Eksperymenty numeryczne i wyniki

przy czym w równaniu (21) uwzględniono załoŜony jednorodny warunek Neu-manna. Ponowne zastosowanie dopełnienia Schura dla BCM z równania (21)

i pozwala na uzyskanie równania

c

6. Eksperymenty numeryczne i wyniki

W pracy rozwaŜania ograniczono do konfiguracji przewodników, które mogą być rozpatrywane jako struktury 2D. Uproszczenie to jest moŜliwe, gdy załoŜy się, Ŝe propagowane sygnały mają postać fali quasi-TEM rozchodzącej się wzdłuŜ nieskończenie długich ścieŜek. Nieograniczona długość ścieŜek im-plikuje fakt, Ŝe pojemności pasoŜytnicze będą określane na jednostkę ich długo-ści. Modelowane struktury traktuje się jako niejednorodne strefowo. Jednak zakłada się liniowość, jednorodność i izotropowość właściwości materiałów ją tworzących. Stosunek szerokości ścieŜek przewodzących do ich grubości jest na tyle duŜy (10-200), Ŝe uprawnia to do wprowadzenia dodatkowego uproszcze-nia. Zakłada się mianowicie ich zerową grubość.

Wpływ parametru λ na wynik obliczeń został przedstawiony na przykładzie dwóch układów testowych posiadających rozwiązanie analityczne. Są to:

(A) uproszczony model kondensatora płasko-równoległego o szerokości w i odległości między okładzinami h równych 0.1 mm (Rys. 4a). Zakładając, Ŝe dielektryk wypełniający kondensator to powietrze, pojemność kondensatora wyniesie Cex = 8.8542 pF/m [5].

(B) ścieŜka o szerokości w umieszczona na podłoŜu o wysokości h i o stałej dielektrycznej εr. Na spodzie podłoŜa znajduje się rozciągająca się do nieskoń-czoności doskonale przewodząca płaszczyzna (Rys. 4b).

Zastosowanie bezpośredniej metody Trefftza-Kupradze... 63

(a) (b)

Rys. 4. Geometria zagadnień testowych.

Fig. 4. Geometry of two test problems.

Przyjmując w = h = 0.1 mm oraz εr = 9.8, wartość pojemności wyraŜona w fara-dach na jednostkę długości wynosi Cex = 175.0904 pF/m [21].

Na Rys. 5 przedstawiono, w zaleŜności od parametru λ, wykres błędu bez-względnego oszacowanej wartości pojemności C, zdefiniowany jako:

ex

ex )/

(

= C C C

C − (25)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Rys. 5. Wpływ odległości odsunięcia węzłów λ na zbieŜność rozwiązania zagadnienia kondensato-ra (a),(c),(e) okondensato-raz linii mikropaskowej (b),(d),(f) elementów stałych (a),(b), liniowych (c), (d), kwadratowych (e),(f)

Fig. 5. Impact of λ collocation-point-distance from real boundary on solution convergence for parallel-capacitor problem (a),(c),(e) and microstripline problem (b),(d),(f) for constant (a),(b), linear (c), (d) and quadratic (e), (f) boundary elements

Rysunki po lewej stronie ((a), (c), (e)) odnoszą się do przykładu (A), z kolei prawa kolumna (rysunki (b), (d), (f)) dotyczy zagadnienia (B). Kolejne wiersze odpowiadają stopniowi interpolacji elementów brzegowych uŜytych do rozwią-zania, i tak w wierszu pierwszym (rysunki (a), (b)) przedstawiono wyniki dla elementów stałych, drugim ((c) i (d)) -- dla elementów liniowych, trzecim ((e) i (f)) -- dla elementów kwadratowych. KaŜdy rysunek zawiera 4 wykresy, odpo-wiadające stopniowi podziału obszaru, a liczby w legendzie odpowiadają liczbie węzłów interpolacji uŜytych przy dyskretyzacji obszaru zagadnienia.

Umieszczenie punktów kolokacji zbyt blisko brzegu (λ < 0.01) powoduje znaczący wzrost błędu. Z drugiej strony, nadmierne oddalenie (λ > 2.5) pogarsza uwarunkowanie macierzy pojemności. Biorąc powyŜsze pod uwagę, moŜna uznać, Ŝe przedział <1,2> zapewnia kompromis pomiędzy dokładnością rozwią-zania, a uwarunkowaniem macierzy głównej.

