Pozwolimy sobie, dla relaksu, doda´c do tego wykładu mały fragment oparty na naszym tłumaczeniu ksi ˛a˙zki Raymonda Smullyana Forever Undecided. A Puzzle Guide to Gödel, które ukazało si˛e w 2007 roku nakładem Ksi ˛a˙zki i Wiedzy, pod tytułem Na Zawsze Nierozstrzygni˛ete. Zagadkowy Przewodnik Po Twierdzeniach Gödla.Obok zagadek o Rycerzach (mówi ˛acych zawsze prawd˛e) oraz Łotrach (mó-wi ˛acych zawsze fałsz), ksi ˛a˙zka zawiera zagadki logiczne, w których w formie po-pularnej przedstawia si˛e logik˛e epistemiczn ˛aoraz logik˛e dowodliwo´sci. Rozwa˙zane funktory doksastyczne i epistemiczne to:
• B – zdanie Bp czytamy: (rozwa˙zany podmiot) wierzy, ˙ze p;
• K – zdanie Kp czytamy (rozwa˙zany podmiot) wie, ˙ze p.
(gdzie p jest dowolnym zdaniem j˛ezyka logiki epistemicznej). Zwykle zakłada si˛e,
˙ze Kp ≡ (p ∧ Bp).
Systemy epistemiczne s ˛a interesuj ˛ace same przez si˛e – w opisie systemów przekona´n, w szczególno´sci: racjonalnych ´swiadomych przekona´n. Maj ˛a one tak˙ze interesuj ˛ac ˛a i wa˙zn ˛a interpretacj˛e metalogiczn ˛a: Bp mo˙zna interpretowa´c jako zdaniep jest dowodliwe w arytmetyce PA.
Uwaga. Angielski termin reasoner stosowany przez Smullyana oddajemy przez polski neologizm my´slak.
Przypu´s´cmy, ˙ze jeste´s racjonaln ˛a, samo´swiadom ˛a Istot ˛a. Jak to przypuszczenie przeło˙zy´c na j˛ezyk logiki epistemicznej? Oto propozycja. Nazwiemy szcz˛e´scia-rzem epistemicznymka˙zd ˛a osob˛e S, której system przekona´n spełnia nast˛epuj ˛ace warunki:
• (1a) S wierzy we wszystkie tautologie klasycznego rachunku zda´n;
• (1b) system przekona´n S jest domkni˛ety na reguł˛e modus ponens:
je´sli S wierzy w p oraz wierzy w p → q, to wierzy tak˙ze w q;
• (2) dla dowolnych p oraz q, S wierzy w (Bp ∧ B(p → q)) → Bq;
• (3) dla dowolnego p, je´sli S wierzy w p, to wierzy w Bp;
• (4) dla dowolnego p, S wierzy w Bp → BBp.
Uwaga:rozwa˙zamy tylko osoby, które albo zawsze mówi ˛a prawd˛e, albo zawsze mówi ˛a fałsz.
Ka˙zd ˛a osob˛e, która spełnia jedynie warunki (1a) i (1b) nazwiemy (bez urazy) prostaczkiem logicznym. Zatem, je´sli S jest prostaczkiem logicznym, to jego/jej system przekona´n zawiera klasyczn ˛a logik˛e zdaniow ˛a, ale S mo˙ze by´c tego
nie-´swiadom(a). Powiemy, ˙ze osoba S jest:
• normalna, gdy je´sli wierzy w p, to wierzy te˙z w Bp;
• regularna, gdy je´sli wierzy w p → q, to wierzy te˙z w Bp → Bq;
• sprzeczna, gdy do jej systemu przekona´n nale˙zy jaka´s para zda´n wzajem sprzecznych, lub – co na jedno wychodzi – fałsz logiczny, który oznaczamy przez ⊥.
Uwaga.Mo˙ze bardziej wła´sciwe byłoby mówienie o własno´sciach systemów prze-kona´n, a nie osób.
Mo˙zna udowodni´c, ˙ze: (∗) dowolny szcz˛e´sciarz epistemiczny S wie, ˙ze je´sli uwierzy w jakie´s zdanie p oraz w jego negacj˛e ¬p, to stanie si˛e sprzeczny.
