Hierarchia odwrotna

Rysunek 14: Zale»no±¢ moduªu ma ierzy masowej neutrin

|M ¹¹ |

^od ^masy

najl»ejszego neutrina. Na szaro zazna zony obszar w którym faza Dira a i

fazy Majorany s¡ dowolne(obszar peªny- bªdy napoziomie

1σ

^, ^obszar^peªny

pluskreskowany- bªdy napoziomie

3σ

^).^Na^niebiesko^zazna
zony^jest^obszar

w którym fazy Majorany wynosz¡ zero. Na zerwono zazna zony jest obszar

w którym fazaDira a jest dowolna a fazy Majorany ustalone (

π/4

^).

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 12 |

m ₁ [eV]

Hierarchia normalna

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 12 |

m ₃ [eV]

Rysunek 15: Zale»no±¢ moduªu ma ierzy masowej neutrin

|M ¹² |

^od ^masy

najl»ejszego neutrina. Dalszy opisjak na Rys. (14).

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 13 |

m ₁ [eV]

Hierarchia normalna

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 13 |

m ₃ [eV]

Hierarchia odwrotna

Rysunek 16: Zale»no±¢ moduªu ma ierzy masowej neutrin

|M ¹³ |

^od ^masy

najl»ejszego neutrina. Dalszy opisjak na Rys. (14).

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 22 |

m ₁ [eV]

Hierarchia normalna

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 22 |

m ₃ [eV]

Hierarchia odwrotna

Rysunek 17: Zale»no±¢ moduªu ma ierzy masowej neutrin

|M ²² |

^od ^masy

najl»ejszego neutrina. Dalszy opisjak na Rys. (14).

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 23 |

m ₁ [eV]

Hierarchia normalna

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 23 |

m ₃ [eV]

Hierarchia odwrotna

Rysunek 18: Zale»no±¢ moduªu ma ierzy masowej neutrin

|M ²³ |

^od ^masy

najl»ejszego neutrina. Dalszy opisjak na Rys. (14).

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 33 |

m ₁ [eV]

Hierarchia normalna

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

| M 33 |

m ₃ [eV]

Hierarchia odwrotna

Rysunek 19: Zale»no±¢ moduªu ma ierzy masowej neutrin

|M ³³ |

^od ^masy

najl»ejszego neutrina. Dalszy opisjak na Rys. (14).

rzy masowej leptonów

W poprzednim rozdziale rozpatrywane byªy pewne wªasno± i ma ierzy

masowej neutrin, polegaj¡ e na przyj iu zaªo»enia o zerowaniu si jej

ele-mentów. Zawsze tak¡ wªasno±¢ ma ierzy masowy h mo»na wyja±ni¢

istnie-niem pewny h sko« zony h symetriiabelowy h.

Innapróba wyja±nienia mieszaniaPMNS polega naprzyj iu rela ji

po-midzyelementamima ierzymasowej

M ν

^,^wynik^aj¡
y
h^z^istnienia^symetrii

nieabelowej.Próbujemyznale¹¢tak¡transforma jpomidzyrodzinami

neu-trin i leptonównaªadowany h,które dadz¡zgodne zeksperymentem, rela je

pomidzyelementami ma ierzymasowej.

Prezentowana w tym rozdzialedyskusja ma harakter opisowy [99, 100℄,

nie dysponujemy narazie wªasnymiwynikaminumery znymi.

4.1 Symetrie nieabelowe w Modelu Standardowym i

je-go rozszerzenia h

W Modelu Standardowym opartym o symetri e howania opisan¡

gru-p¡

SU L (2) ⊗ U ^Y (1)

^hiralne ^lewe ^stany ^z¡stek transformuj¡ si wzgldem reprezenta ji dwuwymiarowej, tworz¡ dublety:

Q αL = u αL

d αL

!

, L αL = ν αL

l αl

!

,

⁽¹¹³⁾

natomiaststany prawe s¡singletami grupy e howania:

u _αR , d _αR , ν _αR , l _αR .

⁽¹¹⁴⁾

Lagran»jan Yukawyw poszerzonym MS,w którymneutrina posiadaj¡ mas

ma posta¢:

L _Y = − ^X

α,β

h ^u _α,β ^h Q ¯ _αL Φu _βR ⁱ + h ^d _α,β ^h Q ¯ _αL Φd ˜ _βR ⁱ + +h ^l _α,β ^h L ¯ αL Φl ˜ βR

i + h ^ν _α,β ^h L ¯ αL Φν βR

i .

(115)

gdzie,

Φ

^jest^dubletem ^Higgsa:

Φ = Φ 0

Φ ⁻

!

,

^natomiast

Φ = iσ ˜ ² Φ ^∗ ,

⁽¹¹⁶⁾

h ^u _α,β , h ^d _α,β , h ^l _α,β , h ^ν _α,β

^s¡ ^ma
ierzami^Yukawy^.

Pospontani znymzªamaniu symetrii:

h˜ Φi = − 1

otrzymujemy ztery ma ierze masowe dlakwarków i leptonów

M _α,β ^u = vh ^u _α,β

√ 2 , M _α,β ^d = vh ^d _α,β

√ 2 , M _α,β ^l = vh ^l _α,β

√ 2 , M _α,β ^ν = vh ^ν _α,β

√ 2 .

⁽¹¹⁸⁾

daj¡ eLagran»jan masowy posta i:

L mass = − ^X

W ogólno± i ma ierze (118) s¡ ma ierzami zespolonymi o wymiarze 3. Dla

neutrinMajoranys¡zespolonymima ierzamisymetry znymi.Dokªadna

dys-kusja ma ierzy masowej neutrinjest przedmiotempierwszego rozdziaªu

pra- y.

Zaªo»yli±my, »eneutrina maj¡naturDira a. Dlaneutrin Majorany musimy

przyj¡¢:

ν βR = C ¯ ν _βL ^T .

