Dyski horyzontalne

(a) Przypadek α > 1 (zob. Wnio-sek 2.5). Dowolny punkt (x, y) le-żący w przecięciu zbiorów {Q ≥ 0} i {Qα≤ α2− 1} musi leżeć w zbio-rze N .

(b) Przypadek α < 1 (zob. Wniosek 2.6). Dowolny punkt (x, y) leżący w przecięciu zbiorów {Q ≤ c} i {Qα≤ c − 1 − α2
} musi leżeć w zbiorze N .

Rysunek 2.4. Interpretacja geometryczna Wniosku 2.5 i Wniosku 2.6.

Dowód Dowód znajduje się w Dodatku A. _

Wniosek 2.5 Niech N będzie dane jako (2.2) i niech α > 1. Wówczas jeżeli Q (x, y) ≥

0 oraz Q_α(x, y) ≤ α2− 1, to (x, y) ∈ N .

Dowód Dowód znajduje się w Dodatku A. _

Wniosek 2.6 Niech N będzie dane jako (2.2) i niech α < 1, c ∈ (0, 1 − α2]. Wówczas

jeżeli Q (x, y) ≤ c oraz Q_α(x, y) ≥ c − (1 − α2), to (x, y) ∈ N .

Dowód Dowód znajduje się w Dodatku A. _

2.2. Dyski horyzontalne

Wprowadzimy teraz definicję dysków horyzontalnych - obiektów, które będą przez nas wykorzystywane do dowodów istnienia rozmaitości silnie stabilnych i silnie nie-stabilnych punktów stałych. Pojęcie dysku horyzontalnego zostało wprowadzone w pracy P. Zgliczyńskiego (zob. [46]), a wyniki zawarte w tym rozdziale są w znacznej mierze nią inspirowane.

Ustalmy α > 0. Niech forma kwadratowa Q_α będzie dana równością (2.1) oraz niech zbiór N będzie postaci (2.2).

Definicja 2.7 Niech h : B_u → Ru+s będzie odwzorowaniem ciągłym. Powiemy, że h jest dyskiem Q_α-horyzontalnym jeżeli spełnione są warunki

Q_α(h(x₁) − h(x₂)) > 0 dla dowolnych x₁ 6= x₂, (2.6)

2.2. Dyski horyzontalne 27

Rysunek 2.5. Na czerwono został zaznaczony dysk Q_α-horyzontalny h. Dla do-wolnego punktu x₁ ∈ B_u dysk h leży wewnątrz stożka dodatniego indukowanego przez Q_α i zaczepionego w h(x₁).

Definicja 2.8 Powiemy, że dysk Q_α-horyzontalny h jest w N jeżeli h(B_u) ⊂ N.

Definicja 2.9 Niech c ≥ 0. Powiemy, że dysk Q_α-horyzontalny h ma promień c jeżeli

Q_α(h (∂B_u)) = c. (2.8)

Rysunek 2.6. Na czerwono został zaznaczony dysk Q_α-horyzontalny h o promieniu

c. Obraz ∂B_u jest zawarty w zbiorze {Q_α= c}.

Wykażemy teraz kilka przydatnych własności dysków horyzontalnych, które wy-nikają z definicji.

Lemat 2.10 Jeżeli h jest dyskiem Q_α-horyzontalnym, to odwzorowanie π_x ◦ h jest

bijekcją na swój obraz.

Dowód Weźmy dowolne x₁, x₂ ∈ B_u i przypuśćmy, że x₁ 6= x₂. Wówczas na mocy (2.6) mamy

0 < Q_α(h(x₁) − h(x₂)) ≤ α²||π_x(h(x₁)) − π_x(h(x₂))||²,

skąd π_x(h(x₁)) 6= π_x(h(x₂)). Oznacza to, że π_x ◦ h jest injektywne, a więc w

konse-kwencji jest bijektywne na swój obraz. _

Lemat 2.11 Jeżeli h jest dyskiem Q_α-horyzontalnym o promieniu c, to dla dowolnego e x ∈ B_u^ √ c α 

2.2. Dyski horyzontalne 28

Dowód Z definicji h jest odwzorowaniem ciągłym. Na mocy Lematu 2.10

odwzoro-wanie π_xh : B_u → π_xh(B_u) jest bijektywne. Zbiór B_u jest zwarty, a więc (π_xh)⁻¹ jest również odwzorowaniem ciągłym. W takim razie zbiór π_xh^B_u^jest homeomorficzny z B_u. Oznaczmy A = πxh^Bu  , B = Bu √ c α ! .

