3 Cz¸ astka swobodna

Dla cz¸astki swobodnej w jednym wymiarze hamiltonian ma prost¸a posta´c

H = −¯h² 2m

d2

dx2.

Hamiltonian ten komutuje z operatorem p¸edu −i¯h_dx^d. Funkcje w lasne p¸edu do warto´sci w lasnej p maj¸a posta´c

ψ_p(x) = (2π¯h)⁻¹2 exp(^ipx ¯ h ⁾

i s¸a tak˙ze funkcjami w lasnymi energii do warto´sci w lasnej E_p = _2m^p2 . Stany stacjonarne opisane s¸a wi¸ec funkcjami falowymi

(2π¯h)⁻¹2 exp(^ipx ¯ h ^{) exp(} −iE_pt ¯ h ^).

Funkcje te, normowalne do delty Diraca, opisuj¸a sytuacj¸e idealn¸a, gdy znamy dok ladnie p¸ed cz¸astki p (i jej energi¸e E_p) i nie posiadamy ˙zadnej informacji o jej po lo˙zeniu. W praktyce mamy zawsze do czynienia z paczkami falowymi ψ(x, t) = Z ∞ −∞g(p)ψ_p(x) exp(−^iEpt ¯ h ^{)dp .}

Je´sli g(p) znika poza przedzia lem (p₀− ∆p, p₀+ ∆p) i jest na tym odcinku funkcj¸a sta l¸a oraz dodatkowo zrobi si¸e przybli˙zenie

E_p = ^p 2 2m ≈ E_p0 + ^dEp dp |_p=p0(p − p₀) = ¹ 2m^[p 2 0+ 2p₀(p − p₀)],

mo˙zna ca lk¸e wykona´c analitycznie. Kwadrat warto´sci bezwzgl¸ednej funkcji jest z dok ladno´sci¸a do sta lego czynnika r´owny

sin^{2 (x−v}gt) ¯ h (x−vgt)2 ¯ h2 , gdzie v_g ≡ ^dEp dp |_p=p0 = ^p0

m. Maksimum paczki porusza si¸e wi¸ec ruchem jednos-tajnym z pr¸edko´sci¸a vg zwan¸a pr¸edko´sci¸a grupow¸a, sama paczka nie zmienia kszta ltu.

´

Scis ly rachunek, mo˙zliwy na przyk lad dla paczki gaussowskiej, pokazuje, ˙ze r´ownie˙z kszta lt paczki si¸e zmienia.

Niech funkcja w chwili t=0 ma posta´c

ψ(x) = (2π)⁻¹4σ⁻ 1 2 0 exp[−^{(x − a)} 2 4σ2 0 + ikx].

Mo˙zna j¸a roz lo˙zy´c na funkcje w lasne p¸edu

ψ(x) =

Z ∞ −∞

g(p)ψ_p(x)

(por.przyk lad w dyskusji Postulatu III). Wtedy w dowolnej chwili czasu

ψ(x, t) =

Z ∞

−∞dpg(p)ψ_p(x) exp(−iE_pt ¯ h ^).

Po wykonaniu oblicze´n (za pomoc¸a tablic) otrzymujemy g¸esto´s´c prawdopodobie´nstwa znalezienia cz¸astki w postaci r´ownie˙z funkcji gaussowskiej

|ψ(x, t)|² = (2π)⁻¹2σ(t)⁻¹exp[−^{(x − a −} ¯ hkt m )2 2σ(t)2 ], gdzie σ(t)2 = σ2 0+_4m^¯h22^tσ²2 0

. Maksimum przesuwa si¸e wi¸ec ruchem jednostajnym z pr¸edko´sci¸a ^¯hk_m, a szeroko´s´c paczki σ(t) wzrasta.

W przypadku tr´ojwymiarowym uog´olnienie jest nast¸epuj¸ace. Operator energii kinetycznej (i ca lkowitej) ma posta´c

H = −^¯h

2

2m∇2.

Operator ten komutuje z wszystkimi trzema sk ladowymi p¸edu. Wsp´olne funkcje w lasne tych czterech operator´ow maj¸a posta´c

ψ_p(r) = ψ_px(x)ψ_py(y)ψ_pz(z) = (2π¯h)⁻³2 exp[ⁱ ¯ h^{(pxx + pyy + pzz)] = (2π¯h)} −3 2 exp(ⁱ ¯ h^pr). Rozwi¸azania stacjonarne maj¸a posta´c

ψ_p(r) exp(−ⁱ ¯ h^Ept),

gdzie E_p = _2m^p2 = _2m¹ (p2 x+ p2

y + p2 z). Paczka falowa ma posta´c

ψ(r, t) =

Z

d³p g(p)ψp(r) exp(−ⁱ ¯ h^Ept).

4 Prostok¸atne studnie i bariery potencja lu

Rozwa˙zmy jednowymiarowy problem, w kt´orym energia potencjalna jest funkcj¸a odcinkami sta l¸a

V (x) = V₁, dla x < 0,

V (x) = V₂, dla 0 ≤ x ≤ a, V (x) = V₃, dla x > a.

