Czy mechanika kwantowa jest niedeterministyczna?

Wraz z pojawieniem si˛e teorii kwantowej stało si˛e jasne, ˙ze mo˙zemy liczy´c tylko na probabilistyczny opis rzeczywisto´sci, ale pocz ˛atkowo nie było ˙zadnych powodów, aby przej´s´c z pozycji demokrytejskiej (przypadkowo´s´c epistemiczna) na epikurejsk ˛a (przypadkowo´s´c on-tyczna). Mogło si˛e bowiem wydawa´c, ˙ze zostali´smy tylko skonfron-towani z jeszcze jedn ˛a, niepełn ˛a teori ˛a podobn ˛a do termodynamiki,

czy fizyki statystycznej, której wyniki s ˛a jednoznacznie okre´slone przez warto´sci deterministycznych „parametrów ukrytych”, niemie-rzalnych z bardziej lub mniej fundamentalnych powodów.

Twierdzenie Bella (Bell, 1964) pokazało jednak, ˙ze sprawa nie mo˙ze by´c prosta. Istotnym wynikiem prac Bella jest nierówno´s´c ograniczaj ˛aca warto´sci pomiarów wielko´sci „makroskopowych”¹¹, (a w zasadzie, pewnych funkcji tych warto´sci, zob. ni˙zej).

Wielko-´sci „makroskopowe” otrzymujemy przez u´srednienie po rozkładzie zmiennych ukrytych, poniewa˙z nie mamy mo˙zliwo´sci dokładnego wyznaczenia tych ostatnich. Nierówno´s´c Bella¹²musi by´c spełniona dla wszystkich teorii operuj ˛acych zmiennymi ukrytymi z szerokiej i wa˙znej klasy takich parametrów, obejmuj ˛acej zmienne ukryte tego typu, co w klasycznej fizyce statystycznej. Je´sli w do´swiadczeniu oka˙ze si˛e, ˙ze jaka´s z nierówno´sci Bella jest złamana, to wykluczy to istnienie parametrów ukrytych z tej szerokiej klasy, a wi˛ec, przede wszystkim, zmienne ukryte znane z teorii klasycznych. Nie oznacza to niemo˙zliwo´sci skonstruowania mechaniki kwantowej jako teorii opartej na zmiennych ukrytych. Musimy jednak wtedy pogodzi´c si˛e z pewnymi „egzotycznymi” własno´sciami tych zmiennych. Tak np.

w podej´sciu Bohma (Bohm, 1952) zarówno funkcja falowa,

okre-´slona na przestrzeni konfiguracyjnej wszystkich cz ˛astek, jak i poło˙ze-nia tych cz ˛astek, graj ˛ace rol˛e zmiennych ukrytych, ewoluuj ˛a determi-nistycznie. Jednak ruch pojedynczej cz ˛astki zale˙zy od stanu

wszyst-11U˙zywam cudzysłowu, aby unikn ˛a´c złego skojarzenia – w mechanice kwantowej s ˛a to wielko´sci mog ˛ace dotyczy´c pojedynczych cz ˛astek elementarnych, a wi˛ec raczej

„mikroskopowe”. Jednak, gdyby udało si˛e te wielko´sci wyznaczy´c za pomoc ˛a zmien-nych ukrytych, to byłyby one „makroskopowe” z punktu widzenia „mikroskopowych”

zmiennych ukrytych, tak jak temperatura jest wielko´sci ˛a makroskopow ˛a z punktu wi-dzenia energii poszczególnych cz ˛astek gazu.

12Mo˙zna wyprowadzi´c wiele nierówno´sci tego typu. Przyj˛eło si˛e nazywa´c je wszyst-kie nierówno´sciami Bella, st ˛ad niekiedy b˛edzie si˛e w tek´scie pojawiała liczba mnoga.

kich innych cz ˛astek w tej samej chwili czasu, tzn. warto´sci zmien-nych ukrytych uzgadniane s ˛a natychmiastowo, co czyni teori˛e niein-tuicyjnie nielokaln ˛a¹³.

