W bardzo du˙zym skrócie podamy pewne uwagi wi ˛a˙z ˛ace si˛e z wymienionymi na pocz ˛atku tego wykładu pytaniami, zadawanymi w ogólnej metodologii nauk.
4.1 Naiwne pogl ˛ady na temat nauki
W potocznym przekonaniu, praca naukowców polega na:
1. obserwacji Przyrody,
2. przeprowadzaniu eksperymentów, 3. opisie Faktów,
4. wnioskowaniu czego´s z tego opisu, i formułowaniu przewidywa´n,
5. przeprowadzaniu eksperymentów maj ˛acych sprawdza´c te przewidywania, 6. ewentualnym korygowaniu wniosków, po uwzgl˛ednieniu tych
eksperymen-tów, itd.
Pomijamy tu tak prozaiczne czynno´sci, jak np. zdobywanie funduszy na ba-dania. Czy jednak istotnie uprawianie Nauki jest przedstawionym wy˙zej ci ˛agiem czynno´sci?
Wedle naiwnego pogl ˛adu na nauk˛e, polega ona na uogólnianiu wyników eks-perymentu poprzez tworzenie praw naukowych oraz sprawdzaniu tych praw na drodze przeprowadzania dalszych eksperymentów. Uogólnienia, o których mowa, miałyby powstawa´c na drodze indukcji. Prawa nauki uzasadnianie byłyby na dro-dze konfirmacji. Ta wizja nauki jest nie do utrzymania, z wielu powodów, np.:
1. nie ma czego´s takiego, jak „gołe” fakty;
2. w ka˙zdym pomiarze uczestnicz ˛a pewne parametry teoretyczne;
3. problem uzasadnienia samej indukcji pozostaje nierozwi ˛azany.
Schemat konfirmacji.Konfirmacja jest procedur ˛a redukcyjn ˛a (a wi˛ec zawodn ˛a):
1. wyprowadzamy ze sprawdzanego prawa T prognoz˛e P (na drodze deduk-cyjnej);
2. przeprowadzamy eksperymenty;
3. stwierdzamy, i˙z prognoza P jest prawdziwa (zgodna z wynikami ekspery-mentów);
4. uznajemy, ˙ze prognoza P potwierdza sprawdzane prawo.
4.2 Falsyfikacjonizm
W falsyfikacjonistycznej koncepcji nauki wychodzi si˛e od zało˙zenia, ˙ze podsta-wow ˛a działalno´sci ˛a uczonych jest:
1. stawianie hipotez;
2. próba ich obalenia.
Podstawow ˛a procedur ˛a badawcz ˛a jest zatem falsyfikacja. Dane twierdzenie jest tym lepszym kandydatem na prawo nauki, im wi˛ecej jest mo˙zliwo´sci jego falsyfi-kacji. Za twórc˛e falsyfikacyjnej koncepcji nauki uwa˙za si˛e Sir Karla Poppera.
Schemat falsyfikacji. Poprzez obalenie prognozy dochodzimy do odrzucenia sprawdzanego prawa:
1. wyprowadzamy ze sprawdzanego prawa T prognoz˛e P (na drodze deduk-cyjnej);
2. konfrontujemy prognoz˛e z wynikami eksperymentów;
3. stwierdzamy, i˙z prognoza P nie zachodzi;
4. odrzucamy prawo T .
Stosowanym schematem logicznym jest tu prawo modus tollens:
T → P
¬P
¬T
Zwykle, oprócz sprawdzanego prawa, mamy jeszcze do czynienia z pewnymi warunkami pocz ˛atkowymi E oraz wiedz ˛a towarzysz ˛ac ˛a H. Zatem rozbudowany schemat falsyfikacji ma posta´c:
(T ∧ (E ∧ H)) → P
¬P
¬T ∨ ¬E ∨ ¬H
Tak wi˛ec, cho´c schemat falsyfikacji jest niezawodny, to nie przes ˛adza jeszcze o tym, ˙ze to wła´snie sprawdzane prawo nale˙zy odrzuci´c (a nie warunki pocz ˛atkowe lub wiedz˛e towarzysz ˛ac ˛a).
4.3 Krytyczny racjonalizm
Najbardziej rozpowszechnionymi obecnie stanowiskami w filozofii nauki s ˛a ró˙zne odmiany krytycznego racjonalizmu. S ˛a to zmodyfikowane wersje falsyfikacjoni-zmu. Wczesne pogl ˛ady Poppera poddane zostały krytyce, a tak˙ze rozwini˛eciu przez, m.in. Imre Lakatosa. Lakatos wprowadził do filozofii nauki poj˛ecie programu ba-dawczego. Program badawczy składa si˛e z:
1. twardego rdzenia – zbioru zało˙ze´n i twierdze´n wyznaczaj ˛acych kierunek ba-da´n i nie poddawanych krytyce;
2. pasa ochronnego – zbioru hipotez pomocniczych, pod których adresem kie-ruje si˛e zarzuty dotycz ˛ace wyst˛epowania anomalii lub kontrprzykładów;
3. heurystyk – pozytywnej i negatywnej:
(a) heurystyka pozytywna zaleca okre´slone sposoby post˛epowania;
(b) heurystyka negatywna zabrania okre´slonych sposobów post˛epowania.