Oznacza to, ˙ze klasyczna si la F = −^dV_dx jest r´owna zeru we wszystkich punktach z wyj¸atkiem x = 0 i x = a. W tych dw´och punktach si la jest niesko´nczona, ale poniewa˙z dzia la tylko w punkcie (albo inaczej przez niesko´nczenie kr´otki czas), mo˙ze spowodowa´c sko´nczony przekaz p¸edu. Cz¸astka w tych punktach doznaje niesko´nczenie silnego i niesko´nczenie kr´otkiego pchni¸ecia. Je´sli pchni¸ecie jest w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu, to z klasy-cznego punktu widzenia albo jest ono do´s´c silne, aby cz¸astk¸e zawr´oci´c (i wtedy mamy z pewno´sci¸a odbicie) albo nie jest do´s´c silne (i wtedy cz¸astka z pewno´sci¸a kontynuuje ruch ze zmniejszon¸a pr¸edko´sci¸a).

W podej´sciu kwantowym nale ˙y rozwi¸aza´c r´ownanie Schr¨odingera

−¯h² 2m

d2

dx2ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x).

Niech indeksy 1, 2, 3 odnosz¸a si¸e odpowiednio do obszr´ow 1 (x < 0), 2 (0 ≤ x ≤ a) i 3 (x > a). W ka˙zdym obszarze funkcja falowa spe lnia r´ownanie

−¯h² 2m

d2

dx2ψ_j(x) + V_jψ_j(x) = Eψ_j(x), gdzie j = 1, 2, 3. Og´olne rozwi¸azanie ma posta´c

gdzie k_j = [^2m(E−Vj) ¯

h2 ]¹2. Sta le A_j i B_j nale˙zy okre´sli´c dopasowuj¸ac rozwi¸azania do warunk´ow brzegowych. Funkcja i jej pierwsza pochodna powinny by´c ci¸ag le (dla niesko´nczonego skoku potencja lu mo˙zna wymusi´c tylko ci¸ag lo´s´c funkcji). Dla punkt´ow zszycia funkcji, tzn. x = 0 i x = a otrzymuje si¸e

A₁+ B₁ = A₂+ B₂,

ik₁(A₁− B₁) = ik₂(A₂− B₂),

A₂exp(ik₂a) + B₂exp(−ik₂a) = A₃exp(ik₃a) + B₃exp(−ik₃a), ik₂A₂exp(ik₂a) − ik₂B₂exp(−ik₂a) = ik₃A₃exp(ik₃a) − ik₃B₃exp(−ik₃a).

Studni¸a nazywa si¸e uk lad taki, ˙ze V₂ < V₁, V₂ < V₃. Cz¸astka jest wewn¸atrz studni, gdy E < V₁, E < V₃, E > V₂. Wtedy k₁ = iq₁ oraz k₃ = iq₃ s¸a liczbami urojonymi. W funkcji ψ₁ pojawia si¸e wyraz A₁exp(−q₁x), kt´orego warto´s´c bezwzgl¸edna zmierza do ∞ dla x → −∞. Podobnie dla ψ₃ warto´s´c bezwzgl¸edna wyrazu B₃exp(q₃x) zmierza do ∞ dla x → ∞. Funkcja mo˙ze opisywa´c cz¸astk¸e, tzn. by´c normowalna w sensie Kroneckera lub Diraca, tylko gdy te dwa wyrazy usuniemy bior¸ac A₁ = B₃ = 0. Zostaje nam uk lad czterech r´owna´n liniowych, jednorodnych. Ma on rozwi¸azania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje si¸e wyznacznik uk ladu.

B₁ = A₂+ B₂,

−ik₁B₁ = ik₂(A₂− B₂),

A₂exp(ik₂a) + B₂exp(−ik₂a) = A₃exp(ik₃a), ik₂A₂exp(ik₂a) − ik₂B₂exp(−ik₂a) = ik₃A₃exp(ik₃a).

Jest to w la´sciwie skomplikowane r´ownanie na energi¸e E, od kt´orej zale˙z¸a k_1,2,3. Rozwi¸azania r´ownania Schr¨odingera istniej¸a wi¸ec tylko dla pewnych energii: jest kwantyzacja energii. W sko´nczonych studniach istnieje sko´nczona ilo´s´c rozwi¸aza´n, a wi¸ec i dozwolonych poziom´ow energii. Mo˙ze si¸e zdarzy´c, ˙ze dozwolonych poziom´ow w og´ole brak. Dla studni symetrycznej (tzn. gdy V1 = V3) zawsze istnieje przynajmniej jeden poziom. Funkcja falowa jest r´o˙zna od zera w obszarach 1 i 3 - maleje tam wyk ladniczo przy oddalaniu si¸e od studni. Istnieje sko´nczone prawdodobie´nstwo znalezienia cz¸astki w tych obszarach, niedost¸epnych klasycznie (energia ca lkowita by laby wi¸eksza

od potencjalnej).

Barier¸a potencja lu jest zasadniczo uk lad, w kt´orym V₁ < V₂, V₃ < V₂. En-ergia cz¸astki E > V₁, E > V₃. Rozwa˙za si¸e zar´owno przypadek E < V₂ (bari-era klasycznie nieprzepuszczalna) jak i E > V₂ (klasycznie przepuszczalna). Ten ostatni przypadek obejmuje r´ownie˙z sytuacj¸e, gdy wyst¸epuje uk lad po-tencja l´ow typowy dla studni, lecz cz¸astka jest nad ni¸a. Funkcje w ob-szarach 1 i 3 s¸a teraz oscyluj¸ace, nie ma powodu odrzuca´c jakichkolwiek wyraz´ow ze wzgl¸edu na normalizacj¸e funkcji. Nale˙zy natomiast zinterpre-towa´c poszczeg´olne wyrazy. Latwo obliczy´c, ˙ze z fal¸a postaci C exp(ikx) wi¸a˙ze si¸e g¸esto´s´c pr¸adu

¯ hk

m|C|2.

