Jeśli liniowe równanie różniczkowe

˙x = DF (x₀)x,

dane częścią liniową F w x₀, położeniu równowagi, ma własność

Reλ < 0 dla każdej wartości własnej λ operatora liniowego (różniczki) DF (x₀), to mówimy, że x0 jest ściekiem.

Jeśli Reλ > 0 dla każdego λ, to mówimy, że x₀ jest źródłem.

Jeśli Reλ 6= 0, to punkt x₀ nazywamy punktem hiperbolicznym.

Przestrzeń, po obcięciu do której DF (x0) ma tylko wartości własne, spełniające Reλ < 0, na-zywa się stabilną, przestrzeń, gdzie Reλ > 0, nana-zywa się niestabilną.

Uwagi:

1. Ścieki i źródła są, zgodnie z tymi definicjami, punktami hiperbolicznymi.

2. W przypadku wymiaru m=2 ściekami są węzeł stabilny i ognisko stabilne, źródłami są węzeł niestabilny i ognisko niestabilne. Punkt hiperboliczny dla którego λ2 < 0 < λ1

nazywamy siodłem.

Twierdzenie 11.1 Jeśli x₀ jest ściekiem, to trajektoria φ(t) ≡ x₀ jest asymptotycznie stabilna.

W dowodzie potrzebna będzie następująca

Definicja 11.4 Funkcja ciągła rzeczywista, określona na otoczeniu x0 nazywa się funkcją La-punowa, jeśli L(x₀) = 0 oraz L(x) > 0 dla x 6= x₀ i L jest monotoniczna malejąca wzdłuż każdej trajektorii φ(t). Jeśli L jest różniczkowalna, to tę monotoniczność zapisujemy jako D_FL(x) ≤ 0 dla każdego x w otoczeniu x0 (DFL oznacza pochodną L w kierunku F ).

Twierdzenie 11.2 (lemat Lapunowa) Jeśli w otoczeniu położenia równowagi istnieje funk-cja Lapunowa L, wówczas położenie to jest stabilne w sensie Lapunowa. Jeśli spełnione jest więcej: L jest ściśle malejące wzdłuż każdej trajektorii z wyjątkiem φ(t) ≡ x0 (lub dla L różnicz-kowalnej D_FL(x) < 0 dla x 6= x₀ – to jest silniejsze od ścisłego malenia), to x₀ jest asympto-tycznie stabilne.

Dowód

Niech U będzie zwartym otoczeniem x0, na którym określona jest funkcja L. Oznaczmy A_η = {x ∈ U : L(x) ≤ η}. Przy η → 0, mamy A_η → x₀ (tzn. sup_y∈Aη|y − x₀| → 0).

W przeciwnym razie T

η>0A_η zawierałby y ∈ U dzięki zwartości U i y 6= x₀ oraz L(y) = 0, sprzeczność.

Zatem dla każdego ε > 0 istnieje η > 0 takie, że A_η ⊂ B(x₀, ε). Zbiór U_η = {x ∈ U : L(x) < η}

zawiera x₀ i jest otwarty. Istnieje więc δ > 0 takie, że B(x₀, δ) ⊂ A_η. Dla x ∈ B(x₀, δ), t ≥ 0 mamy φ(x, t) ∈ Aη, gdzie φ(x, 0) = x0.

W przeciwnym razie φ(x, t₁) ∈ ∂A_η dla pewnego czasu t₁. Ustalmy, że t₁ > 0 to pierwszy taki moment. Wtedy φ(x, t) ∈ A_η ⊂ U dla wszystkich T : 0 ≤ t ≤ t₁, gdzie L jest określone. Mamy

Wykład 11 74 L(x) < η i L(φ(x, t₁)) = η, co przeczy założeniu, że L wzdłuż φ(x, t) nie rośnie. W konkluzji φ(x, t) ∈ A_η ⊂ B(x₀, ε).

Jeśli L jest ściśle malejąca wzdłuż trajektorii φ(x, t) i wzdłuż pewnej trajektorii

t→∞lim L(φ(x, t)) = L₀ > 0,

to znajdujemy ciąg t_n → ∞ i y ∈ U takie, że lim_n→∞φ(x, t_n) → y. Wtedy dla każdego t ≥ 0 mamy L(φ(y, t)) = limn→∞L(φ(x, tn+ t)) = L0. To przeczy ścisłemu maleniu L wzdłuż φ(y, t).

