Kryteria zbieżności bezwzględnej

X

n=1

1

n^α < +∞ ⇐⇒ α > 1.

Gdy α ¬ 0, to z tw. III.2 dostajemy rozbieżność. Niech więc α > 0. Mamy:

2ⁿ· 1

(2ⁿ)^α = 1

2^n·(α−1) = qⁿ,

dla q = ₂(α−1)¹ . Ponieważ q ∈ (−1; 1) wtw α > 1, zatem wystarczy użyć lematu o zagęsz-czaniu oraz przykładu z szeregiem geometrycznym. „Zagęszczanie” dokonało tu „cudownej”

przemiany badanego szeregu na prosty już dla nas szereg geometryczny.

Warto zapamiętać, że szereg^P+∞_n=1n¹ (tzw. szereg harmoniczny) jest „ jeszcze” rozbieżny. Tu α = 1, czyli to przypadek „graniczny” pomiędzy zbieżnością (dla α > 1) i rozbieżnością (dla α ¬ 1), a jednocześnie, to wspomniany niedawno przykład na „niedostateczność podstawowego warunku koniecznego zbieżności”.

 Bezwzględna zbieżność i zbieżność warunkowa Przed kolejnym twierdzeniem wprowadźmy nowe pojęcie.

Definicja. ^P+∞_n=n0a_n jest bezwzględnie zbieżny wtw ^P+∞_n=n0|a_n| < +∞.

Twierdzenie III.5 (o zbieżności bezwzględnej). Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Dowód.

Skoro ^P+∞_n=n0|a_n| jest zbieżny zatem na mocy tw. III.1 zachodzi

∀

∃

∀

X

k=n

|ak| < .

Ponieważ jednak (nierówność trójkąta uogólniona na (m − n + 1) składników)

|

m

X

k=n

a_k| ¬

m

X

k=n

|a_k|,

zatem w efekcie otrzymujemy warunek Cauchy’ego także dla^P+∞_n=n

0a_n, więc z tw. III.1 wynika jego zbieżność.

Jak się już wkrótce przekonamy, twierdzenie odwrotne do twierdzenia III.5 nie zachodzi.

Może się więc zdarzyć szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny. O takim szeregu mówimy, że jest zbieżny warunkowo.

3. Kryteria zbieżności bezwzględnej

 Kryterium porównawcze

Zaczniemy od bardzo prostego, ale w pewnym sensie także najważniejszego (i w praktyce bar-dzo użytecznego) twierdzenia pomagającego badać zbieżność konkretnych szeregów o wyrazach nieujemnych.

Kryterium III.1 (porównawcze). Jeżeli 0 ¬ a_n ¬ b_n d.d.d. n oraz ^P+∞_n=n

0b_n jest zbieżny, to ^P+∞_n=n0a_n — zbieżny. ³⁸⁾

38)Na ogół bez przypominania przyjmujemy, że n0 jest początkowym indeksem dla rozważanych ciągów i szeregów.

Dowód poprzedzimy następującym oczywistym faktem (którego dowód zostawiam że ciąg sum częściowych szeregu ^P+∞_n=n0

0a_n jest ograniczony z góry. Ale z założenia oraz z tw.

III.3 istnieje M ∈ R takie, że

A zatem mamy też proste w użyciu kryterium rozbieżności.

2) Jeżeli |a_n| ¬ b_n d.d.d. n oraz ^P+∞_n=n0b_n — zbieżny, to ^P+∞_n=n0a_n — zbieżny bezwzględnie, a stąd również — zbieżny.

Kryterium porównawcze można więc de facto traktować jako kryterium dotyczące zbież-ności bezwzględnej szeregów.

 Kryterium asymptotyczne

Przed sformułowaniem kolejnego kryterium przyjmijmy następującą definicję i oznaczenie.

Definicja. Załóżmy, że a_n, b_n 6= 0 d.d.d. n. Ciągi a i b są asymptotycznie podobne wtw ^a_bⁿ

n → g dla pewnego g ∈ R \ {0}. Oznaczmy to w skrócie a ∼ b bądź an∼ b_n ³⁹⁾.