Nierówno´sci Bella dotycz ˛a wspólnych rozkładów prawdopodo-bie´nstwa mierzonych wielko´sci. Przypu´s´cmy, ˙ze dokonujemy po-miaru na układzie N obiektów (cz ˛astek). Na ka˙zdym z nich

mo-˙zemy wykona´c pomiar pewnej wielko´sci (obserwabli), otrzymuj ˛ac w wyniku tego pomiaru jedn ˛a z mo˙zliwych warto´sci tej obserwa-bli. Naturalnym opisem otrzymanych wyników jest wspólny rozkład prawdopodobie´nstwaP (a1, . . ., aN|x¹, . . ., xN)otrzymania wyniku a1 przy pomiarze obserwabli x1 na pierwszej cz ˛astce, wyniku a2

przy pomiarze obserwabli x₂ na drugiej cz ˛astce itd. W dalszym ci ˛agu ograniczymy si˛e do dwóch podukładów (dwóch cz ˛astek), P (a, b|x, y ), co upraszcza zapis i rozumowanie, a jest wystarcza-j ˛ace dla dalszej argumentacji. Prawdopodobie´nstwa pojawiaj ˛a si˛e tu, gdy˙z ka˙zdy pomiar jest obci ˛a˙zony przypadkowo´sci ˛a (ontyczn ˛a lub epistemiczn ˛a). Załó˙zmy teraz, ˙ze otrzymane wyniki daj ˛a si˛e opi-sa´c w ramach pewnej teorii zmiennych ukrytych, które oznaczymy za pomoc ˛a symbolu λ (mo˙ze to by´c wiele zmiennych). Oznacza to, ˙ze prawdopodobie´nstwa P (a, b|x, y ) s ˛a przez warto´sci zmien-nychp (λ) wyznaczone, co ujmiemy explicite w zapisie w postaci P (a, b|x, y; λ ). Zmienne ukryte λ maj ˛a rozkład prawdopodobie´n-stwa p (λ) i to wła´snie ten rozkład okre´sla prawdopodobie´nstwa wszelkich wyników pomiarów poprzez u´srednienie po nim (taka jest wła´snie rola parametrów ukrytych). Oznacza to, ˙ze P (a, b|x, y ) = Rx

ΛdλP (a, b|x, y; λ ), gdzie całkowanie (u´srednianie) wykonane jest

13Interpretacja Everetta (Everett III, 1957) oferuje równie˙z całkowicie determini-styczny obraz, w którym wszystkie mo˙zliwo´sci współistniej ˛a. Nastr˛ecza to fundamen-talnych problemów w mówieniu o prawdopodobie´nstwie, zob. np. artykuły w cz. II i IV zbioru (Saunders i in., 2010).

po całym zbiorze dopuszczalnych warto´sci zmiennych ukrytychbn. O zmiennych ukrytych zakładamy, ˙ze s ˛a to zmienne lokalne. Ozna-cza to, ˙ze P (a, b|x, y; λ ) = p (λ) P (a |x; λ ) P (b |y; λ ). Interpreta-cja tego warunku jest do´s´c oczywista: wspólne prawdopodobie´nstwo otrzymania wynikówaibzale˙z ˛a tylko od pomiarów wykonywanych oddzielnie na cz ˛astce pierwszej i na cz ˛astce drugiej oraz, oczywi´scie, warto´sci zmiennych ukrytych, które s ˛a za otrzymane wyniki odpo-wiedzialne^{14 15}. Nierówno´sci Bella spełniane s ˛a w ka˙zdym modelu zmiennych lokalnych i maj ˛a one posta´c:

X

a,b,x,y

c^xy_abP (a, b|x, y ) ≤S,

gdziec^xy_ab s ˛a pewnymi współczynnikami zale˙znymi od wyników po-miarów i mierzonych obserwabli, aS pewn ˛a stał ˛a. Przykładem ta-kiej nierówno´sci jest tzw. nierówno´s´c CHSH¹⁶. Dotyczy ona sytu-acji, w której mamy do wyboru dwie obserwable dla ka˙zdej cz ˛astki (tzn. zarównoxjak iymo˙zemy wybra´c ze zbioru dwuelementowego, mo˙zemy wi˛ec zmiennymx i y nada´c warto´s´c 0 lub 1, w

