pełnimy tu to, co podane było w (Semadeni, 2002a, s. 85). Przypomnijmy, że rozwijając koncepcję idei głębokich staraliśmy się, by była ona możliwie neutralna filozoficznie; w każdym razie nie wymaga ona jakiegoś definitywnego zaangażowania ontologicznego.
Id e e g ł ę b o k i e s t r u k t u r o k r e ś l o n y c h a k s j o m a t y c z n i e 299
5.1. Zaczniemy od stwierdzenia, że k o n c e p c ja id e i g łę b o k ic h j e s t o p a r ta n a z a ł o ż e n i u , ż e są o n e w y n i k i e m d łu g o fa lo w e g o p r o c e s u k o n s tr u o w a n ia s i ę ic h w u m y ś l e lu d z k im . Proces konstruowania się indywidualnych idei głębo
kich związanych z przestrzenią rozpoczyna się w niemowlęctwie, a początek konstruowania się pojęcia liczby naturalnej należy cofnąć jeszcze dalej, gdyż jednym z najsilniejszych bodźców percepcyjnych odczuwanych przez dziecko przed urodzeniem jest stały rytm serca matki, dobrze słyszalny w bezpośred
nim sąsiedztwie. Ten rytm, zastąpiony później przez rytm towarzyszący odli
czaniu: jeden, dwa, trz y ,..., kształtuje schematy umysłowe, na których opiera się konstruowanie pojęcia liczby naturalnej.
W procesie rozwoju pojęć matematycznych u dziecka bardzo istotną rolę odgrywa też oddziaływanie s p o ł e c z n e , edukacja, przekazywanie dorobku poprzednich pokoleń i nastawienia do matematyki, a także to wszystko, co W il
der (1950) określał mianem „kulturalnej bazy matematyki” . Bardzo wyraźnie widać to na przykładzie pojęcia liczby ujemnej: kilka wieków temu sprawiało ono ogromne trudności czołowym matematykom Europy, a dziś jest ukształ
towaną ideą głęboką już u dobrego licealisty.
Piaget i wielu innych badaczy podkreślało, że struktury umysłowe związane z matematyką wywodzą się z koordynacji odpowiednich czynności manualnych i myślowych. Prowadzą one do wytworzenia się obiektów takich jak liczby i figury geometryczne. Następuje potem wieloletni proces, w którym czynności umysłowe wykonywane są już nie na konkretnych przedmiotach, lecz na obiek
tach abstrakcyjnych; prowadzi to do obiektów na jeszcze wyższym poziomie hierarchii (Piaget, 1981). S ta r e s c h e m a t y n ie z a n ik a ją , le c z z o s t a j ą w b u d o w a n e
w n o w e . Konstruowane są w ten sposób pewne struktury umysłowe, które mogą
być znowu strukturyzowane na następnym szczeblu rozwoju (teoretycznie ten proces iteracji może mieć dowolnie wiele szczebli).
Te obiekty myślowe, które powstają w wyniku takiego procesu i spełniają warunki (cr)-(C) z 2.7, uważamy za indywidualne idee głębokie. Takie ukształ
towane już idee podlegają na ogół dalszym przekształceniom, są restruktury
zowane (potencjalnie proces ten może trwać tak długo, jak długo dana osoba zajmuje się aktywnie matematyką).
Rozmaite zależności między ideami głębokimi, przyjmujące postać twier
dzeń, relacji itp. mają charakter s ą d ó w k o n i e c z n y c h , jakkolwiek nie muszą to być ani sądy a priori, ani sądy analityczne. Są sądami ugruntowanymi jako wynik rozwoju tych idei (w filogenezie i w ontogenezie). Sądy takie, jak choćby 7+5 = 12 czy twierdzenie Pitagorasa, są uważane przez ogół matematyków za konieczne (oczywiście z zastrzeżeniem, że jest to w y n i k a n i e z przyjętych p r z e s ł a n e k ) . Twierdzenia bardzo zaawansowanych, współczesnych teorii są też uważane za konieczne.
300 Zb i g n i e w Se m a d e n i
301 Nie wyklucza to oczywiście ludzkich błędów, które są zjawiskiem dość czę
stym; jednakże, jak to podkreślił Thom (1974, s. 118), nigdy nie zdarzyło się, by czyjś błąd skierował naukę na fałszywe tory. Błąd w czymś i s t o t n y m zostaje zawsze wykryty i albo jest poprawiony albo też twierdzenie jest od rzucane bądź modyfikowane. Błędy w kwestiach drugorzędnych pozostają na półkach bibliotecznych bez wpływu na rozwój matematyki.