Kryterium III.2 (asymptotyczne). Jeżeli a_n∼ b_n oraz {b_n}_n­n0 ma wyrazy stałego znaku od pewnego miejsca, to ^P+∞_n=n0a_n jest zbieżny wtw ^P+∞_n=n0b_n jest zbieżny.

Dowód.

Zauważmy najpierw, że gdy an∼ bn oraz {bn}n­n ma wyrazy stałego znaku od pewnego miej-sca, to także {a_n}_n­n ma wyrazy stałego znaku od pewnego miejsca (patrz np. rozumowanie poniżej). Ponadto a_n∼ b_n wtw b_n ∼ a_n. A zatem z tej „symetrii” wynika, że wystarczy wyka-zać implikację w jedną stronę. Ponieważ przemnożenie szeregu przez (−1) nie wpływa na jego zbieżność ani na asymptotyczne podobieństwo jego ciągu wyrazów do innego ciągu, możemy założyć, że a_n, b_n > 0 d.d.d. n. Wtedy g = lim kryterium porównawczego uzyskujemy zbieżność ^P+∞_n=n0bn.

Uwaga. Zbieżność szeregów z kryterium III.2 jest oczywiście równoważna (przy założeniach tego kryterium) ich bezwzględnej zbieżności. Zatem nie warto „próbować” tego kryterium, gdy spodziewamy się zbieżności warunkowej.

Jak widać z dowodu, kryterium asymptotyczne jest formalnie słabsze od kryterium porów-nawczego, które stanowiło istotę jego dowodu. Jednak w praktyce, kryterium asymptotyczne bywa często dużo wygodniejsze w użyciu. Idea jego użycia jest taka: jeżeli wyraz szeregu

P+∞

n=n0a_n jest zadany dość skomplikowanym wzorem, to znajdujemy „prostszy” ciąg {b_n} o

39)Ta druga wersja oznaczenia (choć wygodna) jest nieco nieformalna (podobnie jak np. oznaczenie an → g), bo chodzi tu przecież o własność ciągów, a nie ich n–tego wyrazu ... Ponadto — uwaga: ani nazwa

„asymptotycznie podobne”, ani symbol „∼” nie są zbyt powszechnie używane.

stałym znaku i asymptotycznie podobny do {a_n} (a jak taki znaleźć? — często wystarczy w formule na an zostawić tylko „to co najistotniejsze”). Tym sposobem problem badania zbież-ności sprowadza nam się do badania tylko „prostszego” szeregu ^P+∞_n=n

0b_n.

Czy ^P+∞_n=1a_n jest zbieżny? Łatwo odgadnąć „wygodny” {b_n}. Niech mianowicie bn :=

Mówiąc co prawda nieściśle, ale obrazowo, przy wyborze wzoru na {b_n} staraliśmy się i w liczniku, i w mianowniku zostawić tylko “składniki najistotniejsze”, a resztę zastąpiliśmy przez 0. Bez trudu sprawdzamy, że a_n∼ b_n(a nawet ^a_bⁿ

n → 1) i z kryterium asymptotycznego^P+∞_n=1a_n

— rozbieżny, bo^P+∞_n=1n¹ — rozbieżny. Oczywiście dało się też bezpośrednio szacować a_n z dołu d.d.d. n (jak?) tak by użyć „zwykłego” kryterium porównawczego, ale użyte kryterium III.2 wydaje się tu szybsze i bardziej „automatyczne”.

 Kryterium porównawcze – ilorazowe

Oto przykład innego kryterium (czasem zwanego też “drugim” lub “ilorazowym” kryterium porównawczym), które niekiedy bywa wygodniejsze w użyciu niż samo kryterium III.1, choć jego dowód sprowadza się znów do użycia tego „zwykłego” kryterium porównawczego. W tym nowym kryterium porównuje się ilorazy sąsiednich wyrazów dwóch szeregów.