zale˙zno-´sci od wyboru jednej z dwóch obserwabli) oraz ka˙zdy pomiar mo˙ze

14Najłatwiej mo˙zna zrozumie´c znaczenie warunku lokalno´sci poprzez wyobra˙zenie sobie, ˙ze pomiarów dotycz ˛acych pierwszej dokonujemy w laboratorium bardzo od-ległym od drugiego, w którym przeprowadzamy w tym samym czasie pomiary dru-giej cz ˛astki. Du˙za odległo´s´c uniemo˙zliwia wymian˛e informacji mi˛edzy laboratoriami, a ewentualne korelacje (wynikaj ˛ace np. ze wspólnej przeszło´sci obu cz ˛astek, jak to ma miejsce, gdy obie s ˛a produktami rozpadu jakiej´s cz ˛astki) s ˛a zakodowane w zmien-nych ukrytych okre´slaj ˛acych w ka˙zdej chwili stan całego układu obu cz ˛astek.

15Je´sli chcemy, ˙zeby cały model był deterministyczny (to równie˙z rola, któr ˛a maj ˛a gra´c zmienne ukryte), to konkretny wynikapomiaru obserwablixmusi by´c jedno-znacznie wyznaczony przez aktualne warto´sci zmiennych ukrytychλ, innymi słowy,

˙ze dla danegoλ P (a |x; λ )jest równe albo 0 albo 1. Model zmiennych ukrytych speł-niaj ˛acych te warunki nazywamy deterministycznym lokalnym modelem zmiennych ukrytych.

16Nazwa pochodzi od pierwszych liter nazwisk autorów artykułu (Clauser i in., 1969).

da´c w wyniku jedn ˛a z dwóch dopuszczalnych warto´sci (dla uprosz-czenia przyjmijmy, ˙ze s ˛a to warto´sci +1 i -1 (taka sytuacja zacho-dzi np. przy pomiarze rzutu spinu na okre´slony kierunek dla cz ˛astek o całkowitym spinie¹₂, lub stanów polaryzacyjnych fotonów,

oczywi-´scie po unormowaniu wyników do warto´sci_±1). Poprzez wykonanie wielu pomiarów jeste´smy w stanie okre´sli´c warto´s´c ´sredni ˛a (zwan ˛a te˙z warto´sci ˛a oczekiwan ˛a) iloczynu wyniku pomiarów, któr ˛a ozna-czymy_⟨axby⟩, a mianowicie:

⟨a^xby⟩ =X

ab

a· b · P (a, b |x, y ) .

Nietrudno pokaza´c, ˙ze

|⟨a⁰b₀⟩ + ⟨a⁰b₁⟩ + ⟨a¹b₀⟩ − ⟨a¹b₁⟩| ≤2.

Jest to wła´snie nierówno´s´c CHSH b˛ed ˛aca szczególnym przypadkiem ogólnej nierówno´sci Bella wypisanej poprzednio.

We wspomnianych wypadkach cz ˛astek o spinie ¹₂ lub fotonów kombinacj˛e warto´sci oczekiwanych wyst˛epuj ˛ac ˛a po lewej stronie nierówno´sci mo˙zna łatwo policzy´c w ramach mechaniki kwantowej w konkretnym stanie całego układu. Okazuje si˛e, ˙ze mo˙zna tak wy-bra´c obserwable (sprowadza si˛e to do wyboru kierunków pomiaru rzutu spinu lub polaryzacji) i stan układu, ˙zeby lewa strona przyjmo-wała warto´s´c wi˛eksz ˛a ni˙z 2 w sprzeczno´sci z nierówno´sci ˛a Bella¹⁷. Na poziomie obliczeniowym wynika to z faktu, ˙ze w mechanice kwantowej warto´sci oczekiwane liczone s ˛a w inny sposób ni˙z w kla-sycznym rachunku prawdopodobie´nstwa (wróc˛e do tego problemu poni˙zej). Je´sli wynik ten udałoby si˛e potwierdzi´c do´swiadczalnie, to