Poziomice funkcji x₀

x , t ) φ(

L

Rysunek 11.1: Ilustracja dowodu lematu Lapunowa

¤ Dowód Twierdzenia 11.1

Zbadajmy najpierw równanie liniowe ˙x = DF (x₀)(x − x₀). Oznaczmy dalej DF (x₀) przez A i przyjmijmy dla uproszczenia oznaczeń x0 = 0. W tym przypadku można skonstruować L jako formę kwadratową. Należy wziąć

L(x) = Xm

j=1

x²_j,

gdzie x_j to współrzędne w takiej bazie, w której klatki Jordana mają postać







λ ε . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. ε 0 . . . λ





.

Wypisanie wzoru na D_AxL(x) pozostawiam Czytelnikowi; jeśli ε jest dostatecznie małe, to D_AxL(x) < 0 dla x 6= x₀.

Dla ˙x = Ax + G(x), gdzie |G(x)| = o(|x|), mamy

D_F(L)(x) = D_AxL(x) + D_GL(x).

Widać, że |DAxL(x)| ≥ C|x|² dla C > 0 jeśli ε jest dostatecznie małe. Mamy też G = o(|x|) zatem D_GL = o(|x|²). Stąd w małym otoczeniu 0 (x₀ przed uproszczeniem oznaczeń) mamy D_FL(x) < 0 dla x 6= x₀.

Uwaga

Jeśli dla liniowego równania różniczkowego wszystkie wartości własne spełniają Reλ ≤ 0, a te dla których zachodzi równość mają klatki Jordana 1 × 1, to 0 jest stabilne w sensie Lapu-nowa.

Dowód

Trajektorie rozkładają się na sumy trajektorii: w przestrzeni Reλ < 0, gdzie jest nawet stabilność asymptotyczna oraz Reλ = 0, gdzie składniki w 2-wymiarowych przestrzeniach to ruchy po elipsach.

¤ Twierdzenie 11.3 (Hadamard-Perron) Niech x₀ będzie punktem stałym (równowagi) hi-perbolicznym równania różniczkowego:

˙x = F (x), x ∈ R^m. Niech T_x0 = E^sL

E^u będzie rozkładem przestrzeni stycznej w x₀ na przestrzenie stabilną i nie-stabilną (odpowiadające Reλ < 0, Reλ > 0 dla równania różniczkowego liniowego ˙x = DF (x₀)x, F ∈ C¹). Wtedy istnieje δ > 0 takie, że zbiory

W_δ^s(x0) = {x : ∀t≥0φ^t(x) ∈ Bs(x0, δ)}, W_δ^u(x₀) = {x : ∀_t≤0φ^t(x) ∈ B_u(x₀, δ)},

gdzie B_s(x₀, δ), B_u(x₀, δ) oznacza kule o środku x₀ i promieniu δ odpowiednio w E^s, E^u, to C¹ rozmaitości, wykresy funkcji E^s → E^u oraz E^u → E^s odpowiednio, styczne w x₀ do E^s, E^u, wymiarów takich, jak E^s, E^u.

Dla x ∈ W_δ^s(x₀) φ^t(x) → x₀ przy t → ∞.

Dla x ∈ W_δ^u(x₀) φ^t(x) → x₀ przy t → −∞ (zbieżność wykładnicza).

E

E

s

u

W W

s u

Rysunek 11.2: Rozmaitości stabilna i niestabilna.

Wykład 11 76 Szkic dowodu

Kroki dowodu twierdzenia Hadamarda-Perrona są takie same jak w przypadku twierdzenia o C¹-zależności rozwiązań równania różniczkowego od warunków początkowych

1. Niech X oznacza przestrzeń funkcji z kuli B_u(0, δ) ⊆ E^u w E^s, stycznych do E^u w 0, ze stałą Lipschitza nie większą niż 1.