Je´sli ´zr´od lo cz¸astek znajduje si¸e z lewej strony bariery czyli w obszarze 1, to fali A₁exp(ik₁x) odpowiada g¸esto´s´c pr¸adu j_A1 = ^¯hk1

m |A₁|2; jest to warto´s´c dodatnia (cz¸astki poruszaj¸a si¸e w dodatnim kierunku osi x) i fal¸e mo˙zna nazwa´c padaj¸ac¸a. Fali B₁exp(−ik₁x) odpowiada ujemna g¸esto´s´c pr¸adu j_B1 = −^¯hk1

m |B₁|2 - jest to fala odbita. Fala A₃exp(ik₃x) o dodatniej g¸esto´sci pr¸adu j_A3 = ^¯hk3

m |A₃|2 jest fal¸a przepuszczon¸a. Fala B₃exp(−ik₃x) jest fal¸a biegn¸ac¸a ku barierze z lewej strony; tam nie ma ´zr´od la, a fala nie mia la si¸e od czego odbi´c: nie powinno jej by´c, czyli B₃ = 0. Do rozwi¸azania pozostaj¸a wi¸ec cztery r´ownania liniowe jednorodne z pi¸ecioma niewiadomymi. Maj¸a one zawsze rozwi¸azania niezerowe, nie ma wi¸e kwantyzacji. Istnieje jednoparametrowa rodzina rozwi¸aza´n, za parametr mo˙zna przyj¸a´c jedn¸a z niewiadomych, np.A₁, kt´or¸a mo˙zna wyznaczy´c normalizuj¸ac ca l¸a funkcj¸e do delty Diraca.

Liczba

R = |^jB1

j_A1| jest prawdopodobie´nstwem odbicia, natomiast

T = |^jA3

j_A1| jest prawdopodobie´nstwem przepuszczenia.

Teoria gwarantuje zachowanie prawdopodobie´nstwa, tzn. R + T = 1. Na og´o l 0 < R, T < 1, a wi¸ec mamy niezerowe prawdopodobie´nstwo przej´scia

w sytuacji, gdy klasycznie jest to niemo˙zliwe (efekt tunelowy), oraz nieze-rowe prawdopodobie´nstwo odbicia, gdy klasycznie z pewno´sci¸a nast¸api loby przej´scie.

5 Oscylator harmoniczny

Jednowymiarowy oscylator harmoniczny jest to cz¸astka w polu o energii potencjalnej V (x) = 1

2kx2, gdzie k jest sta l¸a spr¸e˙zysto´sci. Klasycznie jest opisany przez r´ownanie Newtona

m^d

2x

dx2 = −^dV

dx ^{= −kx,}

kt´orego rozwi¸azaniem og´olnym jest funkcja x(t) = A cos(ωt + φ), gdzie ω2 =

k

m, natomiast A oraz φ s¸a sta lymi wyznaczanymi z warunk´ow pocz¸atkowych. W ´swiecie kwantowym oscylatorem ze wzgl¸edu na ruch j¸ader jest na przyk lad drobina dwuatomowa. Bardziej skomplikowane drobiny lub dr-gaj¸ac¸a sie´c kryszta lu mo˙zna uwa˙za´c za zespo ly oscylator´ow harmonicznych (przybli˙zenie ma lych drga´n). Kwantowy oscylator harmoniczny jest opisany r´ownaniem Schr¨odingera −^h¯ 2 2m d² dx2ψ(x) + ¹ 2^kx 2ψ(x) = Eψ(x)(∗ ∗ ∗).

Po przej´sciu do jednostek bezwymiarowych x = αy, gdzie α² = ¯h(km)⁻¹2

otrzymuje si¸e −¹ 2 d² dy2φ(y) + ¹ 2^y 2φ(y) = φ(y),

gdzie  = _¯hω^E , φ(y) = ψ(αx). R´ownanie to mo˙zna rozwi¸aza´c metod¸a wielo-mian´ow. Mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze dla du˙zych |y| ”prawie” dobrym rozwi¸azaniem jest funkcja exp(−¹₂y2). Szukamy ´scis lego rozwi¸azania w postaci f (y) exp(−¹₂y2), a funkcj¸e f (y) przedstawiamy w postaci szeregu f (y) = P∞

j=0a_jyj+s, przy czym s jest takie, ˙ze a₀ 6= 0. Po podstawieniu do r´ownania otrzymujemy r´owno´s´c to˙zsamo´sciow¸a szereg´ow, co mo˙ze zachodzi´c tylko wtedy, gdy za-chodzi r´owno´s´c wsp´o lczynnik´ow przy wszystkich pot¸egach zmiennej y. Otrzy-muje si¸e wtedy

a wi¸ec s = 0 lub s = 1,

(s + 1)sa₁ = 0,

(j + s + 2)(j + s + 1)a_j+2 = [2(j + s) − 2 + 1]a_j. Z ostatniego wzoru wynika, ˙ze dla du˙zych j stosunek ^aj+2

aj ∼ 2

j. To jest zachowanie jak dla funkcji exp(y2) i takie rozwi¸azania nale˙zy odrzuci´c. Je-dyn¸a mo˙zliwo´sci¸a jest urwanie szeregu, tzn. dla pewnego j^∗ musi zachodzi´c 2(j^∗+ s) − 2 + 1 = 0. W ten spos´ob przerwiemy podszereg o parzystch j. Podszereg o nieparzystych j musimy zlikwidowa´c przyjmuj¸ac a₁ = 0; znikaj¸a wtedy wszystkie jego wyrazy. Wprowadzaj¸ac liczb¸e kwantow¸a n = j^∗ + s mo˙zemy zauwa˙zy´c, ˙ze n = 0, 1, 2, 3, 4...., a energia jest skwantowana, tzn.  = n + ¹₂, a

E = E_n = ¯hω(n + ¹

2^{)(∗ ∗ ∗).}

Odst¸epy mi¸edzy s¸asiednimi poziomami energii s¸a wi¸ec r´owne i wynosz¸a ¯hω. Energia poziomu podstawowego wynosi ¹₂¯hω, nie jest wi¸ec r´owna zeru.

