { x —
Dzieląc
7 = ^ + ^ + . * ? / a+ ■ • • mamy
x 2 ® + 1 7 . 3 1
(x — 2 y ( x A r \ ) 3 ( x — 2) 2 1 (J(iC — 2) 1 9 (a; - f - 1) przyczem ijr (•£) = £ znalezione jest za pomocą dawnej metody.
Po wykonaniu rozkładu na ułamki proste możemy każdy ułam ek przecałkować.
P r z y k ł a d 3:
5 u 3— 1 Hi 2+ ." m -|-4 A t . A 9 ( Ai
" T i T / S n s "t*
(U A r 1 )4 . (U— l ) 1 1 (U— l ) 3 ' ( « — l ) 2 1 U — V
kładąc a — 1 = y , znajdujemy łatw o
3 - Ty + 4y* - f 5 y *- A t -j- A . y + A.iV2 + At y*\
ponieważ funkcja g (x) w danym przykładzie nie istnieje.
Z równania tego znajdujemy
= 3, -d2 = 2 , .4j = 4, — 5;
fpK3—.11 3_________‘2 _ . 4 i 5 _
( i i - l ) 4 ( i i — l ) 4 \ ( u — l ) 3 ( u — l ) 4 u — 1
r-ou*— 11m2-)-5m +4 , 1 . 1 4
' / ( u — 1 )* ~ “ ( i z - l ) 3 + ( i z — l ; * — « 7 1 1
+ 5 l g ( u — 1) no\ f u>> ~ 4 /i! -j- 1 y u 1 i i / .... , 7
JS>J ~ W = W ' ~2 w -2> + i = 2
2 u6 —1 m4-j- 4 ii2 — 5 « - j - l , „ , , ... 29
84 49U 791 427
f
(ii — 3)2 3 (u — 3)3 1 (ii — 3)4 5 (« — 3)*
- , nm r.itt2 — 17/t-4-21 , 1 | 5 . - ,
1 0 ° ) J ( u — 2 ) 3 “ ~ ~ 2 ( u ^ - 2)2 u —2 *
A3/i3-j-s 9i42+ 4 3 8 ii+ 7 1 9 4 1 101'J ( ¡ T f h y ■ - du- - W T W
3
+ ( u + ó y1 ’ 6 Ig ( « + 5).
u -j- 5
W pewnych wypadkach m ożliwe jest również zasto
sowanie metody całkowania przez części.
102) j'■un(u—a y - f‘<lu= - - - - +~~~ [J u n^%u~ay-*+*du
I («-«)*• v 2(it — «)- « —a 1 ° '
wc,)f p T } ) j § T i
i)'7"
f-i («*+•> :«
3
I u~ - 1
-iSH == — I - ;~ r du 3 / «*
1 /' 1 , 2 . u 1
3 / ( u - - f 1 4 ) 111 3 I U ' - 1 • 4 ' 3
9æ4-3 .« ;t 23.r--t 30a; 1 a 2 5 _ _7_ 2_
(» - 1 )' (a? -|- Ííj (;r -l)' ' (;/; lj:l f (* -1 j* A t - 1 Atf+S
• ß x [ 3 ^ _ ; + :«»* - 1 1
/ ' (•'• 1)-' ’ , (.'/• ~ i):l ( x — l ) 2 r ;■ , + 7 l{i (•'■ ^ l) : - p 2 lg (.-r + 8) m o A1'*- 7./.':'-f ‘. ' x 2- I l E l - 13 . 13 . 37 . .
108 . .. ..d x ~ - Z ~ - ,-f- -f-Ol lg.»'
— 35 lg (a;-|- I) — 8 lg ( x -- f -x - f - 1) — -El arc tg ~ x ~^~ ^
V,3 V3
109) I x i — 2a,- -f- ¡ x -f- -1 ;i , .
I ( X 1 1 )" ' 2 ( X 1,
+ i 4 . ) + # | t ,)
■f t i w I ¡Vs - 2 2 x--)- 5 / a; -j-32 3 , / i i \ ^ 1M J r & T t â » , * • ''" = í + 1 + ■’ l s <” + ’ >
-• — 4l g( æ — 3)
i i i \ / ’~'x':i — 32./;- -f- 30./-— 28 7 __ I , 2
I ( x — l ) :' ( x— I) f "*' 2(a;— 1)'' x — 1 + 3 lg ( x — 1) -j-.4 lg ( x — 4)
' / (x l ) s (^ * ff 1) ' 2 ( x - 1)-’ 2 ( x — 1)
— llf{(.r ■ l ) - f - f l g ( : e 2- |- l ) — arctga:
m \ l -, j= ( i + T ) | = - ¿ > - j - f W - | !«(■•'•+ l i - 2 ( £ - l , “ -i '«
Rozkład na ułamki proste możliwy jest również i w tym wypadku, kiedy istnieją wielokrotne pierwiastki zespolone.
