[pe(T, T1) − Kpg(T, T1)QT]+ 1Be T|Ft e−0tr(s)Nt . (6.3)
Podobnie wygl ˛ada wzór na cen˛e opcji sprzeda˙zy
Ptw = B e tEQe [Kpg(T, T1)QT − pe(T, T1)]+ 1Be T|Ft e−0tr(s)Nt .
Natomiast parytet kupna sprzeda˙zy dla rozwa˙zanej opcji wymiany ma posta ´c
Ctw− Pw t = B e tEQe [pe(T, T1) − Kpg(T, T1)QT] 1 Be T|Ft e−0tr(s)Nt , a na mocy faktu 6.2 Ctw− Pw t = Pe(t, T1) − KPg(t, T1).
W nast˛epnym etapie opiszemy procesyfe(t, T ), fg(t, T ), NtorazQtdyfuzyjnymi stochastycznymi równaniami ró˙zniczkowymi, aby w kolejnym kroku dokona ´c wyceny według przedstawionych powy˙zej formuł.
6.4 Dyfuzyjna posta´c procesów opisuj ˛acych rozszerzony rynek
energii
Dla przestrzeni probabilistycznej(Ω, F, Qe) z filtracj ˛agenerowan ˛aprzez
d-wymia-rowy proces Wienera We
t załó˙zmy, ˙ze wewn˛etrzna struktura terminowa rynku energii elektrycznej jest opisana przy pomocy nast˛epuj ˛acego procesu Itô
fe(t, T ) = fe(0, T ) + t 0 αe(s, T )ds + t 0 σe(s, T ) ◦ dWe s,
gdzie współczynniki spełniaj ˛a takie same zało˙zenia jak w rozdziale 3.2. Wtedy podobnie jak w rozdziale 3.2, mo˙zna pokaza´c, ˙ze proces ˆpe(t, T ) spełnia
stochas-tyczne równane ró˙zniczkowe
dˆpe(t, T ) = −ˆpe(t, T )σ∗ e(t, T ) ◦ dWe t, (6.4) gdzie σe∗(t, T ) = T t σe(t, s)ds.
Zakładamy tak˙ze, ˙ze
d ˆNt = ˆNtv(t) ◦ dWte, d ˆQt= ˆQtvq(t) ◦ dWe t,
gdzie v(t) oraz vq(t) s ˛a d-wymiarowymi funkcjami deterministycznymi.
Za-łó˙zmy dalej, ˙ze wewn˛etrzna struktura terminowa rynku samych paliw na przes-trzeni (Ω, F, Qg) z filtracj ˛a generowan ˛a przez d-wymiarowy procesem Wienera
Wtg taki, ˙ze Wtg = We t − t
0 vq(s)ds opisana jest przy pomocy nast˛epuj ˛acego
procesu Itô fg(t, T ) = fg(0, T ) + t 0 αg(s, T )ds + t 0 σg(s, T ) ◦ dWg s,
gdzie współczynniki spełniaj ˛a takie same zało˙zenia jak w rozdziale 3.2. Wówczas proces ¯pg(t, T ) = pg(t, T )
Btg
spełnia nast˛epuj ˛ace stochastyczne równanie ró˙znicz-kowe d¯pg(t, T ) = −¯pg(t, T )σ∗ g(t, T ) ◦ dWg t, gdzie σg∗(t, T ) = T t σg(t, s)ds.
Potrzebna jest nam jeszcze reprezentacja procesuˆpg(t, T ) na przestrzeni (Ω, F, Qe):
LEMAT 6.1 Dla dowolnego terminu wykonania T ∈ (0, T∗] dynamika procesu ˆpg(t, T ) na przestrzeni (Ω, F, Qe) ma posta´c dˆpg(t, T ) = ˆpg(t, T )c(t, T )dWe t, (6.5) gdzie c(t, T ) = vq(t) − σ∗ g(t, T ). (6.6)
DOWÓD: Wiemy, ˙zeWe t = Wg
t +t
0vq(s)ds. Korzystaj ˛ac z zale˙zno´sci ¯pg(t, T ) ˆQt = ˆpg(t, T )
oraz z wielowymiarowego lematu Itô mamy
dˆpg(t, T ) = ¯pg(t, T )d ˆQt+ d¯pg(t, T ) ˆQt− ¯pg(t, T ) ˆQtvq(t)σ∗
g(t, T )dt = ˆpg(t, T )c(t, T )dWe
t.
