Elektrownia słoneczna

D = r = (r (0) , r (1) , . . .) : 1≤ r (i) ≤ m , pr(i−1) r(i)> 0 , i = 1, 2, . . . (3.5) wówczas zbiór równa´n (3.4) stanie si ˛e dyskretn ˛a inkluzj ˛a (2.6).

3.3.2 Elektrownia słoneczna

W tym podrozdziale rozpatrzymy kolejn ˛a sytuacj ˛e, gdzie hybrydowy model ze skokowo zmieniaj ˛acymi si ˛e parametrami wyst ˛epuje. Zobaczymy na przykładzie elektrowni słonecznej jak losowe ´srodowisko man-ifestuje swoj ˛a obecno´s´c poprzez nagłe zmiany parametrów modelu prowadz ˛ac do stochastycznych wza-jemnych relacji pomi ˛edzy ci ˛agłymi i dyskretnymi zmiennymi.

Planeta, na której ˙zyjemy oraz inne planety i ciała niebieskie kr ˛a˙z ˛a wokół Sło´nca b ˛ed ˛acego centraln ˛a gwiazd ˛a Układu Słonecznego. Jest ono najja´sniejszym obiektem na niebie i stanowi główne ´zródło energii docieraj ˛acej do Ziemi. Dzisiejsza technologia, oprócz wykorzystania energii wiatrowej czy paliw kopalnych jakimi s ˛a ropa oraz w˛egiel pozwala wykorzystywa´c energi˛e promieniowania słonecznego do produkcji energii elektrycznej. Mo˙zna to uczyni´c na dwa główne sposoby poprzez:

• konwersj˛e fotowoltaniczn ˛a, czyli zamienia´c energi˛e promieniowania słonecznego bezpo´srednio w en-ergi ˛e elektryczn ˛a w ogniwach fotowoltanicznych zbudowanych najcz ˛e´sciej z germanu (Ge), krzemu (Si) lub selenu (Se). Poniewa˙z wielko´s´c uzyskiwanego w ten sposób napi˛ecia z jednego tylko ogniwa wynosi przewa˙znie 0, 5 [V ] to ł ˛aczy si˛e je szeregowo w celu podwy˙zszenia napi˛ecia i równolegle w celu zwi˛ekszenia mocy. Efektem jest powstanie baterii słonecznej. Jedn ˛a z najwi˛ekszych na ´swiecie tego typu instalacji jest plantacja baterii fotowoltanicznych zlokalizowana w miejscowo´sci Pocking w Bawarii (rysunek 3.8) kosztem 40 mln euro. Zajmuje powierzchni ˛e 32 [ha] i osi ˛aga moc 10000 [kW ] co pozwala na zaopatrzenie w energi ˛e 3300 gospodarstw domowych. Mimo, ˙ze wspomniane og-niwa nie mog ˛a konkurowa´c od strony ekonomicznej oraz pod wzgl ˛edem wydajno´sci z tradycyjnymi formami wytwarzania energii elektrycznej to jednak znalazły szereg innych zastosowa´n, np. s ˛a powszechnie wykorzystywane do zaopatrywania w pr ˛ad stacji kosmicznych i sztucznych satelitów.

Rysunek 3.8: Najwi ˛eksza na ´swiecie podł ˛aczona do sieci elektrownia z ogniwami fotowoltanicznymi b ˛ed ˛aca jednocze´snie miejscem wypasu owiec w niemieckiej miejscowo´sci Pocking w Bawarii. ´Zródło: http://www.martin-bucher.de

• konwersj˛e fototermiczn ˛a, która pozwala zamienia´c energi˛e promieniowania słonecznego w ciepło, które z kolei jest wykorzystywane do wytworzenia pary potrzebnej do nap ˛edzania turbiny wprawia-j ˛acej w ruch pr ˛adnice elektryczne. Słoneczne elektrownie cieplne (thermal solar systems) s ˛a uwa˙zane za jedne z najbardziej perspektywicznych i alternatywnych dla paliw kopalnych ´zródeł energii. Na-jcz ˛e´sciej spotykanymi koncepcjami s ˛a układy:

— rynnowe (paraboliczne)-jak sama nazwa wskazuje s ˛a to długie rynny powlekane wewn ˛atrz sre-brem b ˛ad´z polerowanym aluminium, wzdłu˙z których biegnie pró˙zniowa szklana rura ogranicza-j ˛aca straty ciepła. Wewn ˛atrz nieogranicza-j znaogranicza-jduogranicza-je si ˛e rurka wypełniona przewa˙znie oleogranicza-jem. To na nieogranicza-j wła´snie skupiaj ˛a si ˛e odbite promienie słoneczne podgrzewaj ˛ac w ten sposób olej do temper-atury nawet 400o[C] u˙zywany nast ˛epnie do produkcji pary wodnej. Najcz ˛e´sciej rynny ustawia si ˛e wzdłu˙z osi północ-południe zapewniaj ˛ac w ten sposób mo˙zliwo´s´c zmiany k ˛ata nachylenia wzdłu˙z osi wschód-zachód by pod ˛a˙za´c za ruchem sło´nca. Opisana technologia wydaje si˛e by´c najbardziej perspektywiczn ˛a ze wzgl ˛edu na najni˙zsze koszty i jednocze´snie najwy˙zsze moce. przykładem takiej farmy słonecznej jest Nevada Solar One w Stanach Zjednoczonych (rysunek 3.9) maj ˛aca moc nominaln ˛a 64 [MW ] i produkuj ˛aca rocznie energi ˛e elektryczn ˛a na poziomie 134 [GW h] zaspokajaj ˛ac potrzeby energetyczne ponad 14000 gospodarstw. Lokalizacja stacji jest zwi ˛azana z blisko´sci ˛a sieci energetycznej, ´srednimi warunkami wiatru, dost ˛epem do wody, odpowiednimi warunkami morfologicznymi (płasko´s´c terenu) oraz przede wszystkim z doskon-ałym napromieniowaniem słonecznym przez 320 dni w ci ˛agu roku. Nevada Solar One składa si ˛e z 760 kolektorów o długo´sci 100 [m] ka˙zdy oraz powierzchni ˛a równ ˛a 470 m2 .

Rysunek 3.9: Elektrownia Nevada Solar One w pobli˙zu Las Vegas jako przykład układu parabolicznego. — luster z silnikiem cieplnym (silnik Stirlinga)-model cichego silnika z 1816 roku, bez wydechu i rozrz ˛adu, który zamienia energi ˛e ciepln ˛a na mechaniczn ˛a, ale bez procesu wewn ˛etrznego spalania jak w tradycyjnym silniku spalinowym. Do rozpocz˛ecia pracy nale˙zy tylko dostar-czy´c do niego ciepło z zewn ˛atrz a takim ´zródłem s ˛a skupione przez układ luster promienie słoneczne. Silnik jest nap ˛edzany generatorem elektrycznym tworz ˛ac tym samym elektrowni ˛e co przedstawia rysunek 3.10.

— luster z centraln ˛a wie˙z ˛a. Ruchome lustra, zwane dalej heliostatami s ˛a tak zamontowane, ˙ze ich kontrolowany ruch pozwala odbija´c promienie słoneczne stale w jeden punkt—umieszczony na szczycie wie˙zy piec (3.11).Ten z kolei jest wypełniony substancj ˛a posiadaj ˛ac ˛a dobre parametry gromadzenia ciepła, np. ciekłym sodem. Dzi ˛eki temu elektrownia mo˙ze pracowa´c jeszcze przez kilka godzin po zachodzie sło´nca. Dalszy proces technologiczny jest taki sam jak w konwencjon-alnej elektrowni, gdzie woda jest przemieniana w tzw. przegrzan ˛a par˛e (ang. superheated steam), która z kolei nap ˛edza par˛e urz ˛adze´n jakimi s ˛a turbina i generator. Instalacja taka pozwala uzyskiwa´c bardzo wysokie temperatury rz ˛edu 3000o[C]. przykłady takich elektrowni znajduj ˛a si ˛e w Daggett w Kalifornii z 1926 (3.12a) o mocy 10 [MW ]) oraz w Hiszpanii (okolice Sevilli, PS10 maj ˛aca 624 lustra, moc 11 [MW ] oraz PS20 o 1255 lustrach, moc 20 [MW ]) (rysunek 3.12b).

To wła´snie elektrownia słoneczna z centraln ˛a wie˙z ˛a posłu˙zy nam za przykład układu ze skokowo zmieniaj ˛acymi si ˛e parametrami.