Funkcja falowa f(y) jest wi¸ec wielomianem. Pokazuje si¸e, ˙ze po unor-mowaniu funkcje falowe maj¸a posta´c

φ(y) = φ_n(y) = π⁻¹4(2ⁿn!)⁻¹2H_n(y) exp(−¹ 2^y

2),

gdzie H_n(y) s¸a wielomianami Hermite’a

Hn(y) = (−1)ⁿexp(y²) ^d

n

dynexp(−y²).

Unormowana funkcja ψ_n(x) = α₋1

2φ_n(^x_α).

Wielomian o indeksie n jest stopnia n. Wielomiany stopnia parzystego s¸a funkcjami parzystymi, a stopnia nieparzystego - nieparzystymi. Maj¸a one rzeczywiste pierwiastki. Wielomiany te maj¸a szereg specyficznych w lasno´sci zebranych w tablicach funkcji specjalnych.

Mo˙zna zaobserwowa´c, ˙ze dla ma lych n otrzymamy najwi¸eksze prawdopodobie´nstwo znalezienia cz¸astki w pobli˙zu minimum potencja lu (x = 0), a dla du˙zych n

- w pobli˙zu klasycznych punkt´ow zwrotu (tzn. takich w kt´orych ca la en-ergia kinetyczna zosta la zamieniona na potencjaln¸a). Wed lug klasycznych praw ruchu cz¸astka przebywa najd lu˙zej w okolicy punkt´ow zwrotu, bo tam ma najmniejsz¸a pr¸edko´s´c. Mamy tu przyk lad zasady korespondencji, kt´ora

stwierdza, ˙ze dla du˙zych warto´sci liczb kwantowych zachowania uk lad´ow kwantowych przypominaj¸a zachowania ich klasycznych analogon´ow.

Oscylator harmoniczny mo˙zna inaczej opisa´c u˙zywaj¸ac operator´ow anihi-lacji a i kreacji a^†, gdzie

a = 2⁻¹2(y + ^d dy^),

a^†= 2⁻¹2(y − ^d dy^).

Komutator tych operator´ow wynosi [a, a^†] = 1. Hamiltonian daje si¸e zapisa´c jako

H = ¯hω(a^†a +¹ 2^). Niech φ_ν b¸ed¸a funkcjami w lasnymi operatora a^†a.

a^†aφ_ν = νφ_ν.

Rozpatruj¸ac wyra˙zenia a^†aaφ_ν oraz a^†aa^†φ_ν i korzystaj¸ac z relacji komutacji dochodzi si¸e do wniosku, ˙ze aφν jest funkcj¸a w lasn¸a operatora a^†a do warto´sci w lasnej ν − 1, a a^†φ_ν - do warto´sci w lasnej ν + 1. Z normalizacji funkcji φ_ν otrzymuje si¸e

aφν =√ νφν−1, a^†φ_ν =√

ν + 1φ_ν+1.

Stosuj¸ac wielokrotnie operator a mo˙zna by skonstruowa´c stan o dowolnie

ma lej energii - nie istnia lby wi¸ec stan podstawowy, co jest sprzeczne z do´swiadczeniem. To rekurencyjne post¸epowanie mo˙ze by´c przerwane, je´sli za lo˙zy´c, ˙ze dla stanu

podstawowego aφ₀ = 0 (wtedy nie da si¸e utworzy´c φ₋₁. Warto´sci w lasne op-eratora a^†a s¸a wi¸ec r´owne ν = n = 0, 1, 2, 3, .... R´ownanie

aφ0 = 2⁻¹2(y + ^d

dy^{)φ0 = 0}

daje rozwi¸azanie unormowane

φ₀(y) = π⁻¹4 exp(−¹ 2^y

Funkcje wy˙zszych stan´ow mo˙zna otrzyma´c przez wielokrotne zastosowanie operatora a^† φ_n+1 = ¹ (n + 1)¹2 1 2¹2 (y + ^d dy^)φn. To prowadzi do funkcji opisanych wy˙zej.

6 Teoria momentu p¸edu

Moment p¸edu L jest tr´ojk¸a operator´ow (L_x, L_y, L_z) spe lniaj¸acych regu ly ko-mutacji [L_x, L_y] = i¯hL_z (i relacje otrzymane przez cykliczne przestawienie indeks´ow). R´ownie˙z [L_x,y,z, L2] = 0. Mo˙zna wi¸ec tak przygotowa´c uk lad (cz¸astk¸e), aby wynik pomiaru L_z i L² by l przewidywalny z pewno´sci¸a, tzn. istniej¸a wsp´olne funkcje w lasne tych operator´ow

L²ψ_λµ = ¯h²λ²ψ_λµ,

Lzψλµ= ¯hµψλµ.

Rol¸e pojedynczego indeksu n w og´olnych wzorach gra para λ, µ.

