Ilustracja analizy przebiegu badanego procesu losowego na podstawie wyników monitoringuwyników monitoringu

Jako przykład do zilustrowania możliwości analizy przebiegu procesu probabilistycznego wykorzystamy znany monitoring stanu wód w ustalonych punktach koryta rzeki. Na podsta­

wie pomiarów poziomu wody w kilku czy kilkunastu stałych punktach określa się przydat­

ność rzeki do celów żeglugi bądź ocenia się stan zagrożenia powodziowego. Dlatego definiuje się stany wód - niski, średni, wysoki - lub poziomu fali powodziowej - poniżej stanu alar­

mowego, stan alarmowy, stan zagrożenia powodziowego. O poszczególnych stanach infor­

mują wskaźniki pomiaru poziomu wody. Przepływ wody w korycie rzeki jest procesem pro­

babilistycznym uzależnionym od niezliczonej liczby czynników pogodowych i topograficz­

nych całej zlewni cieku wodnego. Systematyczne pomiary poziomu wody w poszczególnych punktach monitoringu dostarczają informacji o losowych zmianach stanu wód, a użytkownik

rzeki chciałby się dowiedzieć o trendach tych zmian, czy np. poziom będzie się utrzymywał w tym samym zakresie, czy będzie się on obniżał, czy też zacznie wzrastać. Ma to podstawowe znaczenie dla prawidłowego ruchu żeglugi rzecznej lub dla działania nadzoru przeciwpowo­

dziowego. W stanach zagrożenia podejmowane są odpowiednie środki zapobiegawcze, dzia­

łania profilaktyczne.

Uznając proces przepływu fali rzecznej za proces stacjonarny i ergodyczny, możemy do oceny jego trendu, czyli wypadkowego poziomu wody czy fali, użyć macierzy przejścia Mar­

kowa. Dokonując pomiarów w ustalonych odstępach czasu tak, aby nie pominąć żadnego momentu przejścia stanu wody z jednego poziomu do drugiego lub trzeciego, otrzymujemy macierz przejścia. Ustalmy trzy poziomy:

I - stan niski lub poziom fali poniżej stanu alarmowego, II - stan średni lub stan alarmowy fali powodziowej, III - stan wysoki lub stan zagrożenia powodziowego.

pomiory

Jl

Słony poziomów wody lub foli powodziowej III _.

czos

II )

-1 1 1

Rys.2.17. Klasyfikacja pomiarów stanu wody: I - stan niski (poziom fa li poniżej stanu alarmowego). I I - stan średni (stan alarmowy fa li powodziowej). III - stan wysoki (stan zagrożenia powodziowego), t - prze­

dział czasu pom iarów (t=1)

Fig.2.17. Classification o f water level measurements: I - low level (wave level bellow the alarm one), II - me­

dium level (alarm level o f flo o d wave), III - high level (level o f flood hazard), t - time interval o f me­

asurements (t=1)

W czasie pomiarów stwierdzono następującą sytuację (rys.2.17) [22]:

dwukrotnie zanotowano utrzymujący się niski stan wody, czyli przejście stanu pierwszego w pierwszy (I-»I),

- jednokrotnie poziom wody podniósł się do stanu średniego, to znaczy, że przeszedł od pierwszego w drugi (I—»II),

- nie stwierdzono, aby stan niski podniósł się natychmiast do stanu wysokiego (I—>111), - jednokrotnie stan średni opadł do stanu niskiego (II—>1),

- jedenastokrotnie poziom wody utrzymywał się na wysokości poziomu średniego (II—>11),

- dwukrotnie stan średni podniósł się do stanu wysokiego (II—>111),

- nie zanotowano, aby nastąpił gwałtowany spadek poziomu wód od stanu wysokiego do niskiego (III—>1),

- jednokrotnie stan wysoki obniżył się do stanu średniego (III—>11),

- trzykrotnie stwierdzono, że poziom wody utrzymywał się na poziomie stanu wysokiego (III->III).

Na podstawie tych danych budujemy następującą macierz przejść Markowa [22]:

poziom wody I II III liczba przejść

(2.98)

Przechodząc do prawdopodobieństw przejść każdy wiersz macierzy dzielimy przez liczbę przejść, czyli dochodzimy do macierzy w postaci: Dalsze wzbogacanie danych będzie wpływać na zmianę prawdopodobieństw zgodnie z roz­

wojem drzewa genealogicznego, a więc zgodnie z ciągiem iloczynów macierzy:

h i - W W

[p3] = [ p 2 ][p,]

i ogólnie

[Pn ] = [Pn- l] [ P ll (2-101)

Z teorii procesów Markowa wiadomo, że dostatecznie odległa, końcowa macierz prawdopo­

dobieństw przejść ulega stabilizacji i nie zależy od macierzy początkowej. W ogólnym przy­

padku mamy więc:

[P n ]= [P „ -l][P l]= [P n- l ] (2-102)

Prawdziwość tej właściwości macierzy przejść Markowa można pokazać wykonując poszcze­

gólne kroki obliczeń macierzy (2.99) zgodnie ze schematem (2.100) i (2.101).