5.2. Omówimy teraz krótko stosunek koncepcji idei głębokich do dyskuto
wanej od stuleci kwestii platonizmu w matematyce9. Nie zakładamy, że idee głębokie epistemiczne mogą być utożsamione z bytami istniejącymi w jakimś idealnym i bezczasowym sensie, ale też nie negujemy tego. K o n c e p c j a id e i g ł ę bokich , c h o ć w s w e j c z ę ś c i d o t y c z ą c e j in d y w id u a l n y c h id e i g łę b o k ic h o p a r ta j e s t n a k o n s t r u k t y w i z m i e , da s i ę w p e ł n i p o g o d z ić z p e w n y m i f o r m a m i p l a t o n i z m u10, jest jednak zdecydowanie n i e z g o d n a z tą wersją platonizmu epistemolo- gicznego, która przyjmuje, że umysł ludzki potrafi p o z n a ć owe idealne byty matematyczne dzięki jakiejś specjalnej, w r o d z o n e j i n t u i c j i , która daje nam b e z p o ś r e d n i ą wiedzę o badanych obiektach.
Jeśli natomiast przyjmie się — zgodnie z platonizmem — jakąś formę ist
nienia odwiecznych, n i e z a l e ż n y c h od l u d z i bytów matematycznych, to
9 Termin „platonizm ” w sensie używanym obecnie przez matematyków wprowadził Ber- nays (1935); odpowiadającym temu przymiotnikiem jest „platonistyczny” (Murawski, 1986, s. 310). Filozofowie i logicy używają terminu „realizm” , słowo zaś „platonizm ” dotyczy za
zwyczaj nurtu filozofii wywodzącego się od Platona (lub jakiejś jego części). Istnieje wiele odmian platonizmu matematycznego. Bernays wyróżnił różne stopnie założeń platonistycz- nych, od najsłabszego: istnienie ogółu liczb naturalnych (skąd wynika zasada wyłączonego środka dla t y c h liczb), poprzez istnienie pewnych konstrukcji z kursu analizy m atem a
tycznej, aż do silnych postaci platonizmu postulujących istnienie wszystkich obiektów wy
stępujących w matem atyce; odrzuca jedynie platonizm absolutny, bo prowadzi do antyno
mii. Mac Lane (1986, s. 447) wymienia i krótko omawia cztery możliwe postawy m atem aty- ka-platonisty, wyróżnione wcześniej przez M . Resnika, nazwane: „platonik metodologiczny”
(osoba u ż y w a j ą c a standardowego aparatu zbiorów nieskończonych i m etod niekonstruk- tywnych), „platonik ontologiczny” ( u z n a j ą c y i s t n i e n i e zbiorów, liczb itp. na równi z istnieniem zwykłych przedmiotów), „platonik epistemologiczny” (utrzymujący, że w i e d z a o obiektach matematycznych jest częściowo oparta na b e z p o ś r e d n i m ich poznawaniu) i
„platonik realistyczny” (który wierzy, że obiekty matematyczne istnieją niezależnie od lu
dzi i ich umysłów). M ac Lane wspomina też o „mitologicznym platoniźmie” (pewna wersja platonizmu metodologicznego) i o „platoniźmie mnogościowym” (przypisującemu obiektyw
ne istnienie całej hierarchii zbiorów rozpatrywanych w teorii mnogości; jego zdecydowanym zwolennikiem był m. in. Godeł, por. 2.5). Znakomite, poglądowe omówienie rozmaitych aspek
tów platonizmu i jego słabych punktów można znaleźć w (Davis i Hersh, 1994); są tam też omówione słabe punkty argumentacji negującej platonizm. Syntetyczny przegląd pewnych aspektów postawy platonistycznej daje (Sfard, 1998). Argumenty za platonizmem przedsta
wia też (Penrose, 2000).
Zwolennikiem poglądu, że konstruktywny styl myślenia nie jest przeciwstawiony plato- nizmowi, lecz może być traktowany jako jego istotne uzupełnienie, jest Misiek (2004, s. 141).