Wprowadza si¸e operatory L± = Lx±iLy; zachodzi L^†_±= L∓. Latwo pokaza´c, ˙ze spe lniaj¸a one relacje komutacji [L±, L2] = 0 oraz [L±, L_z] = ∓¯hL±. Badanie element´ow macierzowych

(ψλ0µ0, [L±, L²]ψλµ) oraz (ψ_λ0µ0, [L±, L_z]ψ_λµ) prowadzi do relacji (ψ_λ0µ0, L±ψ_λµ)(λ⁰²− λ2) = 0 oraz (ψ_λ0µ0, L±ψ_λµ)(µ⁰− µ ∓ 1) = 0.

Oznacza to, ˙ze element macierzowy (ψ_λ0µ0, L_±ψ_λµ) zeruje si¸e, je´sli λ 6= λ⁰ lub µ⁰ 6= µ ± 1. Funkcj¸e L±ψ_λµ mo˙zna rozwin¸a´c w bazie

L±ψλµ =^X

λ0µ0

ale z powodu zerowania si¸e element´ow macierzowych ka˙zda z tych sum re-dukuje si¸e do pojedynczego wyrazu.

L_±ψ_λµ = C_λµ^±ψ_λµ±1,

gdzie

C_λµ^± = (ψ_λµ±1, L±ψ_λµ).

Sta le C_λµ^± mo˙zna wyznaczy´c badaj¸ac element macierzowy

(ψλµ, L±L∓ψλµ).

Z jednej strony jest on r´owny |C_λµ^∓|2, a z drugiej, poniewa˙z L±L∓ = L²_x+ L²_y± ¯hLz = L²− L²_z− ¯hLz, jest on r´owny ¯ h²(λ²− µ2± µ). Ostatecznie L±ψ_λµ = ¯h^qλ2− µ(µ ± 1)ψ_λµ±1.

Wydaje si¸e, ˙ze stosuj¸ac wielokrotnie operatory L_±mo˙zna zbudowa´c stany odpowiadaj¸ace momentowi p¸edu o okre´slonej d lugo´sci i dowolnie du˙zym lub dowolnie ma lym rzucie. Tej absurdalnej mo˙zliwo´sci mo˙zna unikn¸a´c tylko wtedy, gdy rekurencja zostanie przerwana, tzn. istniej¸a µ₁ = µ_min, oraz µ₂ = µ_max, takie ˙ze

λ²− µ₁(µ₁− 1) = 0, λ²− µ₂(µ₂+ 1) = 0;

dodatkowo od warto´sci minimalnej do warto´sci maksymalnej mo˙zna przej´s´c k skokami o 1, tzn. µ₂ = µ₁+ k, k=0,1,2,3,... . St¸ad

λ² = µ₁(µ₁− 1) = (µ₁+ k)(µ₁+ k + 1),

a st¸ad µ₁ = −^k₂ oraz µ₂ = ^k₂. Oznaczamy l = ^k₂, oraz zmieniamy indeksacj¸e (λµ) na lm.

Ostatecznie mo˙zna napisa´c

L_zψ_lm = ¯hmψ_lm(∗ ∗ ∗), l = 0,¹ 2^{, 1,} 3 2^{, 2....(∗ ∗ ∗),} m = −l, −l + 1, −l + 2, ..., l − 1, l(∗ ∗ ∗).

Dla okre´slonej warto´sci liczby l mamy wi¸ec 2l + 1 dozwolonych warto´sci liczby m. S¸a to relacje s luszne dla ka˙zdego momentu p¸edu (orbitalny mo-ment p¸edu jednej cz¸astki, wypadkowy orbitalny moment p¸edu wielu cz¸astek, wewn¸etrzne momenty p¸edu (spiny), ca lkowity moment p¸edu). Korzystano jedynie z regu l komutacji i samosprz¸e˙zono´sci operator´ow. Dalej oka˙ze si¸e, ˙ze dla moment´ow p¸edu posiadaj¸acych odpowiednik klasyczny (ruch czego´s wok´o l czego´s) realizuj¸a si¸e tylko ca lkowite warto´sci liczby l; warto´sci po l´owkowe odpowiadaj¸a nieklasycznym momentom p¸edu: spinom.

Pogl¸adowy obraz kwantowego momentu p¸edu musi z natury rzeczy by´c u lomny. Pewne cechy oddaje w la´sciwie model wektora wykonuj¸acego ruch precesyjny dooko la osi z. D lugo´s´c wektora wynosi ¯h^ql(l + 1), a jego rzut ¯

hm. Tworz¸aca jest nachylona do osi z pod skwantowanym k¸atem α, takim ˙ze cos α = √^m

l(l+1). Sk ladowe L_x i L_y nie s¸a okre´slone w modelu klasycznym, bo si¸e zmieniaj¸a w czasie, a w modelu kwantowym z powod´ow zasadniczych. Te og´olne relacje mo˙zna zastosowa´c w szczeg´olno´sci dla orbitalnego mo-mentu p¸edu jednej cz¸astki r × p. W tym celu operatory momentu p¸edu nale˙zy przedstawi´c we wsp´o lrz¸ednych sferycznch

x = r sin θ cos φ,

y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Relacje odwrotne maj¸a posta´c

r = (x²+ y²+ z²)¹2, θ = arccos ^z (x2+ y2+ z2)¹2 , φ = arctg^y x^.

