Circulos meos

skręcające linie nazywamy geodezyjnymi. Na płaszczyźnie, geodezyjne są zwyczajnie liniami prostymi. Geodezyjne na kuli są kołami wielkimi. To nie tylko południki i równik, ale także „ortodromy”, po których latają samoloty przez

Atlan-tyk, aby zminimalizować długość lotu. Geodezyjne bowiem są nie tylko najprostsze, ale także na każdej powierzchni

najkrótsze. Geodezyjna to jest właśnie wzorzec „prostego”.

Kwadrat po lewej na rysunku powyżej wyjaśnia, że „krzy-wizna” niebieskiej linii manifestuje się jej odstępstwem к od czerwonej linii geodezyjnej. Samochodzik na czerwo-nej geodezyjczerwo-nej ma koła ustawione prosto, samochodzik na niebieskiej linii ma koła skręcone (w prawo). „Promień krzywizny” R, zdefiniowany jako promień purpurowego koła najściślej do niebieskiej linii stycznego, jest odwrotnością krzywizny, R = 1/к. Geodezyjne mają zerową krzywiznę

к = 0 i nieskończenie wielki promień krzywizny, R = ¥.

W trójwymiarowej przestrzeni dwuwy-miarowe powierzchnie są na ogół zakrzy-wione w obu wymiarach, co odpowiada dwóm „głównym” promieniom krzywizny R_max, R_min. Za ich pomocą definiuje się „krzywiznę Gaussa” powierzchni, k =

±1/(R_minR_max). Ta jedna liczba wystar-cza do scharakteryzowania

wewnętrz-nej krzywizny powierzchni w ustalonym

punkcie. Jeśli centra krzywizny (ozna-czone dużą czerwoną i niebieską krop-ką) są po tej samej stronie powierzchni, krzywizna Gaussa jest dodatnia (wybie-ramy znak plus), jeśli po przeciwnych, krzywizna jest ujemna (wybieramy znak minus).

Rozwinięcie zakrzywionej powierzch-ni walca, przedstawione na rysunku obok, pokazuje, że jej wewnętrzna geo-metria jest taka sama, jak geogeo-metria

płaszczyzny: walec ma zatem zerową krzywiznę Gaus-sa, k = 0. Dowodzi także, iż geodezyjnymi na walcu są

linie śrubowe — czarna linia śrubowa na walcu staje się

po rozwinięciu linią prostą na płaszczyźnie. Także niebie-skie poziome koła na walcu są liniami geodezyjnymi, gdyż po rozwinięciu stają się liniami prostymi na płaszczyźnie. Dokonując pełnego obiegu walca wzdłuż takiego koła geo-dezyjnego, można zmierzyć jego obwód L. Obwód koła podzielony przez 2π daje promień zewnętrznej krzywizny walca, równy R_min = L/2π.

Powierzchni kuli nie da się rozłożyć płasko na płaszczyź-nie: jak pokazuje rysunek, jest jej wyraźnie „za mało”. Po-wierzchnie, których jest „za mało”, mają dodatnią krzywiznę Gaussa. Powierzchnie, których jest „za dużo”, by je rozło-żyć na płaszczyźnie, mają ujemną krzywiznę. Powierzch-nie, których jest „dokładnie ile trzeba”, aby je rozłożyć na płaszczyźnie, jak pokazana na rysunku powierzchnia wal-ca, mają zerową krzywiznę Gaussa.

O tym, czy powierzchnia jest zakrzywiona, możemy się przekonać, badając „dewiację geodezyjnych”. Rozpatrzmy dwie bliskie geodezyjne przecięte trzecią. Jeśli kąty prze-cięcia są proste, to geodezyjne będziemy uważać za

niby--równoległe. Na płaszczyźnie niby-równoległe geodezyjne

są po prostu równoległymi prostymi i wszędzie pozostają w stałej od siebie odległości. Łatwo się przekonać, że doty-czy to również wszystkich bliskich niby-równoległych geo-dezyjnych na powierzchni walca, zarówno śrubowych, jak kołowych. W takim przypadku mówimy o „zerowej dewiacji

60

Urania 1/2015

Circulos meos

geodezyjnych”. Na kuli wszystkie bliskie południki są niby--równoległe, ponieważ wszystkie przecinają się z równikiem pod kątem prostym. Gdy oddalamy się od równika, południ-ki zbliżają się do siebie i w końcu przecinają na biegunie: dewiacja geodezyjnych na kuli jest niezerowa.

