Elementy teorii dynamicznej ferroelektryków

możliwości wystąpienia drgań podłużnych i poprzecznych otrzymuje się cztery rodzaje drgań (zwanych też gałęziami lub modami) — TA, LA, TO, LO. W przy-padku sieci z większą ilością węzłów, a także sieci w trzech wymiarach liczba możliwych rodzajów drgań jest jeszcze większa.

Na rys. 23a i 23b pokazano zależności ω(κ) dla obu rodzajów modów.

Jak widać, częstość drgań optycznych w żadnym miejscu I strefy Brillouina nie powinna być równa zeru (pod pierwiastkiem jest znak +). Wyjątkiem są przemiany fazowe w ferroelektrykach, podczas których następuje „mięknięcie”

jednego z rodzajów drgań optycznych (czyli ω0 → 0). Pokazano to schematycz-nie na rys. 23b. Koncepcja miękkiego modu leży u podstaw dynamicznej teorii ferroelektryków [22].

ωO(κ)

ωA(κ)

κ

ω(κ)

ωLO

ωTO

κ ωLA

0

ωTA

Rys. 23. Zależności dyspersyjne ω(κ) dla obu rodzajów modów: a) schemat porównujący zależ-ności dyspersyjne dla modów optycznych i akustycznych; b) schemat pokazujący, na czym polega mięknięcie jednego z modów TO

Warto w tym miejscu zwrócić uwagę na kilka kwestii. Po pierwsze, w przy-padku naładowanych węzłów sieci (czyli jonów) moment dipolowy dają gałęzie optyczne. Po drugie, w rzeczywistych sieciach cząsteczki nie mogą wychylać się w nieskończoność, co oznacza, że trzeba uwzględnić anharmonizm oscyla-torów, a także, po trzecie, nie uwzględnia się tłumienia (przy dużym tłumieniu koncepcja miękkiego modu traci sens). Należy także pamiętać, że w sieciach trójwymiarowych κ jest wektorem i właściwości dyspersyjne ω zależą od kie-runku (na osi poziomej wykresów na rys. 23a i 23b będzie jedna ze składowych wektora κ).

4.3. Elementy teorii dynamicznej ferroelektryków

W tym podrozdziale zostaną przedstawione założenia dynamicznej teorii ferroelektryków [22—24].

a) b)

40 4. Polaryzacja rezonansowa

Analiza ferroelektrycznych przemian fazowych jest możliwa przy następu-jących założeniach:

— występuje anharmonizm oscylatorów; dla drgań poprzecznych można to zapisać w następujący sposób:

02

2 ω τ β′

= .

Dla małego tłumienia () otrzymuje się wzór na przenikalność rezonansową:

02

W przedziale częstości

∞

ω_{0 0} ^s przenikalność elektryczna obliczona z wyrażenia (57) miałaby wartość

Na rys. 21 została pokazana przykładowa zależność dyspersyjna

ω ( ) κ

wynikająca z równania (60) po ograniczeniu do I strefy Brillouina.

W przypadku fal podłużnych (L) drgania zachodzą w kierunku x dlatego wychylenie należy oznaczyć inną literą, na przykład ξ(x,t). Prędkość fazowa fali może być obliczona przy założeniu, że faza jest stała, czyli:

( )

Rozwiązanie w postaci fal bieżących można przedstawić następującymi równaniami:

( )

— węzły drgającej sieci posiadają ładunki elektryczne przeciwnego znaku;

zakładamy, że moment dipolowy p (a w konsekwencji również polaryzacja P) jest proporcjonalny do wychylenia (dla drgań poprzecznych):

02

2 ω τ β′

= .

Dla małego tłumienia () otrzymuje się wzór na przenikalność rezonansową:

02

W przedziale częstości

∞

ω_{0 0} ^s przenikalność elektryczna obliczona z wyrażenia (57) miałaby wartość

Na rys. 21 została pokazana przykładowa zależność dyspersyjna

ω ( ) κ

wynikająca z równania (60) po ograniczeniu do I strefy Brillouina.

W przypadku fal podłużnych (L) drgania zachodzą w kierunku x dlatego wychylenie należy oznaczyć inną literą, na przykład ξ(x,t). Prędkość fazowa fali może być obliczona przy założeniu, że faza jest stała, czyli:

( )

Rozwiązanie w postaci fal bieżących można przedstawić następującymi równaniami:

( )

gdzie N to koncentracja dipoli.