Rozwój nauki jest w tym uj˛eciu histori ˛a współzawodnictwa programów ba-dawczych.
4.4 Relatywizm
Klasyczne koncepcje w filozofii nauki poddawane były ró˙znorakim krytykom. Jed-nymi z najciekawszych takich krytyk s ˛a:
1. koncepcja rewolucji naukowych;
2. anarchizm metodologiczny.
Thomas Kuhnwykazywał, i˙z w rozwoju nauki wyodr˛ebni´c nale˙zy okresy na-uki normalnej przedzielone rewolucjami naukowymi. W obu tych fazach nauka podlega całkowicie odmiennym prawidłowo´sciom.
Za twórc˛e podej´scia nazywanego anarchizmem metodologicznym uwa˙za si˛e Paula Feyerabenda. Wskazuje si˛e w nim na istotn ˛a rol˛e czynników natury np. so-cjologicznej w rozwoju nauki.
4.5 Uzasadnianie praw naukowych
Jak ju˙z wiemy, w uzasadnianiu twierdze´n nauk empirycznych posługujemy si˛e ró˙z-norakimi procedurami, m.in.:
1. dowodzeniem, 2. wyja´snianiem, 3. sprawdzaniem.
Rozwa˙za si˛e ró˙zne typy wyja´sniania (np. genetyczne, funkcjonalne). Jak ju˙z wiemy, sprawdzanie tak˙ze wyst˛epuje w ró˙znych wersjach (konfirmacja, falsyfika-cja).
Uwaga: u˙zywa si˛e tak˙ze terminu weryfikacja dla wykazania prawdziwo´sci stwier-dzenia w całym zakresie jego stosowalno´sci; wtedy konfirmacja polega na potwier-dzeniu stwierdzenia dla pewnej liczby przypadków. Odwrotno´sci ˛a konfirmacji jest dyskonfirmacja: osłabienie wiarygodno´sci stwierdzenia.
Rodzaje zda´n (ze wzgl˛edu na budow˛e składniow ˛a) wyst˛epuj ˛acych w stwier-dzeniach nauki:
1. atomowe – postaci R(t1, . . . , tn) (gdzie R jest predykatem, a t1, . . . , tn ter-mami);
2. molekularne – kombinacje Boolowskie zda´n atomowych;
3. jednostkowe – atomowe lub molekularne;
4. egzystencjalne – zaopatrzone (w prefiksie) w co najmniej jeden kwantyfika-tor egzystencjalny;
5. egzystencjalne (czyste) – zaopatrzone (w prefiksie) w co najmniej jeden kwantyfikator generalny i bez wyst ˛apie´n kwantyfikatora generalnego;
6. egzystencjalne (mieszane) – pozostałe zdania egzystencjalne;
7. ogólne – zaopatrzone (w prefiksie) w co najmniej jeden kwantyfikator gene-ralny;
8. numeryczne ogólne – zdania ogólne o zasi˛egu zlokalizowanym, czasoprze-strzennie ograniczonym;
9. ´sci´sle ogólne – zdania ogólne o czasoprzestrzennie nieograniczonym zasi˛egu wa˙zno´sci.
Oto proste przykłady:
1. Ja´s zdradza Marysi˛e z Krzysiem. (Atomowe.)
2. Nie do´s´c, ˙ze Ja´s zdradza Marysi˛e z Krzysiem, to nie robi tego z Kasi ˛a. (Mo-lekularne.) (Uwaga: czy jest to zdanie jednoznaczne?)
3. Jednoro˙zce istniej ˛a. (Egzystencjalne (czyste).)
4. Dla ka˙zdej cz ˛astki istnieje antycz ˛astka. (Egzystencjalne (mieszane).) 5. Wszystko, co istnieje, ginie. (Ogólne.)
6. Wszyscy obywatele w tramwaju s ˛a umyci. (Ogólne (numeryczne).) 7. Wszystkie ciała grawituj ˛a. ( ´Sci´sle ogólne.)
Stosowalno´s´c procedur uzasadniania:
Typ zdania Weryf. Konfirm. Falsyf. Dyskonfirm.