Niech po bliskich, niby-równoległych geodezyjnych (za-kropkowane południki na rysunku) poruszają się z prędko-ścią v₀ małe samochodziki. Niech odległość między nimi wynosi (w pewnej chwili) l. Odległość ta zmniejsza się coraz szybciej, gdy samochodziki zbliżają się do bieguna. Jeśli geodezyjni podróżnicy byliby przekonani, że podróżują po płaszczyźnie, to znaczy byliby nieświadomi niezerowej krzywizny powierzchni, po której podróżują, zinterpretowali-by (błędnie!) przybliżanie się samochodzików jako działanie „siły grawitacji”.

W rozpatrywanym przypadku nietrudno wyliczyć dewia-cję geodezyjnych, to znaczy przyśpieszenie, z jakim zmniej-sza się odległość między samochodzikami:

a = –(v₀2/R) (l/R) = –v₀2kl = –(v₀2/l) (l2k).

Tutaj R jest promieniem kuli a k = 1/R2 jej gaussowską krzywizną. Wprowadźmy „naturalną skalę przyśpieszenia”

a₀ = v₀2/l i „naturalną skalę krzywizny”, k₀ = 1/l2. Będziemy teraz mogli napisać równanie dewiacji geodezyjnej w po-staci, (a/a₀) = –(k/k₀). Dla tych, którzy wiedzą o oscylatorze harmonicznym jeszcze jedna uwaga: napiszmy a = ̈l i prze-piszmy równanie dewiacji w postaci równania oscylatora,

̈l + w2l = 0; w2 ≡ v₀2/R2.

Zatem krzywizna jest przeskalowaną częstością oscyla-tora, k = w2/v₀2 (okresem tego „oscylatora” jest czas obiegu

samochodu wokół kuli, T = 2πR/v₀).

Z równania dewiacji geodezyjnych wynika, że przeskalo-wane przyśpieszenie równe jest przeskaloprzeskalo-wanej krzywiźnie powierzchni:

a/a₀ = –k/k₀

Morał: jeśli nie wiesz o krzywiźnie, błędnie sądzisz, że działa grawitacja.

Niezerowa dewiacja geodezyjnych jest zawsze skutkiem niezerowej krzywizny powierzchni. To samo dotyczy prze-strzeni o dowolnej liczbie wymiarów oraz czasoprzeprze-strzeni. Uzbrojone w tę wiedzę, sześć uczonych eksperymentatorek

zinterpretuje wyniki swoich badań, opisanych na początku felietonu. W każdym przypadku (rakieta, laboratorium, win-da) uczone sprawdzą, jak wiąże się dewiacja, czyli krzywi-zna, z grawitacją.

W rakiecie, poruszającej się w pustej, niezakrzywionej

czasoprzestrzeni bez grawitacji, bardzo daleko od grawi-tujących ciał, tory spadających kul upuszczanych przez eksperymentatorki są równoległymi do siebie prostymi. Eksperymentatorki odczuwają działanie grawitacji, ale jest to grawitacja „pozorna”, wywołana kinematycznym efek-tem przyśpieszenia rakiety. Zerowa dewiacja geodezyjnych dowodzi zerowej krzywizny czasoprzestrzeni a zatem nie-obecności „prawdziwej” grawitacji. W laboratorium każda kula spada w kierunku środka planety, więc tory kul zbliżają się do siebie. Dewiacja geodezyjnych jest niezerowa, co do-wodzi niezerowej krzywizny. W spadającej windzie grawita-cja znika w tym sensie, że eksperymentatorki nie spadają na podłogę, ale kule przybliżają się do siebie, co świadczy o niezerowej dewiacji, niezerowej krzywiźnie i niezerowej prawdziwej grawitacji. Kule przybliżają się z przyśpiesze-niem, które łatwo policzyć w teorii grawitacji Newtona, uwzględniając małą nierównoległość torów spadających kul,

a = –[(GM/R2) (l /R)] = –[(v₀ 2/R) (l /R)].

Tutaj l jest odległością między kulami, R promieniem pla-nety, M jej masą, G stałą grawitacji a v₀2 = GM/R charakte-rystyczną prędkością, którą wprowadziliśmy, aby pokazać analogię z przypadkiem geodezyjnych podróżników na kuli. Za skalę przyśpieszenia przyjmiemy teraz jednak nie a₀ =

v₀2/l , ale (a₀) = c2/l, gdzie c oznacza prędkość światła. Hi-poteza Einsteina, że przyśpieszenie wynika z krzywizny, pozwala na napisanie a/a₀ = –k/k₀, w pełnej analogii do omówionej wcześniej sytuacji geodezyjnych podróżników na kuli

Hipoteza Einsteina [a]/(a0) = –[(GM/R2)(l/R)](l /c2) = a/a₀ = –k/k₀ = –l2k.

