Iteracyjna metoda rozwiązania problemu optymalizacji

Posiadając oszacowane parametry modelu 𝑐₀ i odpowiadającą znormalizowaną próbkę intensywności 𝑎_𝑠 możliwe jest iteracyjne rozwiązanie problemu optymalizacji.

W pierwszej kolejności szacowany jest wektor błędu 𝛿𝑎0 (4.48) oraz wynikający z niego aktualny błąd 𝐸₀ (4.49):

𝛿𝑎₀ = 𝑎_𝑠− 𝑎_𝑚 (4.48)

𝐸₀ = |𝛿𝑎₀|² (4.49)

Następnie obliczane jest aktualne szacowane odchylenie parametrów modelu (4.50) i na jego podstawie wyznaczane są nowe parametry modelu (4.51):

𝛿𝑐 = 𝐴𝛿𝑎0 (4.50)

𝑐₁ = 𝑐₀− 𝑘_𝑑𝛿𝑐 (4.51) dla współczynnika 𝑘_𝑑 przyjmującego wartość 1.

Uwzględniając nowe parametry obraz analizowany jest po raz kolejny i wyliczana jest nowa wartość wektora błędu 𝛿𝑎1. Jeżeli nowa wartość aktualnego błędu |𝛿𝑎1|² jest mniejsza od 𝐸₀ (4.52) to nowa wartość parametrów modelu 𝑐₁ jest akceptowana,

|𝛿𝑎₁|² < 𝐸₀ (4.52)

w innym wypadku zmieniana jest wartość współczynnika 𝑘𝑑aż do potwierdzenia praw-dziwości nierówności 4.52.

Procedura ta powtarzana jest do czasu ustabilizowania wartości błędu |𝛿𝑎|² i za-deklarowania zbieżności.

4.3.5 Optymalizacja funkcji kosztu

Model Aktywnego Wyglądu (ang. Active Appearance Model ) [40, 42, 62] jest sta-tystycznym modelem deformowalnym łączącym Model Kształtu (ang. Shape Model ) [43] oparty na Analizie Składowych Głównych (ang. Principal Component Analysis) [2] z Modelem Wyglądu (ang. Appearance Model ) [40]. Ze statystycznego punktu wi-dzenia Model Aktywnego Wyglądu oparty jest na algorytmie generatywnym (ang.

generative algorothm) modelującym metodę tworzenia informacji wejściowej w celu kategoryzacji sygnału [40, 42]. Zadaniem realizowanym przez Model Aktywnego Wy-glądu jest iteracyjne dążenie do ustalenia parametrycznego opisu konkretnego obiek-tu. Dopasowywanie (ang. fitting) Modeli Aktywnego Wyglądu jest w rzeczywistości problemem nieliniowej optymalizacji dążącym do minimalizacji globalnego błędu po-między analizowanym obrazem i modelem wyglądu [6, 7, 8, 42, 62].

Wykorzystywany w procesie optymalizacji Model Kształtu (ang. Shape Model ) wyznaczany jest na podstawie Modelu Rozkładu Punktów (ang. Point Distribution Model ) uzyskanego z manualnie oznaczonych na zestawie 𝑁 obrazów uczących kształ-tów (ang. training shapes) {𝑠1, 𝑠2, ..., 𝑠𝑁}. Pojedynczy kształt określony jest w postaci

2𝐿 × 1 wektora składającego się z 𝐿 punktów (ang. landmarks) opisanych w postaci współrzędnych (𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) (4.53):

𝑠 = [𝑥₁, 𝑦₁, 𝑥₂, 𝑦₂, ..., 𝑥_𝐿, 𝑦_𝐿]^𝑇 (4.53) Ręcznie wyznaczone kształty poddawane są Uogólnionej Analizie Procrustes’a (ang. Generalized Procrustes Analysis) oraz Analizie Składowych Głównych (ang.