Jednym z głównych wyzwa´n dla projektantów takiej elektrowni było osi ˛agni˛ecie dokładnej regulacji temperatury pary w piecu, która jest głównym parametrem wynikowym, a jej warto´s´c powinna by´c utrzymywana blisko warto´sci nominalnej. Dodatkowym utrudnieniem była wielko´s´c przepływu wody za-silaj ˛acej (ang. feedwater), która musiała zapobiec zbyt wysokiej temperaturze metalu by nie dochodziło

Rysunek 3.10: Przykład układu luster z silnikiem cieplnym (silnik Stirlinga)

Rysunek 3.11: Rysunek pogl ˛adowy przedstawiaj ˛acy układ luster z centraln ˛a wie˙z ˛a zawieraj ˛ac ˛a piec.

do nadmiernego jego odkształcania. Pewne modele, które mo˙zna wykorzysta´c do sterowania procesem s ˛a powi ˛azane z nieliniowymi relacjami termodynamicznymi poprzez zmienne fizykalne takie jak temperatura metalu, ci´snienie odpływu czy te˙z entalpia wody na wej´sciu do pieca. Współczynnikom takiego modelu dla danego poziomu nasłonecznienia mo˙zemy przypisa´c warto´sci, które s ˛a typowymi współczynnikami transferu ciepła, masy metalu, powierzchni obszaru oraz stanowi ˛a ci ˛agł ˛a cz ˛e´s´c modelu hybrydowego. Nale˙zy jednak pami˛eta´c o bardzo istotnym zjawisku jakim jest ruch chmur nad heliostatami. Nawet je˙zeli obiekt jest zbudowany na bardzo słonecznym obszarze jak np. w Kalifornii to czasami wyst˛epuj ˛a dni z cz˛e´sciowym zachmurzeniem w czasie których chmury blokuj ˛a promieniowanie słoneczne. Tak wła´snie pojawiła si ˛e natura stochastyczna problemu sterowania. Je˙zeli mamy bezchmurne niebo, piec otrzymuje wi ˛ecej energii słonecznej i przepływ wody powinnien by´c wi ˛ekszy ni˙z w warunkach pochmurnych. Innymi słowy, dynamika procesu jest ró˙zna dla ka˙zdych warunków. Nie jest trudnym oceni´c bie˙z ˛ace warunki pogodowe, ale ich prognozowanie jest na tyle zło˙zonym problemem, ˙ze nale˙zy poszukiwa´c jego rozwi ˛azania w terminach prawdopodobie´nstwa. Zaobserwowano, ˙ze chwilowe zmiany nasłonecznienia znacz ˛aco wpły-waj ˛a na nieliniowe równania termodynamiki. Jest to spowodowane faktem, ˙ze np. temperatura metalu jest wra˙zliwa na wielko´s´c przepływu wody. Wspomniane nagłe zmiany w nasłonecznieniu spowodowane ruchem chmur nad heliostatami s ˛a w gruncie rzeczy nieprzewidywalne. Chc ˛ac zrobi´c model niezale˙zny od mo˙zliwych zewn˛etrznych ´zródeł informacji, naturalnym wydaje si˛e wprowadzenie dyskretnej

zmien-Rysunek 3.12: a) Elektrownia słoneczna w Daggett, w Kalifornii. b) Elektrownie słoneczne PS10 i PS20 w Seville w Hiszpanii.

nej przeł ˛aczaj ˛acej tryb pracy, która b ˛edzie opisywa´c wpływ ruchu chmur nad instalacj ˛a. Dodatkowo dla tej zmiennej dyskretnej nale˙zy stworzy´c równania termodynamiki w przestrzeni ci ˛agłej dotycz ˛ace zachowania temperatur, ci´snie´n, przepływów do opisania sposobu losowego skoku dla danego poziomu nasłonecznienia.

