W roku 1937 Erik H o lm b e r g , astronom obserwatorium w L und zaproponował nową metodę określania średniej masy galaktyk na podstawie ruchów orbitalnych układów podwójnych. Względne prędkości orbitalne obliczał z obserwowanych prędkości radialnych. M ateriał obserwacyjny, na podstawie którego sprawdzał wyniki nowej me to d y był bardzo ograniczony, składał się zaledwie z 8 układów. Niemniej jednak badania te dały średnią masę galaktyk prawidłowego rzędu.
Obecnie Holmberg przeprowadził szczegółową teoretyczną analizę dynamicznego problemu jaki przedstaw iają układy podwójne. Analiza dotyczy związku pomiędzy średnią masą i dwoma obserwowanymi wielkościami: różniczkową prędkością radialną i liniowym rozdzieleniem składników. W yniki dyskusji teoretycznej zastosował następnie do dwóch grup układów podwójnych, mianowicie: do gwiazd podwójnych oraz do p o dwój nycłi galaktyk.
Teoretyczne badania Holmberg oparł na dwóch założeniach:
1) Składniki układu podwójnego poruszają się po orbitach bliskich kołowym. 2) Składniki układu zachowują się grawitacyjnie tak, jak m asy punktowe. Założenia te są konieczne w celu uproszczenia analizy, k tóra naw et w idealnym p rzy padku prowadzi do bardzo skomplikowanych teoretycznych wyrażeń.
O rbita względna układu podwójnego i względny ruch orbitalny może być scharak teryzow any przez następujące param etry:
R — promień wodzący (w jednostkach astronomicznych)
r — rzut promienia wodzącego na płaszczyznę nieba (w j. a.)
w — różniczkowa prędkość orbitalna (j. a./rok)]
v — różniczkowa prędkość radialna (j. a./rok)
x — k ą t pomiędzy promieniem wodzącym i płaszczyzną nieba
y — k ą t pomiędzy kierunkiem ruchu orbitalnego a płaszczyzną przechodzącą
przez prom ień wodzący i Słońce
22K — całkowita m asa układu (w jedn. słonecznych).
Wielkości obserwowane są r i v. W przypadku orbity kołowej wielkości te w yrażają się w następujący sposób przez inne param etry
r=jR-cos x
V— w cos x cos y , rv% --Rw2 cos3 x cos2 y.
Jeśli przez R oznaczymy wielką półoś, przez P okres obiegu jednego składnika układu naokoło drugiego, to na podstawie I I I praw a Keplera mamy:
■ U3 IPw- Rw1
'/. literatury naukowej
stąd
rv2 = 8 tc 2921 c o s 3 x c o s 2 y . (I)
Jeśli dla pewnej liczby układów podwójnych znane są z obserwacji r i v, to możemy w yznaczyć średnią masę 3J!, jeśli przy tyin w jakiś sposób uda się nam określić średnie wartości dwóch trygonometrycznych funkcji.
Jeśli nie posiadamy żadnych danych odnośnie do średilich wartości cos* x i cos2 y. możemy je obliczyć przy założeniu przypadkowego rozkładu tych kątów. W takim bowiem wypadku względny rozkład kąta x równy jest cos x, podczas gdy rozkład kąta y reprezentowany jest przez stałą. Średnie w artości cos x i cos y otrzymuje się z wyrażeń
N ależy zauważyć, że ostatni związek oparty jest na założeniu, że nie istnieje korelacja pom iędzy 3H, * i y. Jedynie av tym wypadku wolno zastąpić średnią prawej strony równania przez iloczyn trzech średnich.
Założenie przypadkowego rozkładu kąta y jest zw ykle usprawiedliw ione.'N iestety, nie można tego powiedzieć w stosunku do kąta x . W przypadku z właszcza podwójnych galaktyk w ydaje się rzeczą bardzo trudną zebrać materiał, który byłby przypadkową próbką odnośnie do w spółczynnika rzutowego c o s * . D ow olny spis galaktyk podwój
nych będzie z pewnością zawierał efekty selekcji.