⁽¹²⁰⁾

Podobnie,gdyistniej¡neutrinasterylne,posta¢ (119)dlalekki hneutrinnie

ulega zmianie,natomiast:

M ^ν → M L ^ν − M ^D M _R ⁻¹ M _D ^T .

⁽¹²¹⁾

Symetrie pomidzy elementami ma ierzyleptonówmo»emy rozwa»a¢ wMS

a tak»e w jego rozszerzenia h. Wy hodz¡ poza MS, mo»narozwa»a¢ wi ej

multipletówHiggsa, naprzykªad:

• N S

^singletów:

H m

m = 1, 2, . . . , N S

jawiaj¡sijakopolaawonowe.Wnajogólniejszejsytua jime hanizm

nada-wania masy dopusz za sprz»enie z ró»nymi polami Higgsa.

Ozna zmy dowolne zwymieniony h pól fermionowy hjako:

ψ α = {Q ^αL

^lub

u αR , d αR ; L αL

^lub

l αR , ν αR } .

⁽¹²²⁾

Zaªó»my, »e istnieje sko« zona rodzinna symetria

G

^wedªug ^której

transfor-muj¡ si zarówno pola reprezentowane przez dublety jak i pola

reprezen-towane przez singlety. Nie h dla ka»dego z pól

ψ α

^istniej¡ trójwymiarowe ma ierze reprezenta ji

P

^grupy

G

^ozna
zone ^jako

A ^ψ _p

^, ^oraz odpowiednio wy-miarowe ma ierze reprezenta ji grupy

G

^dla multipletówHiggsa, ozna zone np. dladubletówjako

A ^Φ _p

Rozpatrzmy symetri rodzinn¡

G

^dla ^zªonów ^Y^ukawy ^na przykªadzie neu-trin. Symetria ta dla inny h pól, realizowana jest analogi znie. W Modelu

Standardowymwzgldem zakªadanej symetrii, zªon Yukawy:

L Y = − ^X

α,β=e,µ,τ

h ^ν _α,β ^h L ¯ αL Φν βR

i ,

⁽¹²³⁾

musiby¢niezmienni zy.Powy»szy Lagran»janzapisanyjestdlajednegopola

Higgsa.W sytua ji ogólnej przyjmuje on form (gdy mamy na przykªad

N d

dubletów Higgsa):

Zakªadamy,»epolawLagran»jana h(123)i(124)transformuj¡siwsposób:

L ^′ _αL = ^X

α=e,µ,τ

(A ^L _p ) αχ L χR ,

⁽¹²⁵⁾

dla dubletów, dlasingletów:

ν _βR ^′ = ^X

α=e,µ,τ

(A ^ν _p ) βδ ν δR ,

⁽¹²⁶⁾

oraz dla pólHiggsa:

Φ ^′ _i =

N d

X

k=1

(A ^Φ _p ) ik L k .

⁽¹²⁷⁾

Potakiej transforma ji pólLagran»jan (124) przyjmuje posta¢:

L ^′ _Y = −

pa hu, zyli:

X

α

A α B α ≡ A ^α B α .

⁽¹²⁹⁾

Parametry Yukawy

(˜h ^ν _k ) χ,δ

^(Rów. ⁽¹²⁸⁾⁾ ^po transforma ji wyra»aj¡ si w sposób:

Dokonanie transforma ji pól (125) - (127) nie zmienia aªego Lagran»janu

naszego modelu oddziaªywa«elektrosªaby h. Interesuje nas symetria

ma ie-rzymasowy hwynikaj¡ y hzoddziaªywa«Yukawy,takwi zakªadamy,»e:

(123) oraz (128) s¡ równe:

L Y = L ^′ _Y .

⁽¹³¹⁾

St¡d otrzymamyrówno±¢ma ierzy Yukawy przed ipotransforma ji:

(˜h ^ν _k ) χ,δ = (h ^ν _k ) χ,δ .

⁽¹³²⁾

i podobniedlaleptonównaªadowany h:

N d

X

i=1

A ^L† _p (h ^l _i )(A ^Φ _p ) i,k A ^l _p

χ,δ = (h ^l _k ) χ,δ .

⁽¹³⁴⁾

Przyjmuj¡ , »e ka»de pole Higgsa jest u»yte do spontani znego zªamania

symetrii, ma ierzmasowa maposta¢:

•

^przed transforma j¡symetrii:

(M ^ν ) αβ = 1

•

ⁱ ^po transforma jisymetrii:

(M ^′ν ) = 1

Poten jaª Higgsa

V (Φ)

^jest symetry zny:

V (Φ ^′ _i ) = V (Φ i ) ,

⁽¹³⁷⁾

a wi jego minimum przed i po transforma ji pol

Φ i

^jest ^w ^tym ^samym

punk ie, st¡d:

˜

v i = v i

⁽¹³⁸⁾

i bior¡ pod uwag równanie (132) otrzymujemy symetry zno±¢ ma ierzy

masowej:

M ^′ν = M ^ν .

⁽¹³⁹⁾

W ogólnymprzypadku mamy wi (patrz równanie(130)):

M ^′ν = A ^L† _p M ˜ ^ν A ^ν _p ,

⁽¹⁴⁰⁾

gdzie:

M ˜ ^ν = 1

√ 2

N d

X

i,k=1

v k h ^ν _i (A ^Φ _p ) i,k ,

⁽¹⁴¹⁾

jest ró»ne od ma ierzymasowej przed transforma j¡

M ˜ ^ν 6= 1

√ 2

N d

X

k=1

v k h ^ν _k ≡ M ^ν .

⁽¹⁴²⁾

W ogólno± irówno±¢za hodzi tylkow przypadku, gdy

N _d = 1

^, ^wtedy

(A ^Φ _p ) ik = δ ik ,

⁽¹⁴³⁾

i mamy:

M ˜ ^ν = M ^ν .