Principal Component Analysis) prowadzących do wyznaczenia wektorów własnych (ang. eigenvectors) odpowiedzialnych za transformacje takie jak skalowanie, obra-canie i przesunięcia. Na podstawie uzyskanych danych Model Kształtu przedstawić można w postaci (4.54):

{¯𝑠, 𝑈_𝑠} (4.54)

gdzie 𝑈_𝑠 jest macierzą wektorów własnych kształtu, a ¯𝑠 średnim wektorem kształtu.

Pojedynczy kształt (ang. shape) może zostać odtworzony przy pomocy równania (4.55):

𝑠 = ¯𝑠 + 𝑈_𝑠𝑝_𝑠 (4.55)

gdzie 𝑝_𝑠= [𝑝_𝑠1, 𝑝_𝑠2, ..., 𝑝_𝑠𝑛]^𝑇 jest wektorem parametrów kształtu.

Wykorzystywany w procesie optymalizacji Model Wyglądu (ang. Appearance Mo-del ) wyznaczany jest na podstawie rozkładu wartości skali szarości (określonej przy pomocy funkcji cech 𝐹 (𝐼_𝑖)) obrazów uczących 𝐼 odkształconych przy pomocy funkcji odkształcenia (ang. Warp Function) 𝑊 (𝑝_𝑠) do średniego kształtu ¯𝑠. Wartości te są następnie wektoryzowane do postaci (4.56):

𝑎_𝑖 = 𝐹 (𝐼_𝑖)(𝑊 (𝑝_𝑠𝑖)) ≡ 𝑔_𝑖(𝑊 (𝑝_𝑠𝑖)) (4.56) (gdzie 𝑔 jest pojedynczym analizowanym obrazem) i poddawane Analizie Składowych Głównych umożliwiającej przedstawienie Modelu Wyglądu w postaci (4.57):

{¯𝑎, 𝑈_𝑎} (4.57) gdzie 𝑈_𝑎 jest macierzą wektorów własnych wyglądu, a ¯𝑎 średnim wektorem wyglądu.

Pojedynczy wygląd (ang. appearance) może zostać odtworzony przy pomocy rów-nania (4.58):

𝑎 = ¯𝑎 + 𝑈_𝑎𝑝_𝑎 (4.58)

gdzie 𝑝_𝑎= [𝑝_𝑎1, 𝑝_𝑎2, ..., 𝑝_𝑎𝑚]^𝑇 jest wektorem parametrów wyglądu.

Dopasowywanie (ang. fitting) Modelu Aktywnego Wyglądu (ang. Active Appe-arance Model ) [6, 7, 8, 42, 62] do analizowanego obrazu oparte jest na minimalizacji funkcji kosztu względem parametrów kształtu (ang. shape) i wyglądu (ang. appearan-ce) (4.59):

𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛

𝑝𝑠,𝑝𝑎

||𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎 − 𝑈_𝑎𝑝_𝑎||² (4.59) Zadanie to wykonywane jest przy pomocy metody Lucas-Kanade [14, 134, 196]

będącej odmianą metody Gradientu Prostego (ang. Gradient Descent ) [19, 168, 169].

Oparte na optymalizacji rozwiązania prowadzące do minimalizacji globalnego błę-du w procesie dopasowywania Modelu Aktywnego Wygląbłę-du zaproponowane zostały przez Matthews’a i Baker’a w [137] i są określane mianem Kompozycyjnego Gra-dientu Prostego (ang. Compositional Gradient Descent, skr. CGD). Ze względu na kierunek wyznaczania parametrów wykorzystywane w pracy techniki optymalizacji podzielić można na Przednio Kompozycyjne (ang. Forward-Compositional ) oraz Od-wrotnie Kompozycyjne (ang. Inverse-Compositional ) [6, 7, 8].

