≥ 0.
Na każdej prostej y = kx jest g(kx, x) = k2x2 + o(x3) dla x → 0, a więc obcięcie funk-cji g do takiej prostej ma w zerze minimum lokalne (właściwe). Na prostej x = 0 jest g(x, y) = g(0, y) = y2(tzn. znów mamy funkcję jednej zmiennej, która ma minimum w ze-rze). Jednak na krzywej y = 2x3 jest g(x, y) = g(x, 2x3) = −x6, a więc w dowolnie małym otoczeniu zera funkcja g przyjmuje nie tylko wartości dodatnie, ale także ujemne.
Zadanie 2.71. Sprawdzić, że funkcja f(x, y) = e−x(xe−x+ cos y), x, y, ∈ R ma nieskoń-czenie wiele punktów krytycznych, a w każdym z nich – maksimum lokalne właściwe. Za pomocą dowolnie wybranego pakietu obliczeń symbolicznych narysować jej wykres i jej poziomice na płaszczyźnie.
2.6 Funkcje gładkie
Definicja 2.72. Jeśli Ω ⊂ Rnjest zbiorem otwartym, to przyjmujemy C∞(Ω, Rm) =
∞
\
k=1
Ck(Ω, Rm)
Funkcje f ∈ C∞(Ω, Rm) nazywamy funkcjami klasy C∞lub funkcjami gładkimi. Są to funkcje, które mają ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów (a zatem, mają ciągłe różniczki wszystkich rzędów).
Dla krótkości, pisze się C∞(Ω) zamiast C∞(Ω, R).
Definicja 2.73. Nośnikiem supp f funkcji f : Rn → Rm nazywamy domknięcie zbioru tych punktów, w których f ma wartości różne od zera:
supp f = {x ∈ Rn: f (x ) 6= 0} .
Twierdzenie 2.74. Istnieją funkcje klasy C∞(Rn), których nośnik jest niepustym zbiorem zwartym. Ściślej mówiąc, dla każdego punktu a ∈ Rn i każdych liczb 0 < r < R istnieje funkcja f ∈ C∞(Rn)taka, że f ≡ 1 na kuli B(a, r) i f ≡ 0 na Rn\ B(a, R).
Szkic dowodu. Krok 1. Niech n = 1. Nietrudno wykazać, że istnieje funkcja ϕ1: R → R, która jest klasy C∞i znika poza przedziałem [−1, 1], ale ϕ1(0) = 1. Taką funkcją jest np.
ϕ1(x) =
(exp − tg2(πx/2), |x| < 1,
0, |x| ≥ 1.
Sprawdzenie, że ϕ1 istotnie spełnia podane warunki, pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika.
Krok 2. Funkcja
ϕ2(x) = Z x
−∞
ϕ1(t) dt
jest dobrze określona (całkujemy tylko po przedziale skończonym), nieujemna i gładka.
Mamy ϕ2 ≡ 0 na (−∞, −1] i ϕ2(x) ≡ c := R1
−1ϕ1 dla x ≥ 1. Na przedziale [−1, 1] funkcja ϕ2 jest rosnąca.
Teraz wykorzystamy przesuwanie, skalowanie i mnożenie funkcji gładkich.
Krok 3. Ustalmy R > r > 0. Dobierzmy a > 0 tak, żeby a+2a = Rr. Funkcja ϕ3(x) = 1
c2ϕ2(1 + a + x)ϕ2(1 + a − x), x ∈ R,
jest gładka, znika poza przedziałem [−a − 2, a + 2] i jest równa 1 na przedziale [−a, a]
(patrz załączony rysunek). Funkcja
ϕ4(x) = ϕ3
(a + 2)x R
też jest gładka. Wobec doboru a, ϕ4≡ 1 na [−r, r] i ϕ4 ≡ 0 poza przedziałem [−R, R].
Krok 4. Funkcja f1(x ) = ϕ4(kx k) spełnia warunki twierdzenia dla a = 0. (Zauważmy, że dla k x k < r funkcja f ma stałą wartość 1, więc jej pochodne cząstkowe znikają w punk-tach kuli otwartej B(0, r). Norma kxk = (x21+ · · · + x2n)1/2 jest funkcją gładką na zbiorze {x : kx k > r/2}, i dlatego f jest gładka na całej przestrzeni Rn.) Przesuwając f1, tzn.
biorąc f ( x ) = f1(x − a ), kończymy dowód w ogólnym przypadku.