Dysk h ma promień c, a więc dla dowolnego x ∈ ∂B_u

c = Q_α(h(x)) = α²kπ_xh(x)k²− kπ_yh(x)k² ≤ α2kπ_xh(x)k²,

skąd kπ_xh(x)k ≥

√

c

α . Oznacza to, że ∂A ∩ Int(B) = ∅. Ponieważ π_xh(0) = 0 ∈ Int(B),

więc 0 ∈ A ∩ Int(B) i na mocy Lematu 1.22 mamy

B ⊂ A.

Pokazaliśmy więc, że dla dowolnego x ∈ B_e u √

c α



, istnieje x ∈ Bu, dla którego

π_xh(x) =x. Punkt taki jest wyznaczony jednoznacznie na mocy Lematu 2.10._{e }

Rysunek 2.7. Na czerwono został zaznaczony dysk Q_α-horyzontalny h o promieniu

c. Ciągła zielona linia to kula Bu √

c α



. Dla dowolnegox z tej kuli, w obrazie dysku_e h istnieje jednoznacznie wyznaczony punkt, którego projekcja na współrzędną x

pokrywa się zx (zob. Lemat 2.11)._e

Zanim przejdziemy do podania kolejnych lematów poczynimy kilka technicznych przygotowań.

Na potrzeby dalszych rozważań będziemy chcieli wprowadzić zamianę współrzęd-nych na R^u× Rs, będącą przekształceniem identycznościowym na drugiej współrzęd-nej, która dla zadanych c i α, „wyprostuje” poziomicę {Q_α = c} (zob. Rysunek 2.8). Tak więc dla ustalonego c > 0 i α > 0, zdefiniujmy funkcję η : Ru× Rs 3 (x, y) → (u, s) ∈ R^u× Rs jako η(x, y) =         x√ ^α c+kyk², y  , gdy Q_α(x, y) ≤ c,  x  1 kxk  1 −_α^1qc + kyk²  + 1  , y  , gdy Q_α(x, y) > c, (2.9)

2.2. Dyski horyzontalne 29 Zauważmy, że w definicji η występuję wyrażenie _kxk¹ . Funkcja η jest jednak dobrze określona, gdyż dla dowolnego (x, y) ∈ {0} × R^s mamy Q_α(x, y) ≤ 0 < c, skąd

η(x, y) = (0, y).

Zwracamy uwagę, że funkcja η zależy od parametrów c i α (które najczęściej będa znane z kontekstu). Jeżeli będziemy chcieli podkreślić tę zależność, stosować będziemy notację η_α,c.

Rysunek 2.8. Interpretacja geometryczna funkcji η. Obrazem zbioru {Q ≤ c} jest zbiór B_u× Rs. Ponadto dla dowolnych punktów q₁, q2 spełniających π_uq1 = π_uq2, przeciwobraz q₂ leży w stożku ujemnym indukowanym przez Q_α o wierzchołku w

η⁻¹(q₁) (zob. Lemat 2.12).

Lemat 2.12 Funkcja η zadana przez (2.9) jest homeomorfizmem spełniającym

{η(x, y) : Q_α(x, y) ≤ c} = {(u, s) : kuk ≤ 1}. (2.10)

Ponadto dla dowolnych s₁, s₂ ∈ Rs

oraz u ∈ R^u zachodzi nierówność

Q_α^η⁻¹(u, s₁) − η⁻¹(u, s₂)^≤ 0. (2.11)

Dowód Dowód znajduje się w Dodatku A. _

Wykorzystując funkcję η można wykazać, że obraz dysku Q_α-horyzontalnego o promieniu c leży w zbiorze {Qα ≤ c}. Własność tę formułujemy w poniższym Lemacie. Jego dowód jest techniczny - umieszczamy go więc w Dodatku A. Zwracamy jednak uwagę, że ideę lematu dobrze obrazuje Rysunek 2.6.