Id e e g ł ę b o k i e s t r u k t u r o k r e ś l o n y c h a k s j o m a t y c z n i e
302 Zb i g n i e w Se m a d e n i
poznanie ich może jedynie polegać na konstruowaniu (w filogenezie, jako re
zultatu wysiłków pokoleń matematyków) systemów pojęciowych, o których możemy zasadnie przypuszczać, że są izomorficznymi (lub być może jakoś ho- momorficznymi) odpowiednikami owych bytów idealnych. J e ś li m a t e m a t y c z n e b y t y p l a t o ń s k i e j a k o ś i s t n i e j ą p o z a u m y s ł a m i lu d zi, to b e z p o śr e d n i d o s t ę p m a m y j e d y n i e do n a s z y c h id e i g łę b o k ic h, a do idei platońskich mamy dostęp jedynie p o ś r e d n i i to pod warunkiem, że idee głębokie dobrze im odpowiadają.
W każdym razie idea głęboka epistemiczna (rozumiana tak, jak w 2.8) nie może być uznana za ów byt platoński, bezczasowy, odwieczny, niezmienny, absolutny. Może najwyżej temu bytowi jakoś odpowiadać, może go odzwier
ciedlać (cokolwiek by to słowo miało znaczyć). Idea ta jest produktem kultury ludzkiej, ale z tego faktu n ie w y n i k a a n i istnienie a n i nieistnienie idei platońskich.
5.3. Koncepcja idei głębokich pozwala na pewne wyjaśnienie zjawiska roz
powszechnienia platonistycznych poglądów u matematyków. Otóż idee głębo
kie wydają się osobom , u których są należycie ukształtowane, tak natural
ne i oczywiste, że prowadzą do dwojakiego rodzaju przekonania: 1° poczucie
k o n i e c z n o ś c i związków wynikania, które zachodzą między rozważanymi obiek
tami; 2° poczucie jakiejś formy ich o b i e k t y w n e g o is tn ie n ia .
Euklides pisał o figurach, które dopiero b ęd zie s i ę k o n s t r u o w a ć, o tym, że dwa punkty m o ż n a p o ł ą c z y ć prostą. Natomiast dla Hilberta figury o danych własnościach i s t n i e j ą od p o c z ą tk u, prosta przechodząca przez dwa dane punkty po prostu istnieje. Obecnie matematyk, a także uczeń czy student mogą nie zauważyć istotnej różnicy obu podejść. Dopóki nie zwróci się im na to wyraźnie uwagi, uważają, że są to dwa w pełni równoważne sposoby wysłowienia tego samego faktu (Bernays, 1935; Krajewski, 2003, s. 18). Innymi słowy, p r z y z w y c z a j e n i e d o p l a t o n i z m u j e s t ta k s i ln e , ż e s i ę g o w o g ó le n ie z a u w a ż a .
Liczby naturalne z działaniem dodawania w elementarnej aksjomatyce Pea- no to dla typowego matematyka „te same” liczby, które się rozważa w teorii mnogości ZF. Podobnie zbiór pusty 0 w jednej aksjomatyce teorii mnogości to
„ten sam zbiór pusty” w innej aksjomatyce. Jak to zauważa Krajewski (2003, s. 297-298), sformułowanie „te same liczby” , „ten sam zbiór” — to z a ło ż e n ia p l a to n iz u ją c e . Tak więc mówienie o jednej idei głębokiej „liczby naturalne z działaniem dodawania” (lub „zbiór pusty” ) może być traktowane jako wiodące w stronę platonizmu. Nie implikuje to jednak platonizmu bezpośrednio, bo
wiem zarówno w przypadku indywidualnych jak i epistemicznych idei głę
bokich można ograniczyć się do tego, co jest w u m y s ł a c h ludzi. Zarazem koncepcja idei głębokich tłumaczy wyraźną, choć nie zawsze uświadomioną i nie zawsze konsekwentną postawę platonistyczną matematyków.
303 5.4. Drugą kwestią jest stosunek idei głębokich do k o n s t r u k t y w iz m u . Jak wiadomo, termin ten odnosi się do dwóch istotnie różnych koncepcji. Jedną z nich jest k o n s t r u k t y w i z m p s y c h o l o g i c z n y (określany też jako konstruktywizm dydaktyczny), którego najwybitniejszymi przedstawicielami są Piaget i von Glasersfeld; bardzo dobry przegląd tej problematyki można znaleźć w (Stefie, 1991). Drugą jest k o n s t r u k t y w i z m f i l o z o f i c z n y, który jest kontynuacją i m ody
fikacją (lub, jak utrzymują niektórzy, synonimem) intuicjonizmu Brouwera.
Głównym założeniem doktryny Brouwera jest to, że jedynie te obiekty matematyczne mają rzeczywiste istnienie i sens, dla których dana jest ich konstrukcja, w skończonej liczbie dobrze określonych kroków, z obiektów pier
wotnych (są nimi liczby naturalne). Brouwer odrzucał intuicję przestrzenną11, zachował zaś intuicję czasową (Beth i Piaget, 1966, s. 20).