17W mechanice kwantowej wielko´s´c ta mo˙ze osi ˛agn ˛a´c maksymaln ˛a warto´s´c2√ 2. Tak wi˛ec w mechanice kwantowej mo˙zliwe korelacje równie˙z podlegaj ˛a pewnym ograniczeniom, zwanym nierówno´sciami Tsirelsona.

wykluczyliby´smy mo˙zliwo´s´c opisu mechaniki kwantowej za pomoc ˛a lokalnych zmiennych ukrytych, w szczególno´sci w ramach modelu deterministycznych lokalnych zmiennych ukrytych, a wi˛ec przypad-kowo´s´c nie mogłaby pochodzi´c wył ˛acznie z nieznajomo´sci dokład-nych warto´sci jakich´s całkowicie deterministyczdokład-nych zmiendokład-nych, co z kolei wskazywałoby na ontyczny jej charakter.

Pierwsze tego typu do´swiadczenia zostały przeprowadzone przez Alaina Aspecta ju˙z w latach 80. zeszłego wieku (Aspect, Grangier i Roger, 1982) i istotnie wykazały one łamanie nierówno´sci Bella, a wi˛ec wykluczyły istnienie lokalnych zmiennych ukrytych. Jednak dopiero w ostatnich latach wykonano eksperymenty, w których udało si˛e w przekonuj ˛acy sposób pokona´c wszelkie trudno´sci zwi ˛azane z niedoskonało´sci ˛a i innymi szczegółami technicznymi pomiarów, co pozwoliło zamkn ˛a´c wszystkie luki w poprzednich eksperymentach (Giustina i in., 2015; Hensen i in., 2015; Shalm i in., 2015).

Wydawałoby si˛e wi˛ec, ˙ze osi ˛agn˛eli´smy zamierzony cel. Wykaza-li´smy, przez do´swiadczalne złamanie nierówno´sci Bella, ˙ze mecha-nika kwantowa jest teori ˛a niedeterministyczn ˛a, a przynajmniej, ˙ze nie dopuszcza zmiennych ukrytych takich, jakie znamy z teorii kla-sycznych. Niestety, sprawa nie jest a˙z tak prosta. Otó˙z w do´swiadcze-niach, o których mowa, trzeba dokona´c wielu pomiarów rzutu spinu, lub polaryzacji na przypadkowo wybrane kierunki. Innymi słowy musimy mie´c mo˙zno´s´c całkowicie przypadkowego wyboru ustawie´n przyrz ˛adów pomiarowych. Warunek ten nazywany jest niekiedy po-stulatem „wolnej woli” – eksperymentator powinien mie´c całkowit ˛a, niczym nieograniczon ˛a swobod˛e wyboru ustawie´n. Wybór ten musi by´c całkowicie przypadkowy i niezale˙zny od stanów mierzonego układu (w szczególno´sci od warto´sci ewentualnych zmiennych ukry-tych okre´slaj ˛acych ten stan). Oba te wymagania s ˛a istotne. Zarówno zale˙zno´s´c wyboru od stanu układu (parametrów ukrytych) (Brans,

1988), jak i niedoskonało´sci w przypadkowo´sci wyboru ustawie´n (Hall, 2010; Koh i in., 2012) pozwalałyby na deterministyczny opis wyników.

W konkretnych do´swiadczeniach realizowane jest to przez wy-korzystanie do tego wyboru niezale˙znego generatora liczb losowych.

Jest te˙z propozycja, aby w eksperymencie (w tym wypadku doty-cz ˛acym fotonów) zastosowa´c fotony przychodz ˛ace do laboratorium z nieskorelowanych odległych od siebie ´zródeł kosmicznych (np.

kwazarów) (Gallicchio, Friedman i Kaiser, 2014). Jednak, jak wi-da´c, zawsze pojawia si˛e circulus vitiosus niszcz ˛acy nasze nadzieje na wykazanie istnienia „prawdziwej” przypadkowo´sci. Aby takie istnienie wykaza´c, musimy bowiem zało˙zy´c, ˙ze istnieje proces sto-chastyczny (przypadkowy), pozwalaj ˛acy na sterowanie ustawieniami.

