1.1. Granica funkcji w punkcie.
Obliczanie granic funkcji w punkcie
• zna definicję granicy funkcji w punkcie
• interpretuje geometrycznie granicę funkcji w punkcie
• oblicza na podstawie definicji proste przypadki granic funkcji w punkcie
• zna twierdzenia dotyczące granic (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu)
• oblicza granice funkcji w punkcie, korzystając z poznanych twierdzeń
• oblicza, na podstawie definicji, granice funkcji w punkcie
• podaje przykłady funkcji, które nie mają granicy w punkcie
• uzasadnia istnienie granicy funkcji w punkcie lub brak granicy funkcji w danym punkcie
• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.2. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie. Granice jednostronne funkcji w punkcie.
Asymptoty pionowe wykresu funkcji
• zna definicję granicy niewłaściwej funkcji w punkcie
• oblicza granice niewłaściwe funkcji wymiernych w punkcie
• oblicza granice prawostronne i lewostronne funkcji w punkcie
• podaje interpretację geometryczną granic jednostronnych w punkcie
• odczytuje z wykresu funkcji jej granice jednostronne w danym punkcie
• wyznacza równania asymptot pionowych
• szkicuje, w prostych przypadkach, (hipotetyczne) wykresy funkcji, znając równania asymptot pionowych
• podaje przykłady funkcji, które mają granice niewłaściwe w punkcie (np. 𝑦 = 𝑎)
𝑥
• rozumie pojęcie symbolu nieoznaczonego
• podaje przykłady funkcji, które mają granicę lewostronną, a nie maję granicy prawostronnej w tym samym punkcie (i odwrotnie)
• szkicuje (hipotetyczne) wykresy funkcji, znając równania asymptot poziomych
• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.3. Granica funkcji w nieskończoności.
Asymptoty poziome wykresu funkcji
• oblicza granice funkcji wielomianowych i wymiernych w nieskończoności, korzystając z poznanych twierdzeń dotyczących granic
• interpretuje geometrycznie uzyskane wyniki obliczonych granic funkcji w nieskończoności
• wyznacza równania asymptot poziomych
• szkicuje, w prostych przypadkach, (hipotetyczne) wykresy funkcji, znając równania asymptot poziomych
• szkicuje (hipotetyczne) wykresy funkcji, znając równania asymptot poziomych
• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.4. Ciągłość funkcji
w punkcie • interpretuje geometrycznie ciągłość funkcji w punkcie
• interpretuje geometrycznie funkcję, która nie jest ciągła w punkcie
bada ciągłość funkcji w danych punktach
1.5. Ciągłość funkcji w przedziale liczbowym
• wskazuje punkty nieciągłości funkcji
• bada ciągłość funkcji przedziale liczbowym, w którym funkcja ta jest określona
rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.6. Pochodna funkcji
w punkcie • zna pojęcie ilorazu różnicowego
• oblicza wartość ilorazu różnicowego funkcji w punkcie
• oblicza z definicji pochodne znanych funkcji w danym punkcie
• wyznacza pochodną funkcji wielomianowych i wymiernych w dowolnym punkcie
• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.7. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej funkcji w punkcie
• interpretuje pochodną funkcji w punkcie (jako tangens kąta nachylenia stycznej do osi x)
• wyznacza równanie stycznej do wykresu funkcji
• podaje interpretację fizyczną pochodnej funkcji w punkcie (prędkość ruchu ciała w chwili t0 jako pochodna funkcji będącej drogą s(t) w punkcie t0)
• stosuje do rozwiązywania zadań interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej funkcji w punkcie
1.8. Pochodna funkcji w zbiorze. Funkcja pochodna. Własności pochodnej funkcji
• zna pojęcie pochodnej funkcji w zbiorze
• wyznacza na podstawie twierdzeń o działaniach na pochodnych (iloczynu funkcji przez stałą c, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu) pochodne funkcji wielomianowych i wymiernych w zbiorze
rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.9. Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji
• zna warunki, jakie musi spełniać pochodna funkcji, aby dana funkcja była monotoniczna w przedziale liczbowym