Przy wycenie opcji wymiany wykorzystamy reprezentacj˛e procesu Y (t, T ) = pe(t, T ) pg(t, T )Qt = ˆpe(t, T ) ˆpg(t, T ) = Pe(t, T ) Pg(t, T )
przy równowa˙znej mierze martyngałowej P∗ generowanej przez numerator
pg(t, T )Qt. Reprezentacj˛e t˛e podaje nast˛epuj ˛acy lemat LEMAT 6.2 Załó˙zmy, ˙ze w rozwa˙zanym modelu
T
0 c(s, T ) 2ds < ∞,
gdzie c(t, T ) ma posta´c (6.6). Proces Y (t, T ) spełnia stochastyczne równanie ró˙zniczkowe
dY (t, T ) = Y (t, T )χ(t, T ) ◦ dWt∗
którego rozwi ˛azanie ma posta´c Y (t, T ) = Y (0, T ) exp( t 0 χ(s, T ) ◦ dWs∗−1 2 t 0 χ(s, T ) 2ds), gdzieWt∗ = We t−T
0 c(s, T )ds jest standardowym d-wymiarowym ruchem Browna zadanym na przestrzeni(Ω, F, P∗) ( wzgl˛edem miary P∗odpowiadaj ˛acej
numera-torowipg(t, T )Qt) oraz
χ(t, T ) = σg∗(t, T ) − σ∗
e(t, T ) − vq(t). (6.7) DOWÓD: G˛esto´s´c miaryP∗na przestrzeni(Ω, FT) odpowiadaj ˛acej numeratorowi
pg(t, T )Qtma posta´c dP∗ dQe = exp T 0 c(s, T )dWse− 12 T 0 c(s, T )2ds P∗− p.w.
Stosuj ˛ac tw. Girasanowa otrzymujemy, ˙ze Wt∗ jest d-wymiarowym procesem
Wienera na przestrzeni(Ω, F, P∗). Korzystaj ˛ac z lematu Itô oraz postaci dynamik
(6.5), (6.4), otrzymujemy stochastyczne równanie ró˙zniczkowe opisuj ˛ace proces
Y (t, T ): dY (t, T ) = Y (t, T )h(t, T )dt + Y (t, T )χ(t, T ) ◦ dWte, gdzie h(t, T ) =$$(vq(t) − σ∗ g(t, T ))$$2+ (vq(t) − σ∗ g(t, T )) ◦ σ∗ e(t, T ),
orazχ(t, T ) ma posta´c (6.7) co jest równowa˙zne postaci z lematu.
Maj ˛ac do dyspozycji posta´c procesu Y (t, T ) mo˙zemy przyst ˛api´c do wyceny in-teresuj ˛acego nas instrumentu pochodnego.
6.5 Wycena opcji wymiany na kontrakty forward
Korzystaj ˛ac z faktów zamieszczonych w poprzednim rozdziale, dotycz ˛acych dy-fuzyjnej postaci podstawowych procesów fe(t, T ), fg(t, T ) opisuj ˛acych
struk-tur˛e terminow ˛a na rozszerzonym rynku oraz postaci procesów przeliczaj ˛acychNt
oraz Qt udowodnimy twierdzenie, którego tez ˛a jest posta ´c ceny opcji kupna na wymian˛e kontraktów forward. Przyjmijmy jak dotychczas deterministyczn ˛a stop˛e procentow ˛ar(t).
TWIERDZENIE 6.1 Dla rozwa˙zanego w niniejszym rozdziale modelu, przy
za-ło˙zeniach lematu 6.2 oraz dodatkowym zało˙zeniu, ˙ze
T
0 χ(s, T1) 2ds < ∞,
gdzieχ(t, T ) ma posta´c (6.7), cena w EURO europejskiej opcji kupna z terminem wykonania T ∈ [t, T∗] opiewaj ˛acej na wymin˛e kontraktu forward na energi˛e
elektryczn ˛a iK > 0 kontraktów na paliwo produkcyjne z terminami wykonania T1 ∈ [T, T∗] jest dana wzorem
Ctw = Pe(t, T1)Φ(δ+(t)) − KPg(t, T1)Φ(δ−(t)), (6.8)
gdziePe(t, T1) oraz Pg(t, T1) s ˛a cenami w tej samej walucie instrumentów
bazo-wych,Φ jest dystrybuant ˛a standardowego rozkładu normalnego oraz
δ±(t) = ln Pe(t,T1) KPg(t,T1)± 1 2Σ2(t) Σ(t) dla Σ(t) = T t χ(s, T1) 2ds.