Ucieczka z tego koła jest niemo˙zliwa z powodów fundamentalnych, niezwi ˛azanych nawet z konkretnymi rozwi ˛azaniami do´swiadczal-nymi. W ko´ncu radykalny fatalizm („wszystko jest raz na zawsze zde-terminowane”), nie jest wewn˛etrznie sprzeczny, a tylko niezgodny z naszymi intuicjami.

Mimo tego warto podkre´sli´c, ˙ze mechanika klasyczna i kwan-towa ró˙zni ˛a si˛e radykalnie w swoim stosunku do prawdopodobie´n-stwa. Na poziomie formalnym oznacza to inne reguły obliczania prawdopodobie´nstwa, co cz˛esto w literaturze przedmiotu jest opi-sywane stwierdzeniem, ˙ze teoria prawdopodobie´nstwa kwantowego nie jest klasyczn ˛a teori ˛a prawdopodobie´nstwa. U podstaw tej ró˙z-nicy le˙zy zasada nieoznaczono´sci, która od pocz ˛atków rozwoju chaniki kwantowej była uwa˙zana za przyczyn˛e indeterminizmu me-chaniki kwantowej. Przypomnijmy, ˙ze stwierdza ona, i˙z dla ka˙zdego układu fizycznego istnieje para obserwabli, których nie mo˙zna jed-nocze´snie jednoznacznie zmierzy´c. Innymi słowy, w ˙zadnym stanie układu nie mo˙zna z dowoln ˛a dokładno´sci ˛a zmierzy´c warto´sci

wszyst-kich obserwabli. Tak wi˛ec, w najprostszym wypadku, poło˙zenie i p˛ed pojedynczej cz ˛astki obarczone s ˛a nieokre´slono´sciami (mierzonymi dyspersjami wokół warto´sci ´sredniej), których iloczyn nie mo˙ze by´c mniejszy od pewnej stałej. Fakt ten mo˙ze by´c wykorzystany do „pod-niesienia statusu” klasycznej przypadkowo´sci zwi ˛azanej z chaosem deterministycznym z czysto epistemicznego do ontycznego, bowiem nieokre´slono´s´c wynikaj ˛aca z zasady nieoznaczono´sci nie jest wyni-kiem naszego poznania, ale wynika z immanentnej struktury

wszech-´swiata. Tak wi˛ec, poniewa˙z warunki pocz ˛atkowe nigdy nie s ˛a

okre-´slone z dowoln ˛a dokładno´sci ˛a, układ mo˙ze si˛e zachowywa´c w sposób chaotyczny i nasze wysiłki aby tego unikn ˛a´c spełzn ˛a na niczym. Nie jestem do ko´nca przekonany do siły tego argumentu za istnieniem przypadkowo´sci ontycznej, przede wszystkim z powodów metodo-logicznych. Otó˙z miesza on dwa poziomy wyja´sniania – klasyczny i kwantowy, bez uzasadnienia, ˙ze takie podej´scie jest prawomocne.

Tym bardziej, ˙ze chaos w rozumieniu klasycznym nie istnieje (lub przynajmniej przejawia si˛e w całkowicie inny sposób) na poziomie kwantowym (Haake, 2013; Haake, Gnutzmann i Ku´s, 2018).

Mo˙zna jednak spojrze´c na zasad˛e nieoznaczono´sci z nieco in-nego punktu widzenia. Otó˙z wynika z niej, ˙ze pewne pytania doty-cz ˛ace wyników do´swiadcze´n, takie jak np. pytanie o jednoczesne warto´sci poło˙zenia i p˛edu, nie mog ˛a by´c w mechanice kwantowej za-dawane, nie maj ˛a bowiem ˙zadnego sensu, wła´snie ze wzgl˛edu na za-sad˛e nieoznaczono´sci. W konsekwencji, w przeciwie´nstwie do tego, do czego jeste´smy przyzwyczajeni w fizyce klasycznej, nie mo˙zemy, zasadniczo, przypisa´c obiektom kwantowym (np. elektronom) kon-kretnych warto´sci obserwabli, które potem zostan ˛a ujawnione w wy-niku pomiaru. Obiekt kwantowy zatem nie „niesie ze sob ˛a”

warto-´sci tych obserwabli; zostan ˛a one (oczywi´scie w sposób zale˙zny od kwantowego stanu obiektu) „ukonkretnione” w trakcie pomiaru.