Podobnie jak w przypadku bliskich południków na kuli,

a/a₀ = –k/k₀ jest równaniem dewiacji geodezyjnej. Można z niego łatwo wyliczyć nieprzeskalowaną wartość krzywi-zny,

k = (R_G/R3) , gdzie R_G = (GM/c2) =

Powyższy wzór na krzywiznę słuszny jest na zewnątrz

ciała, nie można go stosować we wnętrzu. Został

wypro-wadzony z zasad teorii Newtona, ale z dodaną hipotezą Einsteina (a/a₀) = –(k/k₀). Nie powinno więc dziwić, że wzór na krzywiznę w ogólnej teorii względności (na zewnątrz sfe-rycznego ciała o masie M) jest taki sam. Wspomnę jeszcze na koniec dwa fakty wynikające z odwrotnej proporcjonal-ności krzywizny do sześcianu promienia.

1° Sześcian promienia występuje w teorii Newtona w trzecim prawie Keplera, odkrytym w roku 1619. Napiszmy je w postaci GM/R3 = (2π)2/T2. Po podzieleniu przez c2 daje to GM/(c2R3) = (2π)2/(c2T2), a po uwzględnieniu, że w = 2π/T jest częstością orbitalną daje to związek krzywizny z czę-stością, k = w2/c2; podobny, jak wcześniej wyprowadzony

związek dla podróżników na kuli. Wielkość w jest „wertykal-ną” (to znaczy w kierunku prostopadłym do promienia) czę-stością epicykliczną. Z naszych rozważań wynika, iż winna być ona równa częstości orbitalnej. Tak rzeczywiście

zgod-(promień grawitacyjny: zależy

(

tylko od masy, jest wygodną skalądługości w polu grawitacyjnym).

)

Circulos meos

* Wszystkie rysunki © 2015 Marek Abramowicz & Małgorzata Skrzypczyk--Świentrzak.

nie stwierdzają teorie Newtona i Einsteina w przypadku sferycznej symetrii: na prostopadłym do płaszczyzny orbity epicyklu częstość jest taka sama, jak na orbicie, więc „epi-cykliczna” orbita jest także kołowa, tyle że nieco nachylona w stosunku do oryginalnej. Chwila zastanowienia wystar-cza, aby zrozumieć, że jeśli krzywizna jest niezerowa, to nie ma żadnej symetrii, która wymuszałaby równość „radialnej” częstości epicyklicznej i częstości orbitalnej. Częstość na położonym w płaszczyźnie orbity epicyklu jest więc różna niż częstość orbitalna, zatem „epicykliczna” orbita nie jest zamkniętą elipsą (jak w teorii Newtona z k = 0), lecz elipsą precesującą: to krzywizna wywołuje efekt „precesji

peryhe-lium Merkurego” (przedyskutowałem to detalicznie w

po-przednim felietonie, „Urania” 1/2013).

2° Sześcian promienia występuje w wyrażeniu na ob-jętość kuli V = (4/3)πR3, a jego odwrotność w wyrażeniu na gęstość masy r = M/V. Stąd oraz z E = Mc2 wynika, że krzywizna jest proporcjonalna do gęstości energii: k ~ (πG/c4) (rc2). I to jest właśnie najważniejsze stwierdzenie teorii Einsteina: rozkład gęstości energii T_ik określa

krzywi-znę czasoprzestrzeni G_ik poprzez „równania pola Einsteina”, G_ik = 8 (πG/c4)T_ik

Krzywizna i rozkład gęstości energii opisane są tu przez symetryczne „tensory”, czyli tablice (bazy danych) 4×4, o zawiłych, ale pięknych i głębokich własnościach symetrii, transformacji i skalowania, związanych z wieloma innymi

symetriami w matematyce i fizyce. Finezja tych niezwykłych struktur i związków oszałamia, jest wręcz absurdalna w swej zdyscyplinowanej rozrzutności i w kryjących się w niej ta-jemnicach na coraz głębszych poziomach. To wszystko stanowi o genialnej wielkości teorii Einsteina, co czasem budzi metafizyczne niepokoje jej niektórych wychowanków. Wszyscy adepci zmagają się na co dzień z jej równie absur-dalną rachunkową zawiłością — do tego trzeba charakteru! Równania pola są skomplikowanym układem sprzężonych, nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugie-go rzędu. Nie ma ogólnych metod rozwiązywania takich układów, więc ścisłe rozwiązania znane są tylko w szcze-gólnych, bardzo prostych, przypadkach. Na szczęście te najprostsze rozwiązane przypadki to zewnętrzne pole gra-witacyjne sferycznych ciał (czyli na przykład gwiazd) oraz czarnych dziur.