⁽¹⁴⁴⁾

Jakzoba zymyza hwilrozró»nieniejestbardzowa»ne.Wprzypadkujednej

z¡stki Higgsa mamy bowiem:

M ^′ν = M ^ν = A ^L† M ^ν A ^ν _p .

⁽¹⁴⁵⁾

Wszystkie powy»sze rozwa»ania mo»emy powtórzy¢dla leptonów

naªadowa-ny h. Zrela ji(134)otrzymamy:

M ^′l = A ^L† _p M ˜ ^l A ^l _p ,

⁽¹⁴⁶⁾

gdzie

M ˜ ^l = − 1

√ 2

N d

X

i,k=1

v _k h ^l _i (A ^Φ _p ) _i,k ,

⁽¹⁴⁷⁾

M ˜ ^l 6= M ^l .

⁽¹⁴⁸⁾

Równo±¢mamy dlajednej z¡stki Higgsa jak w MS iwtedy:

M ^′l = M ^l = A ^L† _p M ^l A ^l _p .

⁽¹⁴⁹⁾

Wdalszym i¡gu, dalejwrama hMS,maj¡ rela je(146)oraz(149)

bdzie-my rozpatrywa¢ hermitowskie ma ierze:

M ^l M ^l†

^oraz

M ^ν M ^ν† .

⁽¹⁵⁰⁾

Dla ni h mamybowiem:

M ^l M ^l† = A ^L† _p M ^l A ^l _p A ^l† _p M ^l† A ^L _p = A ^L† _p (M ^l M ^l† )A ^L _p

⁽¹⁵¹⁾

i podobnie:

M ^ν M ^ν† = A ^L† _p (M ^ν M ^ν† )A ^L _p .

⁽¹⁵²⁾

Z rela jity hwynika,»e zarówno ma ierz

M ^L M ^L†

^jak ⁱ

M ^ν M ^ν†

^komutuj¡^z

unitarnymi ma ierzami reprezenta ji grupy symetrii

G

[M ^L M ^L† , A ^L _p ] = 0, [M ^ν M ^ν† , A ^L _p ] = 0 .

⁽¹⁵³⁾

Te unitarne kwadraty ma ierzy masowy h maj¡ po diagonaliza ji na

prze-k¡tnej, odpowiednio kwadraty mas leptonów naªadowany h i neutrin jako

warto± i wªasne:

U _L ^l† M ^l U _R ^l = (M ^l ) diag , U _L ^ν† M ^ν U _R ^ν = (M ^ν ) diag .

⁽¹⁵⁴⁾

(U _R ^ν = U _L ^ν∗

^dla^neutrin ^Majorany

)

Wiemy, »e s¡ trzy ró»ne masy leptonów naªadowany h i trzy ró»ne masy

neutrin, a wi ma ierze masowe nie s¡ zdegenerowane. Wiemy te», »e

ma- ierze komutuj¡ e maj¡ wspólne wektory wªasne. Tak wi z (153) wynika,

»e ma ierze:

M ^l M ^l† , M ^ν M ^ν†

^oraz

A ^L _p ,

⁽¹⁵⁵⁾

maj¡ wspólne wektory wªasne. Je»eli poza tym ma ierze s¡

niezdegenero-wane, to te wspólne wektory wªasne, które z zaªo»enia s¡ unormowane, s¡

okre±lone z dokªadno± i¡ dofaz.

Interesuj¡ nas ma ierze diagonalizuj¡ e

M ^l†

^oraz

M ^ν†

^, ^z ^ni
h ^bowiem

zbu-dowana jest ma ierzPMNS. Mamy wi :

M ^l M ^l† → U L ^l† M ^l U _R ^l U _R ^l† M ^l† U _L ^l = U _L ^l† (M ^l M ^l† )U ^l = (M ^l ) ² _diag ,

⁽¹⁵⁶⁾

M ^ν M ^ν† → U L ^ν† M ^ν U _R ^ν U _R ^ν† M ^ν† U _L ^ν = U _L ^ν† (M ^ν M ^ν† )U ^ν = (M ^ν ) ² _diag .

⁽¹⁵⁷⁾

Wiemy, te» »e unitarne ma ierze diagonalizuj¡ e,awi

U _L ^l

^oraz

U _L ^ν

^s¡

zbu-dowane z unormowany h wektorów wªasny h odpowiednio ma ierzy

M ^l M ^l†

oraz

M ^ν M ^ν†

^, ^o^wida¢ ^z ^rela
ji^(na ^przykªad ^dla ^leptonównaªadowany h):

(M ^l M ^l† )U _L ^l = U _L ^l (M ^l ) ² _diag .

⁽¹⁵⁸⁾

Bardziej pre yzyjnie kolumny ma ierzy

U _L ^l

^to, ^z dokªadno± i¡ do fazy, s¡

wektorami wªasnymima ierzy

M ^l M ^l†

Z dyskusji powy»szej (patrz (155)) wiemy, »e ma ierze

M ^l M ^l†

^oraz

M ^ν M ^ν†

maj¡ wspólne wektory wªasne, a wie tak»e ma ierze

U _L ^l

^oraz

U _L ^ν

dokªad-no± i¡ dofazy, maj¡ takie same kolumny , zyliw ogólno± i:

U _L ^ν = U _L ^l F ,

⁽¹⁵⁹⁾

gdzie:

F =

^diag

(e ^iη ¹ , e ^iη ² , e ^iη ³ ) .

⁽¹⁶⁰⁾

St¡d wynika, »e w ma ierzmieszaniaPMNS wpr¡dzie naªadowanym:

U P M N S = U _L ^l† U _L ^ν = U _L ^l† U _L ^l F = F ,

⁽¹⁶¹⁾

jest diagonaln¡ ma ierz¡ trze h faz, o jak wiemy niejest zgodne z danymi

eksperymentalnymi (patrz rozdziaª2). Jak zoba zymy za hwil, aby

otrzy-ma¢ wMSak eptowaln¡ ma ierzmieszania

U P M N S

^,^symetria^rodzinna^musi

by¢ zªamana.

