Propozycje Lakoffa i Núñeza warto skonfrontowa´c z innymi stanowiskami w kwe-stii matematyczno´sci umysłu oraz matematyczno´sci ´swiata. S ˛a to oczywi´scie kwe-stie zawiłe, nie mo˙zna ich nale˙zycie przedstawi´c w krótkim tek´scie, wymagaj ˛a wnikliwego rozpatrzenia pogl ˛adów obecnych w filozofii matematyki. Tutaj ograni-czymy si˛e jedynie do uwag konfrontuj ˛acych propozycje Lakoffa i Núñeza z niektó-rymi pogl ˛adami Michała Hellera, który – jak dobrze wiadomo – jest or˛edownikiem tezy o tym, i˙z Wszech´swiat jest matematyczny (por. np. Heller 1997, 1998) oraz do zacytowania kilku fragmentów z ksi ˛a˙zki Michniowski 2004. Przypomnijmy propo-nowan ˛a przez Hellera typologi˛e wszech´swiatów ze wzgl˛edu na ich „stopie´n mate-matyczno´sci”:
1. Wszech´swiat całkowicie niematematyczny (całkowicie irracjonalny). Byłby to Wszech´swiat, w którym nie obowi ˛azuj ˛a zasady (˙zadnej) matematyki i lo-giki. Twór taki byłby sprzeczny. Nie mógłby zatem istnie´c.
2. Wszech´swiat całkowicie niepoznawalny (bardzo zło´sliwy). Heller przywo-łuje tu jako przykład hipotetyczny ´swiat, który znajdowa´c mo˙ze si˛e w jedy-nie dwóch stanach, powiedzmy 0 oraz 1, przy czym ci ˛ag tych stanów nie jest algorytmicznie ´scie´snialny. Ma to oznacza´c, ˙ze nie istnieje algorytm po-zwalaj ˛acy przewidywa´c kolejne przyszłe stany ´swiata. Zbiór liczb ´scie´snial-nych w odcinku [0, 1] ma miar˛e zero, a wi˛ec prawie wszystkie liczby z tego odcinka (zapisane jako ci ˛agi zerojedynkowe) miałyby reprezentowa´c takie wła´snie „zło´sliwe”, niepoznawalne matematycznie Wszech´swiaty. Ich teo-ria musiałaby – pisze Heller – by´c to˙zsama (co do swojej zło˙zono´sci) z nimi samymi. Fizyk zbudowa´c mo˙ze teori˛e prostsz ˛a od opisywanego przez ni ˛a obiektu tylko w przypadku, gdy ma do czynienia wła´snie z ci ˛agiem algo-rytmicznie ´scie´snialnym. Fizyka odeszła jednak od opisów czysto jako´scio-wych, uwzgl˛edniaj ˛ac ró˙zne zabiegi idealizacji oraz aproksymacji. To umo˙z-liwia tworzenie modeli matematycznych przybli˙zaj ˛acych opisywane zjawi-ska.
3. Wszech´swiaty „łagodnie zło´sliwe”. Tu jako przykład podaje Heller
Wszech-´swiat, w którym siła grawitacji pomi˛edzy dwiema masami nie działa
(zgnie z prawem Newtona) odwrot(zgnie proporcjonal(zgnie do drugiej pot˛egi od-legło´sci mi˛edzy nimi, lecz odwrotnie proporcjonalnie do odod-legło´sci mi˛e-dzy nimi podniesionej do pot˛egi 1, 999. Ma to oczywi´scie konsekwencje dla skomplikowania kształtu orbit planet, które staj ˛a si˛e krzywymi na ogół nieokresowymi i niezamkni˛etymi. To z kolei powoduje, ˙ze szukanie praw opisuj ˛acych prawidłowo´sci takiego Wszech´swiata staje si˛e wielce mozolne.
Heller uwa˙za matematyczno´s´c ´swiata za t˛e jego cech˛e, dzi˛eki której mo˙zna go bada´c za pomoc ˛a metod matematyczno-empirycznych. Z przykładów powy˙zszych wida´c jednak tak˙ze, ˙ze mog ˛a istnie´c ´swiaty, posiadaj ˛ace struktur˛e matematyczn ˛a, ale nie poddaj ˛ace si˛e badaniu przez racjonalne podmioty. Heller wyró˙znia wi˛ec dwa rodzaje ´swiatów:
1. ´swiat poznawczo matematyczny – mo˙ze by´c badany metodami matematycz-nymi,
2. ´swiat ontycznie matematyczny – ´swiat, który nie jest całkowicie niematema-tyczny.