DOWÓD: Cen˛e opcji kupna mo˙zemy zapisa´c przy pomocy formuły (6.3). Je´sli dokonamy zamiany numeratora na proces pg(t, T1)Qt, to na przestrzeni proba-bilistycznej z miar ˛aP∗ opisan ˛a w lemacie 6.2 cen˛e opcji kupna mo˙zemy zapisa´c
przy pomocy nast˛epuj ˛acej warunkowej warto´sci oczekiwanej
Ctw = pg(t, T1)QtEP∗ " pe(T, T1) pg(T, T1)QT − K + |Ft # /(e−rtNt) = Pg(t, T1)EP∗ [Y (T, T1) − K]+|Ft
Nast˛epnie analogicznie jak w dowodzie tw. 3.1 obliczamy cen˛e opcji w chwili
t = 0.
C0 = EP∗
[Y (T, T1) − K]+ = EP∗(Y (T, T1)1D) − EP∗(K1D) = I1− I2,
gdzie zbiórD = {Y (T, T1) > K}. Warto´s´c oczekiwana I2 = EP∗(K1D) równa
jest I2 = KP∗{D} = KP∗ ⎧ ⎨ ⎩ξ < ln(Y (0, T1)/K) − 1 2 T 0 χ(s, T1) 2ds T 0 χ(s, T1) 2ds ⎫ ⎬ ⎭
gdzie zmienna losowa
ξ = T 0 χ(s, T1) ◦ dW∗ s T 0 χ(s, T1) 2ds
wzgl˛edem miaryP∗ ma standardowy rozkład normalny. Dodatkowo wiedz ˛ac, ˙ze
Y (0, T1) = Pe(0, T1)
KPg(0, T1) mamy
I2 = KΦ(δ−(0)),
gdzieΦ jest dystrybuant ˛a standardowego rozkładu normalnego.
Aby policzy´cI1 = EP∗(Y (T, T1)1D) wprowadzamy now ˛a miar˛e ˆP o g˛esto´sci
dˆP dP∗ = exp( T 0 χ(s, T1) ◦ dW∗ s −12 T 0 χ(s, T1) 2ds) = Y (T, T1) Y (0, T1) P∗− p.w. gdzie na przestrzeni(Ω, F, ˆP) Y (T, T1) = Y (0, T1) exp( T 0 χ(s, T1) ◦ d ˆWs+ 12 T 0 χ(s, T1) 2ds) oraz proces ˆWt= W∗ t−T
0 χ(s, T1)ds jest standardowym ruchem Browna. Wtedy
I1 = EP∗(Y (T, T1)1D) = Y (0, T1)ˆP{Y (T, T1) > K}.
W konsekwencji, podobnie jak dlaI2otrzymujemy
I1 = Y (0, T1)ˆP ⎧ ⎨ ⎩ˆξ < ln(Y (0, T1)/K) + 1 2 T 0 χ(s, T1) 2ds T 0 χ(s, T1) 2ds ⎫ ⎬ ⎭ = Y (0, T1)Φ(δ+(0)).
gdzie zmienna
ˆξ= 0Tχ(s, T1) ◦ d ˆWs
T
0 χ(s, T1) 2ds
wzgl˛edem miary ˆP ma standardowy rozkład normalny. Zatem Cw
0 spełnia tez˛e
twierdzenia. Cena Cw
t z dowolnym terminem t wynika z własno´sci Markowa
procesuY (t, T ).
Powy˙zsze twierdzenie przedstawia ogólny wzór umo˙zliwiaj ˛acy wycen˛e roz-wa˙zanej opcji wymiany przy zało˙zeniu modelu dyfuzyjnego. Je´sli jednak przyj-miemy dodatkowe zało˙zenia wówczas otrzymamy szczególne przykłady tego twierdzenia omówione poni˙zej.
6.6 Przykłady
W niniejszym rozdziale przedstawimy zastosowanie tw. 6.1 w kilku szczegól-nych przypadkach. Pierwsze dwa przykłady to model jednofaktorowy i Vasicka, natomiast pozostałe dwa daj ˛a nam obraz tego, jaki wpływ na posta ´c ceny opcji maj ˛a poszczególne procesy stochastyczne wprowadzone w modelu i zwi ˛azana z nimi zmienno´s´c oraz jak udowodnione twierdzenie mo˙ze by´c stosowane w innych sytuacjach.