Lemat 2.13 Jeżeli h jest dyskiem Q_α-horyzontalnym o promieniu c, to h(B_u) ⊂ {(x, y) : Q_α(x, y) ≤ c}.

Dowód Dowód znajduje się w Dodatku A. _

Podamy teraz techniczny wynik, który zostanie przez nas wykorzystany w dowo-dach lematów występujących w dalszej części tego rozdziału.

Lemat 2.14 Niech dla pewnego α > 0 odwzorowanie h : B_u → Ru × Rs spełnia warunek (2.6). Załóżmy, że istnieją r_s, c > 0 takie, że

2.2. Dyski horyzontalne 30

Rysunek 2.9. Interpretacja geometryczna Lematu 2.14. Dla dowolnego punktu

u0 ∈ B_u, punkt h(u₀) we współrzędnych (u, s) (zadanych przez hoemomorfizm η) ma postać (u₀, s₀). Odwzorowanie h w oryginalnych współrzędnych jest dyskiem

Qα-horyzontalnym o promieniu c.

oraz, że dla dowolnego u ∈ B_u spełniona jest równość

πuη(h(u)) = u, (2.13)

gdzie η = η_α,cjest zdefiniowane przez (2.9). Wówczas h jest dyskiem Q_α-horyzontalnym o promieniu c oraz spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = ^(c+r2s)^√1+α2

α(√

c+r2

s−rs).

Dowód Dowód znajduje się w Dodatku A. _

Przechodzimy teraz do omówienia własności składania odwzorowań będących dys-kami horyzontalnymi z funkcjami spełniającymi warunki stożka. Okazuje się, że pod pewnymi warunkami obraz dysku horyzontalnego przez taką funkcję również jest dys-kiem horyzontalnym. Obserwację tę wypowiemy w formie poniższego lematu. Lemat ten okaże się kluczowym rezultatem, pozwalającym dowieść twierdzenia o istnieniu rozmaitości silnie stabilnych i niestablinych.

Rysunek 2.10. Dysk Q_α-horyzontalnybh o promieniu c = mc_hotrzymany jako część wspólna obrazu przez odwzorowanie f dysku Q_α-horyzontalnego h o promieniu c_h, oraz zbioru {Q_α ≤ c} (zob. Lemat 2.15).

Lemat 2.15 Niech N = B_u × B_s oraz niech α > 0. Niech h : B_u → Ru × Rs będzie dyskiem Q_α-horyzontalnym w N o promieniu c_h > 0. Niech dane będzie ciągłe

2.2. Dyski horyzontalne 31

odwzorowanie f : Dom(f ) → R^u × Rs

, gdzie N ⊂ Dom(f ) ⊂ R^u× Rs. Niech m > 0. Jeżeli f spełnia warunki stożka dla (Q_α, m) w N oraz f (0) = 0, to dla dowolnego c ∈ (0, mc_h] istnieje dysk Q_α-horyzontalny h : Bb _u → Ru+s o promieniu c, spełniający

b

h(B_u) = f ◦ h(B_u) ∩ {Q_α ≤ c}, (2.14)

oraz

π_uη(bh(u)) = u, (2.15)

gdzie η jest zdefiniowane przez (2.9).

Dowód Niech hλ : B_u → Ru× Rs będzie dane jako

h_λ(x) := (π_xh(x), λπ_yh(x)).

Zdefiniujmy odwzorowanie

H : [0, 1] × B_u → [0, 1] × Ru, H(λ, x) = (λ, π_uη (f (h_λ(x)))) .

Lemat 2.12 implikuje, że H jest ciągłe. Pokażemy, że H jest bijektywne na swój obraz. Zauważmy, że dla dowolnego λ ∈ [0, 1] odwzorowanie h_λjest dyskiem Q_α-horyzontalnym w N . Mamy bowiem dla dowolnych x₁ 6= x₂,

Q_α(h_λ(x₁) − h_λ(x₂)) = Q_α(π_x(h(x₁) − h(x₂)), λπ_y(h(x₁) − h(x₂))) ≥ Qα(h(x₁) − h(x₂)) > 0,

Ponadto

π_xh_λ(0) = (π_xh(0), λπ_yh(0)) = 0, h_λ(B_u) ⊂ π_xh(B_u) × λπ_yh(B_u) ⊂ N.