Uwzględniając zależności (65), równanie anharmonicznego oscylatora tłu-mionego (64) można doprowadzić do postaci:

t otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

Dla polaryzacji niezależnej od czasu (przypadek statyczny) pochodne po czasie się zerują i otrzymujemy:

t otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

ter-modynamicznej Landaua, Ginzburga, Devonshire’a (LGD). Oznacza to, że teoria termodynamiczna LGD jest szczególnym (statycznym) przypadkiem teorii dynamicznej, a współczynniki α, β, γ są współczynnikami rozwinięcia gęstości energii swobodnej w szereg potęgowy w tej teorii. W szczególności α ≈ α0(T – T0).

Jeżeli jednak założyć, że materiał nie jest ferroelektrykiem, czyli ograniczyć się do wyrazu αP, to drgania w sieciach z momentami dipolowymi można opisać równaniem:

41 4.3. Elementy teorii dynamicznej ferroelektryków

t otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

W tym celu obliczamy pierwszą i drugą pochodną wyrażenia (70), a po czasie otrzymujemy: otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

Po podstawieniu obliczonych pochodnych do równania (69) otrzymuje się:

– otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

Gdy podzielimy obydwie strony przez e^iωt, równanie przybiera postać:

– otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E₀ prowadzi do:

t

otrzymujemy:

5

0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E

0

prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

42 4. Polaryzacja rezonansowa otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

(74) i (75) stają się identyczne.

Ponadto dla ω → 0 otrzymuje się jako szczególny przypadek:

t otrzymujemy:

5 0

PGdy podzielimy obydwie strony przez równanie przybiera postać:

0

Podzielenie obydwóch stron równania (74) przez E0 prowadzi do:

( ) ( ) ( )

Można też przekształcić uprzednio wyprowadzony w rozdziale 4.1 wzór dla dyspersji rezonansowej:

( )

a więc prawo Curie dla dielektryków niebędących ferroelektrykami lub prawo Curie—Weissa dla ferroelektryków:

0

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

(mięknięcie jednego z modów, bo również k → 0).

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

(79)

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

dla dla

43 4.3. Elementy teorii dynamicznej ferroelektryków

(80)

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

następują-cych postaci:

0 W temperaturze T0 następuje zmiana znaku

α

, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że

ε

'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości

ω

TO, przy której ε′

(

ω_TO

)

=ε_s =const .

Po podstawieniu

ω

=

ω

_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

_∞

)

Uwzględniając, że częstością ω0 jest częstość modu TO, otrzymuje się:

0

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

Na rys. 24 pokazano zależność rzeczywistej części przenikalności elektrycz-nej w różnych temperaturach dla małego tłumienia.

T1 T2 T3 T4

ε'(ω)

log(ω)

Rys. 24. Zależność rzeczywistej części przenikalności elektrycznej od log(ω) w różnych tempe-raturach dla małego tłumienia T1 < T2 … < T4, co oznacza, że obniżenie temperatury powoduje zmniejszenie się częstości rezonansowej

Na rys. 25 pokazano zależność rzeczywistej części przenikalności elektrycz-nej w różnych temperaturach dla średniego tłumienia.

dla

dla

44 4. Polaryzacja rezonansowa

T1 T2 T3 T4

ε'(ω)

log(ω)

Rys. 25. Zależność rzeczywistej części przenikalności elektrycznej od log(ω) w różnych tempe-raturach dla średniego tłumienia T1 < T2 … < T4

Przy dalszym wzroście tłumienia pojęcie miękkiego modu stopniowo traci sens i teoria dynamiczna zaczyna zawodzić, co pokazano na rys. 26 dla bardzo dużego tłumienia.

T1 T2 T3 T4

ε'(ω)

log(ω)

Rys. 26. Zależność rzeczywistej części przenikalności elektrycznej od log(ω) w różnych tempe-raturach dla bardzo dużego tłumienia T1 < T2 … < T4

Warto pokazać zarys wyprowadzenia związku Lyddane’a—Saxa—Tellera.

Równania Kramersa—Kroeniga (K—K) można zapisać w postaci:

(83) .