W konstruktywizmie psychologicznym wyróżnić można prądy radykalne i umiarkowane. Te pierwsze kategorycznie negują wszelkie formy platonizmu (konsekwencją tego jest np. pogląd, że liczba 4 nie była obiektywną cechą nóg psa, dopóki ludzkość nie nauczyła się liczyć). Natomiast konstruktywizm umiarkowany ogranicza się do opisu rozwoju pojęć matematycznych w onto- genezie człowieka, nie wypowiadając się na temat istnienia lub nieistnienia obiektów matematycznych poza umysłami ludzi.
Konstruktywizm filozoficzny jest w swoim założeniu radykalny i antypla- tonistyczny. Intuicjonizm Brouwera jest interesujący dla filozofów, natomiast matematycy bardzo rzadko są jego zwolennikami. Mostowski (1955, s. 28) na
pisał12: „Niestety odpowiednie definicje były sformułowane przez Brouwera w sposób bardzo skomplikowany i nieprecyzyjny, tak że nie odegrały żadnej istot
nej roli poza kręgiem współpracowników Brouwera” . To, czego nie akceptują matematycy, to z a k a z pewnych typów wnioskowań. Na przykład w logice intuicjonistycznej można podać e f e k t y w n ą , jednoznaczną konstrukcję licz
by rzeczywistej tt— 7r, która nie jest ani dodatnia, ani ujemna, ani równa zeru;
szczegóły tej konstrukcji, pochodzącej od Brouwera, można znaleźć w (Davis i Hersh, 1994, s. 322). Matematykowi trudno jest pojąć, dlaczego punkt na osi liczbowej odpowiadający liczbie 7r — t wprawdzie istnieje, ale nie leży ani na prawo, ani na lewo od 0, ani nie jest punktem 0; co więcej, pogląd taki ma być jakoby zgodny z intuicją.
11 Por. (Bernays, 1935). W arto to porównać z opinią Thom a, który twierdził, że siła prze
konująca schematów logicznych pochodzi od zawierania przestrzennego, a nie odwrotnie (Thom, 1974, s. 123).
Ta opinia jest o tyle ważna, że Mostowski nie tylko był matematykiem i jednym z najwybitniejszych logików X X wieku, ale — jak to twierdził Łoś — w swyj działalności naukowej był filozofem, bardzo dobrze znał intucjonizm i była to nawet jedyna logika (oprócz naszej zw ykłej), którą Mostowski potrafił myśleć (Łoś, 1979). Dobre, krótkie, krytyczne omówienie intuicjonizmu daje (Bernays, 1935).
Id e e g ł ę b o k i e s t r u k t u r o k r e ś l o n y c h a k s j o m a t y c z n i e
304 Zb i g n i e w Se m a d e n i
Z drugiej strony, trudno matematykowi pojąć, dlaczego konstrukcja myślo
wa składająca się z ze s k o ń c z o n e j liczby elementarnych, efektywnych kro
ków, wykorzystujących tylko liczby naturalne, takich, że każdy krok jest akcep
towalny przez intuicjonistów, ale składająca się z bardzo dużej liczby, np. 1025 takich kroków, a więc konstrukcja, której zapis wymagałby ponad 1023 kartek papieru, miałaby być uznawana za intuicyjną. Jeśli by jakiś intuicjonista uznał tak dużą liczbę kroków dowodu za przesadzoną i nie zaakceptowałby tego, to powstałby problem do jakiej liczby kroków dowód byłby akceptowalny i czy dowód o jeden krok dłuższy byłby już poza tą granicą.
Konstruktywizm Brouwera i jego kontynuatorów (A. Heytinga, E. Bishopa i innych) zaowocował licznymi efektywnymi konstrukcjami w zagadnieniach, w których wcześniej zadowalano się niekonstruktywnymi dowodami istnienia.
Okazało się to później bardzo ważne dla informatyki, bowiem opieranie się wyłącznie na efektywnych, krok po kroku, konstrukcjach wykorzystujących liczby naturalne jest tym właśnie, czego potrzebują programiści.
Intuicjonizm znalazł uznanie w oczach informatyków. Tak więc, paradok
salnie, to właśnie k o m p u t e r o m , reprezentantom świata mechanicystycz- nego, przypadła rola wykorzystywania rozumowań, które Brouwer lansował jako intuicyjne. Z takich to zapewne powodów następcy Brouwera wprowadzi
li nazwę „konstruktywizm” .
