2.3. Równania Lagrange’a
2.3.2. Formalizm Lagrange’a
i i s
x x q q q , i = 1, 2, …, s (2.21) Pozostałe współrzędne (xs+1, xs+2, …, x3n) przyjmują wówczas stałe wartości. Na przy-kład, w przypadku rozważanego powyżej układu współrzędnych sferycznych, ograni-czonego do współrzędnych biegunowych, otrzymamy: q1 = x, q2 = y, z = 0. W ogól-nym przypadku, zestaw współrzędnych uogólnionych można wybrać według dowol-nej zasady, pod warunkiem, że będzie on w sposób jednoznaczny opisywał stan ukła-du – nie jest to zatem wybór jednoznaczny. Z tych rozważań wynika wniosek, że licz-ba współrzędnych wymaganych do opisu systemu zależy od jego właściwości, a nie od sposobu jego opisu. Niestety, ujemną stroną tego spostrzeżenia jest brak jedno-znacznej procedury wyboru układu współrzędnych uogólnionych, które zapewniałyby
‘lepszy’ opis układu [35].
Podobnie do pojęcia współrzędnych uogólnionych, mogą być także definiowane inne wielkości; np. zapis: ( , ,..., ) ( )q q 1 2 qs q , j = 1, 2, …, s, oznacza zbiór uogólnio-j nych prędkości.
2.3.2. Formalizm Lagrange’a
Równania Lagrange’a mają postać układu równań różniczkowych II rzędu, opisują-cych ruch systemu dynamicznego swobodnego (bez wymuszenia) lub z więzami (wymuszeniami), które określają warunki ograniczające przestrzeń poruszania się układu (jego współrzędne lub ich pochodne względem czasu (prędkości)). Równania systemu swobodnego mają następującą postać10:
d 0, = 1, 2, …, ,
d j j j s
t q q
L L (2.22)
gdzie L oznacza różnicę energii kinetycznej Ek i potencjalnej Ep:
p
k E
E
L , (2.23)
przy czym: Ek = Ek(qj, q̇j, t), Ep = Ep(qj, t) i w konsekwencji otrzymujemy funkcję: L = L(qj, q̇j, t), która jest znana, jako funkcja Lagrange’a (lagrangian). W przypadku wię-zów ustalonych (niezależnych od czasu), lagrangian także nie zależy od czasu.
10 Niekiedy mówi się o równaniach Eulera-Lagrange’a, jednak pierwszy sformułował je w takiej formie J. Lagrange.
Zależności (2.22) opisują ruch systemu zachowawczego (konserwatywnego), który charakteryzuje się tym, że wykonana praca nie zależy od drogi, a działanie to jest w pełni odwracalne. Wynika stąd, że praca wykonana na drodze zamkniętej pod wpły-wem sił zachowawczych, jest równa zeru, na przykład, praca wykonana w polu grawi-tacyjnym lub elektrycznym. W układzie nie występują elementy rozpraszające (po-chłaniające) energię.
Równania Lagrange’a (2.22) odnoszą się do energii kinetycznej i potencjalnej roz-patrywanego punktu (układu) materialnego. Zależność ta została wyprowadzona przez odpowiednie przekształcenie równań odnoszących się do siły (równań Newtona). Po-kazuje to kolejny przykład.
Przykład 2.4. Rozpatruje się przestrzeń jednowymiarową w ziemskim polu grawitacyj-nym o przyśpieszeniu g. Korzystając z zasady zachowania energii i dru-giej zasady dynamiki Newtona wyprowadzić funkcję Lagrange’a dla punktu materialnego o masie m.
Załóżmy, że rozpatrywany punkt zmienia położenie (wysokość) x pod wpływem grawitacji ze stałą g, powodując zmianę prędkości v, z przyśpieszeniem a. Równowaga działających tu sił określona jest zgodnie z następującym równaniem:
2
2
d d
d d
v x
mg ma m m
t t
, (2.24)
co prowadzi do następującego związku:
2
2
d 0
d m x mg
t (2.25)
W rozpatrywanym procesie następuje zamiana energii potencjalnej Ep na energię kinetyczną Ek spadającego ciała, przy czym:
2
( ) ,
( ) 1 2
p p
k k
E E x mgx
E E v mv
(2.26)
Zauważmy, że energia potencjalna Ep nie zależy od prędkości, więc: Ep/v = 0. Podobnie, energia kinetyczna Ek nie zależy od przesunięcia (wysokości), skąd: Ek/v = 0.
Na podstawie (2.26) można określić lagrangian:
1 2
( , ) ( ) ( )
k p 2
x v E v E x mv mgx
L L (2.27)
Równanie Langrange’a (2.22) przyjmuje w tym przypadku następującą postać (s = 1):
2 2
d d d 1 d 1
d d d 2mv mgx d 2mv mgx 0
t v x t v x
L L (2.28)
Po wyznaczeniu poszczególnych pochodnych, otrzymujemy zależność (2.25), co potwierdza poprawność wywodu. Ostatecznie, lagrangian rozpatrywanego układu dynamicznego ma po-stać, jak w (2.27).