Mó-wimy, ˙ze mechanika kwantowa nie spełnia warunku „lokalnego re-alizmu”¹⁸. Łamanie lokalnego realizmu przekłada si˛e na inny sposób liczenia prawdopodobie´nstw, a to z kolei, jak ju˙z wspomniano po-wy˙zej, na łamanie nierówno´sci Bella, a tak˙ze na tzw. „kontekstual-no´s´c” mechaniki kwantowej – wynik pomiaru obserwabli zale˙zy od tego, jakie inne obserwable mierzymy jednocze´snie (tzn. „w jakim kontek´scie” dokonujemy pomiarów), co pokazali Kochen i Specker (Kochen i Specker, 1967).

Niemo˙zno´s´c zadawania pewnych pyta´n w mechanice kwantowej wynika z faktu, ˙ze pytania mog ˛ace znale´z´c odpowied´z za pomoc ˛a

do-´swiadcze´n zadajemy tu w odmienny sposób ni˙z ma to miejsce w me-chanice klasycznej. Klasyczne pytania s ˛a postaci: „Czy współrz˛edne opisuj ˛ace dany stan układu s ˛a w konkretnym obszarze przestrzeni fazowej”. Pytania mo˙zna ł ˛aczy´c za pomoc ˛a spójników logicznych

„i”, co odpowiada cz˛e´sci wspólnej dwu obszarów w przestrzeni fazo-wej, „lub”, co odpowiada sumie teoriomnogo´sciowej obszarów,

„je-´sli to”, co odpowiada zawieraniu si˛e jednego obszaru w drugim

(„je-´sli współrz˛edne znajduj ˛a si˛e w obszarze A, a obszar A zawiera si˛e w obszarze B, to współrz˛edne znajduj ˛a si˛e w obszarze B”). Mo˙zna te˙z zada´c pytanie przeciwne, tzn. o pozostawanie poza danym obsza-rem, co odpowiada dopełnieniu danego obszaru do całej przestrzeni fazowej. Struktury pyta´n i odpowiednich obszarów przestrzeni fa-zowej s ˛a izomorficzne – obie te struktury s ˛a izomorficznymi alge-brami Boole’a. Na strukturze algebry Boole’a podzbiorów (mierzal-nych, ale to szczegół techniczny z punktu widzenia naszych

rozwa-˙za´n) oparta jest klasyczna teoria prawdopodobie´nstwa Kołmogorowa.

Zgodnie z twierdzeniem Stone’a (Stone, 1936), ka˙zda algebra

Bo-18Lokalny realizm teorii to wła´snie ta cecha, ˙ze warto´sci wszystkich obserwabli

„tkwi ˛a” w ka˙zdym opisywanym przez ni ˛a obiekcie, niezale˙znie od tego, czy doko-nujemy jakichkolwiek pomiarów.

ole’a (a wi˛ec struktura zbioru pyta´n w teorii klasycznej) ma reprezen-tacje w postaci algebry podzbiorów pewnego zbioru, a wi˛ec zawsze w teorii klasycznej prawdopodobie´nstwo b˛edzie miało charakter koł-mogorowski.