O szcz˛e´sciarzach epistemicznych mo˙zna udowodni´c wiele innych ciekawych rzeczy. Nie wszystkie z nich b˛ed ˛a nam dalej potrzebne. Dodajmy mo˙ze jedynie,
˙ze:
• ka˙zdy szcz˛e´sciarz epistemiczny jest normalny, a nawet wie, ˙ze jest normalny;
• ka˙zdy szcz˛e´sciarz epistemiczny jest regularny i o tym tak˙ze wie;
• wreszcie, ka˙zdy szcz˛e´sciarz epistemiczny jest przekonany o tym, ˙ze jest szcz˛e´sciarzem epistemicznym; a zatem to jego przekonanie jest trafne i, w konsekwencji, ka˙zdy szcz˛e´sciarz epistemiczny wie, ˙ze jest szcz˛e´sciarzem epistemicznym.
Mo˙zna rozwa˙za´c pi˛e´c typów my´slaków, o wst˛epuj ˛acych poziomach samo´swia-domo´sci:
• Typ 1: prostaczek logiczny.
• Typ 1∗: prostaczek logiczny, który, je´sli uwierzył w p → q, to uwierzy, ˙ze je´sli uwierzył w p, to uwierzy w q.
• Typ 2: prostaczek logiczny, który wierzy we wszystkie zdania postaci (Bp ∧ B(p → q)) → Bq.
• Typ 3: my´slak typu 2, który, je´sli wierzy w p, to wierzy w Bp.
• Typ 4: szcz˛e´sciarz epistemiczny, tj. normalny i regularny prostaczek logiczny, który wierzy we wszystkie zdania postaci Bp → BBp, czyli wierzy, ˙ze jest normalny.
Uwaga. Terminy: prostaczek logiczny oraz szcz˛e´sciarz epistemiczny nie wyst˛epuj ˛a w Forever Undecided; wprowadzamy je na u˙zytek tej prezentacji.
Z podanych definicji wynika, ˙ze:
• Ka˙zdy prostaczek logiczny jest my´slakiem typu 1∗.
• Ka˙zdy my´slak typu 1∗jest regularnym prostaczkiem logicznym (i vice versa).
• Ka˙zdy my´slak typu 2 wie, ˙ze jest typu 1∗.
• My´slaki typu 3 to dokładnie normalne my´slaki typu 2.
• Dla 1 6 n < 4: ka˙zdy my´slak typu n jest te˙z my´slakiem typu n + 1.
• 1 < n 6 4: ka˙zdy my´slak typu n wierzy, ˙ze jest my´slakiem typu n − 1.
Uwaga. Poniewa˙z ka˙zdy szcz˛e´sciarz epistemiczny wie, ˙ze jest szcz˛e´sciarzem epi-stemicznym, wi˛ec stanowi on zwie´nczenie hierarchii samo´swiadomych my´slaków.
Inaczej mówi ˛ac, gdyby´smy chcieli zdefiniowa´c my´slaka typu 5 jako takiego, który jest typu 4 i wierzy, i˙z jest typu 4, to otrzymaliby´smy jedynie my´slaka typu 4.
Za chwil˛e dowiesz si˛e czego´s naprawd˛e frapuj ˛acego o swoim systemie przeko-na´n. Udowodnimy mianowicie:
Twierdzenie 1.
Przypu´s´cmy, ˙ze normalny prostaczek logiczny S wierzy w zdanie postaci p ≡
¬Bp. Wtedy:
• (a) Je´sli S kiedykolwiek uwierzy w p, to stanie si˛e sprzeczny.
• (b) Je´sli S jest szcz˛e´sciarzem epistemicznym, to wie, i˙z je´sli kiedykolwiek uwierzy w p, to stanie si˛e sprzeczny – tj. uwierzy w Bp → B ⊥.
• (c) Je´sli S jest szcz˛e´sciarzem epistemicznym i wierzy, ˙ze nie mo˙ze by´c sprzeczny, to stanie si˛e sprzeczny.
Dowód Twierdzenia 1.
(a) Przypu´s´cmy, ˙ze S wierzy w p. B˛ed ˛ac normalnym, uwierzy w Bp. Nadto, poniewa˙z wierzy w p oraz wierzy w p ≡ ¬Bp, wi˛ec musi uwierzy´c w ¬Bp (bo jest prostaczkiem logicznym). A wi˛ec uwierzy jednocze´snie w Bp oraz w ¬Bp, a st ˛ad stanie si˛e sprzeczny.