Atomowe TAK TAK TAK TAK
Molekularne TAK TAK TAK TAK
Egzystencjalne cz. TAK TAK NIE TAK
Egzystencjalne m. NIE TAK NIE TAK
Numeryczne og. NIE TAK TAK TAK
´Sci´sle og. NIE TAK TAK TAK
Prawidłowo´sci przyrody: obiektywne zwi ˛azki (zale˙zno´sci, relacje) zachodz ˛ace w naturze, które odznaczaj ˛a si˛e takimi cechami, jak:
1. ogólno´s´c [zachodzenie nie tylko mi˛edzy poszczególnymi zjawiskami, lecz pomi˛edzy całymi klasami zjawisk]
2. istotno´s´c [wa˙zna charakterystyka (cecha relacyjna) zjawisk].
3. wewn˛etrzno´s´c [zachodzenie nie na powierzchni zjawisk, lecz na poziomie gł˛ebszego mechanizmu, wyznaczaj ˛acego przebieg zjawisk]
4. konieczno´s´c [zachodzenia w danych warunkach].
Pomy´sl: co byłoby, gdyby w naturze nie wyst˛epowały prawidłowo´sci? Zgroza, czy˙z nie?
Prawo nauki: twierdzenie ´sci´sle ogólne opisuj ˛ace jak ˛a´s prawidłowo´s´c przy-rody. Aby jakie´s stwierdzenie uzna´c za prawo nauki, musi ono spełnia´c pewne wymogi formalne oraz merytoryczne.
Warunki formalne:
1. ´scisła ogólno´s´c (uniwersalno´s´c czasoprzestrzenna zasi˛egu);
2. nierównowa˙zno´s´c sko´nczonej klasie zda´n jednostkowych;
3. (przewa˙znie) otwarto´s´c ontologiczna (dotyczy równie˙z zjawisk przyszłych);
4. otwarto´s´c epistemologiczna (dotyczy tak˙ze zjawisk dot ˛ad nie poznanych).
Warunki merytoryczne.Prawo nauki powinno by´c twierdzeniem:
1. dobrze potwierdzonym (dostatecznie uzasadnionym);
2. przynale˙znym do jakiej´s teorii naukowej;
3. zdolnym do pełnienia funkcji wyja´sniaj ˛acej;
4. zdolnym do pełnienia funkcji przewidywania.
Rodzaje przewidywa´n:
1. prognoza – przewidywanie zjawisk przyszłych;
2. diagnoza – przewidywanie zjawisk tera´zniejszych;
3. postgnoza – przewidywanie zjawisk przeszłych.
Dla nobilitowania jakiego´s przewidywania do miana prawa naukowego stosu-jemy (omówione wcze´sniej) procedury konfirmacji oraz falsyfikacji.
Schemat wyja´sniania.Wyja´sniamy jakie´s fakty. Szukanie wyja´snienia dla tego, i˙z fakt F miał miejsce, to pytanie, z jakich praw nauki T1, . . . , Tn(oraz, ewentu-alnie, warunków pocz ˛atkowych E1, . . . , En) mo˙zna F wyprowadzi´c. Schematem logicznym jest tu:
T1, . . . , Tn E1, . . . , En
F
Przesłanki tego wnioskowania nazywamy eksplanansem, za´s jego wniosek – eksplanandum.
Idealizacja i faktualizacja.Prawa idealizacyjne maj ˛a posta´c:
∀x (Wf(x) ∧ Wi(x) → Z(x))
Tu Wf oznacza warunki faktualne, za´s Wiwarunki idealizacyjne. Warunki ideali-zacyjne polegaj ˛a na (kontrfaktycznym) pomini˛eciu wpływu pewnych czynników
na badane zjawisko. Uchylenie poszczególnych warunków idealizacyjnych nazywa si˛e faktualizacj ˛arozwa˙zanego prawa.
Przykład.Prawo Boyle’a-Mariotte’a zawiera dwa zało˙zenia idealizacyjne: za-kłada ono, ˙ze rozmiary molekuł a oraz siły mi˛edzymolekularne b s ˛a równe zeru.
Zawiera te˙z zało˙zenie faktualne G(x), i˙z badany układ x jest gazem. Prawo głosi, i˙z przy tych zało˙zeniach iloczyn ci´snienia i obj˛eto´sci jest wielko´sci ˛a stał ˛a:
G(x) ∧ a(x) = 0 ∧ b(x) = 0 → p(x) · V (x) = C
Przez uchylenie zało˙ze´n idealizacyjnych otrzymujemy prawo van der Waalsa:
G(x) ∧ a(x) > 0 ∧ b(x) > 0 → (p + a
V2)(V − b) = C, które jest (przybli˙zonym) prawem faktualnym.
