Krzywe B-sklejane

sⁿ+ p₁ n 1 ! tsⁿ⁻¹+ · · · + p_n−1 n n − 1 ! tⁿ⁻¹s + pn n n ! tⁿ = · · · (p₀ ⁿ 0 ! s + p1 n 1 ! t)s + · · · + pn−1 n n − 1 ! tⁿ⁻¹
s + pn n n ! tⁿ.

Schemat Hornera ze względu na s trzeba tylko uzupełnić o obliczanie wektorów p₀ ⁿ₀

, p1 ⁿ₁
t, . . . , pn ⁿ_n
tⁿ. Ponieważ ⁿ₀

= 1 i _i+1ⁿ

= ⁿ⁻ⁱ_i+1 ⁿ_i

, więc mamy stąd algorytm Listing. s := 1 − t; p := p0; d := t; b := n; for i := 1 to n do begin p := sp + b∗dpi; d := d∗t; b := b∗(n − i)/(i + 1) end; {p(t) = p} 6.2. Krzywe B-sklejane

6.2.1. Określenie krzywych B-sklejanych

Modelowanie figur o skomplikowanym kształcie wymagałoby użycia krzywych B´eziera wyso-kiego stopnia, co oprócz niewygody (z punktu widzenia użytkownika programu interakcyjnego) sprawiałoby różne kłopoty implementacyjne (bardzo duże wartości współczynników dwumiano-wych, wysoki koszt algorytmów obliczania punktu). Dlatego często stosuje się krzywe kawałkami wielomianowe w reprezentacji B-sklejanej; jest ona uogólnieniem reprezentacji B´eziera krzywych wielomianowych.

Krzywa B-sklejana jest określona przez podanie: stopnia n, ciągu N + 1 węzłów u₀, . . . , uN (ciąg ten powinien być niemalejący, a ponadto N powinno być większe od 2n), oraz N − n punktów kontrolnych d₀, . . . , d_{N −n−1}. Wzór, który jest definicją krzywej B-sklejanej ma postać s(t) = N −n−1 X i=0 d_iN_iⁿ(t), t ∈ [u_n, u_{N −n}].

We wzorze tym występują funkcje B-sklejane N_iⁿstopnia n, które są określone przez ustalony ciąg węzłów.

Istnieje kilka definicji funkcji B-sklejanych, które różnią się stopniem skomplikowania, a także trudnością dowodzenia na podstawie takiej definicji różnych własności tych funkcji (w zasadzie

Rysunek 6.5. Porównanie krzywej B´eziera z krzywą B-sklejaną.

więc wychodzi na jedno, której definicji użyjemy, jeśli chcemy dowodzić twierdzenia, to trudności nie da się uniknąć). Ponieważ w tym wykładzie ograniczamy się do praktycznych aspektów za-gadnienia, więc przytoczę rekurencyjny wzór Mansfielda-de Boora-Coxa, który w książkach o grafice chyba najczęściej pełni rolę definicji:

N_i⁰(t) = ( 1 dla t ∈ [u_i, u_i+1), 0 w przeciwnym razie, ^(6.1) N_iⁿ(t) = t − u_i ui+n− u_i^N n−1 i (t) + u_i+n+1− t ui+n+1− u_i+1^N n−1 i+1(t) dla n > 0. (6.2)

Wzór ten jest uogólnieniem rozważanego wcześniej wzoru wiążącego wielomiany Bernsteina stopni n − 1 i n.

6.2.2. Algorytm de Boora

Na podstawie wzoru Mansfielda-de Boora-Coxa łatwo jest otrzymać algorytm de Boora obliczania punktu s(t) na podstawie danych opisujących krzywą s i parametru t. Algorytm ten jest uogólnieniem algorytmu de Casteljau i jest realizowany przez następujące instrukcje:

Listing. {d⁽⁰⁾_i = di dlai = k − n, . . . , k.} k := N − n − 1; while t < uk do k := k − 1; r := 0; while (r < n) and (t = uk−r) do r := r + 1; for j := 1 to n − r do for i := k − n + j to k − r do begin α_i^(j):= (t − ui)/(ui+n+1−j− ui); d^(j)_i := (1 − α_i^(j))d^(j−1)_i−1 + α^(j)_i d^(j−1)_i end; {s(t) = d^(n−r)_k−r }

Rysunek 6.6. Algorytm de Boora.

6.2.3. Podstawowe własności krzywych B-sklejanych

Własności krzywych B-sklejanych najbardziej istotne w zastosowaniach związanych z grafiką komputerową, są takie:

— Jeśli wszystkie węzły od u_n do u_{N −n} są różne (tworzą ciąg rosnący), to krzywa składa się z N − 2n łuków wielomianowych. W przeciwnym razie (jeśli występują tzw. węzły krotne), to liczba łuków jest mniejsza.

