Liczby nieobliczalne (rozumowanie diagonalne)

Nieformalnie ujmując, liczba rzeczywista jest obliczana wtedy, gdy zbliża się do pewnego stopnia precyzji dzięki zadanemu z góry programowi. Liczba

π

jest obliczalna, bo istnieje skończony algorytm generujący jej rozwinięcie.

—————————

10 A. Tarski, Remarks of Alfred Tarski, Revue Internationale de Philosophie, 27–8, s. 16–0; prze-druk w: A. Tarski, Collected Papers, v. 1–2, rd. by J. McKenzie and Givant S., Birkhäuser Verlag, Basel 1986; cytat z: J. Woleński, Epistemologia, PWN, Warszawa 2005, s. 265.

158 Andrzej Wilk

Jeżeli pożądany jest bardzo wysoki stopień precyzji, to obliczanie może trwać ekstremalnie długo, lecz algorytm się nie zmienia. Aby wprowadzić nieobli-czalne liczby rzeczywiste, trzeba wcześniej wprowadzić liczby rzeczywiste.

Jedna z metod opiera się na spostrzeżeniu, że każda liczba rzeczywista

r

jest granicą pewnego ciągu

{ r

_n

}

liczb wymiernych. Utożsamia się więc liczby rzeczywiste z ciągami do nich zbieżnymi. Są dwa aspekty efektywizacji kon-wergencji:

1. Ciąg liczb wymiernych musi być obliczalny. Czyli, że musi być obliczalny przez skończony zbiór instrukcji zadany z góry.

2. Zbieżność tego ciągu do granicy musi być efektywna.

Funkcję (stałą lub zmienną) traktuje się jako ciąg wtedy, gdy przedmio-tem zainteresowania są jej własności dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Teoria ciągów liczb rzeczywistych jest więc teorią funkcji w twierdzeniach której wszystkie zmienne występujące jako argumenty w wy-rażeniach funkcyjnych są zrelatywizowane do

Ν

. Funkcja

α

dla argumen-tów naturalnych może dać ciąg rosnący, malejący, monotoniczny, zbieżny w sensie Cauchy’ego, mający granicę, itd. Dowodząc istnienia liczb rzeczywi-stych korzysta się z metod niekonstruktywnych (argument diagonalny).

Przykładem zastosowania metody niekonstruktywnej jest dowód następują-cego twierdzenia:

TWIERDZENIE 1. Istnieją liczby niewymierne

x , y ∈ R − Q

takie, że

x

^y

∈ Q

.

(

R

– zbiór liczb rzeczywistych,

Q

– zbiór liczb wymiernych) Dowód: przypadek 1.

2

²

∈ Q

; przypadek 2. 2 ² ∉Q, wtedy

∈ Q

= 2

2

^{2 2} .

Kwestia, który przypadek zachodzi, czyli która liczba jest wymierna, pozo-staje nierozstrzygniętą. Istnienie nieobliczalnej liczby rzeczywistej, czyli licz-by której rozwinięcie nie jest obliczalne sukcesywnie w wyniku efektywnych obliczeń, można wykazać dysponując wpierw definicją obliczalnej liczby rze-czywistej.

DEFINICJA 1. Liczba rzeczywista x jest obliczalna wtedy, gdy istnieje ob-liczalny ciąg liczb wymiernych, który jest efektywnie zbieżny do x.

DEFINICJA 2. (efektywna zbieżność). Ciąg

{ r

_n

}

liczb wymiernych jest efektywnie zbieżny do liczy rzeczywistej x wtedy, gdy istnieje funkcja reku-rencyjna

ε : Ν → Ν

taka, że dla każdego

n ∈ Ν

) (n

k ≥ ε

pociąga r_k −x ≤2⁻ⁿ

DEFINICJA 3. (obliczalny ciąg liczb wymiernych). Ciąg

{ r

_n

}

liczb wymiernych jest obliczalny wtedy, gdy istnieją trzy funkcje rekurencyjne

)

TWIERDZENIE 2. Niech x będzie obliczalna liczbą rzeczywistą. Jeżeli x>0, to istnieje efektywna procedura, która to pokazuje. Podobnie dla x<0. Jeżeli x=0, to nie istnieje efektywny sposób pokazania tego.¹¹

Istnieją przypadki, gdy konwergencja nie jest efektywna, wtedy potrzebne są dwa preliminaryjne fakty:

TWIERDZENIE 3. Niech

a : Ν → Ν

będzie jedno-jednoznaczną funkcją rekurencyjną generującą rekurencyjnie przeliczalny non-rekurencyjny zbiór