Uwaga 2.75. Zbiór wszystkich funkcji gładkich o zwartym nośniku w Rn oznacza się symbolem C0∞(Rn).
Samodzielne rozwiązanie poniższych zadań pozwoli Czytelnikowi lepiej oswoić się z pojęciem funkcji gładkiej.
Zadanie 2.76. Niech K ⊂ Ω ⊂ Rn. Załóżmy, że zbiór K jest zwarty, a zbiór Ω jest otwarty.
Wykazać, że istnieje funkcja f ∈ C0∞(Rn) taka, że f ≡ 1 na K i supp f ⊂ Ω.
Zadanie 2.77. Niech F będzie dowolnym zbiorem domkniętym w Rn. Istnieje wówczas funkcja f ∈ C∞(Rn) taka, że f ≥ 0 i F = {x ∈ Rn: f (x ) = 0}.
Odwzorowania klasy C 1 i rozmaitości zanurzone
3.1 Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
W tym podrozdziale (X, %) oznacza przestrzeń metryczną.
Definicja 3.1 (warunek Cauchy’ego). Mówimy, że ciąg (xn) ⊂ X spełnia warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje n0 ∈ N takie, że dla wszystkich n, m > n0 jest %(xn, xm) < ε.
Łatwo wykazać, że każdy ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest ograniczony.
Definicja 3.2 (zupełność). Przestrzeń metryczna (X, %) nazywa się zupełna wtedy i tyl-ko wtedy, gdy każdy ciąg (xn) ⊂ X spełniający warunek Cauchy’ego jest zbieżny w X.
Przykład 3.3. 1. Przestrzeń R z metryką %(x, y) = |x − y| jest zupełna. Podobnie, Rn z metryką zadaną przez (jakąkolwiek) normę jest przestrzenią zupełną.
2. Y = [0, 1] z metryką %(x, y) = |x − y| jest przestrzenią zupełną. Ogólnie, każdy domknięty podzbiór Y przestrzeni metrycznej zupełnej (X, %), z odziedziczoną tryką %, jest przestrzenią metryczną zupełną. Natomiast podzbiór przestrzeni me-trycznej zupełnej, który nie jest domknięty, nie jest zupełny (są w Y ciągi zbieżne, których granice nie należą do Y ).
3. Przestrzeń funkcji ciągłych C([0, 1], R) z metryką
%(f, g) = sup
x∈I
|f (x) − g(x)|
jest zupełna. Zbieżność w metryce % to zbieżność jednostajna; jeśli ciąg funkcji cią-głych spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, to jest jednostajnie zbieżny, a jego granica też jest funkcją ciągłą.1
4. Przestrzeń Cb1(R) tych funkcji f : R → R klasy C1, które są ograniczone i mają ogra-niczoną pochodną, wyposażona w metrykę
%1(f, g) = sup
x∈R
|f (x) − g(x)| + sup
x∈R
|f0(x) − g0(x)| ,
1Patrz skrypt z Analizy Matematycznej I, rozdział 7.
58
jest zupełna. Zbieżność ciągu funkcji (fm) w metryce %1 to zbieżność jednostajna wraz z pochodnymi. Dowód zupełności Cb1(R) (wskazówka: skorzystać z twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych) pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie.
5. Niech r > 0 i B = B(0, r) ⊂ Rn. Przestrzeń C(B, Rm) wszystkich funkcji ciągłych f : B → Rmz metryką
%(f, g) = sup
x ∈B
kf (x ) − g(x )k
jest zupełna. Formalny dowód tego faktu wymaga określenia zbieżności jednostajnej funkcji wielu zmiennych i powtórzenia dowodów twierdzeń, które poznaliśmy na I roku studiów. Jednak rozumowania są identyczne: zupełność prostej zastępuje się zupełnością Rn, a nierówność trójkąta dla modułu – nierównością trójkąta dla normy. Dlatego ten przykład nie różni się szczególnie od podanego w punkcie 3.
