4.1 Opis teoretyczny
4.2.2 Funkcja spektralna i współczynnik transmisji
d [U]
q=0.2
q=0.4
q=0.6
Rysunek 4.2: Pole wymiany w funkcji położenia poziomu εd kropki dla wyróżnionych wartości parametru q. Pozostałe parametry: gµBB = 0, U = 6Γ, pL= pR= p = 0.9.
Gdy kropka połączona jest z ferromagnetycznymi elektrodami, jej poziom energetyczny ulega rozszczepieniu ze względu na pole wymiany. Wpływ tego rozszczepienia jest zaniedbywalny w reżimie blokady kulombowskiej ze względu na mniejsze sprzężenie i wyższe temperatury, ale odgrywa znaczącą rolę w reżimie Kondo. Podstawowe własności tego rozszczepienia zostały opisane w rozdziale 1: zależność od polaryzacji magnetycznej p elektrod w konfiguracji równoległej oraz zanik rozszczepienia w punkcie symetrii εd = −U/2. W przypadku metody bozonów pomocniczych, zrenormalizowane wartości energii poziomu kropki ˜εσ są zależne od spinu, dzięki czemu można wyznaczyć pole wymiany jako różnicę zrenormalizowanych poziomów kropki: Bex= ˜ε↑− ˜ε↓. Różnica ta w przypadku braku zewnętrznego pola magnetycznego, tzn.
gµBB = 0, sprowadza się do różnicy spinowo-zależnych mnożników Lagrange’a, λ(2)↑ − λ(2)↓ . Rozszczepienie poziomu wywołane polem wymiany, przedstawione na rys. 4.2, zmienia znak w punkcie symetrii εd = −U/2. Ponadto maksymalna wartość tego rozszczepienia maleje ze wzrostem wartości parametru q. Efektywne pole wywołane sprzężeniem spinowo-orbitalnym typu Rashby przeciwdziała polu wymiany wynikającemu ze sprzężenia z magnetycznymi elektrodami.
4.2.2 Funkcja spektralna i współczynnik transmisji
Całkowita gęstość stanów ρqd kropki kwantowej jest sumą składowych gęstości stanów dla poszczególnych spinów σ =↑, ↓,
ρqd=X
σ
ρσ, (4.26)
gdzie
ρσ = −1
πIm Grσ. (4.27)
W powyższym wyrażeniu Grσ jest elementem macierzy opóźnionej funkcji Greena, Gr. Należy pamiętać, że w wyniku zastosowanej w tym rozdziale metodzie bozonów pomocniczych, modyfikacji uległ hamiltonian układu. Oddziaływania kulombowskie na kropce uwzględniane są w sposób efektywny w ramach wartości średnich operatorów bozonowych, a opóźniona funkcja Greena przyjmuje postać funkcji dla układu bez oddziaływania.
ρ ↓ ρ ρ ↑
Rysunek 4.3: Gęstość stanów kropki kwantowej i jej spinowe składowe w zależności od energii pasma elektrod oraz wyróżnionych wartości parametru q dla energii poziomu kropki εd= −U/2 i εd= −U/4. Pozostałe parametry: p = 0.9, gµBB = 0, U = 6Γ, εd= −U/2, kBT = 0.
Powyższe wielkości zostały przedstawione na rys. 4.3. W przypadku zjawiska Kondo największa wartość gęstości stanów przypada na energię poziomu kropki odpowiadającą punktowi symetrii elektron-dziura, εd = −U/2 oraz energię Fermiego elektrod, ε = µ0 = 0, co zostało przedstawione na rys. 4.3(a). Ponadto, zgodnie z wcześniejszymi uwagami, pole wymiany pochodzące od elektrod ferromagnetycznych znika w tym punkcie, w związku z czym składowe dla spinu ↑ i ↓ przedstawione na rys. 4.3 (b) i (c) również przyjmują wartość maksymalną dla energii odpowiadającej energii Fermiego elektrod. Ponadto, zarówno gęstość stanów ρqd, jak i jej składowe, są symetryczne względem energii Fermiego. Składowe te, jednak, różnią się szerokościami pików. Rozpatrując wpierw przypadek q = 0.1, dla przyjętej dużej wartości polaryzacji elektrod, p = 0.9, składowa gęstości stanów o spinie ↑ jest poszerzona w porównaniu do składowej gęstości stanów o spinie ↓, ale jej wartość maksymalna jest dużo mniejsza. Wzrost wartości parametru q powoduje mieszanie się stanów o przeciwnych spinach, objawiające się jednoczesnym wzrostem maksymalnej intensywności składowej ↑ i spadkiem maksymalnej intensywności składowej ↓. W przypadku granicznym, q = 1, krzywe obydwu składowych charakteryzują się taką samą szerokością piku jak również jednakową wartością maksymalną. W związku z tym maleje również całkowita gęstość stanów ρqd.