Zasada korespondencji.Prawa starej teorii s ˛a granicznym (przybli˙zonym) przy-padkiem praw nowej teorii, zast˛epuj ˛acej star ˛a w okre´slonej dziedzinie. O nowej teorii mówi si˛e wtedy, ˙ze jest korespondencyjnym uogólnieniem starej. Zasada ko-respondencji ma opisa´c (obiektywn ˛a) relacj˛e korespondencji mi˛edzy teoriami. Nie-którzy filozofowie nauki nie uznaj ˛a zasady korespondencji za ogóln ˛a zasad˛e ste-ruj ˛ac ˛a zmianami w nauce. W szczególno´sci, mówi si˛e o tezie o niewspółmierno´sci teorii – w wyniku rewolucji naukowych teorie staj ˛a si˛e logicznie i empirycznie nieporównywalne.
Przykład.Druga zasada dynamiki Newtona wyra˙za si˛e wzorem:
(K) F = m · a Jej odpowiednik w fizyce relatywistycznej to:
(R) F = m · a (1 −vc22)12
Przej´scie graniczne od (R) do (K) ma miejsce w dwóch przypadkach:
(1) gdy v → 0 oraz (2) gdy c → ∞. Poniewa˙z (2) jest na gruncie teorii wzgl˛edno´sci wykluczony, wi˛ec przej´sciem granicznym jest w tym wypadku (1), czyli sytuacja, gdy rozwa˙zane pr˛edko´sci s ˛a bardzo małe (w porównaniu z pr˛edko´sci ˛a ´swiatła w pró˙zni).
Problem istnieniaexperimentum crucis. Faktem rozstrzygaj ˛acym (krzy˙zowym) [instantia crucis – termin Francisa Bacona] miałby by´c fakt, który pozwala roz-strzygn ˛a´c spór mi˛edzy dwiema konkuruj ˛acymi hipotezami. Sir Izak Newton bo-daj jako pierwszy wprowadził termin eksperyment krzy˙zowy (experimentum crucis) przy omawianiu sporu mi˛edzy dwiema teoriami dotycz ˛acymi natury ´swiatła.
Teza Duhema-Quine’agłosi (w przybli˙zeniu), i˙z nie mo˙zemy z całkowit ˛a pew-no´sci ˛a utrzymywa´c, ˙ze wynik eksperymentu uznawanego za rozstrzygaj ˛acy jest ostateczny – mo˙ze si˛e zdarzy´c, ˙ze porównuj ˛ac dwie hipotezy przyj˛eli´smy (np.
nie-´swiadomie) pewne odmienne zało˙zenia.
Sytuacja rozstrzygaj ˛aca(termin Profesora Jana Sucha) składa si˛e ze składnika teoretycznego i eksperymentalnego. Dopiero gdy dojrzeje sytuacja rozstrzygaj ˛aca, mo˙zemy przeprowadzi´c eksperyment krzy˙zowy.
Podstawowym rozró˙znieniem czynionym ze wzgl˛edu na posta´c praw, którymi posługuj ˛a si˛e nauki jest wydzielenie nauk:
1. nomologicznych [przede wszystkim ustalaj ˛a (odkrywaj ˛a? tworz ˛a?) prawa)];
2. idiograficzno-nomologicznych [przede wszystkim zbieraj ˛a i opisuj ˛a (u˙zyjmy
´smiało terminu:) fakty].
Z Wielkimi Sporami w Nauce mamy do czynienia w przypadku ka˙zdej rewo-lucji naukowej, przy zmianie paradygmatu, przy okazji burzliwych przemian spo-łecznych lub w wyniku ingerencji władz ´swieckich b ˛ad´z religijnych w działalno´s´c uczonych, itd.
4.6 Operacje na danych
We wszelkich typach nauk mamy do czynienia z pewnymi procedurami, które wy-konujemy na pewnych danych. Rozwa˙zmy kilka prostych przykładów.
4.6.1 Algorytmy
Słowo algorytm pochodzi od nazwiska arabskiego matematyka Al Chwarizmiego.
Metoda obliczalna (efektywna): w sko´nczonej liczbie prostych, mechanicznych kroków daje odpowied´z dla dowolnych danych ustalonej postaci:
Wej´scie −→ Obliczenie −→ Wyj´scie
Obliczenie za pomoc ˛a metody efektywnej nazywa si˛e algorytmem. Podane
wy-˙zej poj˛ecie obliczalno´sci ma charakter intuicyjny. Mo˙zliwe s ˛a jego ró˙zne matema-tyczne precyzacje.
Przykład metody efektywnej: algorytm ustalania, czy dana formuła j˛ezyka Kla-sycznego Rachunku Zda´n jest prawem (tautologi ˛a) tego rachunku:
1. Wej´scie: formuła j˛ezyka KRZ (o n zmiennych zdaniowych).
2. Obliczenie: znajdowanie warto´sci logicznej tej formuły dla ka˙zdego z 2n podstawie´n warto´sci logicznych za zmienne.
3. Wyj´scie: odpowied´z – TAK (gdy przy ka˙zdym takim podstawieniu formuła jest prawdziwa), NIE (w przeciwnym przypadku).