W teorii kwantowej zadawane pytania do´swiadczalne nie doty-cz ˛a obszarów przestrzeni fazowej (nie istnieje ona w teorii kwanto-wej), ale przynale˙zno´sci wektora falowego (funkcji falowej) opisuj ˛ a-cego stan kwantowy układu do okre´slonej domkni˛etej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta funkcji falowych. Podprzestrzenie te s ˛a przestrzeniami własnymi operatorów liniowych reprezentuj ˛acych ob-serwable. O ile poł ˛aczeniu dwóch pyta´n spójnikiem „i” odpowiada nadal przeci˛ecie podprzestrzeni, to alternatywie („lub”) nie odpo-wiada suma teoriomnogo´sciowa dwóch podprzestrzeni, która zazwy-czaj sama nie jest domkni˛et ˛a podprzestrzeni ˛a, ale najmniejsz ˛a do-mkni˛et ˛a podprzestrzeni ˛a całej przestrzeni Hilberta zawieraj ˛ac ˛a obie podprzestrzenie. Implikacji odpowiada inkluzja odpowiednich pod-przestrzeni, a negacji domkni˛ecie podprzestrzeni dopełniaj ˛acej dan ˛a podprzestrze´n do całej przestrzeni Hilberta. Struktura zbioru pyta´n nie jest ju˙z algebr ˛a Boole’a, ale ogólniejsz ˛a struktur ˛a algebraiczn ˛a, tzw. krat ˛a, odpowiadaj ˛ac ˛a wprowadzonej przez Birkhoffa i von Neu-manna „logice mechaniki kwantowej” (Birkhoff i Neumann, 1936).

Dla takich logik istnieje twierdzenie analogiczne do twierdzenia Stone’a dla algebr Boole’a. Wszystkie takie logiki mo˙zna zaprezento-wa´c wła´snie za pomoc ˛a rzutów na domkni˛ete podprzestrzenie w pew-nej przestrzeni Hilberta (Solèr, 1995). Z kolei twierdzenie Gleasona (Gleason, 1957) okre´sla jednoznacznie mo˙zliw ˛a posta´c miar praw-dopodobie´nstwa¹⁹, która okazuje si˛e by´c zgodna z tym, co znamy z mechaniki kwantowej. Tak wi˛ec w mechanice kwantowej skazani jeste´smy zawsze na obliczanie warto´sci oczekiwanych za pomoc ˛a

19Je´sli tylko wymiar przestrzeni Hilberta jest wi˛ekszy ni˙z 2.

´sladu iloczynu operatora g˛esto´sci i mierzonej obserwabli, co pro-wadzi, w pewnych stanach i dla odpowiedniego doboru obserwabli, do złamania nierówno´sci Bella. W ten sposób, ró˙znice charakterów przypadkowo´sci w mechanice klasycznej i kwantowej

sprowadzili-´smy do ró˙znicy logik tych teorii (tzn. struktur logicznych mo˙zliwych do zadania pyta´n do´swiadczalnych).

Mo˙zna zada´c zasadne pytanie, czy istniej ˛a inne alternatywne teo-rie pretenduj ˛ace do opisu rzeczywisto´sci fizycznej, w których praw-dopodobie´nstwo obliczane byłoby w sposób odmienny od opisanych wy˙zej wypadków (klasycznego i kwantowego). Punktem wyj´scia mo˙ze by´c tu analiza nierówno´sci CHSH. Ograniczenie po prawej stronie ma warto´s´c 2 w wypadku klasycznym i 2√

2 w wypadku kwantowym. Łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze ka˙zdy ze składników po lewej stro-nie ma, zgodstro-nie z ich definicj ˛a, warto´s´c bezwzgl˛edn ˛a nie wi˛eksz ˛a ni˙z 1, ich suma nie mo˙ze przekroczy´c 4. Popescu i Rohrlich

zauwa-˙zyli, ˙ze osi ˛agni˛ecie tej maksymalnej warto´sci jest mo˙zliwe (Pope-scu i Rohrlich, 1994). Skonstruowali oni model, w którym zacho-wana jest elementarna forma przyczynowo´sci (niemo˙zliwe jest na-tychmiastowe przekazanie informacji mi˛edzy oddalonymi od siebie laboratoriami, w których dokonujemy pomiarów), a lewa strona nie-równo´sci CHSH przyjmuje maksymaln ˛a mo˙zliw ˛a warto´s´c 4. Teraz równie˙z mo˙zna zada´c pytanie o struktur˛e logiczn ˛a zbioru pyta´n

do-´swiadczalnych oraz wynikaj ˛ac ˛a z niej odpowiedni ˛a teori˛e prawdo-podobie´nstwa. Jak nale˙zało oczekiwa´c, zarówno struktura logiczna zbioru pyta´n, jak i teoria prawdopodobie´nstwa s ˛a ró˙zne zarówno od ich odpowiedników klasycznych, jak i kwantowych (Tylec i Ku´s, 2015, 2018).