Wprzypadkuwikszejli zby z¡stekHiggsasytua jatakaniemamiejs a,

z równa« (140) (146) mamy bowiem:

M ^l M ^l† = A ^L† _p ( ˜ M ^l M ˜ ^l† )A ^L _p

ⁱ

M ˜ ^l M ˜ ^l† 6= M ^l M ^l† ,

⁽¹⁶²⁾

i podobnie:

M ^ν M ^ν† = A ^L† _p ( ˜ M ^ν M ˜ ^ν† )A ^L _p

ⁱ

M ˜ ^ν M ˜ ^ν† 6= M ^ν M ^ν† .

⁽¹⁶³⁾

Rela ja komuta ji (153) nie ma miejs a, a wi nie ma zwi¡zku pomidzy

wektorami wªasnymi ma ierzy

M ^l M ^l†

^oraz

M ^ν M ^ν†

^. ^W^takim^razie ^kolumny

ma ierzydiaginalizuj¡ y h

U _L ^l

^oraz

U _L ^ν

^(patrz⁽¹⁵⁶⁾ⁱ^(157)),^za^ka»dym^razem

równe wektorom wªasnym

M ^l M ^l†

^oraz

M ^ν M ^ν†

^, ^nie ^s¡ ^ze ^sob¡ ^powi¡zane

i rela je (159) oraz (161) nie maj¡ miejs a. Aby wi otrzyma¢ ró»n¡ od

diagonalnejma ierz PMNS niemusimy ªama¢ symetriirodzinnej

G

W przypadku Modelu Standardowego aby otrzyma¢

U P M N S 6= F

musi-my zaªo»y¢, »e lewe pola leptonów naªadowany h

l _L

ⁱ ^neutrin

ν _L

^musz¡ ^si

transformowa¢ w ró»ny sposób, a wi nie mo»e by¢ wspólnej transforma ji

dla dubletów:

i zamiast tegopowinno by¢:

ν _L ⇒ A ^L ν ν _L

^oraz

l _L ⇒ A ^L l l _L

A ^L _ν 6= A ^L l .

⁽¹⁶⁵⁾

Takiego zªamaniasymetriiniemo»emyzakªada¢napo z¡tku,gdy»

Lagran»-jan MS nie byªby niezmienni zy, a to byª nasz wyj± iowy warunek.

Zªama-nie symetrii rodzinnej mo»e by¢ spontani zne. Grupa symetrii rodzinnej nie

powinna by¢ i¡gªa. Wiemy bowiem, »e zªamanie globalnej i¡gªej

syme-triipowodujepojawieniesibezmasowy h z¡stekGoldstona, atego h emy

unikn¡¢. Zakªada siwi , »e grupasymetrii jest dyskretna.

W prezentowanej w pra y literaturze dyskutowane s¡ dwa sposoby

ªama-nia symetrii rodzinnej. Obie klasy modeli zakªadaj¡, »e globalna symetria

rodzinna, po spontani znym zªamaniumanifestuje sipoprzez sz z¡tkowe

pozostaªo± i zakªadanejsymetrii.

Modele funk jonuj¡ e w »argonie jako proste zakªadaj¡, »e po zªamaniu

globalnej symetrii rodzinnej pojawiaj¡ sidwie ró»ne jejpodgrupy:

G → {G, F }.

⁽¹⁶⁶⁾

Jedna zni hkojarzona jestzleptonaminaªadowanymi (naj z± iej

ozna za-na jako

F

⁾ ^natomiast ^druga ^z ^neutrinami (naj z± iej ozna zana jako

G

^).

Leptonowa ma ierzmieszaniawyzna zana jestjednozna zniezsymetrii.

Po-dej± ie to bazuje na zaªo»eniu, »e grupa symetrii Kleina

Z 2 × Z ²

^ma
ierzy

masowejneutrinjestidentykowana zpodgrupamiglobalnejsymetrii

G

Naj- z± iejdozrealizowaniatejklasymodeliwymagane jestrozszerzeniesektora

Higgsa, ale niejest towarunek konie zny [60℄.

Dla klas modeli okre±lane jako zªo»one symetria Kleina ma ierzy

maso-wej neutrinnie jest identykowana z»adn¡ z podgrup globalnejsymetrii

G

Symetri

G

^oraz

F

^s¡ ^dyktowane ^me
hnizmem ^seesaw ^I-go ^rodzaju.

Jako naturalne przyjmuje si, »e grupa

G

^jest ^podgrup¡

SU(3)

^[101℄.

Do hwiliobe nej, wposzukiwaniuglobalnej symetrii

G

^, ^przebadane^zostaªy

wszystkie grupy do rzdu 511 [102℄. W o enie autora rozprawy prezentuje

ona najlepsze, bo pozwalaj¡ e porówna¢ zaªo»enia teorety zne z ewiden j¡

eksperymentaln¡,kryteriumistnieniaglobalnejsymetrii.Jesttopra a,która

opiera sinametodzie dire t i bazujenatwierdzeniu,»e ka»dy pro es

mie-szaniaprowadzi dosymetrii

Z 2 × Z ²

^w^ma
ierzy^masowej^neutrin^Majoranyⁱ

symetrii

Z 3

^w^ma
ierzy^masowej^leptonównaªadowany h.Sz z¡tkowegrupy

G

^oraz

F

^s¡^ilo
zynamipóªprostymiglobalnejsymetrii

G

^,^o^jest^klu
zowe^dla

modelowaniama ierzymieszanialeptonówineutrin.Wsz zególno± iozna za

to, »e nie mo»na zdiagonalizowa¢ równo ze±nie w tym ilo zynie póªprostym

wszystki h generatorów grup

Z 3

ⁱ

Z 2

^. ^Ka»da ^z ^ty
h ^grup ^osobno,

o zywi-± ie, mo»e by¢ zaprezentowana przez diagonalne ma ierze 3-wymiarowe. To

odstpstwo od wspóªdiagonaliza ji w ilo zynie póªprostym jest

równo ze-±nie ¹ródªem nietrywialno± i ma ierzy mieszania. Wielko± i¡ koduj¡ a ten