Wyznaczenie końcowej macierzy przejść może też być zrealizowane w wyniku rozwiąza­

nia następującego równania macierzowego (2.102):

[X ][P,] = [X] (2.103)

gdzie: [X] - macierz niewiadomych prawdopodobieństw [X] = [XiX2X3] równa macierzy [Pn-1] = [X], Xj - prawdopodobieństwo zmian poziomu wody w miarę upływu czasu.

Mając dodatkowo warunek dotyczący sumy prawdopodobieństw:

w którym jedno z trzech pierwszych, na przykład drugie może być pominięte jako najbardziej złożone i ostatecznie możemy zapisać:

Z rozwiązania tego układu otrzymujemy końcową macierz wskazującą na prawdopodobień­

stwo przejść poziomu wody w poszczególne stany:

poziom wody I II III

Z otrzymanego wyniku możemy wnioskować, że w najbliższym czasie możemy się spo­

dziewać w 12% niskiego stanu wody bądź fali poniżej stanu alarmowego, w 56% średniego stanu wody, lub stanu alarmowego fali powodziowej, a w 32% stanu wód wysokich czy też stanu zagrożenia powodziowego. O ile pierwsze stany dotyczące żeglugi są pomyślne, o tyle poziom fali powodziowej jest alarmujący i wymaga rozpoczęcia zabiegów profilaktycznych chroniących przed powodzią, na przykład przeglądu budowli inżynierskich, głównie urządzeń wodnych, mostów i innych obiektów komunikacyjnych.

Podobną analizę zjawisk można przeprowadzić w czasie badań niszczących, na przykład autorskich badań płyty żelbetowej [113]. Obserwując płytę podczas jej systematycznego ob­

ciążania, zarejestrowano trzy różne zjawiska zachodzące po sobie w różnej kolejności po po­

jawieniu się pierwszych rys:

- rozwieranie się zaistniałych rys bez pojawienia się nowych (stan I),

- pojawianie się nowych spękań z jednoczesnym rozwieraniem się rys już ¡śmiejących (stan II),

- występowanie nowych spękań bez rozwierania się tych już ¡śmiejących (stan III).

W tym przypadku wykres na rysunku 2.17 i macierz (2.98) należy potraktować jako wygene­

rowane symulacyjnie wyniki następującego procesu niszczenia płyty:

- dwukrotnie zarejestrowano rozwieranie się już zaistniałych spękań bez pojawienia się nowych rys (I—>1),

- jednokrotnie zauważono, że po czystym rozwieraniu się szczelin istniejących spękań na­

stąpiło zarówno dalsze ich rozwarcie, jak i nowe pęknięcie (I—>11),

- ani razu nie stwierdzono, aby natychmiast po czystym rozwieraniu się istniejących szcze­

lin nastąpiło pęknięcie, któremu nie towarzyszyłoby rozwarcie szczelin (I-»HI),

- jednokrotnie spostrzeżono, że po jednoczesnym rozwieraniu się istniejących szczelin i pojawianiu się nowych spękań następowało jedynie rozwarcie szczelin (II—>1),

- jednokrotnie proces rozwarcia istniejących szczelin i nowych spękań następował jedno­

cześnie (II—>11),

- dwukrotnie zarejestrowano, że po jednoczesnym procesie rozwierania i pojawiania się spękań ponownie nastąpiło tylko nowe pęknięcie przy stałym rozwarciu wcześniejszych szczelin (II-»III),

- ani razu nie stwierdzono, aby po pojawieniu się dalszych spękań następowało czyste ich rozwarcie (III—>1),

- jednokrotnie zanotowano zarówno pojawienie się nowego pęknięcia, jak i rozwarcie szczelin istniejących (III—>-11),

- trzykrotnie skonstatowano nowe spękania bez wyraźnego ich rozwarcia (III—>111).

W ten sposób opisany proces niszczenia płyty dostarcza nam istotnych informacji o jej pozasprężystej charakterystyce wytrzymałościowej. Płyta ulega zniszczeniu w 12% jako ma­

teriał plastyczny, w 56% jako plastyczno-kruchy i w 32% jako kruchy. O ile beton generuje kruche pękanie płyt, to zbrojenie jest niewątpliwie elementem nadającym jej właściwości plastyczne, zwłaszcza po jego odsłonięciu w końcowym etapie badań. Zmieniając rodzaj be­

tonu lub parametry zbrojenia, otrzymamy różne zmienne charakterystyki pracy płyt i możemy wybrać taką, która będzie najbardziej przydatna dla postawionych celów. Tak dokładna anali­

za rozwijających się uszkodzeń płyty w czasie jej zniszczenia wymaga bardzo precyzyjnej aparatury pomiarowej i odpowiedniej interpretacji uzyskiwanych wyników. Bardziej uprosz­

czony system monitoringu i dokładniejszą interpretację fizyczną rejestrowanego procesu omówimy w dalszej części pracy.

Zaprezentowany system monitorowania i sterowania decyzjami w sytuacji zagrożenia bu­

dowli inżynierskich może dostarczyć niezbędnych informacji o stanie tych budowli po poja­

wieniu się pierwszych spękań spowodowanych takimi czynnikami, jak szkody górnicze, wez­

brania wód powodziowych itp.