(b) Przypu´s´cmy, ˙ze S jest szcz˛e´sciarzem epistemicznym. Poniewa˙z jest wtedy prostaczkiem logicznym i wierzy w p ≡ ¬Bp, wi˛ec musi tak˙ze wierzy´c w p →
¬Bp. Nadto, S jest regularny, a st ˛ad uwierzy w Bp → B¬Bp. Wierzy te˙z w Bp → BBp (poniewa˙z wie, ˙ze jest normalny). Zatem S uwierzy w Bp → (BBp ∧ B¬Bp), które jest logiczn ˛a konsekwencj ˛a ostatnich dwóch zda´n. Wie-rzy równie˙z w (BBp ∧ B¬Bp) → B ⊥ (na mocy (∗), poniewa˙z dla dowolnego zdania X, S wierzy w (BX ∧ B¬X) → B ⊥, a wi˛ec wierzy w jego szcze-gólny przypadek, gdzie X jest zdaniem Bp). Gdy S ju˙z uwierzy jednocze´snie w Bp → (BBp ∧ B¬Bp) oraz w (BBp ∧ B¬Bp) → B ⊥, b˛edzie musiał uwie-rzy´c w Bp → B ⊥ (poniewa˙z jest prostaczkiem logicznym).
(c) Poniewa˙z S wierzy w Bp → B ⊥ (jak wła´snie udowodnili´smy), wi˛ec wierzy tak˙ze w ¬B ⊥→ ¬Bp. Załó˙zmy teraz, ˙ze S wierzy w ¬B ⊥ (wierzy,
˙ze nie mo˙ze by´c sprzeczny). Poniewa˙z wierzy te˙z w ¬B ⊥→ ¬Bp (jak wła´snie widzieli´smy), wi˛ec uwierzy w ¬Bp. A poniewa˙z wierzy równie˙z w p ≡ ¬Bp, wi˛ec uwierzy w p, a st ˛ad stanie si˛e sprzeczny, na mocy (a).
Udowodnili´smy przed chwil ˛a nie byle co, bo modaln ˛a (epistemiczn ˛a) wersj˛e II Twierdzenia Gödla(o niedowodliwo´sci niesprzeczno´sci arytmetyki w samej aryt-metyce). Oczywi´scie był to dowód w postaci wielce uproszczonej – precyzyjny dowód wymagałby, powiedzmy, jednosemestralnego wykładu wst˛epnego.
W prezentacji korzystali´smy z rozdziału 12 tłumaczenia ksi ˛a˙zki Raymonda Smullyana Forever Undecided. Poddajemy ocenie audytorium, czy ten sposób po-pularyzacji wiedzy (meta)logicznej mo˙zna uzna´c za dydaktycznie przydatny.
Przykład teologiczny.Przypu´s´cmy, ˙ze jeste´s studentk ˛a teologii i ˙ze Twój Ulubiony Profesor teologii mówi do Ciebie:
Bóg istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy nigdy nie uwierzysz, ˙ze Bóg istnieje.
Je´sli wierzysz profesorowi, to wierzysz w zdanie g ≡ ¬Bg, gdzie g jest zdaniem stwierdzaj ˛acym, ˙ze Bóg istnieje. Wtedy, zgodnie z Twierdzeniem 1, nie mo˙zesz wierzy´c w swoj ˛a własn ˛a niesprzeczno´s´c bez popadni˛ecia w sprzeczno´s´c.
Oczywi´scie, mo˙zesz wierzy´c we własn ˛a niesprzeczno´s´c, bez popadni˛ecia przy tym w sprzeczno´s´c – wystarczy, ˙ze przestaniesz ufa´c Twojemu Ulubionemu Profeso-rowi. Co´s za co´s. Przy modalnej interpretacji dowodliwo´sci nie mamy jednak takiej mo˙zliwo´sci ucieczki, jak w powy˙zszym przykładzie. Wiadomo, ˙ze formuła god(n), stwierdzaj ˛aca swoj ˛a własn ˛a niedowodliwo´s´c w PA (gdzie n jest stosownym nume-rem gödlowskim), jest prawdziwa, lecz dowodu w PA nie posiada. Mo˙zna
poka-za´c, ˙ze twierdzeniem stosownego systemu modalnego (w którym reprezentujemy dowodliwo´s´c w PA) jest:
god(n) ≡ ¬Bgod(n).