efekt, uzyskan¡ bezpo±redniozreprezenta jigrup

G

^,^jest^tzw ^wektor

miesza-nia (mixingve tor).Aby zwerykowa¢ istnienieglobalnej symetrii

G

^jest ^on

bezpo±rednio porównywany z odpowiednimikolumnamima ierzy PMNS za

po±redni twem testów statysty zny h.

Poniewa»próbypowi¡zaniamieszaniaznieabelow¡symetri¡rodzinn¡nie

daj¡ rezultatu, w literaturze m. in. postuluje si dokªadniejsze przebadanie

tekstur zerowy h i kryj¡ y h si za nimi symetrii abelowy h. Jedno ze±nie

wskazuje si na potrzeb uzyskania dokªadny h dany h eksperymentalny h

po hodz¡ y hzeksperymentówos yla yjny hneutrin.Zfenomenologi znego

punktuwidzeniaratunkiemdlakon ep jiistnieniarodzinny hsymetrii

nie-abelowy h jest wª¡ zenie w sposób daj¡ y mo»liwo±¢ weryka ji z

do±wiad- zeniem taki h kon ep ji jak: rozpatrzenie modelizakªadaj¡ y h sprz»enie

z inn¡ ni» w MS z¡stk¡ Higgsa a tak»e rozszerzenie rozwa»a« o neutrina

sterylne, zarówno przy zaªo»eniu obowi¡zywania MS oraz jego rozszerze«.

Jest toprzedmiotem bie»¡ ejpra y autora.

4.2 Zwi¡zek midzy wyborem bazy dla leptonów

naªa-dowany h a symetri¡ rodzinn¡

Naj z± iej wszystkie rozwa»ania doty z¡ e symetrii horyzontalnej

prze-prowadza si wbazie w której fermiony dolne a wi kwarki d inaªadowane

leptony, s¡ zy zne, a wi maj¡okre±lon¡ mas.

Rozwa»mytkwestiizoba zmyjakiezmianys¡konie znei zysymetria

rodzinna w bazie zy znej jest inna w porównaniu z baz¡ masow¡. Tak jak

poprzednio wprowad¹my wektory zbudowane ze stanów zapa howy h. Dla

leptonów naªadowany h:

N _L =

Ma ierzemasowewwyj± iowy h stana hzapa howy hs¡okre±lone

nastpu-j¡ o:

L ^l _mass = − ¯ L Lα M _αβ ^l L Rβ + h.c. ,

⁽¹⁶⁹⁾

oraz:

L ^ν _mass = − ¯ N _Lα M _αβ ^ν N _Rβ + h.c. .

⁽¹⁷⁰⁾

Potransforma ji unitarnej(gdzie stany zy zne ozna zamy indeksem i)

L Lα ⇒

gdzie tym razemstan masowy i ozna zyli±my przez

β

^,^aby podkre±li¢, »e w tym wypadku stan masowy jestto»samy ze stanem zapa howym.

Dokonajmy na wszystki h stana h zapa howy h identy znej transforma ji:

L L ⇒ SL ^L , L R ⇒ SL ^R ,

⁽¹⁷⁵⁾

N L ⇒ SN ^L , N R ⇒ SN ^R ,

⁽¹⁷⁶⁾

Z symetrii Lorentza wynika, »e aªy Lagran»janMS(ale tak»e wprzypadku

uogólnie« MS)z wyj¡tkiemLagran»januYukawy, nieulegazmianieprzy

ta-kiej transforma ji.

Dokonuj¡ transforma ji (175) i (176) ma ierze masowe (169) i (170)

prze-ksztaª aj¡ si odpowiednio:

L ^l _mass = − ¯ L L (S ^† M ^l S)L R + h.c.

⁽¹⁷⁷⁾

L ^ν _mass = − ¯ N _L (S ^† M ^ν S)N _R + h.c.

⁽¹⁷⁸⁾

W nowej baziezdiagonalizujmy naszema ierze masowe:

L ^l _mass = − ¯ L(U _L ^′l† S ^† M ^l SU _R ^′l )L _R + h.c. = −L L (S ^† M ^l U _R ^l )L _R + h.c. =

= ^X

α

m ^l _α L ¯ _Lα L _Rα + h.c. ,

⁽¹⁷⁹⁾

gdzie przyjli±my

U _L ^′l = I

^oraz

SU _R ^′l = U _R ^l

^a ^tak»e:

L ^ν _mass = − ¯ N L (U _L ^′ν S ^† M ^ν SU _R ^′ν )N R + h.c. = − ¯ N L (U _L ^ν† M ^ν U _R ^ν )N R + h.c. ,

⁽¹⁸⁰⁾

gdzietymrazem

SU _L ^′ν = U _L ^ν

^oraz

SU _R ^′ν = U _R ^ν

^.^Po^takiejtransforma jileptony naªadowane maj¡ okre±lon¡ mas natomiast nowa ma ierz masowa neutrin

jest diagonalizowana transforma j¡biunitarn¡ znowymi ma ierzami:

U _L ^′ν = S ^† U _L ^ν

^oraz

U _R ^′ν = S ^† U _R ^ν .

