Ukªady z przeª¡czeniami ze wzgl¦du na typ przeª¡czenia dzieli si¦ na:
• zale»ne od czasu, je±li warunek przeª¡czenia mi¦dzy podukªadami jest uzale»niony od czasu;
• zale»ne od stanu ukªadu, je±li warunek przeª¡czenia mi¦dzy podukªadami zale»y od stanu ukªadu;
• zale»ne od historii, je±li warunek przeª¡czenia mi¦dzy podukªadami zale»y od prze-szªych warto±ci sygnaªu przeª¡czaj¡cego lub przeszªego aktywnego trybu;
• zale»ne od wyj±cia, je±li warunek przeª¡czenia pomi¦dzy podukªadami zale»y od wyj±cia z systemu;
• zale»ne od zewn¦trznych sygnaªów, je±li warunek przeª¡czenia pomi¦dzy podu-kªadami jest uzale»niony od zewn¦trznych sygnaªów.
Oczywi±cie w ukªadzie mog¡ wyst¦powa¢ ró»ne przeª¡czenia jednocze±nie, zatem dany ukªad mo»e nale»e¢ jednocze±nie do kilku klas. Ponadto ukªady mo»na równie» dzieli¢
ze wzgl¦du na mo»liwo±¢ sterowania nimi. W takim przypadku wyró»nia si¦ ukªady:
• autonomiczne, gdy nie ma mo»liwo±ci bezpo±redniego sterowania mechanizmem przeª¡czaj¡cym pomi¦dzy podukªadami;
• sterowane, je±li przeª¡czenia mi¦dzy podukªadami s¡ narzucone przez projektanta danego systemu tak, aby osi¡gn¡¢ po»¡dane zachowanie [13].
Ukªady z przeª¡czeniami mo»na równie» klasy kowa¢ ze wzgl¦du na sposób przekazywania sygnaªów w podukªadach je tworz¡cych:
• Ukªady ci¡gªe, czyli takie, których podukªady posiadaj¡ wszystkie elementy dzia-ªaj¡ce w sposób ci¡gªy i mog¡ przyjmowa¢ ka»d¡ warto±¢ z przedziaªu zmienno±ci sygnaªu. Warto±¢ wyj±ciowa równie» mo»e przyjmowa¢ dowoln¡ warto±¢ z ci¡gªego przedziaªu. Podukªady tego typu opisuje si¦ równaniami ró»niczkowymi.
• Ukªady dyskretne, czyli zbudowane z podukªadów, w których co najmniej jeden element pracuje w sposób dyskretny, a sygnaªy wysyªane przez niego mog¡ przyjmo-wa¢ tylko okre±lone warto±ci i wyst¦poprzyjmo-wa¢ w okre±lonych chwilach czasu. Do opisu takich podukªadów stosuje si¦ równania ró»nicowe.
• Ukªady mieszane, czyli ukªady zawieraj¡ce podukªady zarówno ci¡gªe, jak i dys-kretne.
Ze wzgl¦du na rodzaje elementów, z jakich zbudowane s¡ podukªady, ukªady dzieli si¦ je na:
• Ukªady kawaªkami liniowe, gdy modele matematyczne podukªadów s¡ zbudowane wyª¡cznie z elementów linowych. Podukªady takie opisane s¡ liniowymi równaniami o staªych wspóªczynnikach.
• Ukªady kawaªkami nieliniowe, je±li model matematyczny danego podukªadu za-wiera co najmniej jeden element nieliniowy. Opisuje si¦ je równaniami nieliniowymi ró»nego typu.
Ze wzgl¦du na charakter przeª¡czenia, ukªady mog¡ by¢ podzielone na:
• deterministyczne, w których przeª¡czenie jest warunkowane reguªami determini-stycznymi, tj. przez staªe, ±ci±le okre±lone warto±ci progów,
• losowe, w których przeª¡czenie zale»ne jest od funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«stwa powi¡zanych z warto±ciami progowymi.
W kolejnych podrozdziaªach zostaªy szczegóªowo omówione dwa gªówne rodzaje ukªadów, klasy kowane ze wzgl¦du na typ przeª¡czenia ukªady z przeª¡czeniami zale»nymi od stanu oraz czasu.
2.2.1 Ukªady z przeª¡czeniami zale»nymi od czasu
W ukªadach z przeª¡czeniami zale»nymi od czasu wyst¦puje sygnaª przeª¡czaj¡cy, który jest kawaªkami staª¡, prawostronnie ci¡gª¡ funkcj¡ σ : [0, ∞) → N . Funkcja przeª¡czaj¡ca σ ma sko«czon¡ liczb¦ nieci¡gªo±ci i przyjmuje staªe warto±ci w interwaªach pomi¦dzy prze-ª¡czeniami. Rol¡ sygnaªu przeª¡czaj¡cego jest okre±lenie aktywnego podukªadu opisuj¡cego system w danym czasie. Ogólne równanie opisuj¡ce ukªady z przeª¡czeniami zale»nymi od czasu jest nast¦puj¡ce:
x(t) = f˙ σ(t)(x(t)), (2.3)
gdzie x to zmienna stanu, f to funkcja opisuj¡ca model w danym podukªadzie, zale»na od stanu ukªadu. Ponadto funkcja opisuj¡ca ukªad jest bezpo±rednio zale»na od sygnaªu przeª¡czaj¡cego σ. W ukªadach takich przyjmuje si¦, »e nie ma wymusze« albo s¡ one staªe w danej domenie i traktuje si¦ je jako parametr. Przykªadowy sygnaª przeª¡czaj¡cy w ukªadzie z trzema podukªadami zostaª przedstawiony na Rysunku 2.1.