Holmberg omija tę trudność zastępując’ cos x przez funkcje rozkładu rzutu pro mienia wodzącego r i samego promienia wodzącego R . Ogólne rozwiązanie problemu dynamicznego opiera się zatem na funkcjach f (r) i F ( B) reprezentujących statystyczn y l-ozkład r i R i odpowiadających układom podwójnym w danej objętości przestrzeni.
Dla danej wartości R (7? T 2 <IR) otrzym ujem y pewną częstość r. Mamy zatem następującą zależność pom iędzy funkcjami rozkładu /(»') i. F(R)
Całkując na w szystkie m ożliwe w artości R znajdujemy następujący związek pom iędzy dwoma funkcjami rozkładu
Maksimum wartości Jt Rm zostało wprowadzone jako oddzielny parametr, i powyższych równań m ożemy przedstawić średnią z którejkolwiek wielkości R, cos3*, jako funkcję r .
Interesuje nas szczególnie związek pom iędzy v i r ze względu na to, że obie te wielkości dane są z obserwacji.
1
•> ■
Iloczyn tych dwóch średnich równy jest 3it/32 = 0,2945 i reprezentuje średni w spół czynnik rzutowy. Średnią m asę otrzymuje się w tedy z równania
rv‘ = 87t2i9Jł • cos3 x ■ cos2 y = 23,3 9H. (2)
(3)
(4) r
/ literaturH naukowej
K rzyw a regresji d ając a średni k w a d ra t prędkości radialnej ja k o fu n k cję r z u tu o d ległości pom iędzy skład n ik am i będzie d a n a przez rów nanie
: 4-2:n r « _ r F E L ^ R* R ) / R * - r * (5) r F( R) R \ d R
R ów nanie to o trzy m u ję się z rów nania (2) przez zastąp ien ie w nim cos3 x przez iloraz dwóch w yrażeń całkow ych, oraz k ła d ąc n a cos2 y = . Iloraz dwóch w yrażeń całkow ych je s t fu n k cją r i R m; oznaczam y go przez <p(r.Ttm)- R ów nanie krzyw ej regresji napisać m ożna wr p ostaci:
v* = 4 n m < p (r,R m). (
6
)Ś redni k w a d ra t prędkości różniczkow ej je s t p ro p o rc jo n aln y do fu n k cji <p(r, Rm). W spół czy n n ik proporcjonalności rów ny je s t 4rc®9H.
D la m a te ria łu obserw acyjnego, k tó ry je s t d o stateczn ie obszerny, możliwe je st w yznaczenie rozkładu F(R) n a podstaw ie obserwowanego ro zk ład u f(r). Z agadnienie podo b n e jest. do zagadnienia w yznaczenia gęstości p rzestrzennej w grom adach ku listy ch z gęstości obserw ow anej, w idom ej.
W p ra k ty c e H olm berg p ro p o n u je m etodę przed staw ien ia F(R), d rogą p ró b , w p o . staci p ro sty c h fu n k cji R o zm iennych p a ra m e tra c h i n astęp n ie obliczania /(r) z ró w n a nia (4). Z m ieniając p a ra m e try m ożna doprow adzić rozkład f(r) do zgodności z rozkładem obserw ow anym . Je śli uda się do b rać ta k rozkład F(R) w ted y znalezienie fu n k cji <p(r,Rm) sprow adza się do prostej k w a d ra tu ry . Zależność v‘ od <p(r. R m) będzie zw iązkiem lin io w ym , któ reg o w spółczynnik inożna w yznaczyć za pom ocą rozw iązania n ajm n iejszy m i
k w a d ra ta m i. S tą d zaś o trzy m u jem y średnia lliasę układów podw ójnych.