Powyższy wywód służy wyjaśnieniu, dlaczego k o n c e p c ja id e i g łę b o k ic h, choć oparta na umiarkowanym konstruktywizmie psychologicznym, j e s t n ie d o p o g o d z e n i a z k o n s t r u k t y w i z m e m k o n t y n u a t o r ó w B r o u w e r a .
5.5. Podsumowując i uzupełniając powyższe wywody, stwierdzamy, bez rozwijania tego tematu, że koncepcja idei głębokich jest k o m p a t y b i l n a z pewnymi postaciami platonizmu i z pewnymi postaciami konstruktywizmu psychologicznego, a także z umiarkowanym konwencjonalizmem Poincarego i z umiarkowanym strukturalizmem matematycznym (Parsons, 2002).
Natomiast n ie d a s ię p o g o d z i ć idei głębokich z logicyzmem, z no- minalizmem i formalizmem, z apsyetiologicznym konceptualizmem, z rady
kalnym aprioryzmem, z intuicjonizmem, z pozytywizmem logicznym (Koła Wiedeńskiego), z behawioryzmem, z radykalnym konstruktywizmem psycho
logicznym, z radykalnym konwencjonalizmem, z radykalnym konstruktywiz
mem społecznym (głoszącym, że wiedza matematyczna ze swej natury nie jest czymś obiektywnym, twierdzenia matematyczne należą do sfery społecznego konsensusu, toteż mogą być negocjowane i zmieniane), ani z poglądami W itt- gensteina (wczesnego i późnego), ani z poglądami tych wszystkich, którzy w matematyce widzą tylko coś w rodzaju „gry w szachy” (tzn. głoszą, że liczy się jedynie przestrzeganie dowolnie przyjętych formalnych reguł) lub pewne „gry językowe” .
Ogólnie biorąc, koncepcji idei głębokich nie da się pogodzić z radykaliz
mem tych teorii, których punktem wyjścia jest zanegowanie podstaw teorii konkurencyjnych (Freudenthal, 1991, s. 142-147; Goldin, 2003).
Nawiązując do uwag z 2.11, zwróćmy uwagę na pewien aspekt wielokrot
nie opisywanych różnic poglądów między matematykami a osobami o wy
kształceniu humanistycznym: pedagogami, lingwistami, filozofami, psycholo
gami (Mac Lane, 1986, s. 444, wypowiedź o Wittgensteinie; Freudenthal, 1991, s. 142-147; Sfard, 1998; Krajewski, 2003; Goldin, 2003). Otóż jednym ze źródeł nieporozumień jest to, że osobie, która pewne pojęcia zna jedynie na podstawie tekstu definicji i jakiegoś poglądowego opisu, trudno jest pojąć nastawienie ma
tematyka, dla którego pojęcie to stało się ideą głęboką w wyniku długoletnich doświadczeń zebranych przy studiowaniu własności tego pojęcia, dowodzeniu ich i — co najważniejsze — stosowaniu go jako narzędzia pracy zawodowej.
W szczególności publikacje z podstaw matematyki, z natury nastawione for- malistycznie, dają jednostronny obraz tego, czym jest matematyka.
W debatach dotyczących filozofii matematyki, w kontekście dydaktyki ma
tematyki, w różnych publikacjach na świecie pojawiały się pewne bezpodstaw
ne stwierdzenia. Zakwestionujemy tu, nie wchodząc w szczegóły, kilka z nich, które mają pewne odniesienie do koncepcji idei głębokich.
1° Z przyjętego tu założenia, że pojęcia matematyczne są konstruowane w umyśle człowieka, n ie w y n i k a , że wiedza matematyczna jest niezależna od zewnętrznego świata, ani n ie w y n i k a , że wiedza ta nie jest odbiciem pewnych bezczasowych regularności w świecie fizycznym.
2° Z założenia tego n ie w y n i k a też niemożliwość obiektywnej wiedzy matematycznej, ani prymat tego, co umysłowe, nad tym, co zewnętrzne.
3° Z platonizmu (rozumianego jako założenie istnienia abstrakcyjnych obie
któw niezależnych od ludzkiego umysłu, które matematycy chcą odkryć i opi
sać) n ie w y n i k a , że liczby muszą być identyfikowane z pewnymi zbiorami, tj. identyfikowane z ich modelami formalnymi (por. Mac Lane, 1981, s. 468).
4° Z platonizmu n ie w y n i k a też, że ‘discovery learning’ oraz ‘group learning’ są niemożliwe, choć i takie opinie były publikowane.