0 0

0 0 0

*

) (

1 1

T T

C T

T = −

= −

=ε α ε α

ε (78)

Ponieważ α =µω₀²a, α =α0

(

T −T0

)

to 2 0

(

0

)

0 = T −T

ω

ω α , co oznacza, że

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

*

2 0

*

) (

1 ) (

1

T T i dla

T

T T i dla

T

+ <

− +−

=

+ >

+ −

=

∞

∞

νω µω ε α

ε

νω µω ε α

ε . (79)

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0 2

*

2 0

*

) ( ) ( 4

1 )

( 1

T T i dla

T P T

T T i dla

T

s

+ <

−

− +−

=

+ >

+ −

=

∞

∞

νω µω β

ε α ε

νω µω ε α

ε

. (80)

) . ( ) ( 4

1

, 2

1

2 0 2

*

0 2

2 2

*

T T i dla

T P T

T T dla i

s

TO TO

+ <

−

− +−

=

>

+ ′

− + ∆

=

∞

∞

νω µω β

ε α ε

ωω ωω ε β ε

ε

(81)

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

T _TO

TO2 2

2

*

2

1 ω

β ω ω

ω ε ε

ε

′ +

− + ∆

= _∞ (82)

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( ) [ ( ) ]











′ −

− ′

′

⋅ ′

′′ =

′ −

′ ′

⋅ ′′

=

′ −

∫

∫

∞

∞

∞

∞

0 2 2

0 2 2

2 ' ) (

2 ' )

(

ω ω ω ε ω ω π ε

ω ε

ω ω ω ω ω π ε ε ω ε

d

d

(83)

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

( )

^{≡ =}

(

^{− ∞}

)

^{⋅ ⋅∞}

∫

_′^′

′′

0

2 ω

ω ε π

ε ω

ε _TO S _s ^d

(84)

Dla małego tłumienia, natomiast gdy ω→∞, to ε′→ε_∞ >0. Oznacza to, że w przedziale musi być taka wartość ω, dla której (jest to ωLO), czyli ε'(ωLO) = 0 (rys. 28).

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

∞ ∞

∞ −

≈ −

′

′

′

′

≈ −

′ −

′

′

′

= ′

−^ε _π

∫

^ε_ω^{ω ω}_ω ^ω _{π ω} ^ω _ω

∫

^{ε ω}_ω ^ω _ω ^ω _ω ^{εs ε}

LO TO

TO LO

TO TO LO

d d

2 2

2

0 2 2 0

2 2

2

2

2 , (85)

45 4.3. Elementy teorii dynamicznej ferroelektryków

Na rys. 27 pokazano, że ε″ ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpo-wiada częstości ωTO, przy której ε′(ωTO) = εs = const.

S ε″(ω)

log(ω) ωTO

Rys. 27. Rysunek pokazujący, że ε″ ma wyraźne maksimum dla częstotliwości ωTO

Oznacza to, że w drugim z równań Kramersa—Kroeniga (83) można wyłą-czyć przed całkę następujące wyrażenie:

0 0

0 0 0

*

) (

1 1

T TC T

T = −

= −

=ε α ε α

ε ⁽⁷⁸⁾

Ponieważ α =µω₀²a, α =α0

(

T −T0

)

to 2 0

(

0

)

0 = T −T

ω

ω α , co oznacza, że

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

*

2 0

*

) (

1 ) (

1

T T i dla

T

T T i dla

T

+ <

− +−

=

+ >

+ −

=

∞

∞

νω µω ε α

ε

νω µω ε α

ε . (79)

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0 2

*

2 0

*

) ( ) ( 4

1 )

( 1

T T i dla

T P T

T T i dla

T

s

+ <

−

− +−

=

+ >

+ −

=

∞

∞

νω µω β

ε α ε

νω µω ε α

ε

. (80)

) . ( ) ( 4

1

, 2

1

2 0 2

*

0 2

2 2

*

T T i dla

T P T

T T dla i

s

TO TO

+ <

−

− +−

=

>

+ ′

− + ∆

=

∞

∞

νω µω β

ε α ε

ωω ωω ε β ε

ε

(81)

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( )

i

( )

T

T _TO

TO2 2

2

*

2

1 ω

β ω ω

ω ε ε

ε

+ ′

− + ∆

= _∞ (82)

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( ) ( )

[ ]











′ −

− ′

′

′

⋅

=

′′

−

′

′ ′

⋅ ′′

=

′ −

∫

∫

∞

∞

∞

∞

0 2 2

0 2 2

2 ' ) (

2 ' )

(

ω ω ω ω ε ω π ε

ω ε

ω ω ω ω ω π ε ε ω ε

d

d

(83)

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s =const.