6.6.1 Model jednofaktorowy
Pierwszy z rozwa˙zanych przykładów to model jednofaktorowy, w którym za-kładamy, ˙ze wszystkie funkcje zmienno´sci przyjmuj ˛a stał ˛a warto´s´c. Dla takiego modelu rozwa˙zamy przestrze´n z filtracj ˛a generowan ˛a przez trójwymiarowy ruch BrownaWt= {W1
t, Wt2, Wt3}, a procesy zmienno´sci s ˛a zadane nast˛epuj ˛aco σe(t, T ) ≡ [σe, 0, 0], σg(t, T ) ≡ [0, σg, 0], vq(t) ≡ vq[ρ1, ρ2, 1 − ρ2 1− ρ2 2], gdzieρ1, ρ2 ∈ [−1, 1]. Wtedy σe∗(t, T ) = [(T − t)σe, 0, 0], σg∗(t, T ) = [0, (T − t)σg, 0], i otrzymujemy
WNIOSEK 6.3 Przy zało˙zeniach modelu jednofaktorowego posta´c ceny opcji
rozwa˙zanej w twierdzeniu 6.1 zadana jest wzorem (6.8), gdzie
Σ2(t) = −((σe)2+ (σg)2)((T1− T )3− (T1 − t)3) + (vq)2(T − t) +(vqρ1σe+ vqρ2σg)((T1− T )2− (T1− t)2).
6.6.2 Model Vasicka
W modelu tym na przestrzeni z filtracj ˛a generowan ˛a przez ruch Browna Wt =
{W1
t, Wt2} krótkoterminowe stopy dla elektryczno´sci i gazu opisane s
˛aodpowied-nimi równaniami
dfe(t, t) = (ae− bef (t, t))dt + ce◦ dWt, dfg(t, t) = (ag − bgf (t, t))dt + cg◦ dWt,
gdziece = [ce, 0], cg = cg[ρ,1 − ρ2] oraz ae, be, ce, ag, bg, cgs ˛a ´sci´sle dodatnimi stałymi. Zatem
σe∗(t, T ) = ne(t, T )ce, σg∗(t, T ) = ng(t, T )cg,
gdzie ne(t, T ) = 1
be(1 − e−be(T −t)), ng(t, T ) = 1
bg(1 − e−bg(T −t)). Zakładamy
tak˙ze, ˙ze zmienno´s´cvq ≡ 0.
WNIOSEK 6.4 Przy zało˙zeniach modelu Vasicka posta´c ceny opcji rozwa˙zanej
w twierdzeniu 6.1 zadana jest wzorem (6.8), gdzie
Σ2(t) = T t n2e(s, T1)c2 e− 2ne(s, T1)ceρng(s, T1)cg+ n2 g(s, T1)c2 g ds.
Przedstawione powy˙zej dwa przykłady pokazuj ˛a, w jaki sposób przyj˛eta przez nas posta´c struktury terminowej oraz posta´c procesów przeliczaj ˛acych wi ˛a˙ze si˛e z ewolucj ˛a zmienno´sci ceny opcji w czasie.
6.6.3 Opcja wymiany dla identycznej struktury terminowej
Kolejny z przykładów to model, w którym zakładamy, ˙ze wewn˛etrzna struktura terminowa dla paliwa i elektryczno´sci jest taka sama. Wówczas cena opcji wy-miany zale˙zy tylko od zmienno´sci stopy wywy-miany pomi˛edzy tymi towaramiQt, co w konsekwencji powoduje, ˙ze proces wymiany jest jedynym procesem istotnie wpływaj ˛acym na zmiany w cenie opcji.
WNIOSEK 6.5 Dla identycznej wewn˛etrznej struktury terminowej rynku energii
elektrycznej i paliwa posta´c ceny opcji rozwa˙zanej w twierdzeniu 6.1 zadana jest wzorem (6.8), gdzie
Σ2(t) = T
t
vq(s) 2ds.
Powy˙zsza posta´c zmienno´sci dla opcji wymiany sugeruje, ˙ze dla takiego modelu cena opcji ewoluuje w czasie, a jej zmiany nie s ˛a powi ˛azane z czasem pozostałym do wykupu kontraktów b˛ed ˛acych instrumentami bazowymi.