Ukªady z przeª¡czeniami zale»nymi od czasu s¡ wykorzystywane w modelowaniu pro-cesów biologicznych, których wªa±ciwo±ci zmieniaj¡ si¦ niezale»nie od stanu ukªadu. Przy-kªadem mog¡ by¢ ukªady z cyklicznymi zmianami, takie jak cykl dobowy czy komórkowy, w których przej±cie do kolejnych faz cyklu mo»e by¢ modelowane poprzez przeª¡czenie zale»nie od czasu. Innym zastosowaniem jest modelowanie kuracji farmakologicznej, gdzie podanie leku jedno- lub wielokrotne mo»e powodowa¢ skokow¡ zmian¦ struktury ukªadu [14].
Rysunek 2.1: Sygnaª przeª¡czaj¡cy (σ) w ukªadzie z przeª¡czeniami zale»nymi od czasu
2.2.2 Ukªady z przeª¡czeniami zale»nymi od stanu ukªadu
W ukªadach z przeª¡czeniami zale»nymi od stanu ukªadu, przeª¡czenia mi¦dzy domena-mi nast¦puj¡ w momencie osi¡gni¦cia przez odpowiednie zdomena-mienne okre±lonych warto±ci progowych. Przestrze« stanu takiego ukªadu jest podzielona na podukªady poprzez zbiór powierzchni przeª¡czaj¡cych. Powierzchnie przeª¡czaj¡ce okre±laj¡ granice mi¦dzy podu-kªadami, nazywanymi cz¦sto regionami lub domenami, poniewa» s¡ ±ci±le zwi¡zane z loka-lizacj¡ w przestrzeni stanu.
Przykªadowe systemy, w których przestrze« stanu jest podzielona przez dwie warto±ci graniczne na trzy podukªady, s¡ przedstawione na Rysunku 2.2. Gdy trajektoria ukªadu tra a na powierzchni¦ przeª¡czaj¡c¡, nast¦puje skokowa zmiana domeny. W chwili prze-ª¡czenia mo»e wyst¦powa¢ zmiana warto±ci parametrów opisuj¡cych dany ukªad, zmiana caªej struktury ukªadu, zmiana charakteru podukªadu (np. z ci¡gªego na dyskretny) lub zmiana stanu ukªadu. Je±li w chwili przeª¡czenia nie wyst¦puje skokowa zmiana stanu ukªadu, to trajektorie s¡ ci¡gªe, a przej±cie przez granic¦ powoduje jedynie zmian¦
funk-(A) (B)
Rysunek 2.2: Przestrze« stanu w ukªadach z przeª¡czeniami zale»nymi od stanu ukªadu;
(A) Przeª¡czenie powoduje zmian¦ modelu; (B) Przeª¡czenie powoduje zmian¦ modelu oraz stanu ukªadu; (Czerwone linie - warto±ci graniczne, czarne strzaªki - przykªadowa trajektoria, Init - punkt pocz¡tkowy, niebieskie linie - zmiana stanu ukªadu)
cji opisuj¡cych ukªad (Rysunek 2.2A). Natomiast je±li w czasie przej±cia przez granic¦
nast¦puje równie» skokowa zmiana stanu ukªadu, trajektorie ukªadu s¡ nieci¡gªe, co jest przedstawione na Rysunku 2.2B.
Przykªadem ukªadu biologicznego, w którym wyst¦puj¡ przeª¡czenia zale»ne od stanu ukªadu, mo»e by¢ prosta sie¢ genowo-biaªkowa. Stan genu przyjmuje warto±ci: aktywny lub nieaktywny, co mo»e odpowiada¢ podziaªowi ukªadu na dwie domeny. Natomiast granic¦
mi¦dzy tymi domenami wyznacza poziom biaªka, b¦d¡cego czynnikiem transkrypcyjnym, odpowiadaj¡cym za aktywacj¦ genu. Po przekroczeniu pewnej liczbie cz¡steczek biaªka (P (t)) nast¦puje aktywacja genu, co w modelu oznacza przej±cie do drugiej domeny oraz skokow¡ zmian¦ stanu ukªadu (zmienna opisuj¡ca gen G(t) zmienia warto±¢ z 0 na 1).
Biaªko, mRNA oraz inne cz¡steczki, w przeciwie«stwie do genów wyst¦puj¡ w bardzo du»ej liczbie: od setek do dziesi¡tek tysi¦cy cz¡steczek w jednej komórce, dlatego wygod-niej modelowa¢ ich liczb¦ poprzez równania ci¡gªe, a nie dyskretne przeª¡czenia mi¦dzy stanami. W modelach kawaªkami liniowych, opisuj¡cych tylko poziomy cz¡steczek o du»ej liczbie (np. biaªka), podczas przej±cia przez warto±¢ graniczn¡, na ogóª zmianie ulega je-dynie struktura i/lub parametry modelu, natomiast nie wyst¦puje skokowa zmiana stanu ukªadu [15, 16]. Modelowanie zmian poziomu biaªka w sposób skokowy byªoby uzasadnione jedynie w przypadku bardzo gwaªtownej dynamiki w ukªadzie.