— Algorytm de Boora dokonuje liniowej interpolacji kolejno otrzymywanych punktów (liczby

α^(j)_i należą do przedziału [0, 1]); stąd wynika silna własność otoczki wypukłej: wszystkie punkty łuku dla t ∈ [u_k, u_k+1] leżą w otoczce wypukłej punktów d_k−n, . . . , d_k. Mamy też afiniczną niezmienniczość tej reprezentacji krzywej; aby otrzymać jej obraz w dowolnym przekształceniu afinicznym, wystarczy zastosować to przekształcenie do punktów kontrol-nych d₀, . . . , d_{N −n−1}.

— Lokalna kontrola kształtu. Ponieważ punkt s(t) dla t ∈ [u_k, u_k+1) zależy tylko od punktów d_n−k, . . . , d_k, więc zmiana punktu d_i powoduje zmianę fragmentu krzywej dla

t ∈ [ui, ui+n+1].

Rysunek 6.8. Lokalna kontrola kształtu. — Pochodna krzywej B-sklejanej stopnia n jest krzywą stopnia n − 1:

s⁰(t) =

N −n−2 X i=0

n

u_i+n+1− u_i+1^{(di+1− di)N}

n−1 i+1(t).

Funkcje B-sklejane N_iⁿ⁻¹ występujące w powyższym wzorze są określone dla tego samego ciągu węzłów, co funkcje N_iⁿw określeniu krzywej s. Zastosowanie (silnej) własności otoczki wypukłej do pochodnej daje (silną) własność hodografu krzywych B-sklejanych.

Rysunek 6.9. Pochodna krzywej B-sklejanej.

— W otoczeniu węzła o krotności r krzywa jest klasy C^n−r (dowód na podstawie wzoru Mansfielda-de Boora-Coxa, który przyjęliśmy tu za definicję, jest pracochłonny, ale reguła jest prosta, więc warto ją zapamiętać).

— Jeśli dwa sąsiednie węzły są n-krotne, to łuk krzywej między nimi jest krzywą B´eziera; dokładniej, jeśli u_k−n+1= · · · = u_k < u_k+1 = · · · = u_k+n, to dla t ∈ [u_k, u_k+1] mamy

s(t) = n X i=0 d_k−n+iB_i^{n t − uk} u_k+1− u_k  .

6.2.4. Wstawianie węzła

Wstawianie węzła jest procedurą, która zmienia reprezentację krzywej, nie zmieniając samej krzywej. W wyniku zastosowania tej procedury otrzymujemy reprezentację o większej liczbie wę-złów i punktów kontrolnych. Idea postępowania, które prowadzi do otrzymania tej reprezentacji może być przedstawiona w następujących krokach

1. Określamy tak zwane współrzędne Greville’a:

ξ_i = ¹

n^{(ui+1+ · · · + ui+n).}

Będziemy (w myśli) przekształcać łamaną o wierzchołkach f_i= [ξ_i, d_i].

2. Dołączamy liczbę t ∈ [u_n, u_{N −n}] (wstawiany węzeł) do wyjściowego ciągu węzłów, z zacho-waniem uporządkowania.

3. Obliczamy nowe współrzędne Greville’a ξ^t_i, odpowiadające ciągowi węzłów z dołączoną licz-bą t.

4. Znajdujemy punkty f_i^t = [ξ_i^t, d^t_i] na łamanej. Punkty d^t_i są punktami kontrolnymi nowej reprezentacji krzywej.

Praktyczna implementacja procedury wstawiania węzła nie musi obliczać współrzędnych Gre-ville’a, które pełnią tu rolę pomocniczą. Równoważny skutek daje następujący podprogram:

Listing.

{u[i] = ui dlai = 1, . . . , N −1, d[i] = di dlai = 0, . . . , N −n−1, } {t ∈ [un, uN −n]}

k := N − 1;

while t < u[k] do

k := k − 1; r := 0; i := k;

while (i ­ 1) and (t = u[i]) do begin i := i − 1; r := r + 1 end; for i := N − n − 1 downto k − r do

d[i + 1] := d[i];

for i := k − r downto k − n + 1 do

d[i] := (u[i + n] − t)∗d[i − 1] + (t − u[i])∗d[i]
/(u[i + n] − u[i]); for i := N − 1 downto k + 1 do

u[i + 1] := u[i]; u[k + 1] := t; N := N + 1;

{ zmiennaN oraz tabliceuidzawierają wynik wstawiania węzła. }

Własności tego przekształcenia reprezentacji krzywej są następujące: — Po wstawieniu węzła liczba punktów kontrolnych jest większa o 1. — Wynik wstawienia kilku węzłów nie zależy od kolejności ich wstawiania.

— Krzywa reprezentowana przez nowy ciąg węzłów i nowy ciąg punktów kontrolnych jest iden-tyczna z krzywą wyjściową.