Wyra˙zaj¸ac pochodne kartezja´nskie przez pochodne wzgl¸edem wsp´o lrz¸ednych sferycznych wg. zasady ∂ ∂x ⁼ ∂r ∂x ∂ ∂r ⁺ ∂θ ∂x ∂ ∂θ ⁺ ∂φ ∂x ∂ ∂φ

itd., a nast¸epnie podstawiaj¸ac do definicji momentu p¸edu otrzymuje si¸e

L_x = −i¯h(− sin φ ^∂ ∂θ − ctgθ cos φ ^∂ ∂φ^), L_y = −i¯h(cos φ ^∂ ∂θ − ctgθ sin φ ^∂ ∂φ^), L_z = −i¯h ^∂ ∂φ^, L₊= −i¯h exp(iφ)(i ^∂ ∂θ − ctgθ ^∂ ∂φ^), L−= −i¯h exp(−iφ)(−i ^∂ ∂θ − ctgθ ^∂ ∂φ^). Przy okazji otrzyma´c mo˙zna wa˙zne relacje

L² = −¯h²Λ² = −¯h²[ ¹ sin θ ∂ ∂θ ^{sin θ} ∂ ∂θ ⁺ 1 sin²θ ∂² ∂φ2], ∇2 = ¹ r2 ∂ ∂r^r 2 ∂ ∂r ⁺ Λ2 r2.

Funkcje w lasne operator´ow L2i L_zs¸a funkcjami k¸at´ow θ, φ. Mo˙zna spr´obowa´c ka˙zd¸a z nich przedstawi´c jako iloczyn cz¸e´sci zale˙znej od θ i cz¸e´sci zale˙znej od φ

ψ_lm(θ, φ) = Θ_lm(θ)Φ_m(φ);

(taka zale˙zno´s´c od indeks´ow zostanie potwiedzona dalej). Podstawienie takiej funkcji do r´ownania w lasnego dla L_z prowadzi do r´ownania na funkcj¸e Φ

−i¯h ^d

gdzie skorzystano, ˙ze L_z nie dzia la na funkcj¸e Θ_lm(θ) i przez t¸e ostatni¸a podzielono obie strony. Rozwi¸azaniem tego r´ownania jest funkcja

Φ(φ) = exp(imφ).

Poniewa˙z po obrocie o 2π funkcja przestrzenna nie powinna zmieni´c warto´sci, tzn. exp[im(φ + 2π)] = exp(imφ), m musi by´c liczb¸a ca lkowit¸a: m = 0, ±1, ±2.... Tak samo liczba l musi by´c ca lkowita (m zmienia si¸e od −l do l. Ca lkowito´s´c liczb kwantowych l i m musi zachodzi´c dla ka˙zdego orbital-nego (tzn. zwi¸azanego z ruchem) momentu p¸edu; po l´owkowe liczby l i m przys luguj¸a pewnym momentom p¸edu nie maj¸acym klasycznego odpowied-nika (spinom).

Naj latwiej wyznaczy´c funkcje Θ(θ) dla minimalnej warto´sci m = −l. Wtedy L−Θ_l−lexp(−ilφ) = 0, czyli −(i ^∂ ∂θ ^{+ ctgθ} ∂ ∂φ^{)Θl−lexp(−ilφ) = 0} i dalej dΘ_l−l dθ ^{= lctgθΘl−l.} Latwo zgadn¸a´c rozwi¸azanie ostatniego r´ownania

Θ(θ) = C sin^lθ,

gdzie C jest sta l¸a normalizacyjn¸a (2πC²Rπ

0 sin^2l+1θdθ = 4πC²_(2l+1)!!^(2l)!! = 1). Funkcje dla wi¸ekszych m mo˙zna otrzyma´c dzia laj¸ac wielokrotnie operatorem L₊ ψ_lm+1 = ¹ ¯ h^ql(l + 1) − m(m + 1) L₊ψ_lm = −i q l(l + 1) − m(m + 1) exp(iφ)(i ^∂ ∂θ−ctgθ ^∂ ∂φ^)ψlm, m = −l, −l + 1, −l + 2, ...., l − 1.

Wszystkie te funkcje maj¸a posta´c wielomianu od zmiennej cos θ pomno˙zonego przez sin θ w jakiej´s pot¸edze i przez czynnik exp(imφ). Funkcje ψ_lm(θ, φ) po

unormowaniu s¸a standardowo oznaczane symbolem Y_lm(θ, φ) i nazywaj¸a si¸e funkcjami sferycznymi lub kulistymi. Og´olna ich posta´c jest

Y_lm(θ, φ) = [^{(2l + 1)(l − |m|)!} 4π(l + m|)! ^]

1

2P_l^|m|(cos θ) exp(imφ),

gdzie P_l^|m|(x) = (1 − x2)^|m|2 d^|m|

dx|m|P_l(x), nazywaj¸a si¸e stowarzyszonymi funkc-jami Legendre’a; Pl(x) = ₂¹ll!

dl

dxl(x²− 1)l s¸a wielomiamani Legendre’a, a  = 1 dla m < 0 i  = (−1)m dla m ≥ 0. Przy inwersji uk ladu wsp´o lrz¸ednych, tzn. zamianie r na −r, nast¸epuje zamiana θ → π − θ i φ → φ + π. Funkcje Y_lm o parzystej liczbie l nie zmieniaj¸a si¸e, natomiast te o nieparzystej liczbie l zmieniaj¸a znak. Parzysto´s´c wynosi wi¸ec (−1)l.