Przykład problemu, dla którego nie istnieje metoda obliczalna: ustalanie, czy dowolna formuła j˛ezyka Klasycznego Rachunku Predykatów (FOL) jest prawem (tautologi ˛a) tego rachunku. Dla ustalenia, czy dowolna formuła j˛ezyka FOL jest tautologi ˛a FOL potrzeba sprawdzi´c niesko´nczon ˛aliczb˛e interpretacji, a wi˛ec istnie-nie algorytmu jest w tym przypadku wykluczone. Jak pami˛etamy, FOL jest jednak półrozstrzygalna– je´sli formuła A jest tautologi ˛a FOL, to mo˙zna to w sko´nczonej liczbie (prostych, mechanicznych) kroków sprawdzi´c.
4.6.2 Klasyfikowanie
Klasyfikujemy przedmioty bior ˛ac pod uwag˛e ich nieodró˙znialno´s´c wzgl˛edem (z góry ustalonych) cech. Tego typu nieodró˙znialno´s´c jest relacj ˛a równowa˙zno´sci w danym uniwersum U , tj. relacj ˛a R spełniaj ˛ac ˛a warunki:
1. zwrotno´sci – ∀x ∈ U xRx
2. symetrii – ∀x, y ∈ U (xRy → yRx)
3. przechodnio´sci – ∀x, y, z ∈ U (xRy ∧ yRz → xRz).
Klas ˛a równowa˙zno´sciprzedmiotu x ∈ U nazywamy zbiór:
[x]R= {y ∈ U : xRy}.
Rodzin˛e U/R = {[xR] : x ∈ U } nazywamy podziałem U wyznaczonym przez R.
Klasyfikowanie obiektów polega na grupowaniu ich w klasy równowa˙zno´sci wzgl˛edem stosownej relacji. Cz˛esto mamy te˙z do czynienia z klasyfikacjami wie-lopoziomowymi, jak np. (klasyfikacja zbiorników i cieków wodnych):
mokre
Podziałemuniwersum U nazywamy ka˙zd ˛a rodzin˛e niepustych, parami rozł ˛ acz-nych podzbiorów U , której suma równa jest U . Tak wi˛ec, A jest podziałem U , gdy:
1. ∀A ∈ A A ⊆ U 2. ∀A ∈ A A 6= ∅
3. ∀A, B ∈ A (A 6= B → A ∩ B = ∅) 4. S A = U .
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiednio´s´c mi˛edzy podziałami U a rela-cjami równowa˙zno´sci okre´slonymi na U :
1. Je´sli R jest relacj ˛a równowa˙zno´sci na U , to U/R jest podziałem U .
2. Je´sli A jest podziałem U , to równowa˙zno´sci ˛a jest relacja RA ⊆ U2 zdefinio-wana dla dowolnych x, y ∈ U warunkiem: xRAy ≡ ∃A ∈ A x, y ∈ A.
Uwaga terminologiczna: terminu klasyfikacja u˙zywamy cz˛esto zamiennie z ter-minem podział.
Skrzy˙zowaniempodziałów A oraz B zbioru U nazywamy rodzin˛e:
A ⊗ B = {A ∩ B : A ∈ A ∧ B ∈ B}.
Mówimy, ˙ze podziały A oraz B s ˛a niezale˙zne, gdy ∅ /∈ A ⊗ B, czyli gdy ich
skrzy-˙zowanie nie ma jako elementu zbioru pustego. Operacj˛e krzy˙zowania podziałów mo˙zna iterowa´c, otrzymuj ˛ac w ten sposób klasyfikacje wielopoziomowe.
Zach˛ecam do wykonania kilku ´cwicze´n ze Zbioru zada´n z j˛ezykoznawstwa (Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1990; jeden egzemplarz tej ksi ˛a˙zki dost˛epny był w Bibliotece IJ UAM). W ´cwiczeniach tych dokonuje si˛e m.in.: klasyfikacji oraz szeregowania danych j˛ezykowych. Stawia si˛e hipotezy na temat przekładu, wykorzystuj ˛ac zasad˛e, i˙z regularno´sciom w sposobach wyra˙zania znacze´n odpowiadaj ˛a relacje semantyczne. Zob. np. zadania:
1. 140. Tłumaczenie z arabskiego. [Klasyfikowanie].
2. 68. Tłumaczenie z sanskrytu. [Klasyfikowanie].
3. 139. Tłumaczenie z lapo´nskiego. [Klasyfikowanie + znajdowanie podobie´nstw znaczeniowych].
4. 66. Tłumaczenie z azerbejd˙za´nskiego. [Szeregowanie].
5. 91. Tłumaczenie z indonezyjskiego. [Znajdowanie izomorfizmu].