Dla ustalonego λ = 1.5 przeprowadzono szereg eksperymentów dla róŜnych konfiguracji ścieŜek. Wyniki obliczeń dla przykładowego układu testowego o bardziej skomplikowanej geometrii (Rys. 6), są umieszczone w Tabeli 1.

W przykładzie tym rezultat obliczeń MTK odniesiono do wyników uzyskanych przy pomocy MEB oraz wyniku otrzymanego przy pomocy programu Linpar (metoda momentów) [10].

Zastosowanie bezpośredniej metody Trefftza-Kupradze... 65

Rys. 6. Problem testowy o złoŜonej geometrii.

Fig. 6. Test problem with complicated geometry.

Tabela 1. Rozwiązania uzyskane dla zagadnienia przedstawionego na Rys. 6.

Table 1. Solution of the problem shown in Fig. 6.

MTK MEB Linpar (MoM)

7. Podsumowanie

W artykule przedstawiono zastosowanie MTK w algorytmie hierarchiczne-go obliczania macierzy pojemności resztkowych układu ścieŜek planarnych, a uzyskane rezultaty pozwalają stwierdzić przydatność zaprezentowanego algo-rytmu w omawianym zagadnieniu.

Z analizy zaprezentowanych przykładów wynikają następujące wnioski:

• W bezpośredniej MTK odsunięcie punktów kolokacji od brzegu rzeczywi-stego ma znaczenie; zbyt małe powoduje pogorszenie rozwiązania, nato-miast zbyt duŜe powoduje pogorszenie uwarunkowanie macierzy głównej.

• Nie ustalono ścisłej wartości odsunięcia, ale na podstawie eksperymentów numerycznych, odniesionych do rozwiązań analitycznych, określono prze-dział, dla którego wyniki obliczeń są najlepsze jakościowo, a jednocześnie zapewniający kompromis między dokładnością rozwiązania, a uwarunko-waniem macierzy głównej.

• W algorytmie hierarchicznego obliczania macierzy pojemności, zarówno w przypadku zastosowania MEB, jak i MTK jako silnika rozwiązującego za-gadnienie brzegowe obie metody, zarówno MEB jak i MTK, zastosowane jako silnik rozwiązujący zagadnienie brzegowe w algorytmie hierarchicz-nego obliczania macierzy pojemności mają porównywalny koszt przygoto-wania danych, koszt obliczeń oraz wyniki ilościowe, a wiec ich efektyw-ność jest porównywalna.

PoniewaŜ MTK nie były do tej pory stosowane w przedstawianym zagadnieniu, metoda ta poszerza liczbę metod moŜliwych do aplikacji w takich zagadnie-niach.

W dalszej kolejności planuje się aplikację algorytmu dla bardziej złoŜonych geometrycznie struktur dwu- i trójwymiarowych.

Program MATLAB wykorzystany do przeprowadzenia badań został zakupiony w wyniku realizacji Projektu nr UDA-RPPK.01.03.00-18-003/10-00 „Budowa, rozbudowa i modernizacja bazy naukowo-badawczej Politech-niki Rzeszowskiej” współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Regionalnego Programu Operacyjnego Województwa Podkarpackiego na lata 2007-2013, Priorytet I. Konkurencyjna i Innowacyjna Gospodarka, Działanie 1.3 Regionalny system innowacji.

Literatura

[1] Antes, H. On a regular boundary integral equation and a modified Trefftz method in Reissner's plate theory. Engineering Analysis, 1, 3, 1984, 149-153.

[2] Bachtold, M., Korvink, J. G., and Baltes, H. Automatic adaptive meshing for effi-cient electrostatic boundary element simulations. In Simulation of Semiconductor Processes and Devices, 1996. SISPAD 96. 1996 International Conference on ( 1996), IEEE, 127-128.

[3] Bachtold, M., Spasojevic, M., Lage, C., and Ljung, P. B. A system for full-chip and critical net parasitic extraction for ULSI interconnects using a fast 3-D field solver.

Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, IEEE Transactions on, 19, 3, 2000, 325-338.