2. Na przestrzeni X działa przekształcenie Φ

Φ(W ) = φ¹(W ),

gdzie φ¹ oznacza φ^t przy t = 1 (utożsamiamy tutaj funkcję W z jej wykresem). W jest hiperpowierzchnią w przestrzeni stycznej do R^m w punkcie x₀, utożsamionej w otoczeniu 0 z R^m z otoczeniem x₀. Przyjmijmy x₀ = 0. Formalnie φ¹(W ) ma dziedzinę (jako wykres) większą niż B_u(0, δ) ⊆ E^u, trzeba więc jeszcze dziedzinę obciąć do B_u(0, δ).Φ okazuje się być kontrakcją na X, ma więc punkt stały W₀.

δ

B(0, ) B(0, )δ

W

φ

E^s

E^u

Rysunek 11.3: Przekształcenie Φ.

φ¹(l)

φ¹(W₂)

φ¹(W₁) 0

l

0

W

W₁ 2

Rysunek 11.4: Φ jest kontrakcją. Wzdłuż E^s (E^u) mamy nieliniowe spłaszczanie (rozciąganie).

3. Niech Y oznacza przestrzeń funkcji z Bu(0, δ) ⊆ E^u do zbioru przekształceń liniowych z E^u w E^s o normie nie większej niż 1.

4. Dla W ∈ X, V ∈ Y definiujemy Ψ(W, V ) jako funkcję przyporządkowującą każdemu x ∈ B(0, δ) ⊆ E^u przekształcenie liniowe o wykresie

Dφ¹(graph V ),

gdzie graph V to wykres V (π^uφ⁻¹((x, W (x))) w przestrzeni stycznej T_φ⁻¹((x,W (x)))(R^m) (π^u to rzut na przestrzeń E^u).

Dφ φ⁻¹

Dφ¹

V(y) (x,W(x))

0 0

((x,W(x))) φ−1

φ⁻¹((x,W(x)))

(V)

Rysunek 11.5: Ilustracja definicji przekształcenia Ψ.

V

₁

V

2

D φ ( V

₂

)

V

₁

D φ ( )

Rysunek 11.6: Dφ zmniejsza kąt.

Przekształcenie H : (W, V ) 7→ (Φ(W ), Ψ(W, V )) jest kontrakcją na „włóknach” Y : kΨ(W, V1) − Ψ(W, V2)k < λkV1− V2k, λ < 1.

Podobnie jak w przypadku twierdzenia o C¹-zależności pokazujemy zbieżność do punktu stałego Hⁿ(W, V ) → (W0, V0).

5. Jeśli startujemy z W oraz V = DW , np. W ≡ 0, V ≡ 0 to dla (W_n, V_n), obrazów (W, V ) przy Hⁿ, także zachodzi V = DW . Z Φⁿ(V ) → V₀ oraz zbieżności różniczek do W₀ wy-nika, że V₀ jest klasy C¹, z różniczką W₀.

Uzyskaliśmy więc niezmiennicze V₀, klasy C¹, φ⁻¹(V₀) ⊆ V₀. Nietrudno pokazać, że φ⁻ⁿ(x) → x₀ dla x ∈ V₀ oraz φ⁻ⁿ(x) ucieka z B(x₀, δ) ⊆ R^m dla x /∈ V₀.

6. Nie jest trudno sprawdzić, że V₀ spełnia także własności W_δ^u dla wszystkich t ≤ 0, nie tylko dla całkowitych.

¤

Wykład 11 78 Równania liniowe z okresowymi współczynnikami

Zajmiemy się teraz jednorodnym liniowym równaniem różniczkowym z F (t, x) okresowo zależnym od t. Załóżmy, że okresem jest T > 0.

Uwaga

φ(x₀, t₀, t) = φ(x₀, t₀ + T, t + T ), (11.1) gdzie φ(x₀, s₀, ·) oznacza rozwiązanie równania różniczkowego

dφ

dt(x₀, s₀, t) = F (t, φ(x₀, s₀, t)), z warunkiem początkowym

φ(x₀, s₀, s₀) = x₀.

Uwaga powyższa była już uzasadniona w rozdziale 5, gdzie pokazałem, że jeśli F nie zależy od t, to

φ(x₀, t₀, t) = φ(x₀, t₀+ s₀, t + s₀)

dla dowolnego s0. Podam jednak uzasadnienie jeszcze raz, w nieco innej formie:

Oznaczmy f (t, x) = (t + T, x), f : R^m+1 → R^m+1. Z założenia okresowości F (utożsamiając przestrzenie styczne z R^m+1, mamy:

Df_(t,x)(1, F (t, x)) = (1, F (t + T, x)).