Logiczna struktura zbioru pyta´n determinuje tak˙ze status zasady nieoznaczono´sci konkretnej teorii. Otó˙z gdy struktura jest tzw. „lo-gik ˛a konkretn ˛a”, zasada nieoznaczono´sci nie obowi ˛azuje. Istniej ˛a

stany bezdyspersyjne, tzn. takie, dla których jednocze´snie okre´slone s ˛a dokładne warto´sci wszystkich obserwabli (w mechanice klasycz-nej jest to stan znajdowania si˛e układu w konkretnym pojedyn-czym punkcie przestrzeni fazowej). Jak łatwo si˛e domy´sli´c, algebry Boole’a s ˛a logikami konkretnymi (w fizyce klasycznej nie ma za-sady nieoznaczono´sci), logika mechaniki kwantowej nie jest logik ˛a konkretn ˛a, nie istniej ˛a stany bezdyspersyjne, obowi ˛azuje zasada nie-oznaczono´sci. Co ciekawe, mechanika kwantowa ma pod tym wzgl˛e-dem charakter wyj ˛atkowy. Okazuje si˛e, ˙ze logika modelu Popescu--Rorhlicha jest logik ˛a konkretn ˛a, wi˛ec nie obowi ˛azuje w niej zasada nieoznaczono´sci, a sam model jest z tego punktu widzenia „bardziej klasyczny” ni˙z mechanika kwantowa, mimo ˙ze łamie nierówno´s´c Bella w sposób bardziej radykalny ni˙z ona (Tylec i Ku´s, 2015). Po-nownie wi˛ec wrócili´smy do logicznego uzasadnienia zasady nieozna-czono´sci, w wi˛ekszym nieco kontek´scie teorii bardziej ogólnych ni˙z mechanika klasyczna i kwantowa.

Podsumowuj ˛ac nale˙załoby stwierdzi´c, ˙ze ˙zaden z opisów zja-wisk przypadkowych proponowanych przez mechanik˛e klasyczn ˛a i kwantow ˛a (a tak˙ze inne teorie, np. model Popescu-Rohrlicha), nie mo˙ze słu˙zy´c za podstaw˛e do udzielenia ostatecznej odpowiedzi na postawione w tytule pytanie²⁰. Jednak z praktycznego punktu widze-nia, np. dla potrzeb generowania „prawdziwie przypadkowych” ci ˛ a-gów losowych, wa˙znych, o czym wspomniałem na wst˛epie, w kryp-tografii i ochronie danych, ró˙znice mi˛edzy przypadkowo´sci ˛a kla-syczn ˛a i kwantow ˛a mog ˛a mie´c istotne znaczenie. Otó˙z przypadko-wo´s´c kwantowa mo˙ze by´c „wzmacniana”, w odró˙znieniu od przy-padkowo´sci klasycznej. Aby zrozumie´c na czym polega wzmacnia-nie przypadkowo´sci rozwa˙zmy abstrakcyjny model generowania

se-20Christian Wüttrich uj ˛ał to w dosadnym stwierdzeniu: „Kant’s Third Antinomy is still alive and kicking” (Wüthrich, 2010).

kwencji liczb przypadkowychb1, b2, . . ., przyjmuj ˛ac dla uproszcze-nia, ˙ze przybiera´c mog ˛a one tylko warto´sci 0 lub 1. Kolejne genero-wane liczby mog ˛a zale˙ze´c od poprzednio wygenerowanych elemen-tów i wszelkich innych warunków zewn˛etrznych, powiedzmy wi˛ec,

˙ze w chwili generowania kolejnego, b_n, elementu ci ˛agu dost˛epna jest cała informacja o dotychczasowym przebiegu procesu i stanie wszystkich układów w całym wszech´swiecie, mog ˛acych mie´c wpływ

˙ze w chwili generowania kolejnego, b_n, elementu ci ˛agu dost˛epna jest cała informacja o dotychczasowym przebiegu procesu i stanie wszystkich układów w całym wszech´swiecie, mog ˛acych mie´c wpływ