7 Atom wodoru

Najprostszy model atomu wodoru uwzgl¸ednia punktowe j¸adro umieszczone w pocz¸atku uk ladu i elektron jako kwantow¸a cz¸astk¸e o wsp´o lrz¸ednej r poruszaj¸ac¸a si¸e w przestrzeni. Oddzia lywanie mi¸edzy elektronem i j¸adrem jest kulom-bowskie. Niech ladunek j¸adra wynosi Ze, tzn. rozwa˙zamy te˙z przy okazji jednoelektronowe jony dodatnie. Masa elektronu wynosi m = 9.109 × 10⁻³¹ kg, a ladunek e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C. Hamiltonian uk ladu ma posta´c

H = −^¯h

2

2m∇2− ^Ze

2

4π₀r^{(∗ ∗ ∗),}

gdzie jak zwykle r = |r|, a potencja l kulombowski napisano w jednostkach mi¸edzynarodowych.

Uproszczenia modelu polegaj¸a na:

1. nieuwzgl¸ednieniu ruchu j¸adra - poni˙zsze wyniki mo˙zna poprawi´c za-mieniaj¸ac mas¸e j¸adra na tzw. mas¸e zredukowana µ = ^mmj

m+mj, gdzie m_j jest mas¸a j¸adra;

2. nieuwzgl¸ednienie oddzia lywa´n magnetycznych zwi¸azanych z istnieniem wewn¸etrznych moment´ow magnetycznych elektronu i j¸adra;

3. nieuwzgl¸ednienie relatywistycznego przyrostu masy;

4. nieuwzgl¸ednienie kwantowej istoty oddzia lywa´n elektromagnetycznych, jak¸a jest ustawiczna emisja i absorpcja wirtualnych foton´ow oraz modyfikacja

pola kulombowskiego w wyniku polaryzacji pr´o˙zni. O roli tych efekt´ow b¸edzie jeszcze mowa dalej.

Hamiltonian komutuje ze wszystkimi sk ladowymi momentu p¸edu i z jego kwadratem (operator energii kinetycznej zawsze komutuje z momentem p¸edu, operator energii potencjalnej - dzi¸eki jego sferycznej symetrii). Mo˙zna wi¸ec zmierzy´c r´ownocze´snie energi¸e, kwadrat momentu p¸edu i jego rzut na o´s z, czyli znale´z´c wsp´olne funkcje w lasne tych trzech operator´ow.

We wsp´o lrz¸ednych sferycznych hamiltonian ma posta´c

H = −^¯h 2 2m^[ 1 r2 ∂ ∂r^r 2 ∂ ∂r ⁺ Λ2 r2] − ^Ze 2 4π0r^.

Operator −¯h²Λ2 jest operatorem kwadratu momentu p¸edu. Wida´c jeszcze raz spe lnienie regu l komutacji: cz¸e´s´c hamiltonianu zale˙zna od k¸at´ow stanowi L², kt´ory komutuje z sob¸a i z Lz. Wsp´olnych funkcji w lasnych mo˙zna szuka´c w postaci

ψ(r, θ, φ) = R_nl(r)Y_lm(θ, φ);

dalej oka˙ze si¸e, ˙ze funkcja R powinna mie´c w la´snie te indeksy. Funkcj¸e t¸e nale˙zy wstawi´c do r´ownania, podzia la´c operatorem L² na funkcj¸e kulist¸a, a potem przez t¸e funkcj¸e skr´oci´c. Dodatkowo nale˙zy podstawi´c R_nl = ^{f (r)}_r (to ostatnie podstawienie ma charakter pomocniczny i indeksy funkcji b¸ed¸a chwilowo opuszczone). Po tych operacjach otrzymuje si¸e

−^h¯ 2 2m d2f dr2 + ^¯h 2l(l + 1) 2mr2 f − ^Ze 2 4π0r^{f = Ef.}

Mo˙zna przej´s´c do wsp´o lrz¸ednych bezwymiarowych r = aρ, gdzie a = ^4π0¯h2

me2 =

0.529×10⁻¹⁰m jest promieniem pierwszej dozwolonej orbity w modelu Bohra. R´ownanie w nowej zmiennej ma posta´c (podstawiono F (ρ) ≡ f (aρ),  = E^ma_¯h2²) −¹ 2 d²F dρ2 + ^{l(l + 1)} 2ρ2 F −^Z ρ^{F = F.}

Dla du˙zych ρ rozwi¸azanie r´ownania powinno si¸e zachowywa´c jak rozwi¸azanie r´ownania

F⁰⁰− κ2F = 0,

gdzie  = −^κ₂². Oznacza to, ˙ze dla energii ujemnych κ > 0 i funkcja F zachowuje si¸e dla du˙zych ρ jak exp(−κr).

Dla ρ → 0 rozwi¸azania zachowuj¸a si¸e jak rozwi¸azania r´ownania −¹ 2 d2F dρ2 +^{l(l + 1)} 2ρ2 F = 0.

Rozwi¸azania ostatniego r´ownania maj¸a posta´c F = ρl+1lub ρ^−l, przy czym te ostatnie odrzucamy, bo prowadz¸a do nienormowalnych rozwi¸aza´n (przypadek rho⁰ nale˙zy rozwa˙zy´c osobno). Ostatecznie spr´obujmy poszuka´c ´scis lego rozwi¸azania w postaci

F (ρ) = ρ^l+1exp(−κρ)

∞

X

j=0

a_jρ^j,

przy czym a₀ 6= 0. Podstawienie takiej postaci rozwi¸azania do r´ownania, uporz¸adkowanie i por´ownanie wsp´o lczynnik´ow przy tych samych pot¸egach zmiennej ρ prowadzi to relacji

aj+1= ^{2κ(j + l + 1) − 2Z}

(j + l + 2)(j + l + 1) − l(l + 1)^aj.