4.6.3 Podobie ´nstwa i opozycje
Podobie´nstwoobiektów polega na posiadaniu co najmniej jednej wspólnej cechy (z ustalonej listy). Opozycja mi˛edzy obiektami polega na ró˙znieniu si˛e co najmniej jedn ˛a cech ˛a (z ustalonej listy). Ka˙zd ˛a zwrotn ˛a i symetryczn ˛a relacj˛e na zbiorze U nazywamy relacj ˛a podobie´nstwa (tolerancji) na U . Rodzin˛e A niepustych pod-zbiorów U nazywamy pokryciem U , gdy jej suma równa jest U :S A = U . Za-równo podobie´nstwa, jak i opozycje mo˙zna reprezentowa´c przez systemy postaci hO, F, φi, gdzie:
1. O jest zbiorem obiektów;
2. F jest zbiorem cech;
3. relacja φ ⊆ O × F zachodzi mi˛edzy obiektem x ∈ O a cech ˛a f ∈ F gdy x ma cech˛e f .
Niech R b˛edzie relacj ˛a podobie´nstwa na U . Mówimy, ˙ze:
1. A ⊆ U jest R-preklas ˛a, gdy ∀x, y ∈ A xRy.
2. A ⊆ U jest R-klas ˛a, gdy A jest maksymaln ˛a (wzgl˛edem inkluzji) preklas ˛a.
3. A ⊆ U jest zbiorem R- rozproszonym, gdy ∀x, y ∈ A (x 6= y → ¬xRy).
4. A ⊆ U jest zbiorem R-pochłaniaj ˛acym, gdy ∀x ∈ U ∃y ∈ A yRx.
5. Relacj˛e R+ zdefiniowan ˛a warunkiem: xR+y ≡ ∀z ∈ U (xRz ≡ yRz) nazywamy relacj ˛a stowarzyszon ˛a z R. Jest ona równowa˙zno´sci ˛a na U . Jej klasy równowa˙zno´sci nazywamy R-j ˛adrami.
6. Przechodnie domkni˛ecie relacji podobie´nstwa R (czyli najmniejsz ˛a relacj˛e przechodni ˛a zawieraj ˛ac ˛a R) oznaczamy przez Rtr. To tak˙ze jest relacja rów-nowa˙zno´sci.
Rodzin˛e klas U//R relacji podobie´nstwa R na U nazywa si˛e czasami typolo-gi ˛aobiektów z U . Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiednio´s´c mi˛edzy pokry-ciami U a relacjami podobie´nstwa okre´slonymi na U :
1. Je´sli R jest relacj ˛a podobie´nstwa na U , to U//R jest pokryciem U .
2. Je´sli A jest pokryciem U , to podobie´nstwem jest relacja RA⊆ U2 zdefinio-wana dla dowolnych x, y ∈ U warunkiem: xRAy ≡ ∃A ∈ A x, y ∈ A.
Ka˙zd ˛a minimaln ˛a (wzgl˛edem inkluzji) rodzin˛e B ⊆ U//R tak ˛a, ˙ze dla dowol-nych x, y ∈ U zachodzi xRy ≡ ∃A ∈ B x, y ∈ A nazywamy R-baz ˛a. Kilka faktów o relacjach podobie´nstwa:
1. Dla ka˙zdej relacji podobie´nstwa R istnieje R-baza.
2. Dla ka˙zdej relacji podobie´nstwa R: R+⊆ R ⊆ Rtr.
3. Zbiory, które s ˛a jednocze´snie maksymalnymi zbiorami R-rozproszonymi i minimalnymi zbiorami R-pochłaniaj ˛acymi s ˛a najbardziej „ekonomicznymi opisami” relacji R.
W lingwistyce rozwa˙zamy cały szereg relacji opozycji, np. opozycje:
1. kontekstowe (np. oparte na dystrybycji);
2. parametryczne (np. bazuj ˛ace na wymiarach semicznych);
3. opozycje typu nieporównywalno´sci (np. hiponimiczne).
O matematycznej teorii relacji podobie´nstwa oraz opozycji, a tak˙ze jej zasto-sowaniach w lingwistyce poczyta´c mo˙zna np. w: Pogonowski 1981, 1993a.
4.6.4 Porz ˛adki
Oprócz klasyfikowania przedmiotów oraz badania ich podobie´nstw i zachodz ˛ a-cych mi˛edzy nimi opozycji cz˛esto interesujemy si˛e tak˙ze ró˙znego rodzaju szere-gowaniemprzedmiotów. W procedurze tej wykorzystuje si˛e ró˙znorakie porz ˛adki.
Rozwa˙zmy kilka ich rodzajów.
Relacja R ⊆ U2jest porz ˛adkiem cz˛e´sciowymna U , gdy jest:
1. zwrotna – ∀x ∈ U xRx
2. przechodnia – ∀x, y, z ∈ U (xRy ∧ yRz → xRz) oraz 3. antysymetryczna – ∀x, y ∈ U (xRy ∧ yRx → x = y).