Algorytm Projekcji Odwrotnie Kompozycyjnej

Algorytm Projekcji Odwrotnie Kompozycyjnej (ang. ProjectOut Inverse Compositio-nal, skr. POIC) [137] rozdziela informacje o kształcie (ang. shape) i wyglądzie (ang.

appearance) poprzez rozwiązywanie problemu optymalizacji funkcji kosztu w

płasz-czyźnie prostopadłej do zmian wyglądu. Funkcja kosztu dla algorytm Projekcji Od-wrotnie Kompozycyjnej przyjmuje formę (4.60)[6, 8, 137]:

𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛

∆𝑝𝑠

||𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎(𝑊 (∆𝑝_𝑠))||²_𝑈ˆ

𝑎 (4.60)

gdzie ˆ𝑈_𝑎 = 𝐼 − 𝑈_𝑎𝑈_𝑎^𝑇, a 𝐼 jest macierzą jednostkową.

Aktualizacja parametrów kształtu wykonywana jest zgodnie z równaniem (4.61):

∆𝑝_𝑠= 𝐻⁻¹𝐽^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎] (4.61) gdzie 𝐻 = 𝐽_𝑎^𝑇𝐽_𝑎 jest przybliżeniem macierzy Hessego wykonanym metodą Gauss’a-Newton’a, a 𝐽_𝑎 = ˆ𝑈_𝑎∇¯𝑎^𝜕𝑊_𝜕𝑝

𝑠|_𝑝𝑠=0 jest Jakobianem [6, 8, 137].

Rekonstrukcja wyglądu odbywa się na końcu iteracyjnego procesu aktualizacji i jest wykonywana na podstawie parametrów wyglądu określonych zgodnie z równaniem (4.62):

𝑝𝑎 = 𝑈_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝𝑠)) − ¯𝑎] (4.62)

Algorytm Jednocześnie Odwrotnie Kompozycyjny

Algorytm Jednocześnie Odwrotnie Kompozycyjny (ang. Simultaneous Inverse Com-positional, skr. SIC) [8, 90] rozwiązuje problem minimalizacji funkcji kosztu poprzez jednoczesną optymalizację parametrów kształtu i wyglądu. Funkcja kosztu dla algo-rytmu Jednocześnie Odwrotnie Kompozycyjnego przyjmuje formę (4.63) [6, 8, 90]:

𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛

∆𝑝𝑠,∆𝑝𝑎

||𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎(𝑊 (∆𝑝_𝑠)) −

𝑚

∑︁

𝑖=1

(𝑝_𝑎𝑖 + ∆𝑝_𝑎𝑖)𝑢_𝑖(𝑊 (∆𝑝_𝑠))||² (4.63)

gdzie 𝑢_𝑖 są wektorami własnymi pojedynczego wyglądu.

Aktualizacja parametrów wykonywana jest zgodnie z równaniem (4.64):

∆𝑝 = 𝐻⁻¹𝐽^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝𝑠)) − ¯𝑎 − 𝑈𝑎𝑝𝑎] (4.64)

gdzie ∆𝑝 = [∆𝑝^𝑇_𝑠, ∆𝑝^𝑇_𝑎]^𝑇 jest wektorem połączonych zmian parametrów, macierz Hessego 𝐻 = 𝐽_𝑎^𝑇𝐽_𝑎, a Jakobian 𝐽_𝑎= ∇¯𝑎^𝜕𝑊_𝜕𝑝

𝑠|_𝑝𝑠=0+^∑︀𝑚_𝑖=1𝑝_𝑎𝑖∇𝑢_𝑖^𝜕𝑊_𝜕𝑝

𝑠|_𝑝𝑠=0 [6, 8, 90].

Algorytm Naprzemienny Odwrotnie Kompozycyjny

Funkcja kosztu algorytmu Naprzemiennie Odwrotnie Kompozycyjnego (ang. Alter-nating Inverse Compositional, skr. AIC) [155, 200] przyjmuje tę samą formę, co dla algorytmu Jednocześnie Odwrotnie Kompozycyjnego (4.65) [6, 8, 155, 200]:

𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛

∆𝑝𝑠,∆𝑝𝑎

||𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎(𝑊 (∆𝑝_𝑠)) −

𝑚

∑︁

𝑖=1

(𝑝_𝑎𝑖 + ∆𝑝_𝑎𝑖)𝑢_𝑖(𝑊 (∆𝑝_𝑠))||² (4.65)