Zatem f przeprowadza trajektorię φ(x₀, t₀, t) na φ(x₀, t₀+ T, t + T ).

Skorzystaliśmy tu z następującego faktu, który był już (w nieco innej postaci) wprowadzony-przed definicją 5.2 w Wykladzie 5):

Fakt

Jeśli f ∈ C¹ jest dyfeomorfizmem z U1 ⊆ R^m do U2 ⊆ R^m (lub ogólniej dla rozmaitości różniczkowych U₁, U₂) oraz F₁ jest polem wektorowym na U₁, F₁: U₁ → R^m, natomiast

F₂(x) = Df (F₁(f⁻¹(x))),

to przeniesienie tego pola na U₂, wówczas jeśli γ(t) jest trajektorią równania różniczkowego

˙γ(t) = F₁(γ(t)),

to f (γ(t)) jest trajektorią równania różniczkowego danego polem F2. Dowód

df (γ(t))

dt = Df_γ(t)˙γ(t) = Df_γ(t)(F₁(γ(t)) = F₂(f (γ(t))).

¤

Uwaga

Z powyższego faktu korzystaliśmy np. rozwiązując liniowe równanie różniczkowe ˙x = Ax we współrzędnych danych przez bazę postaci Jordana, gdzie równanie ma postać

˙x = K⁻¹(A(K(x))) = A^Jx i biorąc obraz rozwiązania γ(t) = e^tAJ, mianowicie

Ke^tAJK⁻¹(x) w wyjściowych współrzędnych.

Dla F (t, x) o okresie T > 0 oznaczmy φ(x, 0, T ) = φ(x, T ) = φ^T(x) = Bx, φ^T jest liniowe, B jest więc przekształceniem liniowym (w ustalonej bazie można B uważać za macierz).

Twierdzenie 11.4 Rozważmy równanie różniczkowe w R²

˙x = F (t, x) = A(t)x,

gdzie A(t) ma okres T > 0. Załóżmy, że det B = 1. Jeśli |trB| < 2, to 0 jest rozwiązaniem stabilnym w sensie Lapunowa.

Dowód

1 = det B = λ₁· λ₂

dla wartości własnych λ₁, λ₂ macierzy B. Nierówność |trB| < 2 implikuje, że jest to para sprzężonych liczb nierzeczywistych, gdyż dla λ 6= 0, rzeczywistych mamy:

|λ + 1 λ| ≥ 2.

1

0

λ λ₁

2

Rysunek 11.7: Wartości własne macierzy B.

Zatem B, w odpowiedniej bazie, jest obrotem, stabilnym w sensie Lapunowa (patrz uwaga po twierdzeniu (11.2)). Udowodniliśmy zatem część twierdzenia nie związaną z równaniami różniczkowymi, o stabilności 0 dla iteracji przekształcenia B. Łatwo jednak widać, że implikuje to stabilność 0 dla potoku φ^t, rozwiązania równania różniczkowego ˙x = F (t, x). Skorzystaliśmy tu z faktu wynikającego z równości (11.1), że:

φ^nT(x) = φ(. . . ((φ(x, 0, T ), T, 2T ), 2T, 3T ) . . . , nT ) = φ(. . . φ(φ(x, T ), T ), . . . , T ) = Bⁿx,

Wykład 11 80 ponieważ

φ(y, nT, (n + 1)T ) = φ(y, 0, T )

oraz z faktu, że w odcinkach czasu t ∈ (nT, (n + 1)T ), rozwiązanie nie może się oddalić od 0 (ciągła zależność od warunków początkowych).

¤ Wniosek

Jeśli det B = 1, |trB| < 2 dla przekształcenia liniowego B płaszczyzny R² w siebie, zaś ˜B jest przekształceniem liniowym dostatecznie bliskim B, w klasie przekształceń o wyznaczniku równym 1 (tzn. zachowujących miarę Lebesgue’a), to 0 jest stabilne w sensie Lapunowa dla iteracji ˜Bⁿ.

Dowód

Wystarczy, żeby tr ˜B < 2, co jest spełnione dla ˜B blisko B, z otwartości tego warunku.

¤ Uwaga

Bez założenia det ˜B = 1, ten wniosek nie byłby prawdziwy. Dla ˜B = aB, gdzie a > 1, bli-skie 1, można stracić stabilność, uzyskać źródło.