Istotna różnica pomiędzy klasycznymi równaniami różniczkowymi opisującymi ruch układu dynamicznego (równaniami Newtona), a równaniami Lagrange’a polega na tym, że w tych ostatnich nie występuje siła i związane z nią pojęcia, jak równowaga sił, siły reakcji. Jej miejsce zajmuje energia w postaci kinetycznej i potencjalnej, któ-rych różnica definiuje funkcję Lagrange’a L = L(qj, q̇j, t). Takie ujęcie dynamiki ukła-du jest nazywane formalizmem Lagrange’a. Często przytacza się powody stosowania reprezentacji dynamiki systemu w postaci równań Lagrange’a, w miejsce bezpośrednich równań Newtona, wśród których można wymienić: - pozbycie się zapisu wektorowego (który jest związany z siłami) i zastąpienie go reprezentacją skalarną; - bezpośrednie użycie notacji, która jest charakterystyczna dla robotyki; - formalizm Lagrange’a po-zwala zazwyczaj tworzyć prostszy zapis dynamiki złożonych systemów.
Równanie Lagrange’a w postaci (2.22) odnosi się do układów zachowawczych bezstratnych (bez ‘tarcia’). Jeśli rozpatruje się działanie zewnętrznych sił na układ, a także występowanie elementów rozpraszających nieodwracalnie energię (tarcie, grza-nie, promieniowanie itp.), to otrzymamy następującą postać równań (2.22):
d , = 1, 2, …, ,
d j j fj j s
t q q
L L
(2.29) gdzie fj oznacza siłę związaną z rozpraszaniem energii oraz wymuszeniem zewnętrz-nym; zazwyczaj przyjmuje się, że siła związana z rozpraszaniem energii jest propor-cjonalna do prędkości układu (liniowej lub kątowej):
j zj j j
f f q , (2.30)
gdzie: fzj jest zewnętrzną siłą wymuszająca, a jest współczynnikiem rozpraszania energii (tarcia). W miejsce siły związanej z rozpraszaniem energii można operować energią strat (rozpraszania), E:
j j j
E q
q
, (2.31)
skąd: 1 2
E2q (2.32)
Przykład 2.5. Wyprowadzić równanie Lagrange’a ruchu wahadła (rys. 2.14). Przyjąć, że ruch wahadła jest tłumiony zgodnie z (2.31) ze współczynnikiem .
m l
Rys. 2.14. Ruch płaski wahadła
Przy założonej stałej długości wahadła l, rozpatrywany układ ma jeden stopień swobody zwią-zany ze współrzędną określającą kąt położenia . Energie składające się na funkcję Lagrange’a są określone podobnie, jak w Przykładzie 2.4 (2.26), gdzie x oznacz wysokość punktu mate-rialnego ponad jego dolne położenie. Zatem, otrzymamy:
p p( )
E E x mgx, skąd: E θp( ) mglcosθ 1 2
( ) 2
k k
E E v mv , skąd: 1 2 2
( ) 2
E θk ml θ , przy czym: vωl, ωθ. Funkcja Lagrange’a:
1 2 2
( , ) ( ) ( ) cos
k p 2
θ θ E θ E θ ml θ mgl θ
L ,
skąd można określić pochodne:
d 2
d ml θ
t θ
L , mglsinθ
θ
L
Ostatecznie, równanie ruchu wahadła zgodnie z formalizmem Lagrange’a przyjmuje następu-jącą postać (po uwzględnieniu (2.31)):
2 sin 0
ml θθ mgl θ ,
co można zapisać za pomocą równań stanu:
2 2 2 1
1 2
gsin
x x x
ml l
x x
W tym ostatnim zapisie zmienna x1 oznacza kąt wychylenia wahadła , natomiast x2 reprezen-tuje prędkość kątową . Przy małych wychyleniach wahadła można założyć, że x1 sin x1, co prowadzi do liniowego modelu. Łączące się z tym rozbieżności można prześledzić na rys. 2.15.
gdzie pokazano przebiegi kąta wychylenia wahadła (rys. 2.15a) oraz zmianę prędkości kątowej (rys. 2.15b). Krzywe 1 odpowiadają pełnemu modelowi nieliniowemu, natomiast przebiegi 2 pokazują dynamikę uproszczonego modelu liniowego. Widać, że wyniki symulacji znacznie się różnią przy dużych wychyleniach wahadła, natomiast są bardzo podobne dla kąta wychyle-nia mniejszego od wartości /4.
0 5 10 15 20 25