W publikacji [186] autor pisze o kwantyzacji poziomu nasłonecznienia, np. 20% i 80% pełnego nasłonecznienia odpowiednio dla du˙zej i małej g˛esto´sci chmur. Zbiór warto´sci wej´sciowych dzielony jest na rozł ˛aczne przedziały. Ka˙zda warto´s´c wej´sciowa wypadaj ˛aca w okre´slonym przedziale jest w wyniku kwantyzacji odwzorowana na jedn ˛a warto´s´c wyj´sciow ˛a przypisan ˛a temu przedziałowi, czyli tak zwany poziom reprezentacji. W rozumieniu potocznym proces kwantyzacji mo˙zna przyrówna´c do ”zaokr ˛aglania” warto´sci do okre´slonej skali. Warto´sci wej´sciowe musz ˛a zosta´c jednoznacznie skojarzone z poziomami reprezentacji, dlatego przedział dopuszczalnych warto´sci wej´sciowych jest dzielony na podprzedziały. Punkty podziału s ˛a nazywane poziomami decyzyjnymi a ich liczba jest o jeden mniejsza od liczby poziomów reprezentacji. Ka˙zda warto´s´c nale˙z ˛aca do danego podprzedziału jest zast˛epowana przez poziom reprezentacji przypisywany do danego przedziału. Poziomem reprezentacji mo˙ze by´c górna b ˛ad´z dolna granica przedziału, jednak najcz˛e´sciej jest ni ˛a warto´s´c ze ´srodka przedziału. Takie rozwi ˛azanie skutkuje minimalizacj ˛a bł ˛edu ´sredniokwadratowego, jednak tylko pod warunkiem, ˙ze rozkład prawdopodobie´nstwa warto´sci wej´sciowych jest stały w danym przedziale. Warunek ten jest w przybli˙zeniu spełniony, je´sli sze-roko´sci przedziałów kwantyzacji s ˛a bardzo małe. W ten sposób została wprowadzona aproksymacja pole-gaj ˛aca na ograniczeniu zmiennej trybu pracy do zbioru sko´nczonego, która skutkuje, ˙ze wyj´sciowy model b ˛edzie matematycznie analizowalny. Ruch chmur b ˛ed ˛acy procesem losowym oraz przej´scia nasłonecznienia z jednego poziomu kwantyzacji do innego s ˛a wyra˙zone poprzez prawdopodobie´nstwa skoków, gdzie ich warto´sci s ˛a estymowane z zapisów danych z przeszło´sci przy typowych warunkach pogodowych. Jest to efekt poł ˛aczenia prostej ´scie˙zki charakteryzuj ˛acej czas ´sredni pomi˛edzy dwoma chmurami z prostym probabilistycznym mechanizmem.

Jak podaj ˛a autorzy publikacji [70] na podstawie danych historycznych dotycz ˛acych nasłonecznienia zebranych na miejscu, przyj ˛eto, ˙ze´sredni czas trwania okresu pochmurnego był w przybli˙zeniu 138 sekund, podczas gdy bezpo´sredniego nasłonecznienia 258 sekund. Bazuj ˛ac na tych informacjach wprowadzono ła´ncuch Markowa z dwoma trybami pracy 1) słonecznie 2) pochmurno. Uzasadnione wydaje si ˛e wybranie takiego rozwi ˛azania je˙zeli mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze bie˙z ˛acy stan jest znany oraz znamy prawdopodobie´nstwo słonecznego lub pochmurnego nieba w najbli˙zszej przyszło´sci, które oczywi´scie zale˙z ˛a od pogody w chwili obecnej.

Znaj ˛ac te tryby pracy i´srednie interwały czasowe im przypisane, otrzymano macierz prawdopodobie´nstwa przej´s´c, która dla czasu próbkowania równego 6-ciu sekundom wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco

P = ^{0, 9767 0, 0233} 0, 0435 0, 9565 .

Odbiornik cieplny mo˙ze by´c opisany nast˛epuj ˛acym uproszczonym modelem [70] G = ^{x (k + 1) = Ar(k)x (k) + Br(k)u (k)}

z (k) = C_r(k)x (k) + D_r(k)u (k)

modelu dla układu ci ˛agłego s ˛a podane w [255]. Po dyskretyzacji z okresem próbkowania 6 sekund otrzy-mano warto´sci przedstawione w poni˙zszej tabeli dla r (k) ∈ {1, 2}

Słoneczny r (k) = 1 Pochmurny r (k) = 2 Instalacja ^A1= 0, 8353

B₁= 0, 0915

A₂= 0, 9646 B₂= 0, 0982

Je˙zeli teraz dla ka˙zdego trybu pracy zastosujemy liniowe sprz˛e˙zenie zwrotne od obserwacji u (k) = K_r(k)z (k)

Rozdział 4

Stabilno´s´c dyskretnych

niestacjonarnych układów liniowych

Stabilno´s´c jest jedn ˛a z najwa˙zniejszych własno´sci układów dynamicznych. O ile stabilno´s´c dla układów stacjonarnych jest dobrze znana, Twierdzenie Hurwitza, to stabilno´s´c układów o zmiennych współczyn-nikach jest znacznie mniej zbadana. Zajmowano si ˛e ni ˛a w pracach takich [1], [83], [142] (oraz w literaturze w tych pozycjach). W rozdziale tym przedstawimy cztery definicje stabilno´sci dyskretnych układów lin-iowych o zmiennych współczynnikach (2.1) i omówimy relacje pomi ˛edzy nimi. Rozwa˙zania tego rozdzi-ału posłu˙z ˛a za punkt wyj´scia do badania stabilno´sci dyskretnych inkluzji liniowych. W rozdziale tym wielokrotnie b ˛edziemy korzysta´c z nast˛epuj ˛acego twierdzenia Banacha-Steinhausa [60], [89], [242], które w przypadku przestrzeni sko´nczenie-wymiarowej ma nast ˛epuj ˛ac ˛a posta´c:

Twierdzenie 13 Je˙zeli (D (n))_n∈N jest ci ˛agiem macierzy kwadratowych wymiaru s-na-s takim, ˙ze

x∈Rse(x)>0 n∈N

D (n) x ≤ e (x) x , (4.1) to

E>0 n∈N

D (n) ≤ E. (4.2)

Warunki 4.1 i 4.2 nazywamy odpowiednio punktow ˛a i jednostajn ˛a ograniczono´sci ˛a ci ˛agu D (n). W dalszych rozwa˙zaniach pomocny oka˙ze si˛e równie˙z nast˛epuj ˛acy wniosek z powy˙zszego twierdzenia ([60] wniosek 4.2).

Wniosek 14 Je˙zeli D (n) jest ci ˛agiem macierzy kwadratowych stopnia s i

x∈Rs lim n→∞D (n) x = 0, to lim n→∞D (n) = 0.

4.1 Asymptotyczna stabilno´s´c

Jako pierwsz ˛a rozpatrywa´c b ˛edziemy asymptotyczn ˛a stabilno´s´c dyskretnych układów liniowych nies-tacjonarnych (2.1). Okazuje si ˛e, ˙ze mo˙zna j ˛a sformułowa´c na wiele równowa˙znych sposobów co pokazuje nast ˛epuj ˛ace

Twierdzenie 15 Dla układu (2.1) nast ˛epuj ˛ace trzy warunki s ˛a równowa˙zne: 1. x0∈Rsε>0 n0n>n0 A(n, 0)x0 ≤ ε, 2. ε>0 n0n>n0 A(n, 0) ≤ ε,

3.

ε>0 n0n>n0x0∈Rs

A(n, 0)x0 ≤ ε x0 .

Dowód Dowód twierdzenia 15 przeprowadzimy w nast ˛epuj ˛acych czterech krokach: • warunek 1 =⇒ warunek 2

Z warunku 1 wynika, ˙ze

x0∈Rs lim n→∞ A(n, 0)x0 = 0. Z wniosku 14 mamy lim n→∞ A(n, 0) = 0, a z definicji granicy ostatecznie otrzymujemy warunek 2. • warunek 2 =⇒ warunek 1

Ustalmy ε > 0. Dla x0 = 0 warunek 1 zachodzi w sposób oczywisty. Ustalmy teraz x0 = 0. Wybierzmy w warunku 2 za ε liczb ˛e ε

x0 . Wtedy

n0 n>n0

A(n, 0) ≤ _x^ε

0

. Po obustronnym przemno˙zeniu przez x0 otrzymujemy

n0n>n0

A(n, 0) x0 ≤ ε.

Korzystaj ˛ac z własno´sci podmultiplikatywno´sci normy otrzymujemy

n0 n>n0

A(n, 0)x0 ≤ A(n, 0) x0 ≤ ε

co wobec dowolno´sci wyboru ε i x₀ implikuje warunek 1. • warunek 2 =⇒ warunek 3

Je˙zeli w warunku 2 skorzystamy z definicji normy (podrozdział 2.3) to otrzymamy

ε>0 n0n>n0 sup

x0=0

A(n, 0)x0

x₀ ≤ ε. Powy˙zsza nierówno´s´c implikuje warunek 3.

• warunek 3 =⇒ warunek 2

Je˙zeli nierówno´s´c w warunku 3 podzielimy obustronnie przez x0 = 0 to otrzymamy

ε>0 n0n>n0x0∈Rs

x0=0

A(n, 0)x0

x0 ≤ ε.

Powy˙zsza nierówno´s´c implikuje

ε>0 n0n>n0 sup

x0=0

A(n, 0)x0

x0 ≤ ε,

a po skorzystaniu z definicji normy operatorowej otrzymujemy warunek 2.

Definicja 16 Je˙zeli którykolwiek (a zatem ka˙zdy) z warunków twierdzenia 15 jest spełniony to układ (2.1) b ˛edziemy nazywali asymptotycznie stabilnym (w skrócie AS).