Zwrot „nie wynika” należy interpretować tu tak, jak w logice: nie roz- strzyga to ani prawdziwości, ani fałszywości wniosku, mówi jedynie o braku związku wynikania m iędzy zestawianymi sądami.
Id e e g ł ę b o k i e s t r u k t u r o k r e ś l o n y c h a k s j o m a t y c z n i e 305
306 Zb i g n i e w Se m a d e n i
Literatura*
A r n o l d , W . I.: 2001, O nauczaniu matematyki, W i a d o m o ś c i M a t e m a t y c z n e 37, 17-26.
B e r n a y s, P.: 1935, Sur le platonisme dans les mathematiques, L ’E n -s e i g n e m e n t M a t h e m a t i q u e, 34, 52-59 [tłumaczenie polskie: O platoniźmie w matematyce, w: Murawski, 1986, 309-322].
B e t h, E. W ., P i a g e t , J.: 1966 [1961], M a t h e m a t i c a l e p i s t e m o l o g y a n d p s y c h o l o g y, Reidel, Dordrecht.
B i a l y n i c k i - B i r u l a , A.: 1976, A l g e b r a lin io w a z g e o m e t r i ą, PWN, Warszawa.
B i a l y n i c k i - B i r u l a , A.: 1987, Z a r y s a lg e b r y, PW N, Warszawa.
B i r k h o f f, G., M a c L a n e S.: (1963) [1954] P r z e g l ą d a lg e b r y w s p ó ł
c z e s n e j, wyd. II, PW N, Warszawa.
B o c h e ń s k i , J. M.: 1992 [1954/1989], W s p ó ł c z e s n e m e t o d y m y ś l e n i a ,
W drodze, Poznań.
C o u r a n t, R., R o b b i n s , H.: 1998 [1941/1962], C o to j e s t m a t e m a t y
k a ? , wyd. II, PW N , Warszawa 1962; wznowione 1998, Prószyński i S-ka.
D a v i s , P. J., H e r s h, R.: 1994 [1981], Ś w ia t m a t e m a t y k i, PW N , War
szawa.
D e m b y, A.: 2000, Typy procedur algebraicznych, stosowanych przez ucz
niów w wieku 13-15 lat, R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 22, 45-74.
D r e y f u s , T.: 1994 [1992], Imaginery and reasoning in mathematics and mathematics education, w: D. F. Robitaille et al. (eds.), Proceedings o f the 7th International Congress on Mathematical Education, Presses de l’Universite Laval, Quebec, 107 122.
D u b i n s k y, E.: 1991, Reflective abstraction, w: D.O.Tall (red.), A d v a n c e d M a t h e m a t i c a l T h in k in g , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 95-123.
D u d a , R.: 1982, Zasada paralelizmu w dydaktyce, R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 1, 127-138.
F e r r e i r ó s, J.: 1999, L a b y r in t h o f T h o u g h t. A H i s t o r y o f S e t T h e o r y a n d U s R o l e in M o d e r n M a t h e m a t i c s, Birkhauser, Basel.
F r e u d e n t h a l , H.: 1991, R e v i s i t i n g M a t h e m a t i c a l E d u c a t io n . C h in a le c
tu r e s , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
G a r d i n g, L.: 1993 [1977], S p o tk a n i e z m a t e m a t y k ą, PW N , Warszawa.
G l e a s o n , J. B., R a t n e r, N. B. (red.): 2005 [1998], P s y c h o l i n g w i s t y - ka, Gdańskie Wydawnictwo Psychologiczne, Gdańsk.
W nawiasie [ ] podajem y rok ukazania się oryginalnej wersji.
307 G o d e ł , K.: 1964 [1947], What is Cantor’s continuum problem, A m e r i c a n M a t h e m a t ic a l M o n t h l y, 54 (1947), 515-525 [przedruk, wraz z supplementem, w: P. Benacerraf i H. Putman (red.), 1964, s. 258-273; tłumaczenie polskie w:
Murawski, 2002, s. 103-123].
G o l d i n , G. A.: 2003, Developing complex understandings: on the relation of mathematics education research to mathematics, E d u c a t io n a l S t u d ie s in M a t h e m a t i c s 54, 171-202.
G r a y , E. M., T a 1 1, D. O.: 1994, Duality, ambiguity and flexibility:
A proceptual view o f simple arithmetic, J o u r n a l f o r R e s e a r c h in M a t h e m a t i c s E d u c a t io n 25, no. 2, 115-141.