W przypadku tzw. niesymetrycznego modelu Andersona, gdy εd = −U/4, gęstość stanów ρqd, przedstawiona na rys. 4.3(d), nie przyjmuje już wartości maksymalnej dla energii
0.0
Rysunek 4.4: Współczynniki transmisji i spinowe składowe w funkcji energii pasma elektrod i wyróżnionych wartości parametru q wyznaczone dla p = 0.9 oraz współczynnik transmisji i odpowiednie składowe dla przypadku q = 1 i wskazanych wartości parametru p. Pozostałe parametry: gµBB = 0, U = 6Γ, εd= −U/2, kBT = 0.
odpowiadającej energii Fermiego elektrod, ale dla wyższej wartości energii. W przypadku q = 0.1 składowe ↑ i ↓, przedstawione na rys. 4.3 (e) i (f), znacznie różnią się intensywnością – widoczna jest przewaga stanów o spinie ↓ dla wyróżnionej wartości energii εd poziomu kropki.
Wzrost wartości parametru q, podobnie do przypadku omówionego powyżej, powoduje zrównanie składowych ze sobą i zmniejszenie całkowitej gęstości stanów.
Współczynniki transmisji wyznaczone w temperaturze kBT = 0 dla nośników o spinie
↑ oraz ↓ zostały przedstawione na rys. 4.4 (a) i (b). W rozpatrywanym przypadku, dla p = 0.9, poszerzenie krzywych odpowiadających współczynnikom transmisji przeciwnych spinów jest odmienne. Dodatkowy kanał transportowy nośników, który uaktywnia się ze wzrostem wartości parametru q, prowadzi do poszerzenia krzywych współczynników transmisji. Całkowita transmisja, przedstawiona na rys. 4.4(c), jako suma składowych o przeciwnych spinach, osiąga maksymalną wartość dla energii ε = 0. Podobnie jak jej składowe, krzywa opisująca całkowity współczynnik transmisji ulega poszerzeniu ze wzrostem wartości parametru q.
W przypadku gdy zmianie ulega polaryzacja p, przy ustalonej wartości parametru q (q = 1), krzywa opisująca współczynnik transmisji T↑, przedstawiony na rys. 4.4(d), ulega poszerzeniu ze wzrostem wartości p, podczas gdy krzywa opisująca współczynnik T↓, przedstawiona na rys. 4.4(e), ulega zwężeniu. W rezultacie, krzywa całkowitego współczynnika transmisji, pokazana na rys. 4.4(f), przyjmuje kształt przypominający krzywą charakterystyczną dla zjawiska Dicke [112], w którym funkcja spektralna ulega zwężeniu dla energii odpowiadającej energii rezonansowej (w tym przypadku energii Fermiego elektrod).
-1 0 1
Rysunek 4.5: Współczynnik transmisji w funkcji energii pasma w elektrodach dla wyróżnionych wartości parametru q, (a), polaryzacji magnetycznej p elektrod, (b), oraz pola magnetycznego gµBB, (c). Pozostałe parametry: (a) p = 0.9, gµBB = 0.5Γ, (b) q = 0.2, gµBB = 0.5Γ, (c) p = 0.9, q = 0.2, dla wszystkich rysunków: U = 6Γ, εd = −U/2, kBT = 0. Krzywe są przesunięte względem siebie.
Uwzględnienie pola magnetycznego powoduje zniesienie degeneracji poziomu kropki εd, a w przypadku elektrod ferromagnetycznych współdziałanie z polem wymiany. Rys. 4.5(a) przedstawia współczynnik transmisji w zależności od energii elektronów oraz dla wyróżnionych wartości parametru q. Dla stosunkowo małych wartości parametru, q = 0.2 i q = 0.3, krzywe odzwierciedlające współczynnik transmisji przyjmuje niesymetryczną postać krzywej Fano, z minimum dla energii odpowiadającej energii Fermiego elektrod, szerokim maksimum poniżej, a wąskim powyżej tej wartości. Wzrost wartości parametru q prowadzi do zniesienia degeneracji wywołanej polem magnetycznym, poszerzenie pików odpowiadających składowym transmisji dla przeciwnych spinów, a w rezultacie zniszczenie antyrezonansu Fano na rzecz symetrycznej krzywej typu Lorentza z maksimum w punkcie ε = 0, związanym z efektem Kondo.
Ustalając wartość parametru q na q = 0.2 oraz wartość pola magnetycznego na gµBB = 0.5Γ, który to przypadek został przedstawiony na rys. 4.5(b), można pokazać, że dla małych wartości polaryzacji, p = 0.1 i p = 0.3, krzywa transmisji jest niesymetryczna względem ε = 0, ale nie jest krzywą Fano. Dalszy wzrost polaryzacji magnetycznej prowadzi do wzrostu wartości pola wymiany i przywrócenia krzywej typu Fano.
Ostatecznie przejście pomiędzy krzywymi związanymi z różnymi efektami interferencyjnymi pokazano na rys. 4.5(c), który otrzymano dla ustalonej wartości parametru q (q = 0.2) i ustalonej wartości polaryzacji p (p = 0.9). Dla małych wartości pola magnetycznego krzywa transmisji przyjmuje krzywą charakterystyczną dla efektu Dicke. Zwiększenie pola magnetycznego, które wiąże się ze wzrostem różnicy pomiędzy poziomami odpowiadającymi spinom ↑ i ↓, prowadzi do współczynnika transmisji opisanego przez krzywą Fano.