6.6.4 Opcja wymiany pomi˛edzy dwiema lokalizacjami
Zauwa˙zmy, ˙ze rozwa˙zany model i twierdzenie 6.1 dotyczy´c mo˙ze nie tylko wymiany kontraktu na energi˛e elektryczn ˛a i paliwa produkcyjnego, lecz tak˙ze wymiany kontraktów na energi˛e elektryczn ˛a w dwóch lokalizacjachA i B ró˙zni ˛ a-cych si˛e dynamik ˛a wewn˛etrznej struktury terminowej. W takiej sytuacji proces
Qtjest deterministyczny i stale równy 1 (Qt ≡ 1), zatem zmienno´s´c vq(t) ≡ 0, a
cena opcji wymiany zale˙zy tylko od ró˙znicy w dynamikach opisuj ˛acych wewn˛e-trzn ˛a struktur˛e terminow ˛a w lokalizacji A oraz lokalizacji B.
WNIOSEK 6.6 Cena opcji wymiany kontraktów forward na energi˛e elektryczn ˛a pomi˛edzy lokalizacjami A i B przy zało˙zeniach twierdzenia 6.1 ma posta´c
Ctw = PA(t, U)Φ(δ+(t)) − KPB(t, U)Φ(δ−(t)),
gdziePA(t, U), PB(t, U) to odpowiednio ceny w EURO kontraktów w lokalizacji
A oraz w lokalizacji B. Natomiast
δ±(t) = ln PA(t,U) KPB(t,U) ± 1 2Σ2(t) Σ(t) oraz Σ2(t) = T t σ∗ B(s, U) − σ∗ A(s, U) 2ds.
gdzieσA∗,σB∗ to zmienno´sci zwi ˛azane ze struktur ˛a terminow ˛a wewn˛etrznego rynku energii elektrycznej w lokalizacjach A i B.
Rozwa˙zany tu przypadek opcji wymiany mo˙ze by´c u˙zywany do wyceny sieci transmisyjnych umo˙zliwiaj ˛acych przesył energii elektrycznej na ustalonym od-cinku AB. Przykład ten jest jednocze´snie przypadkiem wymiany, w której ró˙znice w cenach zwi ˛azane s ˛a tylko i wył ˛acznie z ró˙znicami w strukturze terminowej wewn˛etrznych rynków rozwa˙zanych produktów, co sugeruje, ˙ze ró˙znice te powi ˛ a-zane s ˛a z czasem pozostałym do wykupu kontraktów.
6.7 Symulacje
W rozdziale tym przedstawimy porównanie wyników symulacji uzyskanych dla przedstawionego powy˙zej modelu Vasicka z wynikami uzyskanymi dla standar-dowego modelu Blacka opisanego w poni˙zszym fakcie.
FAKT 6.1 [27] Przy zało˙zeniu, ˙ze ceny w walucie pieni˛e˙znej kontraktów na
energi˛e elektryczn ˛a i paliwo produkcyjne opisane s ˛a geometrycznym ruchem Browna
dPg(t, T ) = μ2Pg(t, T )dt + σ2Pg(t, T )dWt,2,
gdzie Wt,1 = ρWt,2 +1 − ρ2Wt,2 oraz Wt,2, Wt,2 s ˛a niezale˙znymi procesami Wienera otrzymujemy nast˛epuj ˛ac ˛a cen˛e opcji wymiany
Ctw = e−T t r(s)ds[Pe(t, U)Φ(δ+(t)) − KPg(t, U)Φ(δ−(t))], gdzie δ±(t) = ln P1(t,U) KP2(t,U) ± σ2 B(T −t) 2 σB √ T − t . oraz σB2 = σ2 1 − 2σ1ρσ2 + σ2 2.
Do symulacji u˙zyto danych z giełdy NYMEX (New York Mercantile Exchange). Zbiór danych zawierał historyczne notowania kontraktów na gaz (Henry Hub) oraz elektryczno´s´c (PJM) z okresu od stycznia 2004 do marca 2006. Parametry zostały obliczone przy pomocy autorskiej metodologii kalibracji zamieszczonej w artykule [3] przy zało˙zeniu stałej stopy procentowejr = 0.05.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 20 40 60 80 100 120
Czas do wykupu (tygodnie)
Cena kontraktu Gaz MMBtu Elektr. MWh 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 50 100 150 200 250 300 350 Heat Rate Wart. elektrowni Black Vasicek
Rysunek 9: Górny panel: Ceny kontraktów na gaz i elektryczno´s´c z terminem wykonania marzec 2006. Dolny panel: Wyznaczona symulacyjnie, dla obydwu modeli, jednostkowa warto´s´c elektrowni produkuj ˛acej elektryczno´s´c z gazu ziem-nego z czasem ˙zycia 15 lat.