— Algorytm de Boora jest procedurą wstawiania węzła, powtórzoną tyle razy, aby ostatecznie otrzymać n-krotny węzeł t.

— Po wstawieniu dostatecznie wielu węzłów (tak, aby ich odległości stały się dostatecznie ma-łe), otrzymujemy łamaną kontrolną, która jest dowolnie bliska krzywej. Odległość odpowied-nio sparametryzowanej łamanej kontrolnej od reprezentowanej przez nią krzywej B-sklejanej jest proporcjonalna do h², gdzie h oznacza maksymalną odległość sąsiednich węzłów. Datego po wstawieniu nawet niezbyt dużej liczby węzłów możemy otrzymać łamaną, którą można narysować w celu uzyskania dość dokładnego obrazu krzywej.

Rysunek 6.10. Zasada wstawiania węzła.

Procedurę wstawiania węzła możemy wykorzystać tak:

1. wybieramy początkowo małą liczbę węzłów i punktów kontrolnych w celu zgrubnego ukształ-towania krzywej,

2. wstawiamy pewną liczbę dodatkowych węzłów,

3. poprawiamy krzywą w celu wymodelowania szczegółów.

Inne zastosowanie to wstawienie węzłów tak, aby krotność wszystkich węzłów była równa n + 1; łamana kontrolna składa się wtedy z łamanych kontrolnych B´eziera poszczególnych łuków wielomianowych, które można narysować za pomocą jakiejś szybkiej procedury, np. opartej na schemacie Hornera. Procedury rysowania krzywych B´eziera mogą być zaimplementowane w sprzęcie. Mając procedurę wstawiania węzłów, możemy użyć takiego sprzętu do rysowania krzywych B-sklejanych.

6.2.5. Krzywe B-sklejane z węzłami równoodległymi

Narzucenie węzłów równoodległych ogranicza klasę krzywych B-sklejanych, ale jednocześnie upraszcza wzory i umożliwia stosowanie specjalnych algorytmów.

Przypuśćmy (bez straty ogólności), że dana krzywa jest reprezentowana przez nieskończo-ny ciąg węzłów, składający się z wszystkich liczb całkowitych, i nieskończonieskończo-ny ciąg punktów kontrolnych c_i; mamy zatem

s(t) = ^X

i∈Zs

ciN_iⁿ(t),

gdzie każda funkcja B-sklejana N_iⁿstopnia n przyjmuje wartości różne od zera tylko w przedziale [i, i + n + 1). Ponadto dla każdego i ∈ Z oraz t ∈ R mamy Niⁿ(t) = N₀ⁿ(t − i).

Rozważmy teraz nieskończony ciąg węzłów, składający się z wszystkich całkowitych wielo-krotności liczby ¹₂. Niech M_iⁿ oznacza funkcję B-sklejaną opartą na tym ciągu węzłów i przyj-mującą niezerowe wartości w przedziale i

2,ⁱ⁺ⁿ⁺¹₂

. Krzywą s możemy przedstawić w postaci

s(t) = ^X

i∈Zs

d_iM_iⁿ(t).

Na podstawie danych punktów c_i należy znaleźć punkty d_i.

Algorytm Lane’a-Riesenfelda, który rozwiązuje to zadanie, podaję bez dowodu. Algo-rytm ten składa się z dwóch etapów. Pierwszy z nich to podwajanie: konstruujemy punkty

d⁽⁰⁾_2i = d⁽⁰⁾_2i+1 = c_i. W drugim etapie wykonujemy n-krotnie operację uśredniania: obliczamy punkty d^(j)_i = ¹₂ d^(j−1)_i−1 + d^(j−1)_i

. Mając daną początkową reprezentację krzywej s w posta-ci łamanej o wierzchołkach c₀, . . . , c_N, w kolejnych krokach uśredniania otrzymamy łamane o wierzchołkach d^(j)_j , . . . , d^(j)_{2N +1−j}. Wynikiem obliczenia są punkty d_i = d⁽ⁿ⁾_i dla każdego i ∈ Z.

Rysunek 6.11. Algorytm Lane’a-Riesenfelda dla krzywych stopnia 2, 3 i 4.

Wyniki działania algorytmu dla krzywych stopnia 2, 3 i 4 są pokazane na rysunku 6.11. Otrzymaną łamaną można następnie użyć jako dane dla algorytmu Lane’a-Riesenfelda i otrzy-mać łamaną reprezentującą krzywą s przy użyciu ciągu węzłów (₄ⁱ)_i∈Zs itd. Określony w ten sposób nieskończony ciąg łamanych, z których każda jest reprezentacją krzywej związaną z od-powiednim ciągiem węzłów równoodległych, jest szybko zbieżny do krzywej, można zatem na-rysować jedną z tych łamanych zamiast krzywej.