. funkcją rekurencyjną generującą rekurencyjnie przeliczalny ale non-rekurencyjny zbiór

A

. Rozważmy szereg

∑

=

To pociąga, że wcześniej zdefiniowana liczba rzeczywista x jest obliczal-nym ciągiem liczb wymiernych

{ s

_k

}

, który jest zbieżny nieefektywnie. Fakt ten jest zgodny z następującymi wnioskami:

(i) Istnieją nieobliczalne liczby rzeczywiste korespondujące z nieefektyw-ną konwergencją obliczalnego ciągu liczb wymiernych. Chociaż ciąg

s

_k jest obliczalny, to nie można powiedzieć, że granica x jest obliczalna, bo zbież-ność jest nieefektywna. Chaitin pokazał LISP algorytm do obliczania

Ω

, którego konwergencja jest „bardzo słaba”. Tylko w takim sensie (w granicy

—————————

11 Dowód w: M. B. Pour-El, J. I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer, Ber-lin–Heidelberg 1989, s. 14.

12 Dowód twierdzenia. w: Pour-El, Richards, op. cit., s. 15–16.

160 Andrzej Wilk

nieskończonego czasu) jest możliwe obliczanie ciągu o nieograniczonej złożoności, w szczególności ciągu przypadkowego.¹³

(ii) Istnieją funkcje signum x oraz integer part x, które wyprowadzają poza klasę ciągów liczb rzeczywistych obliczalnych.¹⁴

(iii) Maksymalna/minimalna wartość funkcji jest obliczalna, ale punkt/punkty gdzie to minimum/maksimum występuje, nie musi być obli-czalny. Koniecznym warunkiem jest obecność nieskończenie wielu punktów max/min. Jeżeli funkcja obliczalna przybiera lokalne max/min w izolowa-nym punkcie, to punkt jest obliczalny.¹⁵

(iv) Różniczkowe równania ruchu mogą mieć nieobliczalne rozwiązania (słabe) z obliczalnych wartości początkowych.¹⁶

(iiv) Ograniczone liniowe operatory w przestrzeni Banacha zachowują obliczalność, ale nieograniczone nie zachowują obliczalności.¹⁷

Teraz można przeprowadzić (diagonalne) rozumowanie, które jest zara-zem dowodem na istnienie nieobliczalnej liczby rzeczywistej.

TWIERDZENIE 5. Zbiór rekurencyjnych liczb rzeczywistych nie jest reku-rencyjnie przeliczalny. Nie istnieje efektywna enumeracja wszystkich liczb rzeczywistych.

Dowód przez diagonalizację. Zakładamy (nie wprost), że istnieje efektyw-nie obliczalna enumeracja rekurencyjnych liczb rzeczywistych [0,1].

...

ko-nieczne, ponieważ dwie liczby rzeczywiste o różnych rozwinięciach są iden-tyczne, gdy jedna kończy się nieskończoną sekwencją 9, a druga 0, na przy-kład 0,09999…= 0,10000… Liczba

r ' = r

₁

,' r

₂

,' r

₃

,' r

₄

' ,...

, przy

r ' ≠ r

_nn, różni się od każdej innej z listy na przynajmniej jednej (diagonalnej) pozycji. Dla-tego istnieje co najmniej jedna liczba, która wypada z oryginalnej enumera-cji. Skoro założenie wyjściowe jest poprawne, a wszystkie operacje, które zawiera argument diagonalny są obliczalne, to skonstruowana liczba powin-na również być obliczalpowin-na i pojawić się powin-na liście. Ale wcześniej otrzymaliśmy

—————————

13 G. J. Chaitin, Algorithmic Information Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1987.

14 S. Mazur, Computable Analysis, Rozprawy Matematyczne XXIII, PWN, Warszawa 1963.

15 Pour-El, Richards, op. cit., s. 42.

16 Ibidem, s. 73.

17 Ibidem, rozdz. 3.

wiadomość, że nie jest zawarta w oryginalnej enumeracji. Mamy zatem sprzeczność. Konkluzja płynie więc jedna: nie istnieje efektywnie obliczalna enumeracja rekurencyjnych liczb rzeczywistych. Zbiór rekurencyjnych liczb rzeczywistych nie jest rekurencyjnie przeliczalny. Rozumowanie przekątnio-we wykorzystał Cantor dowodząc, że nie ma jedno-jednoznacznej relacji między liczbami naturalnymi a liczbami rzeczywistymi. Tych pierwszych jest przeliczalnie wiele a tych drugich jest nieprzeliczalnie wiele.

W dokumencie FILOZOFIA I NAUKA (Stron 160-164)