⁽¹⁸¹⁾

W tej nowej bazie, ma ierzmieszania:

U P M N S = U _L ^′l ,

⁽¹⁸²⁾

w pr¡dzienaªadowanym:

L ¯ L γ ^µ (1 − γ ⁵ )N L → ¯ L L (U _L ^l† U _L ^ν )γ ^µ (1 − γ ⁵ )N L = ¯ L L U _L ^′ν γ ^µ (1 − γ ⁵ )N L ,

⁽¹⁸³⁾

jestwi równama ierzydiagonalizuj¡ ejkwadratma ierzymasowej

M ^ν M ^ν†

W naszej nowej bazie ma ierzmasowaneutrin maposta¢:

M ^ν = S ^† M ^ν S ,

⁽¹⁸⁴⁾

a tak»e:

M ^ν M ^ν† = S ^† (M ^ν M ^ν† )S .

⁽¹⁸⁵⁾

Je»eli wie istniaªa symetria rodzinnaw starej bazie:

[M ^ν M ^ν† , A ^l _p ] = 0 ,

⁽¹⁸⁶⁾

to wnowej baziete» bdzie istniaªasymetria rodzinna:

[M ^ν M ^ν† , A ^′l _p ] = 0 ,

⁽¹⁸⁷⁾

gdzie:

A ^′l _p = S ^† A ^l _p S .

⁽¹⁸⁸⁾

Nowe ma ierze

A ^′l _p

^s¡^poª¡
zone ^se ^starymi

A ^l _p

transforma j¡ podobie«stwa, która opisuje tylko zmian¡bazy inie zmieniasymetrii:

G = {A ^′l,... } = {A ^l p , . . .} = G .

⁽¹⁸⁹⁾

W ten sposób po zmianiebazy symetrie rodzinne niezmieniaj¡ si.

Z analizy dyskretny h nieabelowy h symetrii rodzinny h wynika, »e nie

mo»na i h trywialnie zrealizowa¢. Wikszo±¢ dostpny h pra doty z¡ y h

taki h symetrii kon entruje si gªównie na zaªo»eniu, »e wyj± iowym

mode-lem jestModelStandardowy, wktórym wystpuj¡trzy genera je kwarkówi

leptonów (bez neutrinsterylny h) oraz podstawowy sektor Higgsa z jednym

dubletem. Dla takiego konwen jonalnego MS poszukiwanie symetrii

rodzin-nej, z nowymi danymi dla neutrinowej ma ierzy mieszania, sz zególnie dla

k¡ta ró»nego od zerazako« zyªo siaskiem.Przebadano ró»negrupy

sko«- zone a»do rzdu 511 nieotrzymuj¡ zgodno± i zdo±wiad zeniem. Pomimo

tego, i» pra e z tej masowej z± i zyki zapa hu trwaj¡ ju» do±¢ dªugo

problem w i¡» niejest rozwi¡zany.

Wnioskiem z analiz wtym obszarze jest konie zno±¢ rozszerzenia

prowa-dzony h bada«. W sz zególno± i o kon ep je takie jak: sz zegóªowe

przeba-danie teorii z bogatszym sektorem Higgsa - teorii z dwoma dubletami oraz

trypletem,atak»erozwa»eniesytua jiwktórejopró ztrze haktywny h

neu-trin pojawiaj¡ si neutrina sterylne (jedno lub wi ej) a sektor Higgsa ma

struktur standardow¡ lub rozbudowan¡.

O ile powikszenie sektora kwarkowego i sektora naªadowany h leptonów

jest trudne do zaak eptowania (dane do±wiad zalne silnie ograni zaj¡ takie

hipotezy), to przyj ie rozszerzonego sektora neutrinowego i innego sektora

ªami¡ ego symetri e howania jest i¡glerozwa»ane. Poza tym,dotej pory

analizowane modele przyjmuj¡ w zasadzie, »e ta sama symetria zapa howa

obowi¡zuje dla fermionów górny h (neutrina i kwarki typu up oraz

dol-ny h (leptony naªadowane i kwarki typu down), o w ogólno± i prowadzi

do diagonalnejma ierzymieszania.

Brak globalnejsymetrii nieableowejbyª impulsemdouwa»niejszy h

ana-liz symetrii abelowy h. W zasie gdy obowi¡zywaª s hemat TBM, który w

du»ej zgodno± izdo±wiad zeniemwynikaªzsymetrii nieabelowy h,niebyªo

konie zno± istosowaniagrup ykli zny h.Spowodowaªotoodwrótod

rozwa-»ania kon ep ji je zakªadaj¡ y h. Wobe silnej falsyka ji s hematu TBM,

wynikaj¡ ejzdokªadniejszy hosza owa«warto± iparametrówma ierzy

mie-szania neutrin, kon ep ja symetrii abelowy h staªa si ponownie popularna.

Grupy ykli zne zawsze mo»na uto»samia¢ z zerami ma ierzy masowej

neu-trin. Daje tou»yte zne narzdzie weryka ji istnieniazakªadany h symetrii.

Wrozprawiedoktorskiejzaprezentowanezostaªydwiegrupymodeli

rozwa»a-ny hprzy zaªo»eniu,»e zaksztaªtem ma ierzymasowejneutrin, a ozatym

idzie ksztaªtem leptonowej ma ierzy mieszania, kryj¡ si symetrieabelowe.

Zakªadaj¡ zerowe warto± i konkretny h elementów ma ierzy masowej

neu-trin, przebadane zostaªy mo»liwe realiza je tekstur zerowy h zarówno dla

y h.Przedstawionazostaªaautorskametodaweryka jiistnieniamo»liwy h

tekstur zerowy h, bazuj¡ ana numery zny h obli zenia hMonteCarlo.