Definicja 3.4. Niech (X, %) będzie przestrzenią metryczną i niech T : X → X. Mówimy, że odwzorowanie T jest zwężające (albo inaczej: jest kontrakcją) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała λ ∈ (0, 1) taka, że
% T (x ), T (y) ≤ λ%(x , y) dla wszystkich x , y ∈ X.
Uwaga 3.5. Każda kontrakcja jest ciągła na X, gdyż spełnia warunek Lipschitza.
Definicja 3.6. Punkt x ∈ X nazywa się punktem stałym odwzorowania T : X → X wtedy i tylko wtedy, gdy T ( x ) = x .
Twierdzenie 3.7 (Banacha o punkcie stałym). Jeśli (X, %) jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś T : X → X jest kontrakcją, to T ma dokładnie jeden punkt stały x ∈ X.
Dowód tego twierdzenia, nazywanego także zasadą odwzorowań zwężających, jest krótki i nietrudny, a samo twierdzenie — opublikowane w wersji abstrakcyjnej w roku 1922, w pracy doktorskiej Banacha2— ma mimo swojej prostoty wiele zastosowań, w któ-rych X bywa zwykle jakąś przestrzenią funkcyjną, a równanie T ( x ) = x — równaniem różniczkowym lub całkowym.
Podamy jeszcze poglądową interpretacją twierdzenia Banacha: jeśli rozłożony plan miasta upuścimy na jednej z ulic w tym mieście, to jest dokładnie jeden taki punkt planu, który znalazł się idealnie w tym miejscu, które przedstawia. Czytelnik zechce zastanowić się nad prawdziwością tego zdania i dopiero później przeczytać poniższy dowód.
Dowód. Odwzorowanie zwężające nie może mieć dwóch różnych punktów stałych: gdyby T (x ) = x i T (y) = y, to mielibyśmy
%(x , y) = % T (x ), T (y) ≤ λ%(x , y).
Ponieważ λ ∈ (0, 1), więc musi zachodzić równość %( x , y ) = 0, tzn. x = y .
Pozostaje wykazać istnienie punktu stałego. Niech x0 ∈ X będzie dowolnym punk-tem. Rozpatrzmy zdefiniowany rekurencyjnie ciąg xn+1 = T (xn), gdzie n = 0, 1, 2, . . ..
Ponieważ T jest kontrakcją, więc
%(xn+1,xn) = % T (xn), T (xn−1)
≤ λ%(xn, xn−1) (3.1)
≤ λ2%(xn−1,xn−2) ≤ . . . ≤ λn%(x1,x0)
2Fundamenta Math., tom 3, rok 1922, str. 133–181.
dla pewnej liczby λ ∈ (0, 1). Jeśli m > n, to na mocy nierówności trójkąta
%(xm,xn) ≤ %(xm,xm−1) + · · · + %(xn+1,xn)
≤
m−1
X
j=n
λj%(x1,x0) ≤
∞
X
j=n
λj%(x1,x0) = λn%(x1,x0)
1 − λ = Cλn,
gdzie stała C nie zależy od n. Zatem ciąg ( xn) spełnia warunek Cauchy’ego, a więc jest zbieżny, gdyż przestrzeń (X, %) jest zupełna. Niech x = lim xn. Wobec ciągłości T ,
T (x ) = T (lim xn) = lim T (xn) = limxn+1= x . Dowód jest zakończony.
Okazuje się, że jeśli dwie kontrakcje są bliskie, to ich punkty stałe są bliskie. Z poniż-szego faktu skorzystamy w następnym podrozdziale.
Lemat 3.8. Jeśli (X, %) jest przestrzenią metryczną zupełną, a T1, T2: X → X spełniają warunek Lipschitza ze stałą λ < 1 i ponadto
sup
x ∈X
%(T1(x), T2(x)) < ε
to punkty stałe xjkontrakcji Tj, gdzie j = 1, 2, spełniają nierówność %(x1,x2) < ε/(1 − λ).
Dowód. Na mocy nierówności trójkąta,
%(x1,x2) = %(T1(x1), T2(x2)) ≤ %(T1(x1), T1(x2)) + %(T1(x2), T2(x2)) < λ%(x1,x2) + ε.
Przenosząc pierwszy składnik na lewą stronę, łatwo otrzymujemy tezę.