Dla du˙zych j oznacza to, ˙ze

a_j+1 a_j ∼ ^2κ

j ^.

Jest to zachowanie typowe dla funkcji exp(2κρ), tzn. nasze rozwi¸azanie zmierza do niesko´nczono´sci dla du˙zych ρ, nawet po uwzgl¸ednieniu czynnika exp(−κρ). Szereg powy˙zszy musi wi¸ec si¸e urywa´c, tzn. dla pewnego j^∗

2κ(j^∗+ l + 1) = 2Z,

j^∗ = 0, 1, 2, ... Wprowad´zmy oznaczenie n = j^∗+l+1, czyli n = l+1, l+2, ... Wtedy κ = ^Z_n, czyli  = −_2n^Z22 i otrzymujemy kwantyzacj¸e energii

E = E_n= − ^Z 2e4m 16π22 0¯h² 1 2n2(∗ ∗ ∗).

Jest to ten sam wynik, jak dla energii w modelu Bohra.

Bior¸ac liczb¸e n za zmieniaj¸ac¸a si¸e niezale˙znie mo˙zna napisa´c, ˙ze n = 1, 2, 3, ... . Wtedy liczba l = 0, 1, 2, ..., n − 1. Liczba m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l. Dla

ustalonego n liczba stan´ow o energii E_n czyli krotno´s´c degeneracji, wynosi

Pn−1

l=0(2l + 1) = n².

Po wykonaniu oblicze´n i unormowaniu funkcje radialne R_nl maj¸a posta´c

R_nl(r) = N_nl [^2Zr na ^] l exp[−Zr na ^{] L} 2l+1 n+l (^2Zr na ^), gdzie L^k_s(x) = ^d k dxkL_s(x),

nazywaj¸a si¸e stowarzyszonymi wielomianami Laguerre’a, L_s(x) = exp(x)_dx^dssx^sexp(−x) s¸a wielomianami Laguerre’a, a N_nl = −(^2Z na⁾ 3 2 [^{(n − l − 1)!} 2n(n + l)!3]¹2.

Funkcja radialna Rnljest wi¸ec iloczynem wielomianu i funkcji wyk ladniczo malej¸acej. Ma n − l − 1 w¸ez l´ow, czyli miejsc zerowych (nie licz¸ac pocz¸atku uk ladu). Maksima radialnej funkcji rozk ladu prawdopodobie´nstwa r2R2

nldla l = n − 1 wypadaj¸a w r = n^{2 a}_Z, czyli tam, gdzie p´o lklasyczne orbity Bohra. Dla mniejszych l jest wi¸ecej maksim´ow i nie wypadaj¸a dok ladnie tam, gdzie orbity Bohra. Zale˙zno´s´c rozk ladu g¸esto´sci chmury elektronowej od kierunk´ow tkwi w funkcjach kulistych. Poniewa˙z |Ylm(θ φ)| nie zale˙zy of φ, chmura ma symetri¸e cylindryczn¸a (obrotow¸a) wok´o l osi z. Dla l = 0 funkcja nie zale˙zy od k¸ata θ i chmura ma symetri¸e kulist¸a (izotropowy rozk lad g¸esto´sci). Dla l = 1 i m = ±1 funkcja Y1±1 jest proporcjonalna do sin θ - najwi¸eksze praw-dopodobie´nstwo znalezienia elektronu jest w okolicy θ = 0 (”r´ownik” kuli); analogicznie dla l = 1 i m = 0 Y₁₀ jest proporcjonalna do cos θ i maksy-malne prawdopodobie´nstwo znalezienia elektronu jest w okolicy ”biegun´ow” kuli (θ = 0 i θ = π). Ze wzrostem l kszta lt chmury staje si¸e coraz bardziej skomplikowany.

Dla energii dodatnich nie ma konieczno´sci przerwania szeregu: κ jest wt-edy wielko´sci¸a urojon¸a i funkcja exp(κρ) jest funkcj¸a oscyluj¸ac¸a. Nie ma wi¸ec kwantyzacji. Funkcje falowe, normowalne do delty Diraca, opisuj¸a elektron po jonizacji atomu (fala padaj¸aca i rozproszona).

Funkcje stan´ow stacjonarnych opisuj¸a chmury elektronowe o kszta lcie niezale˙znym od czasu. Mo˙zna rozwa˙za´c paczki falowe, czyli superpozy-cje stan´ow stacjonarnych. W szczeg´olno´sci od niedawna istniej¸a techniczne

mo˙zliwo´sci wprowadzenia atomu wodoru w stan, kt´orego funkcja falowa jest superpozycj¸a stan´ow o du˙zych n (rz¸edu kilkudziesi¸eciu). Ruch takiej paczki mo˙ze przypomina´c ruch klasycznego elektronu w modelu Bohra; centrum chmury wykonuje ruch orbitalny, a sama chmura na zmian¸e rozmywa si¸e i z powrotem zbiera.

8 Uog´olnienie dla wielu cz¸astek

Przedstawiony wy˙zej formalizm daje si¸e latwo uog´olni´c dla N cz¸astek. Funkcja falowa musi zale˙ze´c od wszystkich wsp´o lrz¸ednych wszystkich cz¸astek, czyli

ψ = ψ(r₁, r₂, ...r_N, t),

przy czym r_j = (x_j, y_j, z_j). Jest wi¸ec funkcj¸a 3N zmiennych przestrzennych

W dokumencie Skrypt do wykładu fizyki kwantowej I (Stron 21-56)