Przedstawione wyniki prezentuj ˛a prób˛e wyceny jednostkowej warto´sci elek-trowni produkuj ˛acej elektryczno´s´c z gazu ziemnego przy u˙zyciu formuły (6.1). W tym celu zało˙zono dodatkowo, ˙ze czas ˙zycia elektrowni wynosi 15 lat oraz
Pe(0, T ) = 55.750 USD, Pg(0, T ) = 6.3080 USD. Na rysunku widzimy warto´s´c
elektrowni dla stopy wymiany (heath rate) zmieniaj ˛acej si˛e na przedziale [5, 15]. Mo˙zna zauwa˙zy´c du˙z ˛a ró˙znic˛e wynikach otrzymanych dla analizowanych mo-deli. Warto´s´c elektrowni dla modelu z wewn˛etrzn ˛a struktur ˛a terminow ˛a opisan ˛a modelem Vasicka jest du˙zo mniejsza ni˙z warto´s´c otrzymana dla modelu Blacka i zbiega do 0, gdy stopa wymiany ro´snie. Wskazuje to na dobre własno´sci badanego w pracy modelu, gdy˙z w rzeczywisto´sci warto´s´c elektrowni dla stopy wymiany wi˛ekszej ni˙z PPeg ≈ 9 powinna by´c bliska zeru. Dodatkowo analizuj ˛ac wyniki prac
[11, 12] mo˙zna wysnu´c wniosek, ˙ze warto´s´c elektrowni przy zało˙zeniu modelu Blacka jest zwykle zawy˙zona, co tak˙ze stawia proponowany w niniejszej pracy model w dobrym ´swietle.
7 Podsumowanie
Rozprawa po´swi˛econa jest modelowi rynku energii elektrycznej uwzgl˛edniaj ˛ a-cemu jego wewn˛etrzn ˛a struktur˛e terminow ˛a. Rozwa˙zania prowadzone były w dwóch nurtach. Pierwszy kierunek (rozdz. 2-5) dotyczył zagadnienia wyceny pewnych instrumentów pochodnych przy zało˙zeniu ró˙znych klas procesów sto-chastycznych słu˙z ˛acych do opisu instrumentów na rynku, od procesów dyfuzyj-nych po procesy ze skokami. W rozdziale 2 opisano ogólny matematyczny model wewn˛etrznego rynku energii elektrycznej, a nast˛epnie zaprezentowano metodolo-gi˛e wyboru optymalnej równowa˙znej miary martyngałowej, polegaj ˛acej na mak-symalizacji funkcji u˙zyteczno´sci uczestników rynku. Dodatkowo podano dwa wnioski (wn. 2.1 i 2.2 ) wynikaj ˛ace z zało˙ze ´n modelu i istnienia miary optymal-nej, a uzasadniaj ˛ace obserwacje dotycz ˛ace badanego rynku. Na koniec opisano wst˛epnie struktur˛e terminow ˛a wewn˛etrznego rynku energii elektrycznej.
W rozdziale 3 opisano podstawowe procesy na rynku przy pomocy procesów dyfuzji i dokonano wyceny europejskiej opcji kupna na kontrakt forward (tw. 3.1). Nast˛epnie na podstawie tego twierdzenia obliczono posta ´c ceny tej opcji dla dwóch przypadków modeli struktury terminowej: modelu jednofaktorowego i modelu Vasicka (wn. 3.2, wn. 3.1).
W rozdziale 4 rozszerzono model dyfuzyjny opisuj ˛ac podstawowe procesy na rynku za pomoc ˛a procesów ze skokami b˛ed ˛acych w klasie semimartyngałów. Rozwa˙zono dwa szczególne przypadki. W pierwszym z nich cz˛e´s´c skokowa zadana jest poprzez zło˙zony proces Poissona, natomiast w drugim, bardziej nowa-torskim, komponenta skokowa zadana jest poprzez proces typu skorelowanego bł ˛adzenia losowego z czasem ci ˛agłym. Korzystaj ˛ac z zaawansowanej teorii z dziedziny semimartyngałów, dla obydwu wspomnianych modeli dowiedziono czte-rech lematów pomocniczych. Dwa z nich dotycz ˛a reprezentacji podstawowych procesów na rynku przy wyj´sciowej mierze ˆQ (lem. 4.1, 4.3), natomiast pozostałe
dwa dotycz ˛a reprezentacji tych procesów po zamianie miary na miar˛e równowa˙zn ˛a (lem. 4.2, 4.4). Dokonano tak˙ze wyceny opcji kupna na kontrakt forward (tw. 4.1, 4.2) przy zało˙zeniach obydwu modeli, co jest głównym wynikiem tego rozdziału. Rozwa˙zania teoretyczne zostały zilustrowane przykładami i wykresami.