[4] Benedek, P. and Silvester, P. Capacitance of Parallel Rectangular Plates Separated by a Dielectric Sheet. Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on, 20, 8, 1972, 504-510.

[5] Borkowski, M. Ocena efektywności metod brzegowych w analizie parametrów resztkowych struktur planarnych. Rozprawa doktorska. Politechnika Rzeszowska, Rzeszów 2013.

[6] Brański A., Borkowski, M., and Borkowska, D. A comparison of boundary methods based on inverse variational formulation. Engineering Analysis with Boundary Elements, 36, 4, 2012, 505-510.

[7] Brebbia, C. A. and Dominguez, J. Boundary element methods for potential prob-lems. Applied Mathematical Modelling, 1, 7, 1977, 372-378.

[8] Cheng, A. H. D. and Cheng, D. T. Heritage and early history of the boundary ele-ment method. Engineering Analysis with Boundary Eleele-ments, 29, 3, 2005, 268-302.

[9] Dengi, E. Aykut and Rohrer, Ronald A. Boundary element method macromodels for 2-D hierachical capacitance extraction. In Proceedings of the 35th annual De-sign Automation Conference (New York, NY, USA 1998), ACM, 218-223.

[10] Djordevic, Antonije, Djordjevic, Antonije R., and Sarkar, Tapan K. Linpar for Windows: Matrix Parameters for Multiconductor Transmission Lines, Twodiskettes and User's Manual (Microwave Software Library). Artech House Publishers.

Zastosowanie bezpośredniej metody Trefftza-Kupradze... 67 [11] Fukuda, Sanae, Shigyo, Naoyuki, Kato, Kato, and Nakamura, Shin. A ULSI 2-D capacitance simulator for complex structures based on actual processes. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 9, 1, 1990, 39-47.

[12] Gu, Jiangchun, Wang, Zeyi, and Hong, Xianlong. Hierarchical computation of 3D interconnect capacitance using direct boundary element method. In IEEE Asia South Pacific Design Automation Conference (2000), 447-452.

[13] Harrington, R. F., Pontoppidan, K., Abrahamsen, P., and Albertsen, N. C. Computa-tion of Laplacian potentials by an equivalent-source method. Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, 116, 10 (1969), 1715-1720.

[14] Heise, U. Numerical properties of integral equations in which the given boundary values and the sought solutions are defined on different curves. Computers & Struc-tures, 8, 2, 1978, 199-205.

[15] Kao, W. H., Lo, Chi-Yuan, Basel, M., and Singh, R. Parasitic extraction: current state of the art and future trends. Proceedings of the IEEE, 89, 5, 2001, 729-739.

[16]

[17]

Kita, E. and Kamiya, N. Trefftz method: an overview. Advances in Engineering Software, 24, 1-3 (1995), 3-12.

Kupradze, V.D., Aleksidze, M. A. The method of functional equations for the ap-proximate solution of certain boundary value problems (in Russian). USSR Compu-tational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 4, No. 4. (1964), pp. 683-715.

[18] Li, Zi-Cai, Lu, Tzon-Tzer, Huang, Hung-Tsai, and Cheng, Alexander H. D. Trefftz, collocation, and other boundary methods -- A comparison. Numer. Methods Partial Differential Eq., 23, 1 (2007), 93-144.

[19] Patel, P. D. Calculation of Capacitance Coefficients for a System of Irregular Finite Conductors on a Dielectric Sheet. Microwave Theory and Techniques, IEEE Tran-sactions on, 19, 11, (1971), 862-869.

[20] Patterson, C. and Sheikh, M. A. A regular boundary element method for fluid flow.

International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2, 3 (1982), 239-251.

[21] Paul, Clayton R. Analysis of Multiconductor Transmission Lines. Wiley-IEEE Press, 2007.

[22] Yu, Wenjian and Wang, Zeyi. An efficient quasi-multiple medium algorithm for the capacitance extraction of actual 3-D VLSI interconnects (2001), 366-371.

[23] Yu, W. and Wang, Z. Capacitance extraction. In Chang, Kai, ed., Encyclopedia of Rf and Microwave Engineering. 2005.

APPLICATION OF DIRECT TREFFTZ-KUPRADZE METHOD IN