B a d a n i e g w i a z d p o d w ó j n y c h : H olm berg zastosow ał w yprow adzone przez siebie teo retyczne zw iązki do gwiazd podw ójnych. M ateriałem obserw acyjnym b y ły gw iazdy p o dw ójne i gw iazdy ze w spólnym ruchem w łas nym z k atalo g u L ouise F . J e n k i n s i F ra n k a S c h l e s i n g e r a . P a ra la k sy dla w iększości ukła- d ów są znane, m ożna było więc obliczyć liniowre odległości pom iędzy składnikam i. D an e wzięte z k atalo g u w y k azu ją, że istn ieje bardzo mało układów podw ójnych, dla k tó ry c h r > 2000 j. a. T ę w artość p rz y ją ł H olm berg n a m ak sy m aln ą w artość p rom ienia w odzącego. K o rz y sta jąc z
w k ata lo g u obliczył n astęp n ie fu n k cję rozk ład u dla ro zm a ity c h w arto ści r. P rz e d sta w iają ją na rys. 1 czarne p u n k ty . N astępnie drogą p ró b po d staw iając n a F(Jt)
ffr)
0 " 0 r «>rn
Rys. 1. W ykres funkcji f(r) dla gw iazd p odw ójnych (kropki) i dla po d w ó j
n y ch g a la k ty k (kółka) m a teria łu obserw acyjnego zaw artego
F( R ) = k
- ( Ł ) \ (7)
i obliczając, całkę (4) znalazł /( r) , k tó ra najlepiej p asu je do obserw ow anego ro zk ła d u . Poniew aż, ja k w idać na załączonym w ykresie, krzyw a teo re ty cz n a bard zo dobrze zgadza
4 0 Z l i t e r a t u r y tuiukoirej
się z obserw ow anym rozkładem m ożna uw ażać, że p rz y ję ta fu n k c ja rozkładu F (R ) re p re ze n tu je p raw dziw y rozkład pro m ien ia wodzącego.
N astępnie H ołinberg przed staw ił średni k w a d ra t prędkości rad ia ln ej w fu n k cji <p(r,Bm), p rzy ty m okazało się, że skom plikow ane w yrażenie na ip(r,Bm) m ożna było z a stą p ić przez względnie pro ste:
0,40 0,60 <p(r, Rm) =
B /r (8)
z błędem nie przek raczający m 1% . Ś redni k w a d ra t prędkości radialnej w y ra ża się z a tem p rostym wzorem :
O znaczając w końcu przez 2IV‘ średni k w a d ra t różniczkow ej prędkości radialnej obserw ow anej, przez e — średni b łąd o trzy m u je się o statecznie
^ = ^ = ^ M + 0 , 6 o l
,74)‘ ' B m [r/E m
J
/lF a — <4
4
t:-3
}i,
(10
)K rzyw a regresji d ają c średnie /I V 2 odpow iadające różnym w artościom r' może b y ć p rzed staw io n a przez w yrażenie liniow e pr'-\-q, gdzie p = 0,443 7R i q-~ e*. R ozw iązanie o p arte n a 55 p ara c h dało w ynik n astę p u ją c y
= 2,13/® ±1,5
e(/lF ) = ± 3 ,5 km /sek.
M asa o trzy m an a w te n sposób d la układów podw ójnych gw iazd je s t tego sam ego rzę d u co m asa o trz y m a n a ze zw iązku m asa-jasność.
Ź ródła błędów H olm berg w idzi przede w szystkim w duży ch błędach p rz y p a d k o w ych w prędkościach rad ia ln y ch , m ożliw ości istn ien ia p a r o nienorm alnie w ielkich m a sach oraz p a r optycznych. O dnośnie do sam ych m as, to rów nanie (10) o p arte je s t n a założeniu, że średnia m asa nie zm ienia się w raz z p a ra m e tre m r'. W iadom o je s t je d n ak , iż składniki bliskich układów są nieco słabsze i zatem praw dopodobnie m niej m asyw ne.
