STRESZCZENIE
Przedmiotem rozprawy jest wprowadzenie metod numerycznych do zagadnień dotyczących jakościowych własności układów dynamicznych, które dotychczas były przedmiotem rozważań jedynie na drodze czysto analitycznej.
W rozprawie wykorzystano zarówno klasyczne metody numeryczne znane z literatury (jak metoda prostych wykorzystana do dyskretyzacji równania różniczkowego cząstkowego w rozdziale 7), jak i wprowadzono zupełnie nowe algorytmy służące numerycznemu rozwiązaniu wybranej klasy równań diofantycznych, obliczaniu wielomianów symetrycznych podstawowych oraz odwracaniu konfluentnych macierzy Vandermonde’a.
Rozdział 1 jest wprowadzeniem do rozprawy. Przedstawiono w nim opracowania Komitetu Informatyki PAN, określające analizę numeryczną jako dyscyplinę w dziedzinie informatyki. Następnie sformułowano cel rozprawy. Rozdział kończy przegląd problemów niniejszej rozprawy.
Rozdział 2 jest poświęcony znalezieniu algorytmu rozwiązującego pewną klasę równań diofantycznych. Równanie będące przedmiotem analizy modeluje problem znajdywania n-tek liczb naturalnych, generujących równe sumy kwadratów liczb całkowitych w kombinacji liniowej o dodatnich współczynnikach. Podzbiór liczb naturalnych, w którym poszukujemy rozwiązań równania, jest ograniczony odgórnie przez daną stałą. Na początku rozdziału 2 przypomniano najważniejsze z pojęć analizy algorytmów (złożoność obliczeniowa) oraz teorii błędów (błędy zaokrągleń) koniecznych do analizy własności uzyskanego w rozdziale algorytmu, rozwiązującego rozważane równanie diofantyczne. Zasadniczą częścią rozdziału jest poszukiwanie oraz optymalizacja odpowiedniego algorytmu. Ważną częścią rozdziału jest eliminacja rozwiązań symetrycznych równania diofantycznego, tj. takich, w których występuje ta sama para n-tek, ale zamienionych stronami. Rozważania dopełnia treść algorytmu w pseudokodzie, wyznaczenie jego złożoności czasowej oraz analiza błędów obliczeń. Oprócz tego w rozdziale pokazano, jak wprowadzony algorytm wykorzystać do określenia krotności n-tek, generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej.
Znalazło to zastosowanie w kolejnych rozdziałach rozprawy. Działanie algorytmu pokazano
STRESZCZENIE 119 na przykładzie liczbowym, przedstawiając w tabeli wszystkie kolejne wartości zmiennych
roboczych algorytmu oraz odpowiadających im rozwiązań. Rozdział kończy praktyczny test efektywności obliczeniowej algorytmu, przedstawiony w postaci wykresu obrazującego czasy jego wykonania w funkcji górnego ograniczenia dziedziny równania.
W rozdziale 3 przedstawiono zastosowanie algorytmu rozwiązywania równania diofantycznego do analizy zbiorów osiągalnych układu dynamicznego o parametrach rozłożonych, danego równaniem różniczkowym cząstkowym typu parabolicznego.
Rozważono zerowe warunki brzegowe typu Dirichleta oraz dziedzinę równania w postaci n-wymiarowego wielościanu. Jak wykazano, wartości własne operatora różniczkowego Laplace’a, występującego w badanym równaniu, są proporcjonalne do stron rozwiązywanego w rozdziale 2 równania diofantycznego. Dzięki temu jest możliwe wyznaczenie ich krotności na podstawie algorytmu z rozdziału 2. W rozdziale 3 przedstawiono model matematyczny rozważanego układu parabolicznego, zdefiniowano odpowiednie operatory: różniczkowy stanu oraz macierzowy wejścia i wykonano dekompozycję spektralną układu. W ten sposób wyjściowy układ nieskończenie wymiarowy zastąpiono równoważnym nieskończonym ciągiem układów skończenie wymiarowych, który stanowił punkt wyjścia do dalszych badań.
Następnie zbudowano algorytm numeryczny, służący badaniu zbiorów osiągalnych rozważanego układu dynamicznego. Wykorzystano w nim algorytm rozwiązywania równań diofantycznych z rozdziału 2. Na zakończenie wyznaczono zbiory osiągalne dla konkretnego przykładu układu dynamicznego.
Rozdział 4 jest poświęcony zbudowaniu efektywnego algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Wielomiany te pozwalają na obliczenie współczynników występujących przy kolejnych potęgach argumentu wielomianu. Ponadto, znajdują one zastosowanie w konstrukcji algorytmu odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde’a.
W rozdziale 5 skonstruowano algorytm odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde’a. Ich budowa różni się od klasycznej postaci macierzy Vandermonde’a tym, że w kolumnach konfluentnej macierzy Vandermonde’a, oprócz kolejnych potęg różnych pierwiastków, znajdują się pochodne tychże kolumn. W konstrukcji algorytmu korzysta się z przedstawionego w poprzednim rozdziale algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Sam algorytm znajduje zastosowanie w analizie własności liniowych układów dynamicznych o dowolnym stopniu pochodnych względem czasu, czemu poświęcono kolejny rozdział.
W rozdziale 6 zastosowano algorytm obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych oraz algorytm odwracania uogólnionych macierzy Vandermonde’a w analizie wybranych własności układów dynamicznych. Jako badaną własność obrano kilka rodzajów sterowalności. Główną innowacją rozdziału jest przeprowadzenie badań dla dowolnego, n-tego stopnia badanego układu dynamicznego względem czasu. Ponadto, udowodnione
kryteria stosuje się do najogólniejszej postaci rozważanego układu, o dowolnej krotności każdej z wartości własnych jego równania charakterystycznego. Uzyskanie tak ogólnych wyników było możliwe dzięki zastosowaniu wyżej wymienionych algorytmów. Na koniec rozdziału zastosowano uzyskane w rozdziale wyniki do analizy własności elastycznej belki.
Rozdział 7 zajmuje się numerycznym wyznaczaniem zbiorów osiągalnych układów dynamicznych, modelowanych za pomocą równań różniczkowych cząstkowych typu parabolicznego. Główną innowacją przeprowadzonych badań jest założonie realistycznych, obustronnych (tj. odgórnych i oddolnych) ograniczeń funkcji wymuszającej. Najpierw zdyskretyzowano analizowane równanie różniczkowe cząstkowe za pomocą metody numerycznej prostych. Następnie wyznaczono funkcję podporową układu oraz spektrum macierzy stanu oraz zastosowano do nich odpowiednie kryterium wyznaczania zbiorów osiągalnych przy ograniczonej funkcji wymuszającej. Uzyskany wynik zilustrowano kilkoma wykresami dla dwóch konkretnych postaci funkcji wymuszających. Należy podkreślić, że główna innowacja rozdziału, tj. wykonane badania zbiorów osiągalnych przy realistycznych ograniczeniach na funkcję wymuszającą, była możliwa dzięki zastosowaniu odpowiednio dobranej metody numerycznej rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Rozdział stanowi ilustrację połączenia w całość metod numerycznych i klasycznych wyników analitycznych, prowadzących do nowych, bardziej realistycznych wyników w nauce.
Rozdział 8 stanowi podsumowanie rezultatów przedstawionych w niniejszej rozprawie.