Kolejny rozdział został po´swi˛econy symulacjom. Dodatkowo opisano w nim dokładnie metodologi˛e kalibracji wielofaktorowego modelu dyfuzyjnego (alg. 5.1, alg. 5.2). Rozdział ten pokazuje przydatno´s´c wcze´sniejszych rozwa˙za´n teoretycz-nych w badaniach rzeczywistego rynku, a liczne wykresy obrazuj ˛a istot˛e badanych zjawisk.
Drugi kierunek rozwa˙za´n (rozdz. 6) dotyczył rozszerzenia podstawowego mo-delu do ogólniejszego rynku energii, na którym mog ˛a by ´c tak˙ze notowane instru-menty zwi ˛azane z paliwem produkcyjnym. W ostatnim rozdziale zaproponowano matematyczny model takiego rynku. Nast˛epnie przy zało˙zeniu modelu
dyfuzyj-nego udowodniono główne twierdzenie (tw. 6.1) opisuj ˛ace posta ´c ceny europej-skiej opcji kupna wymiany kontraktów na energi˛e elektryczn ˛a i paliwo produk-cyjne. Zaprezentowano dodatkowo kilka interesuj ˛acych przykładów wraz z symu-lacjami.
Niniejsza praca zawiera zatem kompleksowy opis budowy modelu rynku ener-gii elektrycznej opartego na postaci jego wewn˛etrznej struktury terminowej, wska-zuj ˛ac jednocze´snie wiele kierunków dalszego rozwoju bada ´n w ramach zaprezen-towanej problematyki. Przeprowadzone symulacje pokazuj ˛a, ˙ze model ten do-brze odzwierciedla rzeczywisto´s´c, wi˛ec dalsze jego rozwijanie jest uzasadnione. Szczególnie ciekawy jest w ˛atek dotycz ˛acy modelu ze skokami. Rozwini˛ecie tego modelu do modelu uwzgl˛edniaj ˛acego dodatni ˛a i ujemn ˛a komponent˛e skokow ˛a, zastosowanie innego procesu opisuj ˛acego skoki czy te˙z rozwi ˛azanie zagadnienia kalibracji modeli o zale˙znych przyrostach mo˙ze sta´c si˛e ciekawym tematem dal-szych rozwa˙za´n. Przedstawiona w pracy propozycja modelu ze skokami o przy-rostach zale˙znych mo˙ze by´c tak˙ze u˙zyta do modelowania cen spotowych na rynku energii elektrycznej. Innym ciekawym zagadnieniem jest efektywno´s´c modelu ze skokami przy zastosowaniu go do wyceny opcji wymiany. S ˛a to otwarte prob-lemy, które autorka pracy zamierza poruszy´c w dalszych badaniach naukowych.
Literatura
[1] E. Broszkiewicz-Suwaj (2003): Wykrywanie okresowej korelacji danych z
TGE SA w oparciu o analiz˛e spektraln ˛a, Rynek Terminowy 20, 92-95.
[2] E. Broszkiewicz-Suwaj, A. Makagon, R.Weron, A. Wyłoma ´nska (2004): On
detecting and modeling periodic correlation in financial data, Physica A
336, 196-205.
[3] E. Broszkiewicz-Suwaj (2006): Electricity Real Options Valuation, Acta Physica Polonica B Vol. 37, No 11, 1001-1011.
[4] E. Broszkiewicz-Suwaj (2006): New Methodology of Pricing on
Electric-ity Market - Theory and Practice, Proceedings of the International
Confer-ence The European Electricity Market EEM-06, May 24-26, 2006, Warsaw, Poland, 29-33.
[5] E. Broszkiewicz-Suwaj, A. Jurlewicz (2007): Pricing on Energy Market
based on coupled CTRW concept, w przygotowaniu.
[6] H. Buhlmann, F. Delbaen, P. Embrechts, A. Shiryaev (2001): No-arbitrage,
change of measure and conditional Esscher transforms, CWI Q. 9, No.4,
291-317
[7] T. Chan (1999): Pricing Contingent Claims on Stocks Driven by Levy
Pro-cesses, The Annals of Applied Probability, Vol. 9, No. 2, 5004-528.
[8] R. Cont, P. Tankov (2004) : Financial Modelling with Jump Processes, Chapman&Hall.