´Swiaty ontycznie matematyczne, lecz nie poznawczo matematyczne mog ˛a ist-nie´c. Nie mog ˛a natomiast istnie´c, wedle Hellera, ´swiaty pozbawione matematycz-no´sci w sensie ontologicznym.
Dystynkcje przeprowadzone przez Hellera s ˛a klarowne. Ciekawym zadaniem byłoby, jak s ˛adzimy, dokładniejsze scharakteryzowanie ´swiatów „zło´sliwych” ma-tematycznie – np. zaproponowanie bardziej subtelnych miar „stopnia
niedost˛epno-´sci” takich ´swiatów. Naturalnymi kandydatami na ´srodki opisu zdaj ˛a si˛e by´c tutaj konstrukcje rozwa˙zane w teorii rekursji (stopnie obliczalno´sci itp.) lub w bada-niach liczb przest˛epnych, liczb obliczalnych, liczb definiowalnych.
Powinno by´c widoczne, ˙ze propozycje Hellera nie pozostaj ˛a w zgodzie z wizj ˛a Lakoffa i Núñeza. Osobi´scie skłaniamy si˛e raczej ku koncepcji matematyczno´sci
´swiata ni˙z ku koncepcji, i˙z uciele´sniona matematyka wyczerpuje cało´s´c matema-tyki.
Obszernie o matematyczno´sci ´swiata – odwołuj ˛ac si˛e przede wszystkim do ustale´n fizyki współczesnej – pisze Tomasz Michniowski (Michniowski 2004).
Odnosi si˛e m.in. do (matematycznych aspektów) zwi ˛azków mi˛edzy umysłem a
´swiatem, pisz ˛ac (Michniowski 2004, 39):
Niektórzy uwa˙zaj ˛a wprawdzie, i˙z zagadnienie „matematyczno´sci przy-rody” jest nieporozumieniem. Przedstawiana jest wówczas nast˛epu-j ˛aca argumentacja: przyroda nie jest matematyczna, to jedynie nasz sposób my´slenia i postrzegania jest matematyczny (my, ludzie, sami
„wymy´slili´smy” matematyk˛e), zatem w zmysłowym i intelektualnym poznawaniu ´swiata nast˛epuje „rzutowanie” matematyki mózgu na po-strzegane otoczenie. Rozumowanie takie nie wydaje si˛e spójne w sen-sie antropicznym [Tu przypis: W rozumieniu tzw. zasady antropicz-nej]. Je´sli bowiem uzna´c, i˙z człowiek (rozum) jest elementem ´swiata i pojawił si˛e jako wynik okre´slonej ewolucji kosmicznej, wówczas jego „strukturalna” odmienno´s´c od otoczenia (matematyczny rozum w niematematycznym ´swiecie) byłaby rzecz ˛a zaskakuj ˛ac ˛a, wr˛ecz wy-magaj ˛ac ˛a „r˛ecznej” ingerencji ze strony Absolutu w proces powsta-wania człowieka. Jak ka˙zde zało˙zenie komplikuj ˛ace model, równie˙z i to, w kontek´scie wiedzy metodologicznej oraz tre´sci zasady pro-stoty (zwanej te˙z brzytw ˛a Ockhama) wydaje si˛e mało prawdopodobne [Tu przypis: Poj˛ecia tego nie nale˙zy myli´c z idealno´sci ˛a w sensie pla-to´nskim. W tym kontek´scie wszystkie obiekty matematyczne s ˛a „ide-alne”; wówczas zwrot „idealizacja struktur matematyki” jest okre´sle-niem groteskowym. Termin stanowi nazw˛e własn ˛a o znaczeniu jak w tek´scie].