B a d a n i e p o d w ó j n y c h g a l a k t y k : W celu p rzeanalizow ania pro b lem u w s to su nku do p odw ójnych g a la k ty k , podobnie ja k w p rz y p a d k u układów gw iazd po d w ó j nych, należy znaleźć fu nkcję ro zk ład u F (B ). R ozkład r H olm berg o trzy m u je zliczając ogólną liczbę p a r w polu kołow ym dokoła pew nych w y b ran y ch g a la k ty k oraz oceniając p raw dopodobną liczbę p a r o ptycznych p rz y danej odległości kątow ej pom iędzy sk ła d n i kam i. Zliczenia te p o d an e są w tablicy:
Odległ. k ąto w a liczba
całk. o pt. p a r y fiz. p a ry 0 ' - 4', 35 1,4 33,6 5 - 9 35 5,0 30,0 10 - 1 4 37 8,6 28,4 15 - 1 9 37 12,1 24,9 20 - 2 4 30 15,7 14,3 25 - 2 9 31 19,2 11,8 30 - 3 4 27 22,8 4,2 35 - 3 9 33 26,4 6,6 0 1 37 29,9 7,1 45 - 4 9 31 33,0 ( -2 ,5 )
'/, literatury naukowej
41
Bóżnica kolum ny drugiej i trzeciej d aje liczbę p a r fizycznych. M aksym alna odle głość rów na 45' w y d aje się obrana dobrze. Pow yższy rozkład został n astęp n ie przed* staw iony n a rys. 1. (kółka). Liniowe rozdzielenie g a la k ty k H olm berg oznaczył przez sr0, gdzie u je s t rozdzieleniem kąto w y m (w m inutacli luku) a r 0 — średni rz u t odle- . głości m ierzony w je d n o stk a ch astronom icznych odpo w iad ający 1' i w idom ej wielkości+ 127’6.
Ciekawe je st, że po stać rozk ład u f(r) je s t id e n ty cz n a ja k d la gw iazd podw ójnych. W obec tego H olm berg p rzy jm u je tę sam ą fu nkcję ro zk ła d u dla p ro m ie n ia wodzącego (7) z t ą jed y n ie różnicą, że odległość iJm = 45r0.
W celu znalezienia w artości n a r 0 należy ocenić śred n ią a b so lu tn ą w ielkość g ala k ty k , k tó ry ch w idom a wielkość je st - f l 2 " ‘6. H olm berg ocenia średni m oduł odległości ty c h g a la k ty k n a 26',"2 n a p odstaw ie prędkości rad ia ln y ch . J e ś li p o n a d to uw zględnić śred n ią absorpcję iniędzygalaktyczną, o trzy m u je się na średnią a b so lu tn ą wielkość w artość —15“ 7. N a r 0 o trzy m u je H olm berg w artość 2.108 j . a . , a stą d _Bm = 45r0 = 9.109 j.a .
W yznaczenie średniej m asy o p a rte je s t n a m a teria le prędkości rad ia ln y ch zebranych przez T h. P a g e w p ra c y „R ad ial velocities an d m asses of double galaxies" (Ap. J. , 116, 1952). M ateriał zaw iera 35 układów'. N ie s te ty n iek tó re z nich są g a la k ty k a m i wielo k ro tn y m i i należało je odrzucić. D alsze b a d a n ia o p a rte zo stały n a 26 u k ła d ac h p o d w ó j nych.
N astępnie H olm berg, p odobnie ja k dla u kładów gw iazd podw ójnych, w yznacza średni k w a d ra t prędkości radialnej w zależności od p a ra m e tru r ' . P a ra m e tr te n zm ienia się od 1,1 do 50.
D la w artości r' od 1,1 do 15 średnie /I F 2 w y d aje się w zrastać p roporcjonalnie do r' zgodnie z teorią. O dpow iada to rzu to m odległości od 9.10® do 0,25.10® j. a. lub w p a rse kach od 44 000 do 1200 ps (ponieważ m inim um średnic g a la k ty k je s t około 1000 p s więc H olm berg p rz y jm u je je za najm n iejszą odległość p om iędzy g alak ty k a m i). D la odległości m niejszych niż 1200 p s fu n k cja rozk ład u F( R) je s t nieokreślona.
R ozw iązanie liczbow e opiera się w te n sposób n a 18 u k ła d ac h (dla r' od 1,1 do 15) i d aje w ynik:
OT 6,5 • 10lui¥®
± 3 ,2 (m. e.)
B łąd średni A V p rzy ję to 50 km /sek dla pom iarów P age i 80 km /sek dla innych pomiarów* Ś rednia m asa o trzy m an a przez H olm berga zgadza się dość dobrze z w arto śc ią o trz y m a n ą przez P a g e ’a (8,2 • 1010 .1/®).
(W edług Erik H olm berga, On the Masses o f Double Galaxies, M edd. fran Lunds A stron. Observ. Ser. N r. 186, 1954).