Kryterium III.3 (porównawcze – ilorazowe). Załóżmy, że ciągi a, b o wyrazach dodatnich spełniają ^an+1_a

Przyjmijmy, że nierówność z założenia zachodzi dla każdego n ­ N . Wówczas dla n ­ N + 1 a_n

N. Zatem dwa powyższe punkty tezy kryterium wynikają odpowiednio z kryterium porównawczego oraz z twierdzenia o trzech ciągach.

 Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego

Czasami (choć zazwyczaj nie aż tak często, jak chcieliby tego studenci...) przydają się nastę-pujące dwa kryteria, także będące konsekwencjami kryterium porównawczego.

Kryterium III.4 (d’Alemberta) oraz III.5 (Cauchy’ego). Niech

c_n:=

Dowód. Zacznijmy od wersji Cauchy’ego. Jeżeli 0 ¬ g < 1, to g = 1 − 2 dla pewnego  > 0, zatem z definicji granicy dla ciągu {cn} wybierzmy N takie, że cn ¬ g +  = 1 −  o ile n ­ N . Zatem |a_n| ¬ (1 − )ⁿ dla n ­ N . Ponieważ szereg o wyrazach (1 − )ⁿ to zbieżny szereg geometryczny (ze stałą 1 − ), zatem ^P+∞_n=n0a_n jest zbieżny bezwzględnie na mocy wniosku 2 z kryterium porównawczego.

Jeżeli g > 1 to zapisując g = 1 + 2 i biorąc N takie, że c_n ­ g −  = 1 +  dostajemy analogicznie |a_n| ­ (1 + )ⁿ d.d.d. n. Zatem z twierdzenia „o dwóch ciągach” |a_n| → +∞, czyli an6→ 0. Stąd ^P+∞_n=n0an — rozbieżny na mocy tw. III.2 (o warunku koniecznym).

Dowód wersji d’Alemberta uzyskujemy dość podobnie jednak w oparciu o udowodnione wyżej kryterium porównawcze – ilorazowe. Gdy g < 1 zastosujemy to kryterium (część (i)) dla następujących dwóch ciągów: jeden o wyrazach |an|, drugi zaś o wyrazach bn := (1 − )ⁿ, gdzie  wybieramy jak w wersji Cauchy’ego. Natomiast gdy g = 1 + 2 > 1, dowód prowadzimy

„nie wprost”. Zakładamy więc, że ^P+∞_n=n0a_n jest zbieżny, skąd a_n → 0, czyli także |a_n| → 0.

Stosujemy teraz część (ii) kryterium dla pierwszego ciagu o wyrazach (1 + )ⁿ, drugiego o wyrazach |a_n|. To daje nam sprzeczność w postaci zbieżności do 0 ciągu geometrycznego ewidentnie rozbieżnego.

Przykłady. a

1. Dla ^P+∞_n=1n¹α te kryteria nie działają dla żadnego α ∈ R, bo dostajemy g = 1 (choć nawet nie dla wszystkich α ∈ R jest to przy naszej obecnej wiedzy takie jasne; patrz np.

zadanie 7)

2. Dla^P+∞_n=0n!¹ dostajemy przy użyciu wersji d’Alemberta cn= _n+1¹ → 0 < 1, zatem szereg jest zbieżny. Co więcej można wykazać (i nie jest to bardzo trudne, choć na nasze wykłady

— zbyt czasochłonne, ale zachęcam do samodzielnych prób⁴⁰⁾) następujący fakt.

Fakt. ^P+∞_{n=0 n!}¹ = e.

Uwaga. Z twierdzenia o granicy średniej geometrycznej (tw. II.8) nietrudno dowieść, że ciąg spełniający założenia kryterium d’Alemberta musi także spełniać założenia kryterium Cau-chy’ego. A zatem z formalnego punktu widzenia kryterium Cauchy’ego jest „mocniejsze” (tzn.

działa dla niemniejszej klasy przypadków niż kryt. d’Alemberta). Mimo to czasem wygodniej jest użyć kryt. d’Alemberta niż Cauchy’ego, ze względów czysto rachunkowych.