[9] M. Davis (1997): Option Pricing in Incomplete markets, Mathematics of Derivative Securities.
[10] F. Delbaen, W. Schachermayer (1994): A General Version of the
Fundamen-tal Theorem of Asset Pricing, Mathematische Annalen, Vol. 300, 463-520.
[11] S. Deng (2000): Stochastic Models of Energy Commodity Prices and Their
Applications: Mean-reversion with Jumps and Spikes, POWER papers.
[12] S. Deng, B. Johnson, A. Sogomonian (1998): Exotic Electricity Options and
the Valuation of Electricity Generation and Transmission Assets Decision
Support Systems 30, 383-392.
[13] H. Geman (2005): Commodities and commodity derivatives: Modeling and
[14] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton (1992): Bond Pricing and the Term Structure
of Interest Rates: A New Methodology, Econometrica 60, 77-105.
[15] J. Hinz (2006): Valuing Production Capacities on Flow Commodities, Math-ematical Methods of Operations Research, 64(2), 187-209.
[16] J. Hinz, L. Grafenstein, M. Verschuere, M. Wilhelm (2005): Pricing Risk by
Interest Rate Methods ,Quantitative Finance 5, 49.
[17] J. Hugonnier, D. Kramkov, W. Schachermayer (2005): On Utility Based
Pricing of Contingent Claims in Incomplete Markets, Mathematical Finance,
Vol. 15 , No. 2, pp. 203-212.
[18] J. Jacod, A. Shiryaev (2003): Limit Theorems for stochastic processes, Springer, Berlin.
[19] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner (2003):
Matem-atyka Finansowa. Instrumenty Pochodne., WNT Warszawa.
[20] A. Jurlewicz (2005): Limit theorems for randomly coarse grained continuous-time random walks, Diss. Math. 431.
[21] I. Karatzas, S. Shreve (1998): Methods of Mathematical Finance, Springer, Berlin.
[22] D. Kramkov, W. Schachermayer (1999): The Asymptotic Elasticity of Utility
Functions and Optimal Investment in Incomplete Markets, Annals of
Ap-plied Probability, Vol. 9, No. 3, 904-950.
[23] D. Kramkov, W. Schachermayer (2003): Necessary and sufficient conditions
in the problem of optimal investment in incomplete markets. , Annals of
Ap-plied Probability, Vol. 13, No. 4, 1504-1516.
[24] R. Metzler, J. Klafter (2000): The Random Walks Guide to Anomalous
Dif-fusion: a Fractional Dynamics Approach, Phys. Rep. 339, 1-77.
[25] M. Musiela, M. Rutkowski (1997): Martingale Methods in Financial
Mod-elling, Springer.
[26] P. Protter (1990): Stochastic Integration and Differential Equations,
Springer.
[27] E. Ronn (2004): Real Option and Energy Management: Using Options
[28] W. Schachermayer (2001): Optimal Investment in Incomplete Markets when
Wealth may Become Negative, Annals of Applied Probability, Vol. 11, No.
3, 694-734.
[29] W. Schachermayer (2004): Utility Maximisation in Incomplete Markets, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1856, 225-288.
[30] W. Schoutens (2003): Levy Processes in Finance, John Wiley and Sons. [31] A. Shiryaev (1999): Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models,
The-ory, World Scientific, Singapore.
[32] K. Szul˙zyk, A. Palczewski (2003): Kalibracja Modelu Struktury Terminowej
HJM do Polskiego Rynku Obligacji Skarbowych, Rynek Terminowy 19.
[33] The Nordic Power Exchange: Dane - opcje i kontrakty. [34] European Energy Exchange: Dane - kontrakty.
[35] I. Vehvilainen (2002): Basics of Electricity Derivative Pricing i Competitive
Markets, Applied Mathematical Finance 9, 45-60.
[36] A. Weron, R. Weron (1999): In˙zynieria finansowa: Wycena instrumentów
pochodnych. Symulacje komputerowe, statystyka rynku, WNT, Warszawa.
[37] A. Weron, R. Weron (2000): Giełda Energii: Strategie zarz ˛adzania ryzykiem, CIRE, Wrocław.
[38] K. Weron, A. Jurlewicz (2005): Scaling Properties of the Diffusion
Pro-cess Underlying the Havrilak-Negami Relaxation Function, Def. Diff.
Fo-rum 237-240 1093.
[39] R.Weron, I. Simonsen, P. Wilman (2004): Modeling Highly Volatile and
Seasonal Markets: Evidence from the Nord Pool Electricity Market, The