Różnica między algorytmami polega na wykonywaniu naprzemiennych aktualiza-cji parametrów zamiast jednoczesnej. Aktualizacja parametrów dla algorytmu Na-przemiennie Odwrotnie Kompozycyjnego wykonywana jest naNa-przemiennie zgodnie z równaniami (4.66) i (4.67):

∆𝑝_𝑎 = 𝑈_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎 − 𝑈_𝑎𝑝_𝑎− 𝐽_𝑎∆𝑝_𝑠] (4.66)

∆𝑝_𝑠= 𝐻⁻¹𝐽_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎 − 𝑈_𝑎(𝑝_𝑎+ ∆𝑝_𝑎)] (4.67) gdzie macierz Hessego 𝐻 = 𝐽_𝑎^𝑇𝐽_𝑎, a Jakobian 𝐽_𝑎= ∇¯𝑎^𝜕𝑊_𝜕𝑝

𝑠|_𝑝𝑠=0+^∑︀𝑚_𝑖=1𝑝_𝑎𝑖∇𝑢_𝑖^𝜕𝑊_𝜕𝑝

𝑠|_𝑝𝑠=0.

Algorytm Zmodyfikowany Naprzemienny Odwrotnie Kompozycyjny

Algorytm Zmodyfikowany Naprzemienny Odwrotnie Kompozycyjny (ang. Modified Alternating Inverse Compositional, skr. MAIC) w przeciwieństwie do algorytmu Na-przemiennie Odwrotnie Kompozycyjnego określa aktualne parametry wyglądu 𝑝_𝑎 po-przez projekcję obrazu wejściowego wykorzystującą aktualne parametry kształtu 𝑝𝑠. Aktualizacja parametrów wykonywana jest w pierwszej kolejności dla parametrów kształtu (4.68):

∆𝑝_𝑠= 𝐻⁻¹𝐽_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎 − 𝑈_𝑎𝑝_𝑎] (4.68) Następnie parametry wyglądu dla kolejnej iteracji określane są zgodnie z równa-niem (4.69):

𝑝𝑎 = 𝑈_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝𝑠)) − ¯𝑎] (4.69)

Algorytm Odwrotnie Kompozycyjny Wiberga

Algorytm Odwrotnie Kompozycyjny Wiberga (ang. Wiberg Inverse Compositional, skr. WIC) [155, 202, 201] dąży do rozwiązania problemu minimalizacji poprzez naprze-mienne rozwiązywanie dwóch osobnych problemów, jednego dla parametrów kształtu (4.70) i drugiego dla parametrów wyglądu (4.71):

𝑎𝑟𝑔 𝑚𝑖𝑛

Aktualizacja parametrów kształtu wykonywana jest zgodnie z równaniem (4.72):

∆𝑝𝑠= ˆ𝐻⁻¹𝐽ˆ_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝𝑠)) − ¯𝑎] (4.72) gdzie ˆ𝐽𝑎 = ˆ𝑈𝑎𝐽𝑎 jest Jakobianem którego 𝐽𝑎 = ∇¯𝑎^𝜕𝑊_𝜕𝑝

𝑠|𝑝𝑠=0 +^∑︀𝑚_𝑖=1𝑝𝑎𝑖∇𝑢𝑖𝜕𝑊

𝜕𝑝𝑠|𝑝𝑠=0, natomiast przybliżenie macierzy Hessego ˆ𝐻 = ˆ𝐽_𝑎^𝑇𝐽ˆ_𝑎.

Następnie aktualizacja parametrów wyglądu wykonywana jest zgodnie z równa-niem (4.73):

∆𝑝_𝑎 = 𝑈_𝑎^𝑇[𝑔(𝑊 (𝑝_𝑠)) − ¯𝑎 − 𝑈_𝑎𝑝_𝑎− 𝐽_𝑎∆𝑝_𝑠] (4.73)

Rozdział 5