Po-kazano,»ewrazzdokªadniejszymieksperymentalnymiosza owaniami

warto-± imoduªówelementówma ierzymieszania,ilo±¢mo»liwy hró»ny htekstur

zerowy h ulega ograni zeniu. Dla nieaktualny h ju» dany h os yla yjny h

mo»liwebyªo siedem niezale»ny h tekstur z dwoma ró»nymi zerami oraz

za-bronionabyªajednateksturazjednymzerem.Preferowanebyªyoba

s hema-tymasowedlaneutrinzarówno s hematnormalny jaki odwrotny.W±wietle

aktualny h dany hos yla yjny h ilo±¢tekstur zdwoma zeramizostaªa

ogra-ni zona do pi iu, przy jedno zesnej preferen ji normalnego s hematu

ma-sowego. Utrzymany jest wniosek o tym, »e nie realizowana jest tylko jedna

tekstura zakªadaj¡ a jedno zero.

Wdrugiej z± irozdziaªu3zaprezentowanazostaªaanalizawpªywu

posz ze-gólny h faz zy zny h na zale»no±¢ moduªu elementu ma ierzy masowej od

masy najl»ejszego neutrina. Fazy niezy zne nie daj¡ »adnego wkªadu do

moduªu elementu ma ierzymasowej neutrin. Metoda tazostaªa

zaaplikowa-na do weryka ji istnienia tekstur z jednym zerowym elementem ma ierzy

masowej neutrin. Potwierdzone zostaªo, »e na poziomie zgodno± i

3σ

niere-alizowana jest tylko jedna tekstura. Wyprowadzony jest wniosek o tym, »e

tylko dlapewny hzakresówfazMajorany,moduªyelementówma ierzowy h

mog¡ by¢równe zero.Taka zale»no±¢niebyªaw ze±niejdyskutowana w

lite-raturze.

Ma ierzePauliegodeniujemy jako:

Wykorzystuj¡ powy»sz¡ deni je (190) mo»na skonstruowa¢ dwa wektory:

σ ^µ = (σ ⁰ , −~σ)

^oraz

σ ˆ ^µ = (σ ⁰ , ~σ) .

⁽¹⁹¹⁾

Czterowymiarowe ma ierze (

µ = 0, 1, 2, 3

⁾ ^to ^tak ^zwane ^ma
ierze ^Dira
a

speªniaj¡ enastpuj¡ e rela je antykomuta ji:

{γ ^µ , γ ^ν } ≡ γ ^µ γ ^ν + γ ^ν γ ^µ = 2g ^µν

⁽¹⁹²⁾

oraz:

γ ⁰ γ ^µ† γ ⁰ = γ ^µ .

⁽¹⁹³⁾

Stosowana w tej pra y reprezenta ja ma ierzy

γ ^µ

^zwana ^jest reprezenta j¡

hiraln¡ (Weyla)i przyjmuje nastpuj¡ ¡ posta¢:

γ ^µ = 0 σ ^µ

Wykorzystuj¡ ma ierze (194) mo»na zdeniowa¢ma ierz hiralno± i

γ 5

γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = 1 0

nazywamy lewoskrtnymi, natomiast stany:

γ ₅ ψ = +ψ ,

⁽¹⁹⁸⁾

przez analogi- prawoskrtnymi.

Nie h

ψ

^bdzie zterokomponentowym spinorem. Deniujmy opertory rzu-towe

P L

P R

ψ L = P L ψ ≡ 1

2 (1 − γ ⁵ ) ψ ,

⁽¹⁹⁹⁾

ψ R = P R ψ ≡ 1

2 (1 + γ 5 ) ψ.

⁽²⁰⁰⁾

Lewoskrtne (199)i prawoskrtne (200)spinory opisuj¡ stanywªasne

opera-tora hiralno± i(196) odpowiadaj¡ e warto± iomwªasnym

±1

Zauwa»my nastpuj¡ e wªasno± i operatorówrzutowy h:

P _L ² = P _L ,

⁽²⁰¹⁾

P _R ² = P R ,

⁽²⁰²⁾

0 = P L P R = P R P L ,

⁽²⁰³⁾

I = P L + P R .

⁽²⁰⁴⁾

Zrela ji(204),dowolnybispinormo»naprzedstawi¢ jakosumdwuwkªadów

o prze iwny h hiralno± ia h:

ψ = Iψ = P L ψ + P R ψ ≡ ψ ^L + ψ R .

⁽²⁰⁵⁾

Po hodn¡

← →

∂ µ

^, ^deniuje ^si^jako:

← ∂ → µ ≡ − → ∂ µ − ← ∂ − µ ,

⁽²⁰⁶⁾

o ozna za, »e dla dowolny h spinorów

ψ 1

ⁱ

ψ 2

ψ ₁ ^T ← →

∂ µ ψ 2 = ψ ₁ ^T (∂ µ ψ 2 ) − ∂ µ ψ ₁ ^T ψ 2 .

⁽²⁰⁷⁾

Zewzgldu naneutralny harakterneutrinistniejemo»liwo±¢ narzu enia

do-datkowego warunku (tzw. warunek Majorany):

ψ = C ¯ ψ ^T = ψ ^c ,

⁽²⁰⁸⁾

gdzie:

ψ = ψ ¯ ^† γ 0 ,

⁽²⁰⁹⁾

natomiast

C

^to ^opera
ja ^sprz»enia ªadunkowego transformuj¡ a z¡stk w jej anty z¡stk:

ψ(x) → ψ ^c (x) = C ¯ ψ ^T (x) = −γ ⁰ Cψ ^∗ (x)

⁽²¹⁰⁾

ψ(x) → ¯ ¯ ψ ^c (x) = −ψ ^T (x)C ^† ,

⁽²¹¹⁾

Cγ µ ^T C ⁻¹ = −γ ^µ , C ^† = C ⁻¹ , C ^T = −C.

⁽²¹²⁾

Podobnie dlastanów lewy hi prawy h:

ψ L → (ψ ^c ) _L ≡ ψ L ^c = (ψ R ) ^c ,

⁽²¹³⁾

ψ R → (ψ ^c ) _R ≡ ψ R ^c = (ψ L ) ^c .