1 0 1

0

λ1

λ2 ∼

λ2=aλ2

∼ = λ1 aλ1

Rysunek 11.8: Jeśli det ˜B 6= 1, może nastąpić utrata stabilności.

Jeśli det ˜B = 1, to żeby stracić stabilność trzeba zaburzając przejść z ˜λ₁, ˜λ₂ przez 1 lub −1.

λ₂ λ₁ λ₁ λ₂ 1

0

~ ~

Rysunek 11.9: Utrata stabilności w klasie macierzy o wyznaczniku 1.

Przykład

Rezonans parametryczny Rozważmy równanie

¨

x = −ω²(1 + εa(t))x,

gdzie a(t) jest funkcją okresową z okresem T (np a(t) = cos(t) dla T = 2π; równanie nazywamy wtedy równaniem Mathieu).

Dla ε = 0 układem fundamentalnym rozwiązań jest:

Φ(t) =

µ cos ωt _ω¹ sin ωt

−ω sin ωt cos ωt

¶ .

Mamy stały wrońskian W (t) = det Φ(t) = 1. W szczególności det B = det Φ(T ) = 1 Ponadto

|trB| ≤ 2, a jedynymi ω, T , dla których |trB| = 2 są ω = nπ

T .

Zatem tylko dla takich ω, T , zaburzenie składnikiem εa(t) może spowodować niestabilność.

Liczbę ω nazywa się częstością (kątową) własną oscylatora (Podzielona przez 2π jest liczbą, niekoniecznie całkowitą, obiegów oscylatora w jednostce czasu).

Liczba ^2π_ω to okres drgań własnych. Jeśli ν, częstość zmian parametrów, tzn. funkcji a(t), jest zdefiniowana przez

2π

ν = T (dla równania Mathieu ν = 1), to utrata stabilności może zajść tylko przy T ω = nπ, n całkowite, czyli

2π

ν = nπ, ω ν = n

2. Inaczej

2π ν = n

2 2π

ω ,

czyli okres zmian parametrów, okres a(t), jest krotnością półokresu drgań własnych.

Uwaga

Jest to zgodne z doświadczeniem na huśtawce. Żeby się rozhuśtać, należy zmieniać a(t), tzn.

ω(1 + a(t)), czyli np. długość huśtawki l (przy ¨x = −ω²x, mamy ω² = Const · l), z okresem będącym krotnością półokresu huśtania bez zmian długości.

Wykład 12

Przykład (Nieliniowe równanie różniczkowe)

Zajmiemy się teraz prostym przykładem nieliniowego układu równań różniczkowych:

½ ˙x = y

˙y = − sin x,

Można ten układ rozpatrywać na S¹× R (iloczynie kartezjańskim okręgu i prostej), bo pole jest okresowe względem x, S¹ = R/2πZ. Układ pochodzi od równania rzędu 2

¨

x = − sin x

i jest równaniem wahadła matematycznego. Przyjmuję, że stała przed sin x związaną m. in.

z długością wahadła jest równa 1. Równanie oscylatora harmonicznego, rozpatrywane m. in.

na końcu poprzedniego wykładu było liniowym przybliżeniem tego równania blisko 0. Funkcja sin x była zastąpiona przez x.

stabilny pukt rownowagi niestabilny punkt rownowagi

x

/

/

Rysunek 12.1:

Są dwa punkty równowagi: p = (0, 0) oraz q = (π, 0). Części liniowe pola F (x, y) = (y, − sin x) w tych punktach, to µ

0 1

−1 0

¶

oraz

µ 0 1 1 0

¶ ,

82

ich wartościami własnymi są

±i oraz ± 1,

te punkty więc to odpowiednio centrum (def.: otoczenie jest sumą orbit okresowych) oraz siodło.

Rozpatrywane równanie jest postaci hamiltonowskiej

˙x = ∂H

∂y ,

˙y = −∂H

∂x,

gdzie energia (hamiltonian) H = ^y₂² − cos x. Dla takiego układu H jest całką pierwszą (por.

Wyklady 6 i 9).

Jak łatwo zobaczyć, obraz fazowy wygląda jak na rysunku (12.2)

q p q

separatrysa

separatrysa

loc

Ws (q )

Rysunek 12.2: Obraz fazowy dla równania wahadła.