Relacj˛e przechodni ˛a R, która spełnia dodatkowo warunek asymetrii:
1. ∀x, y ∈ U (xRy → ¬yRx)
nazywamy ostrym porz ˛adkiem cz˛e´sciowym. Inkluzja ⊆ jest porz ˛adkiem cz˛e´scio-wym, natomiast ostra inkluzja ⊂ jest ostrym porz ˛adkiem cz˛e´sciowym. Porz ˛adkiem cz˛e´sciowym jest te˙z np. hiponimiczne uporz ˛adkowanie leksykonu; o matematycz-nych modelach hiponimii poczyta´c mo˙zna np. w: Pogonowski 1991b, 1993b.
Niech R b˛edzie cz˛e´sciowym porz ˛adkiem na U . Element x ∈ U nazywamy:
1. R-minimalnym, gdy ∀y ∈ U (yRx → x = y) 2. R-maksymalnym, gdy ∀y ∈ U (xRy → x = y) 3. R-najmniejszym, gdy ∀y ∈ U xRy
4. R-najwi˛ekszym, gdy ∀y ∈ U yRx.
Uwaga: element R-najmniejszy (odpowiednio, R-najwi˛ekszy), o ile istnieje, jest te˙z elementem R-minimalnym (odpowiednio, R-maksymalnym), lecz nieko-niecznie na odwrót.
Gdy xRy oraz nie istnieje z ∈ U taki, ˙ze x 6= z, y 6= z, xRz i zRy, to mówimy,
˙ze x jest bezpo´srednim R-poprzednikiem y (a y bezpo´srednim R-nast˛epnikiem x).
Porz ˛adek cz˛e´sciowy R nazywamy porz ˛adkiem liniowym, je´sli spełnia on wa-runek spójno´sci:
1. ∀x, y ∈ U (x 6= y → xRy ∨ yRx).
Liniowy porz ˛adek R nazywamy dobrym porz ˛adkiem na U , je´sli ka˙zdy niepusty podzbiór U ma element R-najmniejszy.
1. Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest uporz ˛adkowany liniowo przez rela-cj˛e6. Relacja ta jest na tym zbiorze tak˙ze dobrym porz ˛adkiem.
2. Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest liniowo uporz ˛adkowany przez rela-cj˛e6. Uporz ˛adkowanie to nie jest dobrym porz ˛adkiem na tym zbiorze.
Mówimy, ˙ze liniowy porz ˛adek R jest:
1. dyskretny, gdy ka˙zdy element U ma bezpo´sredni R-poprzednik oraz R-na-st˛epnik.
2. g˛esty, gdy ∀x, y ∈ U (xRy → ∃z ∈ U (x 6= z ∧ z 6= y ∧ xRz ∧ zRy)).
Zaden porz ˛˙ adek (na zbiorze niepustym) nie mo˙ze by´c jednocze´snie dyskretny i g˛esty, ale s ˛a porz ˛adki, które nie s ˛a ani dyskretne, ani g˛este.
1. Zbiór wszystkich liczb całkowitych (i ka˙zdy jego podzbiór) jest uporz ˛ adko-wany w sposób dyskretny przez relacj˛e mniejszo´sci <.
2. Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest przez relacj˛e mniejszo´sci < upo-rz ˛adkowany w sposób g˛esty.
3. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych tak˙ze jest uporz ˛adkowany w sposób g˛esty przez relacj˛e mniejszo´sci <. Ale liczb rzeczywistych jest istotnie wi˛e-cejni˙z liczb wymiernych. Relacja mniejszo´sci porz ˛adkuje wszystkie liczby rzeczywiste w tzw. sposób ci ˛agły.
Drzewemnazywamy zbiór cz˛e´sciowy uporz ˛adkowany z elementem najmniej-szym (nazywanym korzeniem drzewa), w którym ka˙zdy element (oprócz korzenia) ma dokładnie jeden bezpo´sredni poprzednik. Słuchacze z pewno´sci ˛a zetkn˛eli si˛e z tego typu porz ˛adkami przy omawianiu struktur składniowych wyra˙ze´n.
4.7 Ograniczenia nauki
Jakie s ˛a granice poznania naukowego? Czy o granicach tych mo˙zemy mówi´c w sposób naukowy, czy te˙z musimy przej´s´c na teren metafizyki? Innymi słowy, czy pytanie o poznanie granic poznania nale˙zy do nauki? Jakiego rodzaju s ˛a to gra-nice? Czy okre´slone s ˛a przez nasze mo˙zliwo´sci technologiczne, czy te˙z przez ja-kie´s inne czynniki, subiektywnej lub obiektywnej natury? Jak granice poznania naukowego maj ˛a si˛e do granic poznania pozanaukowego? Czy granice poznania naukowego to˙zsame s ˛a z granicami poznania racjonalnego? Co to znaczy, ˙ze co´s jest niemo˙zliwe w poznaniu naukowym? Mówi ˛ac nieco ogólniej, z jakimi rodza-jami niemo˙zliwo´sci mamy do czynienia w nauce? Takimi, lub podobnymi pyta-niami zaprz ˛ata sobie głow˛e ka˙zdy my´sl ˛acy człowiek.