G r z e g o r c z y k , A.: 1970, O definicjach w nauczaniu matematyki, W i a d o m o ś c i M a t e m a t y c z n e 11, 286-287.
G r z e g o r c z y k , A.: 1971, Z a r y s a r y t m e t y k i t e o r e t y c z n e j, PWN, Warsza
wa.
G r z e g o r c z y k , A.: 1975 [1961], Z a r y s logiki m a t e m a t y c z n e j, w yd.IV , PWN, Warszawa.
H e j n y, M.: 1997, Rozwój wiedzy matematycznej, R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s tw a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 19, s. 15-28.
H o s p e r s, J.: 2001, W p r o w a d z e n i e d o a n a liz y f i l o z o f i c z n e j, Aletheia, War
szawa.
K r a j e w s k i , S.: 2003, T w i e r d z e n i e G o d ł a i j e g o i n t e r p r e t a c je fi l o z o f i c z n e, Wydawnictwo Instytutu Filozofii i Socjologii PAN, Warszawa.
K u r c z , I d a : 1992, J ę z y k a p s y c h o l o g i a, WSiP, Warszawa.
L u b o m i r s k i , A.: 1983, O u o g ó ln ia n iu w m a t e m a t y c e, Ossolineum, Wroc
ław.
L y o n s , J o h n : 1976 [1968], W s t ę p d o j ę z y k o z n a w s t w a , PW N, Warszawa.
Ł o ś , J.: 1955, A r y t m e t y k a liczb p o d s t a w o w y c h, w: W . Sierpiński, A r y t m e t y k a t e o r e t y c z n a, PW N, Warszawa, s. 7-64.
L o s , J.: 1979, O Andrzeju Mostowskim, W i a d o m o ś c i M a t e m a t y c z n e 22,45-47.
M a c L a n e, S.: 1981, Mathematical models: a sketch for the philosophy of mathematics, A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y, 88, 462-472.
M a c L a n e , S.: 1986, M a t h e m a t i c s . F o rm , a n d F u n c t i o n, Springer-Verlag, New York.
M a 1 c e w, A. L: 1970, A l g i e b r a i c z e s k i j e s i s t e m y, Nauka, Moskwa.
M a r c i s z e w s k i , W . (red.): 1970, M a ł a e n c y k lo p e d ia lo gik i, Ossolineum, Wroclaw.
M a s o n , J.: 1996, Expressing generality and roots o f algebra, w: N. Bednarz, C. Kieran, L. Lee (red.), A p p r o a c h e s to A l g e b r a . P e r s p e c t i v e s f o r R e s e a r c h a n d
T e a c h m g, Kluwer, Dordrecht, s. 65-86.
Id e e g ł ę b o k i e s t r u k t u r o k r e ś l o n y c h a k s j o m a t y c z n i e
308 Zb i g n i e w Se m a d e n i
M i s i e k , J.: 2004, Genetyczna koncepcja matematyki, R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a m a t e m a t y k i 27, 127-149.
M o s t o w s k i , A.: 1948, L o g ik a m a t e m a t y c z n a, Monografie Matematyczne, Warszawa.
M o s t o w s k i , A.: 1955, The present state of investigations on the foun
dations of mathematics, R o z p r a w y M a t e m a t y c z n e, 9, 3-48.
M u r a w s k i , R.: 1986, F i l o z o f i a m a t e m a t y k i . A n t o l o g i a t e k s t ó w k l a s y c z
n y c h , Wydawnictwo Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza, Poznań.
M u r a w s k i , R.: 2002, W s p ó ł c z e s n a filo z o f ia m a t e m a t y k i . W y b ó r t e k s tó w ,
PW N , Warszawa.
P a r s o n s , C.: 2002 [1990], Strukturalizm o obiektach matematyki, w: Mu
rawski, 2002, s. 359-376.
P e n r o s e , R.: 2000 [1989], N o w y u m y s ł c e s a r z a . O k o m p u te r a c h , u m y ś l e i p r a w a c h fi z y k i, wyd. III, PW N , Warszawa.
P i a g e t , J.: 1981 [1975], R ó w n o w a ż e n i e s t r u k t u r p o z n a w c z y c h . C e n t r a l n y p r o b l e m r o z w o j u, PW N, Warszawa.
P i a g e t , J., G a r c i a , R.: 1989 [1983], P s y c h o g e n e s i s a n d th e H i s t o r y o f S c i e n c e, Columbia University Press, New York.