Niektórzy mówią, że w roku 1915 Einstein dokonał rewo-lucji w nauce, obalając teorię grawitacji Newtona. Ja wolę powiedzieć, że Einstein zrozumiał, iż wszystkie głębokie prawdy o grawitacji i geometrii odkryte przez jego wielkich poprzedników dają się połączyć w spójny schemat oparty na nowym, rewolucyjnym, rozumieniu grawitacji jako krzy-wizny czasoprzestrzeni.

Marek Abramowicz  Wystrzelona w roku 2004 Rosetta po dziesięciu latach lotu dotarła do komety Czuriumowa-Gierasimienki. Jej tra-jektoria wydaje się być niesłychanie zawiłą linią krzywą w przestrzeni i tak ją opisuje teoria Newtona. ‚ Kropki, które pokazują położenie Rosetty w rocznych odstępach czasu nie są rozłożone równomiernie, ponieważ zgodnie z dru-gim prawem Keplera, Rosetta porusza się wolniej daleko od Słońca. ƒ Przestrzeń to rzeczywistość w ustalonym momencie czasu. W tak rozumianej „momentalnej przestrzeni” Rosetta znajduje się w jednym konkretnym punkcie, co odpowiada jednej czerwonej kropce na rysunku (cała trajektoria pokazana jest jedynie dla lepszej orientacji). „ Katalog wszystkich momentalnych przestrzeni, od wystrzelenia Rosetty do jej rendez-vous z kometą. … Intuicyjna wizualizacja czasoprzestrzeni i trajektorii Rosetty. † W opisie teorii Newtona, trajektoria Rosetty jest zawiłą linią krzywą, w opisie teorii Einsteina trajektoria jest linią najprostszą z możliwych — geodezyjną.

62

Urania 1/2015 Dzięki temu nie wykasujemy przypadkiem całego aktualnego roku obserwacji Słońca jednym kliknięciem. Aby zainicjować rok bieżący postępujemy następująco:

Jeśli dane w okienkach personalnych są poprawne to klika-my przycisk [zapisz obserwację], wówczas na dysku twardym zostanie utworzony plik miesiąca (np. kwiecień) „sos_04.txt”, w podfolderze danego roku np.: „SOLARIS/solaris/2010”. Edy-tujemy ten plik:

Roman Kowalski KWR 2015 Warszawa ORBITA 0 0 0 0 0

Zaznaczamy od góry 5 wierszy … Janusz Wiland

JWI 2010 Warszawa MIKRON

kopiujemy i wklejamy na początku w pozostałe 11 plików „sos_mm.txt” w danym roku, gdzie mm to jest numer miesią-ca. Pamiętamy, aby zastąpić naszymi danymi te, które są na początku istniejących plików. Nie wolno dodawać żadnych no-wych wierszy ani kasować innych danych w tych plikach. Czyli kasujemy pięć pierwszych starych wierszy i kopiujemy w to miejsce naszych nowych 5 wierszy. Najłatwiej jest to wykonać w NOTATNIKU Windows, a po zamianie wierszy nie

zapo-mnijcie zapisać pliku na dysk po zmianach. Personalizacja pro-gramu zakończona. Nasza stro-na główstro-na programu powinstro-na wyglądać tak jak poniżej. PRZYGOTOWANIE EKRANU DO RZUTOWANIA OBRAZU SŁOŃCA I PRZEPROWADZENIE OBSERWACJI Ze strony http://sos.poa.com.

pl/index.php z działu /download/

pobieramy wzór szkicu do wyko-nania obserwacji Słońca. Zakła-damy go na ekran i nanosimy na tarczy grupy oraz plamy

Znajdujące się w grupach. Są dwie techniki nanoszenia plam na szkic: albo nanosimy wszyst-kie plamy w każdej grupie, albo nanosimy tylko grupy a ilość plam oraz typ grupy wpisujemy

W dokumencie Urania nr 1/2015 (Stron 59-62)