Przykład romantyczny. Poka˙zemy teraz, co wystarcza, aby ka˙zda z obecnych tu Uroczych Pa´n została – powiedzmy – Miss World 2012. B˛edzie to przykład samo-spełniaj ˛acego si˛e przekonania. Przypu´s´cmy, ˙ze:
• jeste´s szcz˛e´sciar ˛a epistemiczn ˛a;
• osoby, które rozwa˙zamy albo zawsze mówi ˛a fałsz, albo zawsze mówi ˛a prawd˛e (i Ty wiesz, ˙ze tak jest);
• wierzysz swojemu chłopakowi, który prawdziwie (!) mówi:
(†) Je´sli uwierzysz, ˙ze zostaniesz Miss World 2012, to zostaniesz Miss World 2012.
• wierzysz te˙z mnie (JP), który mówi:
(‡) Je´sli wierzysz, ˙ze ja zawsze mówi˛e prawd˛e, to zostaniesz Miss World 2012.
Twierdzenie 2. Przy powy˙zszych zało˙zeniach zostaniesz Miss World 2012. Cie-szysz si˛e?
Dla skrótu, przyjmijmy oznaczenia:
• k zast˛epuje zdanie stwierdzaj ˛ace, i˙z ja (JP) zawsze mówi˛e prawd˛e;
• α zast˛epuje zdanie stwierdzaj ˛ace, ˙ze zostaniesz Miss World 2012.
Dowód składa si˛e z dwóch cz˛e´sci.
1. W pierwszej pokazujemy, ˙ze nasze zało˙zenia implikuj ˛a Bα. Jest to dowód zało˙zeniowy, dost˛epny dla ka˙zdej szcz˛e´sciary epistemicznej.
Mamy udowodni´c formuł˛e:
(F) ((Bα → α) ∧ (k ≡ (Bk → α))) → Bα.
Uwaga. Zdanie k stwierdza, i˙z JP zawsze mówi prawd˛e; a wi˛ec prawd ˛a jest, ˙ze JP wypowiada (‡) dokładnie wtedy, gdy prawdziwe jest k ≡ (‡), czyli dokładnie wtedy, gdy prawdziwe jest k ≡ (Bk → α).
1. (Bα → α) ∧ (k ≡ (Bk → α)) zało˙zenie
2. Bα → α OK: 1
3. k ≡ (Bk → α) OK: 1
4. k → (Bk → α) OR: 3
5. (Bk → α) → k OR: 3
6.1. k zało˙zenie dodatkowe
6.2. Bk → α MP: 4, 6.1.
6.3. Bk 6.1. i warunek (3)
6.4. α MP: 6.2., 6.3.
7. k → α 6.1.→6.4.
8. B(k → α) 7 i warunek (3)
9. Bk → Bα 8 i warunki (1a) i (2)
10. Bk → α 2, 9 i warunki (1b), (1a)
(prawo sylog. hipotet.)
11. k MP: 5, 10
12. Bk 11 i warunek (3)
13. α MP: 10, 12
14. Bα 13 i warunek (3).
2. Poniewa˙z proroctwo (†) Twojego chłopaka (tj. zdanie Bα → α) jest z za-ło˙zenia prawdziwe, a powy˙zszy dowód formuły (F) pokazuje, i˙z nasze zało˙zenia implikuj ˛a Bα, wi˛ec na mocy reguły odrywania otrzymujemy α, czyli tez˛e.
Zostaniesz Miss World 2012!!! Cieszysz si˛e???
Uwaga.Powy˙zszy dowód był przykładem dowodu wprost. Aby pokaza´c, ˙ze zosta-niesz Miss World 2012 nie musieli´smy odwoływa´c si˛e do absurdu. Cieszysz si˛e?
Ciekawostka prowincjonalna.16 maja 2005 roku odbyły si˛e demokratyczne wy-bory Dyrektora Instytutu J˛ezykoznawstwa UAM. Dwa tygodnie wcze´sniej, na Se-minarium Zakładu Logiki Stosowanej UAM, odczyt Kto b˛edzie Dyrektorem Insty-tutu J˛ezykoznawstwa UAM?wygłosiła Pani Dr Alice Ann Hunter (Department of Independent Logic, King David University, Negev Desert). Korzystaj ˛ac z twierdze´n logiki epistemicznej (z Twierdzenia Löba), Dr Hunter trafnie przewidziała wynik wyborów. Jak si˛e domy´slasz, dowód był podobny do podanego wy˙zej dowodu, ˙ze zostaniesz Miss World 2012. Tekst odczytu dost˛epny na stronie:
www.logic.amu.edu.pl