• na podstawie badania znaku pochodnej wyznacza przedziały, w których funkcja jest: rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca
rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące związku monotoniczności funkcji z pochodną danej funkcji
1.10. Ekstrema
funkcji • wskazuje na wykresie funkcji jej ekstrema
• zna i sprawdza warunki konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji
• wyznacza minimum lokalne oraz maksimum lokalne funkcji w przedziale liczbowym
rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.11. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale liczbowym
• wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale liczbowym, korzystając z
wyznaczonych ekstremów oraz przedziałów monotoniczności funkcji
• wyznacza zbiór wartości funkcji
• rozróżnia ekstrema lokalne funkcji od ekstremów globalnych funkcji
• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
1.12. Zastosowanie pochodnej funkcji do badania własności funkcji
szkicuje wykresy funkcji wielomianowych i wymiernych, korzystając z wyznaczonych granic funkcji, asymptot wykresu funkcji oraz własności pochodnej funkcji
bada przebieg zmienności funkcji
1.13. Zastosowanie pochodnej funkcji w zagadnieniach optymalizacyjnych
stosuje pochodne funkcji wielomianowych i wymiernych do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych
rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące związku monotoniczności funkcji z pochodną danej funkcji
2. Stereometria
2.1. Proste i płaszczyzny w przestrzeni
• określa położenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni
• określa położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni
• określa położenie dwóch prostych w przestrzeni
• rozróżnia proste prostopadłe, równoległe, skośne
• charakteryzuje prostopadłość i równoległość prostej i płaszczyzny
• charakteryzuje prostopadłość i równoległość dwóch płaszczyzn
• uzasadnia warunek prostopadłości oraz równoległości prostej i płaszczyzny, dwóch prostych, dwóch płaszczyzn
• wyznacza rzuty prostokątne różnych figur płaskich na płaszczyznę
• stosuje rzuty prostokątne przy określaniu odległości dwóch płaszczyzn równoległych oraz prostej równoległej do płaszczyzny i tej płaszczyzny
• stosuje rzut prostokątny przy określaniu kąta
• rozumie pojęcie kąta nachylenia prostej do płaszczyzny
• wyznacza rzut prostokątny punktu, odcinka, prostej na płaszczyznę
nachylenia prostej do płaszczyzny
2.2. Graniastosłupy i
ich rodzaje • zna definicję graniastosłupa
• wskazuje: podstawy, ściany boczne, krawędzie podstaw, krawędzie boczne, wysokość, wierzchołki graniastosłupa
• rozróżnia graniastosłupy proste i pochyłe
• zna i rozumie pojęcie graniastosłupa prawidłowego
• wskazuje przekątne graniastosłupa
• opisuje własności równoległościanu
• bada zależność między liczbą ścian, krawędzi i wierzchołków wielościanu
• wykorzystuje wzór Eulera do sprawdzenia, czy istnieje wielościan wypukły o danej liczbie wierzchołków, krawędzi i ścian
2.3. Krawędzie i przekątne w graniastosłupie
• oblicza długość krawędzi i przekątnych graniastosłupa, stosując poznane twierdzenia i funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
• wskazuje kąty między krawędziami graniastosłupa, krawędziami a przekątnymi
• określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu
• oblicza miary kątów między krawędziami graniastosłupa a jego ścianami, przekątnymi a ścianami
• bada istnienie danego przekroju prostopadłościanu
• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności
2.4. Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa
• oblicza pola powierzchni całkowitej i objętość poznanych graniastosłupów
• określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa płaszczyzną
rozwiązuje zadania złożone, dotyczące graniastosłupów, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
2.5. Ostrosłupy i ich
rodzaje • zna definicję ostrosłupa
• wskazuje: podstawę, ściany boczne, krawędzie podstawy, krawędzie boczne, wysokość, spodek wysokości, wierzchołki ostrosłupa
• zna i rozumie pojęcie ostrosłupa prawidłowego