Odwzorowanie h_λ spełnia więc założenia Definicji 2.7 oraz 2.8.

Niech x₁, x₂ ∈ B_u i x₁ 6= x₂. Z tego, że h_λ jest dyskiem horyzontalnym w N i f spełnia w N warunki stożka dostajemy

Q_α(f (h_λ(x₁)) − f (h_λ(x₂))) > mQ_α(h_λ(x₁) − h_λ(x₂)) > 0,

a więc na mocy własności (2.11) z Lematu 2.12 nie może zachodzić π_uη(f (h_λ(x₁))) =

π_uη(f (h_λ(x₂))). Stąd H jest injekcją, a więc jest bijekcją na swój obraz. Z definicji

H jest odwzorowaniem ciągłym. Ponieważ zbiór [0, 1] × B_u jest zwarty, więc H⁻¹ jest również ciągłe. Stąd H([0, 1] × B_u) jest homeomorficzne z [0, 1] × B_u, a więc jest homeomorficzne z B_u+1.

Oznaczmy

A = H([0, 1] × B_u), B = [0, 1] × B_u.

Naszym celem będzie wykazanie, przy użyciu Lematu 1.23, że B ⊂ A. Ponieważ h_λ=0(0) = 0, f (0) = 0 i η(0) = 0,

2.2. Dyski horyzontalne 32 W takim razie dla dostatecznie małego λ₀ ∈ (0, 1) musi zachodzić H(λ₀, 0) ∈ (0, 1) × B_u. Wówczas H(λ₀, 0) ∈ A ∩ Int(B).

Pokażemy teraz, że ∂A ∩ Int(B) = ∅. Zauważmy, że

∂A = H(∂([0, 1] × B_u)) = H([0, 1] × ∂B_u) ∪ H({0} × B_u) ∪ H({1} × B_u). (2.16) Ponieważ π_λ(H({0} × B_u) ∪ H({1} × B_u)) = {0, 1}, więc H({0} × B_u) ∪ H({1} × B_u)) ∩ Int(B) = ∅. (2.17)

Weźmy teraz dowolne x ∈ ∂B_u. Wówczas

Q_α(h_λ(x)) ≥ Q_α(h(x)) = c_h.

Z uwagi na to, że f spełnia warunki stożka dla (Q_α, m) w N oraz f (0) = 0, mamy

więc

Q_α(f (h_λ(x))) = Q_α(f (h_λ(x)) − f (0)) > mQ_α(h_λ(x)) ≥ mc_h ≥ c.

Stąd, na mocy równości (2.10) z Lematu 2.12, π_uη (f (h_λ(∂B_u))) ∩ B_u = ∅. Ponieważ równość ta zachodzi dla wszystkich λ ∈ [0, 1] implikuje to, że

H ([0, 1] × ∂B_u) ∩ Int(B) = ∅. (2.18)

Na mocy (2.16-2.18) dostajemy równość ∂A ∩ Int(B) = ∅. Korzystając z Lematu 1.23 mamy więc B ⊂ A, skąd

[0, 1] × B_u ⊂ H([0, 1] × B_u).

W szczególności implikuje to, że {1} × Bu ⊂ H({1} × Bu), skąd

B_u ⊂ π_uη^f (h(B_u))^. (2.19)

Z (2.19) dostajemy, że dla dowolnego u ∈ B_u istnieje x = x(u) ∈ B_u takie, że

u = π_uη (f (h(x(u)))) . (2.20)

Zauważmy przy tym, że takie x(u) jest jedyne, gdyż z naszych wcześniejszych rozwa-żań dotyczących injektywności odwzorowania H wynika, że π_u◦ η ◦ f ◦ h_λ jest injekcją dla każdego ustalonego λ ∈ [0, 1], a więc w szczególności dla λ = 1. Zdefiniujmy

b

h(u) = f (h(x(u))). (2.21)

Zauważmy, że konsekwencją (2.20) i (2.21) jest równość (2.15) z tezy dowodzonego lematu.