Q u i n e , W . V. O.: 2000 [1953/1961], Z p u n k t u w id z e n ia logik i, Aletheia, Warszawa.
R a s i o w a, H.: 1968, W s t ę p d o m a t e m a t y k i w s p ó ł c z e s n e j, PWN, Warszawa.
R o ż e k , B.: 2005, Strukturyzacja dwuwymiarowego szyku prostokątnego przez dzieci w wieku od 10 do 13 lat, R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 28,
S e m a d e n i , Z.: 1971, B a n a c h s p a c e s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , vol. I, PWN, Warszawa.
S e m a d e n i , Z.: 2002a, Trojaka natura matematyki: idee głębokie, formy powierzchniowe, modele formalne, R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 24, 41-92.
S e m a d e n i , Z.: 2002b, Utożsamianie pojęć, redukcjonizm i równość w ma
tematyce, R o c z n i k i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k ty k a M a t e m a t y k i 24, 93-117.
S e m a d e n i , Z.: 2003, Spłaszczanie się hierarchii pojęć, horyzontalne i wer
tykalne składowe matematyzacji i wieloznaczność terminu „m odel” , R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 25, 111-150.
S e m a d e n i , Z.: 2004a, Aspekty znaczeniowe i aspekty strukturalne pojęć matematycznych, R o c z n i k i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 27, 151-168.
S e m a d e n i, Z.: 2005, O zasadzie właściwego ukierunkowania (rozwinięcie myśli Zofii Krygowskiej), R o c z n ik i P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r ia V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i 28, 155-184.
S f a r d, A.: 1991, On the dual nature o f mathematical conceptions: reflec
tions on process and object as different sides of the same coin, E d u c a tio n a l S tu d ie s in M a t h e m a t i c s 22, 1-36.
S f a r d, A.: 1998, The many faces of mathematics: Do mathematicians and researchers in mathematics education speak about the same thing?’ w: A. Sier
pińska i J. Kilpatrick (red.), M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n as a R e s e a r c h D o m a i n : A S e a r c h f o r I d e n t i t y . A n I C M I S t u d y, vol. 2, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, s. 491-511.
S k e m p, R.: 1976, Relational understanding and instrumental understan
ding, M a t h e m a t i c s T e a c h in g 77, 22-26; przedruk w: Tall i Thomas (2002), str. 1-10.
S k e i n p, R.: 1982, Communicating mathematics: surface structures and deep structures, V i s ib le L a n g u a g e 16, Number 3 (Special issue), 281-288.
S t e f f e, L. P. (red.): 1991, E p i s t e m o l o g i c a l F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c a l E x p e r i e n c e, Springer-Verlag, New York et al.
S z e m i ń s k a , A.: 1991 [1981], Rozwój pojęć matematycznych u dziecka, w: Z. Semadeni (red.), N a u c z a n i e p o c z ą tk o w e m a t e m a t y k i, tom 1, wydanie II, 1991, WSiP, Warszawa, s. 120-254.
T a r s k i , A.: 1959, What is elementary geometry?, w: L. Henkin, P. Sup- pes, A. Tarski, T h e A x i o m a t i c M e t h o d , w ith S p e c ia l R e f e r e n c e to G e o m e t r y a n d P h y s i c s, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1959, s. 16-29 [przedruk w: J. Hintikka (red.), T h e P h i l o s o p h y o f M a t h e m a t i c s , Oxford Uni
versity Press, 1969, s. 164-175].
T h o m, R.: 1974 [1971], Matematyka „nowoczesna” : pomyłka pedagogiczna i filozoficzna?, W i a d o m o ś c i M a t e m ,a t y c z n e 18 (1974), 113-129.
v a n H i e 1 e, P. M.: 2003 [2002], Podobieństwa i różnice między teorią uczenia się i nauczania Skempa a poziomami myślenia van Hielego, R o c z n i ki P o l s k i e g o T o w a r z y s t w a M a t e m a t y c z n e g o , S e r i a V , D y d a k t y k a M a t e m a t y k i
25, 183-202.
W i l d e r , R. L : 1950, The cultural basis of mathematics, P r o c e e d in g s o f th e I n te r n a tio n a l C o n g r e s s o f M a t h e m a t i c i a n s , Cambridge, Mass., 258-273 [tłu
maczenie polskie w: Murawski, 2002, s. 275-292].
Ż e l a z k o , W .: 1968, A l g e b r y B a n a c h a, PWN, Warszawa.
Id e e g ł ę b o k i e s t r u k t u r o k r e ś l o n y c h a k s j o m a t y c z n i e 309