7. Modelowanie przepływu przez rdzeń reaktora katalitycznego przy uŜyciu
7.1. Komputerowa Mechanika Płynów – CFD
Komputerowa mechanika płynów CFD wykorzystuje zaawansowane metody numeryczne do rozwiązywania i analizy zagadnień dotyczących przepływu płynów. Analizy metodą CFD, nawet bardzo skomplikowanych układów przepływowych, zawsze bazują na cząstkowych równaniach róŜniczkowych Naviera – Stokesa. W celu uzyskania rozwiązania analizowanego przepływu, konieczna jest dyskretyzacja, czyli podział płynu na skończone elementy o prostej geometrii. Pozwala to na zastąpienie cząstkowych równań róŜniczkowych równaniami algebraicznymi, które moŜna rozwiązać przy uŜyciu techniki komputerowej [13, 54, 59].
W komputerowej mechanice płynów wykorzystuje się trzy rodzaje dyskretyzacji [54]: − metoda objętości skończonych FVM (Finite Volume Method)
− metoda elementów skończonych FEM (Finite Element Method) − metoda róŜnic skończonych FDM (Finite Difference Method)
Jednak najbardziej rozwinięta jest metoda elementów skończonych (MES = FEM), powszechnie stosowana w analizie strukturalnej ciał stałych, ale równieŜ dobrze sprawdzająca się w zastosowaniu do płynów. Metoda ta daje lepszą stabilność wyników, niŜ pozostałe, przy czym często wymaga większej pamięci do przeprowadzenia obliczeń [41].
Metoda Elementów Skończonych – MES.
Badanie teoretyczne rzeczywistego obiektu, a przede wszystkim jego reakcji na oddziaływujące na niego czynniki, za pomocą narzędzi komputerowego wspomagania prac inŜynierskich CAE (Computer Aided Engineering) wymaga stworzenia modelu matematycznego. Oznacza to opisanie układu za pomocą pewnych zmiennych i zaleŜności zachodzących pomiędzy nimi, a takŜe przyjęcia w tym opisie określonych przybliŜeń i uproszczeń modelu.
W przypadku zastosowania MES do analizy przepływu model matematyczny musi zawierać: − model przepływu i warunki odniesienia,
108
− opis obszaru, wewnątrz którego poszukuje się rozwiązania,
− równania róŜniczkowe opisujące zasadę zachowania masy, pędu i energii, − warunki ciągłości i warunki brzegowe.
Rozwiązywanie problemu za pomocą MES moŜna podzielić na następujące etapy [13, 59]: 1. Podział analizowanego obszaru na skończona liczbę prostych geometrycznie
elementów, zwanych elementami skończonymi.
2. Przyjęcie punktów węzłowych, łączących ze sobą elementy w skończonej liczbie punktów.
3. Przyjęcie funkcji kształtu, określających rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, w zaleŜności od wartości tej wielkości w węzłach. 4. Przekształcenie równań róŜniczkowych opisujących przepływ, za pomocą funkcji
wagowych do równań algebraicznych metody elementów skończonych.
5. Łączenie układu, poprzez stworzenie macierzy dla całego układu na podstawie równań metody elementów skończonych. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów pomnoŜonych przez liczbę stopni swobody węzłów.
6. Wprowadzenie warunków brzegowych do układu. 7. Rozwiązanie układu równań.
8. Obliczenie wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach. 9. Graficzna prezentacja wyników.
Element skończony stanowi podobszar dyskretyzowanego obszaru ciągłego. Jest prostą figurą geometryczną, płaską lub przestrzenną, o skończonym wymiarze. Elementy posiadają charakterystyczne punkty nazywane węzłami, a takŜe funkcje interpolacyjne, określane jako funkcje kształtu lub funkcje węzłowe [59].
W węzłach zawarta jest informacja o zachowaniu się elementów i ich własnościach. Węzły zawsze znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą dodatkowo być umieszczone na bokach elementu lub w jego środku. Są jedynymi punktami łączącymi elementy. JeŜeli węzły są tylko w wierzchołkach elementu to element taki jest liniowy, natomiast w przypadku większej liczby węzłów, element jest wyŜszego rzędu [13, 59]. Od ilości węzłów w elemencie skończonym zaleŜy liczba funkcji kształtu. Funkcje kształtu są tak zbudowane, aby w węzłach, których dotyczą miały wartość jeden, a w pozostałych zero [13].