Punkt p jest stabilny w sensie Lapunowa, natomiast punkt q nie. Zbiór W^s(q) = {z ∈ S¹× R : φ^t(z) → q dla t → ∞} = [

t≥0

φ^−t(W_δ^s)

(patrz poprzedni Wykład) nazywamy rozmaitością globalnie stabilną. Podobnie definiuje się rozmaitość globalnie niestabilną. W^s(q) (podobnie W^u(q)) składa się z q i dwóch trajektorii, tzw. separatrys stabilnych. Dla naszego przykładu separatrysy stabilne są równe separatrysom niestabilnym.

Jeżeli będziemy teraz zmieniać trochę siłę, w zależności od czasu, ale okresowo, powiedzmy z okresem 1, to obraz fazowy dla φⁿ jest związany z następującym rysunkiem.

Rysunek 12.3: Tu będzie rysunek

W^s(q) i W^u(q) definiuje się dla φ = φ¹ tak jak wyżej, tylko φ^t zastępuje się przez φⁿ. Teraz W^s(q) i W^u(q) mogą się przecinać transwersalnie (w punktach przecięcia mają różne kierunki styczne), są bowiem sumami trajektorii φⁿ(z), ciągów punktów. (Trajektorie jako krzywe wy-stępują po zastąpieniu równania, równaniem autonomicznym w S¹× R × R/Z. Ostatnie R to czas; jest podzielony przez Z z uwagi na okresowość zaburzenia siły.) Te punkty przecięcia W^s(q) ∩ W^u(q) nazywamy punktami homoklinicznymi. Są one przyczyną „chaosu”.

Wykład 12 84 Twierdzenie 12.1 (KAM (Kołmogorow, Arnold, Moser)) Dla odpowiednio małych za-burzeń okresowych, z okresem 1, prawej strony równania ¨x = − sin x (i ogólniej typowego rów-nania hamiltonowskiego wokół centrum w R²), takich, że φ^t zachowują miarę Lebesgue’a w R², niezmiennicze dla φ¹ krzywe zamknięte mają dodatnią (w sumie) miarę Lebesgue’a (im bliżej p, tym procentowo większą, zbiegającą do 100%). W szczelinach mamy punkty okresowe, wokół których znowu istnieje wiele krzywych zamkniętych niezmienniczych. W szczelinach sytuacja się powtarza, itd. Punkt p jest stabilny w sensie Lapunowa.

Problem na XXII wiek:

Czy uzupełnienie zbioru tych krzywych niezmienniczych ma dodatnią miarę Lebesgue’a?

Opisać „chaotyczne” zachowanie φ na tym uzupełnieniu.

Przy zaburzaniu znikające krzywe zamknięte niezmiennicze rozsypują się w niezmiennicze zbiory Cantora, najodporniejsze na to zjawisko są te, na których średni „obrót”φ (przed zabu-rzeniem), dokładniej „kąt obrotu” α, jest wolno aproksymowany przez liczby wymierne:

∀p,q∈Z|α − p q| > C

q².

W wymiarze 2m powstają wokół punktu równowagi m-wymiarowe torusy niezmiennicze (z ruchem prawie okresowym, obmotki), po zaburzeniu wypełniają zbiór dodatniej miary. Po-nieważ jednak nie rozcinają R^2m, nie zapewniają stabilności Lapunowa. Może nastąpić ucieczka od punktu równowagi. To zjawisko nazywamy dyfuzją Arnolda. Takie „niecałkowalne” układy powstają w mechanice, już w tzw. problemie trzech ciał.

Przejdźmy na chwilę do mechaniki, do prostszych przykładów:

Ruch ciała w polu sił centralnych Rozważmy równanie różniczkowe:

¨

x = −∂U

∂x w R³,

gdzie U : R³\{0} → R, to gładka funkcja, zależna tylko od r = |x|, tzw. potencjał.

Przestrzeń fazowa jest tutaj 6-wymiarowa:

µ x

˙x

¶

∈ R⁶ (W przypadku n ciał jest 6n-wymiarowa).

W dokumencie Równania Różniczkowe Zwyczajne Wykłady na Wydziale MIM UW, w semestrze wiosennym 2000 r. (Stron 74-85)