⁽²¹⁴⁾

Narzu enie warunku Majorany ozna za, i» z¡stka ma identy zne wªasno± i

jak jejanty z¡stka.

Ma ierz

C

^jest^równa:

C = iγ ² γ ⁰

⁽²¹⁵⁾

i w bazieWeyla maposta¢:

C = −ε 0 0 ε

!

,

⁽²¹⁶⁾

gdzie:

ε = iσ ² = 0 1

−1 0

!

.

⁽²¹⁷⁾

Dodatek B Diagonaliza ja ma ierzy

Twierdzenie 1. Dowoln¡ nieosobliw¡ ma ierz

m

^mo»nazdiagonalizowa¢za pomo ¡ podwójnej transforma ji unitarnej:

S ^† mT = m d

⁽²¹⁸⁾

Dowód. Ma ierz

mm ^†

^jest hermitowska,istnieje wi unitarnama ierz

S

ta-ka,»e:

S ^† mm ^† S = m ² _d

Zdeniujmy:

H = Sm d S ^† = H ^†

^oraz

V = H ⁻¹ m

Ma ierz

V

^jest^unitarna,^o^mo»na^sprawdzi¢bezpo±rednimra hunkiem. Za-tem:

m _d = S ^† HS = S ^† mV ^† S = S ^† mT

^, ^gdzie:

T = V ^† S

Twierdzenie2. Dowoln¡symetry zn¡nieodobliw¡ma ierzzespolon¡mo»na

zdiagonalizowa¢ transforma j¡ ortogonaln¡ za pomo ¡ ma ierzy unitarnej.

Dowód. Korzystaj¡ z twierdzenia (1) mamy:

S ^† mT = m _d

^, ^gdzie

S

ⁱ

T

^s¡

ma ierzami unitarnymi.

W dokumencie Leptonowa macierz mieszania - aspekty symetrii i analiza numeryczna (Stron 51-72)

Hierarchia odwrotna

|M 11 |

1σ

3σ

π/4

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 12 |

m 1 [eV]

Hierarchia normalna

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 12 |

m 3 [eV]

Hierarchia odwrotna

|M 12 |

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 13 |

m 1 [eV]

Hierarchia normalna

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 13 |

m 3 [eV]

Hierarchia odwrotna

|M 13 |

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 22 |

m 1 [eV]

Hierarchia normalna

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 22 |

m 3 [eV]

Hierarchia odwrotna

|M 22 |

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 23 |

m 1 [eV]

Hierarchia normalna

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 23 |

m 3 [eV]

Hierarchia odwrotna

|M 23 |

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 33 |

m 1 [eV]

Hierarchia normalna

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0

| M 33 |

m 3 [eV]

Hierarchia odwrotna

|M 33 |

M ν

SU L (2) ⊗ U Y (1)

Q αL = u αL

d αL

!

, L αL = ν αL

l αl

!

,

u αR , d αR , ν αR , l αR .

L Y = − X

α,β

 h u α,β h Q ¯ αL Φu βR i + h d α,β h Q ¯ αL Φd ˜ βR i + +h l α,β h L ¯ αL Φl ˜ βR

i + h ν α,β h L ¯ αL Φν βR

i .

Φ

Φ = Φ 0

Φ −

!

,

|M ¹¹ |

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₁ [eV]

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₃ [eV]

|M ¹² |

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₁ [eV]

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₃ [eV]

|M ¹³ |

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₁ [eV]

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₃ [eV]

|M ²² |

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₁ [eV]

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₃ [eV]

|M ²³ |

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₁ [eV]

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

10 ^-4 10 ^-3 10 ^-2 10 ^-1 10 ⁰

m ₃ [eV]

|M ³³ |

SU L (2) ⊗ U ^Y (1)

u _αR , d _αR , ν _αR , l _αR .

L _Y = − ^X

h ^u _α,β ^h Q ¯ _αL Φu _βR ⁱ + h ^d _α,β ^h Q ¯ _αL Φd ˜ _βR ⁱ + +h ^l _α,β ^h L ¯ αL Φl ˜ βR

i + h ^ν _α,β ^h L ¯ αL Φν βR

i .

Φ ⁻

Φ = iσ ˜ ² Φ ^∗ ,

h ^u _α,β , h ^d _α,β , h ^l _α,β , h ^ν _α,β

M _α,β ^u = vh ^u _α,β

√ 2 , M _α,β ^d = vh ^d _α,β

√ 2 , M _α,β ^l = vh ^l _α,β

√ 2 , M _α,β ^ν = vh ^ν _α,β

L mass = − ^X

ν βR = C ¯ ν _βL ^T .

M ^ν → M L ^ν − M ^D M _R ⁻¹ M _D ^T .

ψ α = {Q ^αL

A ^ψ _p

A ^Φ _p

L Y = − ^X

h ^ν _α,β ^h L ¯ αL Φν βR

L ^′ _αL = ^X

(A ^L _p ) αχ L χR ,

ν _βR ^′ = ^X

(A ^ν _p ) βδ ν δR ,

Φ ^′ _i =

(A ^Φ _p ) ik L k .

L ^′ _Y = −

A α B α ≡ A ^α B α .

(˜h ^ν _k ) χ,δ

L Y = L ^′ _Y .

(˜h ^ν _k ) χ,δ = (h ^ν _k ) χ,δ .

A ^L† _p (h ^l _i )(A ^Φ _p ) i,k A ^l _p

χ,δ = (h ^l _k ) χ,δ .

(M ^ν ) αβ = 1

(M ^′ν ) = 1

V (Φ ^′ _i ) = V (Φ i ) ,

M ^′ν = M ^ν .

M ^′ν = A ^L† _p M ˜ ^ν A ^ν _p ,

M ˜ ^ν = 1

v k h ^ν _i (A ^Φ _p ) i,k ,