Ograniczenia w poznaniu naukowym mog ˛a mie´c charakter m.in.:
1. ontyczny (nie mamy dost˛epu do pewnych zjawisk);
2. epistemiczny (wiadomo, ˙ze pewne ustalenia nie s ˛a wykonalne);
3. technologiczny (nie mamy ´srodków technicznych, aby przeprowadzi´c bada-nia);
4. ekonomiczny (nie mamy pieni˛edzy na badania);
5. ´swiatopogl ˛adowy(np.: uznawane warto´sci determinuj ˛a obraz ´swiata).
Słuchacz pami˛etaj ˛a (ze szkoły) o słynnych nierozwi ˛azywalnych (ustalonymi
´srodkami) staro˙zytnych problemach geometrycznych:
1. trysekcji k ˛ata;
2. kwadratury koła;
3. podwojenia (obj˛eto´sci) sze´scianu.
Nie s ˛a to ani przykłady antynomii, ani paradoksów. Maj ˛a za to zwi ˛azek z wykraczaniem poza granice ówcze´snie znanego ´swiata wielko´sci (wymiernych).
Mo˙ze warto doda´c, ˙ze takie problemy nie były jedynie czcz ˛a rozrywk ˛a filozofów – np. trzeci z wy˙zej wymienionych pojawił si˛e w zwi ˛azku z tzw. zapotrzebowaniem społecznym (budowy ołtarza).
W trzecim z tej serii wykładów podali´smy przykłady twierdze´n metamatema-tycznych, ustalaj ˛acych pewne ograniczenia logiki pierwszego rz˛edu oraz sformu-łowanych w jej j˛ezyku teorii matematycznych. Przypomnijmy, ˙ze chodziło m.in. o nast˛epuj ˛ace sprawy:
1. Je´sli arytmetyka PA jest niesprzeczna, to jest niezupełna.
2. Je´sli arytmetyka PA jest niesprzeczna, to nie mo˙zna udowodni´c jej niesprzecz-no´sci w niej samej.
3. Je´sli arytmetyka PA jest niesprzeczna, to predykat prawdziwo´sci (w modelu standardowym) nie jest definiowalny w samej arytmetyce.
4. Klasyczna logika pierwszego rz˛edu FOL jest nierozstrzygalna.
Problemy du Bois Reymonda:
1. Powstanie ˙zycia.
2. Powstanie j˛ezyków.
3. Powstanie ludzkiego rozumu.
4. Ewolucyjna adaptacyjno´s´c organizmów.
5. Powstanie sił natury i natura materii.
6. Powstanie i natura ´swiadomo´sci oraz postrzegania zmysłowego.
7. Problem wolnej woli.
Problemy te sformułowano w wieku XIX. Do dzisiaj nie posiadaj ˛a one zado-walaj ˛acych rozwi ˛aza´n.
Do´s´c oczywiste s ˛a nast˛epuj ˛ace ograniczenia, którym podlega nauka:
1. Ograniczenia technologiczne. Powinno by´c jasne, ˙ze te ograniczenia nie s ˛a wynikiem jedynie (banalnych) ogranicze´n ekonomicznych. Przeprowadze-nie pewnego typu eksperymentów mo˙ze by´c Przeprowadze-niewykonalne (w skali UAM, Rzeczpospolitej Polskiej, Unii Europejskiej, planety Ziemia, Układu Sło-necznego, naszej Galaktyki, Grupy Lokalnej, . . .).
2. Ograniczenia ´swiatopogl ˛adowe. Ka˙zda, bez wyj ˛atku, działalno´s´c naukowa odbywa si˛e na tle jakiego´s ´swiatopogl ˛adu (z pewnymi aprobowanymi war-to´sciami). Jednak w pewnych przypadkach mo˙zemy stwierdzi´c, i˙z owo tło
´swiatopogl ˛adowe zniekształca procesy poznawcze. Nie trzeba daleko szu-ka´c: ju˙z w UAM znale´z´c mo˙zna propozycje prób podporz ˛adkowania bada´n kosmologicznych przesłaniu wywiedzionemu z Nowego Testamentu.
Wyliczymy niektóre przykłady ogranicze´n w naukach ´scisłych. O
Wyliczymy niektóre przykłady ogranicze´n w naukach ´scisłych. O