( )

^{≡ =}

(

^{− ∞}

)

^{⋅ ⋅}

∫

^∞ _′^′

′′

0

2 ω

ω ε π

ε ω

ε _TO S _s ^d

(84)

Dla małego tłumienia, natomiast gdy ω→∞, to ε′→ε_∞ >0. Oznacza to, że w przedziale musi być taka wartość ω, dla której (jest to ωLO), czyli ε'(ωLO) = 0 (rys. 28).

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

∞ ∞

∞ −

≈ −

′

′

′

′

≈ −

′ −

′

′

′

= ′

−^ε _π

∫

^ε_ω^{ω ω}_ω ^ω _{π ω} ^ω _ω

∫

^{ε ω}_ω ^ω _ω ^ω _ω ^{εs ε}

LO TO

TO LO

TO TO LO

d d

2 2

2

0 2 2 0

2 2

2

2

2 , (85)

. (84)

Dla małego tłumienia ω′(ωTO) < 0, natomiast gdy ω → ∞, to ε′ → ε∞ > 0.

Oznacza to, że w przedziale ωTO → ∞ musi być taka wartość ω, dla której ε′(ω) = 0 (jest to ωLO), czyli ε′(ωLO) = 0 (rys. 28).

log(ω)

ε′ ωTO ωLO

Rys. 28. W przedziale ωTO → ∞ musi być taka wartość ω, dla której ε′(ω) = 0 (jest to ωLO)

46 4. Polaryzacja rezonansowa

Po podstawieniu ω = ω_LO oraz relacji (84) do drugiego równania K—K możemy otrzymać związek Lyddane’a—Sachsa—Tellera:

0

W temperaturze T0 następuje zmiana znaku α, można więc napisać:

2 0

Po uwzględnieniu anharmonizmu (ferroelektryki) wzory przybierają postać:

2 0

Uwzględniając, że częstością jest częstość modu TO otrzymuje się:

( ) i ( )T

Równania Kramersa - Kroeniga (K-K) można zapisać w postaci:

( )

Na rys. 27 pokazano, że ε'' ma wyraźne maksimum. Maksimum to odpowiada częstości ωTO, przy której ε′

( )

ω_TO =ε_s=const.

Po podstawieniu ω=ω_LO, oraz relacji (84) do II równania K-K możemy otrzymać związek Lyddane’a-Sachsa-Tellera :

( ) ( ) (

∞

)

gdzie: Ea jest energią aktywacji.

( )

ω σ

( )

εωε

( )

ω ε ωε

( )

ω polaryzacją można otrzymać z zależności

E P

∂

=∂

ε , co pokazano schematycznie na rys. 44.

" równanie (94) do postaci:

( )

²

( )

²

lnσ w zależności od technologii, jaką była wykonana ceramika.

. (86)

Można stwierdzić, że w przypadku ferroelektryków (a zwłaszcza ferro-elektryków o strukturze typu perowskitu) przejścia fazowe są spowodowane mięknięciem jednego z modów drgań TO i jego kondensacją w centrum I strefy Brillouina. Ponieważ częstość tego modu ω0 jest związana ze statyczną prze-nikalnością elektryczną związkiem Lyddane’a—Sachsa—Tellera, to 1/ε ∝ ω02

i zmniejszanie się do zera odwrotności przenikalności elektrycznej zgodnie z prawem Curie—Weissa (1/ε ∝ (T – TCW)) oznacza, że częstość modu TO również dąży do zera. Bardziej ogólnie częstość modu TO związana jest z

tem-peraturą prawem Cochrana: ²

02

gdzie: Ea jest energią aktywacji.

( )

^{ω σ}

( )

^{ε ωε}

( )

^{ω ε ωε}

( )

^ω polaryzacją można otrzymać z zależności

E P

∂

=∂

ε , co pokazano schematycznie na rys. 44.

" równanie (94) do postaci:

( )

²

( )

²

lnσ w zależności od technologii, jaką była wykonana ceramika.

. (87)

Podstawowymi metodami badania miękkich modów, a w związku z tym również przemian fazowych są metoda nieelastycznego rozpraszania neutronów oraz metoda rozpraszania światła i spektroskopia w podczerwieni. Wykorzystuje się przy tym fakt, że musi być równocześnie spełniona zasada zachowania energii i zasada zachowania pędu w postaci wektorowej. Do badania modów akustycznych wykorzystuje się rozpraszanie Brillouina (BS), a do badania mo-dów optycznych — rozpraszanie Ramana (RS).

W dokumencie Zjawiska dyspersyjne i przewodnictwo elektryczne w relaksorach, multiferroikach i strukturach wielowarstwowych (Stron 41-48)