2x-j- 1 ^2 . zl, B.2_____ j?t
(a?*+i)8 (x - *1 («-+-*)* ( x —?j- x — i («+■/)* ‘"ic-J-i 1 . ! . 2 » + 1 2>.~ 1
= !.‘ +
V
„ J l l + J Z x i x - i {x - i f (:«-)-1)22 i - 1 2 t + .l
r 2 tŁ'+ i 1 x - i I 4
1 1 » ) / 7i- T T -T \7,(1 X — l Ig j ~ -4-
--/ (rr-—{— 1)- I T-j- -/ x -(- z 1 x — i
1 x — 2
= 2 arC'S1!,+ 2(a? + T )
J 1 /
8 1ii 76'
¿»•*+ i r ' " :( H r o® “ (*:+ o'2+ i + » ;
i 1 . J_
8 lii lti
(./■ - /)"• { x - ~ i y x-j-t
W z o r a m i r e d u k e y j n e m i nazywamy wzory, za pomocą których dane zadanie sprowadza się do podobnego zadania prostszego. Przez wielokrotne zastosowanie po
dobnego wzoru można w wielu wypadkach dojść do osta
tecznego obliczenia pewnej całki, bądź sprowadzić
rozwią-zanie do takiej całki, której obliczenie za pomocą znanych metod jest znacznie łatwiejsze.
Wzór podany niżej może być sprawdzony przez róż
niczkowanie obu stron. W idzim y jednocześnie, że liczby m, n, p mogą być dowolne, jedynie tylko ( n - j - 1 ) nie po
winno być rówme zeru.
cć* {a -|- b x mY d x = ^ p y (a b x mY 140
mb p C I <y>™ 4 - n.
n + j J (a-f- bxm)’’~i dzr 118) J' xi (a -j- bx
1)3
dx — (a + bx i)\ — ~ J x 3(a -j- bx s)s dx.Przy dodatniej wartości p , posługując się powyższym wzorem, możemy dojść stopniowo do takiej całki, gdzie w ykładnik dwum ianu jest mniejszy od jedności. Jeżeli natomiast w ykładnik dwumianu jest ujemny, to wzór (117) należy odwrócić. Biorąc wówczas p zamiast p i n za
miast n - \ - m , mamy:
/pti — m *4“ 1 'mb ( p -j- 1)'
n — m -j- 1 r ^ a , h ^ v ± i . £ x m b ( p — 1) J
Wzór jest bezużyteczny przy p = — 1
120)
Ij S j 1 18“ +
iZadanie to może być również rozwiązane w taki sposób 119) j'xn (a--f- b xmY d x = - (a -j- b x mY + 1
X5 £c3 (1 - j - # 2) — x 3 X 3 X 3
(1 +.®*)» d + * r ~ ( i + x y (1 + x y x z X ( 1 -f- X S) - X X X
t t + x * y ( \ + x ' T 1 -J-iC2 (1 + X * y
X 3 x { \ - \ - x ' i ) — X X X
d + x y ~ ( I - H* 2)3 (1 + * 2)2 ( i - f - » 2)s
x 3 X 2 * X
( ! + ,* * ) • " (1 + X * y ( i + * * ) * 1 x 1+ l
141
121)/
( l + x Y d X ~ 4 ( l + * 2)2+ l + a : 8+ | + Wzory (117) i (119) są niedogodne w pewnych w ypadkach, ponieważ bezwzględna warlość wykładnika przy czynniku jcdnomiennym wzrasta we wzorze (117), gdy m
Nadając nowe wartości całkowite liczbie Je otrzymujemy ponownie znalezione już poprzednio wartości pierwiastków.
Tak np. przy k = n mamy:
2 zur . . 2 «jt . . . . tvn — cos k i s i n — t - = cos 2?r 4 - 7. sm 2jt
n n
— cos 0 i sin 0 == w^.
Znajdujemy następnie podług wzoru Moivre’a:
142
W ,. — l \J3. Sprzężonemi są: w,t i iot , w., i w 2) wreszcie w 3 jest sprzężony sam ze sobą.
Dla uproszczenia piszemy m, = e, a pozostałe pier
wiastki otrzymujemy przez kolejne potęgowanie liczby e.
Mamy wówczas:
<P(«) _— r “i : r - ---r- . .. . -t—
X
1_ - f t i .1 (_
1 x e .r :cn — 1 rc— l ' .■z: — s ‘ .r — s i na zasadzie wzoru (<S), str. 129:
Ak —
4 i i _ j_
- e,3 ' '* ’ ' x —. f.m—1
CP (x ) x p (.'•)
1lXn~ l X — J ; n x n n
1
<pQg) _ i
— 1 n
y ( l ) , ncp(e) , s 8cp(&s) x — 1 + .r - e + x - e2
En_1 (p (s”"1) .T — en_i cp(l) Ig (a: — l ) - j - sep e )lg i;r - e)
. . . -f- en~ 1 tp (sn~1) Ig (x — &n Wyrazy występujące w tym wzorze możemy połączyć parami tworząc wyrażenia rzeczywiste. Sprzężonemi są pierwiastki e* i en~k, a więc muszą być również sprzężo
nemi i liczniki A k — ek cp (e fc ) i An_fc = s n~ !‘cp(en-*), to zna
czy, że A n i = A — Bi , jeżeli A k — A - \ - Bi. Ponieważ zaś (x — e.k) (x e”- kj : : — 2 X C O S 2 k n
■1, więc na zasadzie wzoru (9), str. 131 mamy:
fi*<p (e*j lg (a: — e*) 4 - e.”~k cp (e" k) lg (x — &n~k) =
144
nika, porównywamy współczynniki liczników, otrzymując:
m ■ 2