• wskazuje kąty między krawędziami ostrosłupa, krawędziami a przekątnymi podstawy ostrosłupa oraz oblicza miary tych kątów
• wskazuje kąty między krawędziami ostrosłupa a jego ścianami, przekątnymi podstawy ostrosłupa a jego ścianami
• wyznacza podstawowe zależności w ostrosłupie, w tym w czworościanie foremnym
• oblicza miary kątów między krawędziami ostrosłupa a jego ścianami, przekątnymi podstawy ostrosłupa a jego ścianami
• określa, jaką figurą jest dany przekrój ostrosłupa płaszczyzną
2.6. Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
• oblicza pole powierzchni całkowitej i objętość poznanych ostrosłupów
• rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące ostrosłupów, w tym z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
rozwiązuje zadania złożone dotyczące ostrosłupów, o podwyższonym stopniu trudności, z
wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
2.7. Kąt dwuścienny • zna i rozumie pojęcie kąta dwuściennego
• rozpoznaje kąt między ścianami w graniastosłupach i ostrosłupach
• wyznacza miary kątów dwuściennych między ścianami graniastosłupów i ostrosłupów
• rozwiązuje zadania nietypowe o podwyższonym stopniu trudności
2.8. Wielościany
foremne • zna i rozumie pojęcie wielościanu foremnego
• zna klasyfikację wielościanów foremnych i ich podstawowe własności
• wykorzystuje wzory na obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości wielościanów foremnych
• uzasadnia i stosuje zależności między wielościanami foremnymi
• rozwiązuje zadania dotyczące wielościanów foremnych, o podwyższonym stopniu trudności, stosując poznane twierdzenia
2.9. Pole powierzchni • zna definicję walca
• wskazuje: podstawy, powierzchnię boczną,
rozwiązuje zadania złożone dotyczące walców, o podwyższonym stopniu trudności,
całkowitej i objętość
walca tworzącą, wysokość, oś walca
• rozumie pojęcia: przekrój osiowy walca, przekrój poprzeczny walca
• oblicza pole powierzchni całkowitej i objętość walca
• rozpoznaje w walcach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami a płaszczyznami i oblicza miary tych kątów
z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
2.10. Pole powierzchni i
objętość stożka • zna definicję stożka
• wskazuje: podstawę, powierzchnię boczną, tworzącą, wysokość, oś stożka
• rozumie pojęcia: przekrój osiowy stożka, przekrój poprzeczny stożka i kąt rozwarcia stożka
• oblicza pole powierzchni całkowitej i objętość stożka
• rozpoznaje w stożkach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami a płaszczyznami, w tym kąt między tworzącą a podstawą, kąt rozwarcia stożka, oraz oblicza miary tych kątów w prostych
sytuacjach
rozwiązuje zadania złożone dotyczące stożków, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
2.11. Pole powierzchni i objętość kuli
• zna definicje kuli i sfery
• wskazuje: środek i promień kuli i sfery, koło wielkie kuli, pas kulisty, warstwę kulistą
• oblicza pole powierzchni i objętość kuli
• określa jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną
rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące kul, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
2.12. Bryły podobne
• zna definicję brył podobnych
• charakteryzuje własności brył podobnych
• stosuje twierdzenia o polu powierzchni całkowitej i objętości brył podobnych
rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące brył podobnych, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń
2.13. Bryły wpisane
i opisane • rozumie pojęcia: graniastosłup wpisany w walec, graniastosłup opisany na walcu
• rozumie pojęcia: stożek wpisany w walec, walec opisany na stożku
• rozumie pojęcia: kula wpisana w wielościan, kula opisana na wielościanie
• rozwiązuje proste zadania dotyczące brył wpisanych i opisanych
• wyznacza promień kuli wpisanej w wielościan wypukły w zależności od pola powierzchni całkowitej i objętości tego wielościanu
• rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące brył wpisanych i opisanych, z wykorzystaniem poznanych twierdzeń i trygonometrii