109
Właściwy dobór parametrów dyskretyzacji ma znaczący wpływ na jakość wyników analizy. W celu uzyskania oczekiwanej dokładności rozwiązania, elementy skończone powinny być na tyle małe, aby aproksymowane wewnątrz nich funkcje mogły być przybliŜone za pomocą wielomianów. Jednak zastosowanie nadmiernej ilości elementów spowoduje znaczne wydłuŜenie czasu obliczeniowego, a niekoniecznie wpłynie na poprawę dokładności wyników. Dlatego stosuje się nierównomierny podział na elementy, zagęszczając siatkę w miejscach, w których moŜemy się spodziewać duŜych zmian [13].
Zadana i zdefiniowana poprzez dyskretyzację geometria stanowi płyn, w związku, z czym podlega zasadzie zachowania masy, pędu i energii. Powoduje to, Ŝe musi być opisana równaniami róŜniczkowymi Naviera – Stokesa [33, 54, 74, 92].
( )
0 div = + ∂ ∂ Vρ
ρ
t (7.1.)( )
M(
V)
F V div grad 3 2 Div gradµ µ
'ρ
ρ
= − p+ + dt d (7.2)( )
p( )
( )
(
T)
q V E dt dρ µ µ λ ρ
ρ
= + + + + + div div div grad
3 2 div div 2 ' 2 V V MV V -FV (7.3)
gdzie: ρ – gęstość płynu , prędkość – czas, V – prędkość płynu, F – siła masowa, p – ciśnienie, E – jednostkowa energia wewnętrzna płynu, M – tensor napręŜenia lepkiego, µ – lepkość dynamiczna, µ’ – lepkość dodatkowa, T – temperatura, λ – przewodność cieplna, q – ciepło.
W większości przypadków rozwiązanie równań róŜniczkowych w postaci analitycznej jest niemoŜliwe. Dlatego równania metody elementów skończonych są równaniami algebraicznymi. Za pomocą odpowiednich funkcji wagowych przekształca się równania róŜniczkowe do postaci algebraicznej. Otrzymane wyniki są wartościami przybliŜonymi [13, 59]. Warunki brzegowe to takie elementy modelowanego układu, które nie zostały uwzględnione podczas tworzenia siatki i określania własności materiałowych. Stanowią wymuszenie zadawane w celu uzyskania odpowiedzi układu, która stanowi rozwiązanie modelowanego zagadnienia.
110
Programy komputerowe, w których jest wykorzystywana metoda elementów skończonych składają się z trzech podstawowych modułów [13, 59]:
1. Preprocesora – wprowadzanie danych i przygotowanie ich do obliczeń. 2. Procesora (solver) – wykonywanie obliczeń .
3. Postprocesora – prezentacja wyników.
Preprocesor i postprocesor to graficzne programy lub podprogramy odpowiednio wejścia i wyjścia dla zadań wykonywanych metodą elementów skończonych [59].
Preprocesor słuŜy do wprowadzania danych koniecznych do zdefiniowania rozwiązywanego problemu, przetwarzania tych danych do obliczeń poprzez generowanie siatki oraz ich edycji. Poprzez graficzną formę umoŜliwia obserwację wprowadzanych danych, takich jak liczba elementów skończonych, węzłów, warunków brzegowych a takŜe ich modyfikację.
Procesor wykonuje tylko iteracyjny cykl obliczeniowy dąŜąc poprzez kolejne przybliŜenia do zbieŜności wyników [59].
Zadaniem postprocesora jest przedstawienie w sposób graficzny wyników obliczeń przeprowadzonych w module procesora. Zapewnia to łatwą analizę jakościową róŜnych parametrów dla danego przypadku, a takŜe uchwycenie i porównanie róŜnic wynikających z wprowadzania zmian geometrycznych w modelu lub zmian warunków brzegowych.
UŜytkownik programu najwięcej czasu i pracy musi przeznaczyć na przygotowanie modelu i danych określających go, a takŜe na analizę wyników, co stanowi cechę wspólną analizy komputerowej z rzeczywistymi badaniami na stanowisku [59].