Za ciekawe uznajemy te˙z uwagi Michniowskiego dotycz ˛ace tego, jak fizycy traktuj ˛a obiekty swojej dyscypliny, której – jak wiadomo – bez stosowania aparatu zaawansowanej matematyki uprawia´c nie sposób. Autor twierdzi (na stronie 43),
˙ze:
1. Fizycy traktuj ˛a matematyk˛e po plato´nsku, realistycznie, jako niezale˙zn ˛a od poznaj ˛acego podmiotu.
2. Ujmuj ˛a j ˛a jednocze´snie nominalistycznie, czego wyrazem miałoby by´c jed-nakowe traktowanie obiektów matematycznych i fizycznych.
3. Fizycy traktuj ˛a matematyk˛e empirycznie: kryterium prawdy staje si˛e ekspe-ryment. Matematyka „czysta” w takim uj˛eciu nie istnieje.
Autor zwraca uwag˛e na niektóre niekonsekwencje w podej´sciu fizyków do ma-tematyki, wspomnianym powy˙zej. Ze swej strony dodajmy, ˙ze trudno nam zgodzi´c si˛e z pogl ˛adem o nieistnieniu „czystej” matematyki. Nie chodzi przy tym o to, ˙ze pewne poj˛ecia, konstrukcje, wyniki matematyczne nie maj ˛a (dzisiaj) bezpo´sred-niego przeło˙zenia na stany rzeczy badane w fizyce (np. rozwa˙zania w teorii mno-go´sci dotycz ˛ace istnienia du˙zych liczb kardynalnych). Uwa˙zamy, ˙ze nie mo˙zna a prioriwykluczy´c, ˙ze pewne działy matematyki w ˙zadnym sensie nie byłyby inspi-rowane rzeczywisto´sci ˛a badan ˛a przez fizyków. Autor u˙zywa terminu „matematyka nadwy˙zkowa” dla oznaczenia tych fragmentów matematyki, które nie reprezentuj ˛a
jakich´s faktów fizycznych. Ocenia te˙z nast˛epuj ˛aco podej´scie fizyków do matema-tyki (Michniowski 2004, 43–44):
Fizycy zatem s ˛a wysoce niekonsekwentni w swym podej´sciu: przy-pisuj ˛ac matematyce charakter uniwersalny i aprioryczny, traktuj ˛a j ˛a równie˙z, w razie potrzeby, jako ´srodek pozyskiwania wiedzy o fak-tach przyrodniczych (matematyka jako j˛ezyk plus narz˛edzia poznaw-cze). Jest wi˛ec dla nich matematyka swoi´scie oryginalnym tworem:
nauk ˛a a priori wykorzystywan ˛a do konstruowania aposteriorycznych dyscyplin słu˙z ˛acych poznawaniu ´swiata.
Takiej dwoisto´sci uj˛ecia sprzyja brak epistemologicznego kryterium matematyki w kontek´scie jej obiektywno´sci. Nie potrafimy bowiem, posługuj ˛ac si˛e własnym intelektem, przetestowa´c hipotezy obiektyw-no´sci tej nauki. Nie potrafimy nawet w sposób ogólny odnie´s´c si˛e do hipotez bardziej szczegółowych, na przykład: czy relacja obiek-tów matematycznych do fizycznych jest tak ˛a sam ˛a jak relacja oblicze´n (tzw. rachunków) do procesów.
Wnioski te, artykułowane przez filozofów nauki i w niemy sposób akceptowane przez samych fizyków, usprawiedliwiane s ˛a coraz gł˛eb-szym, w miar˛e rozwoju nauki, odchodzeniem od „zdroworozs ˛ adko-wego” pojmowania rzeczywisto´sci naukowej. Szczególnie istotne jest tu post˛epuj ˛ace rozmywanie si˛e (lub zanik) poj˛e´c klasycznych, jak na przykład materialno´sci [Tu przypis: Poci ˛aga to zatrat˛e rozró˙znienia obiektów na matematyczne (konstrukty) i fizyczne (faktualne) i upłyn-nia granic˛e mi˛edzy obiema naukami: matematyk ˛a i fizyk ˛a.],
czasowo-´sci lub przyczynowoczasowo-´sci.
Michniowski twierdzi, ˙ze konstruowanie struktur modelowych (w badaniach fizycznych) przebiega etapami, przy czym na ka˙zdym z nich czynione s ˛a stosowne zało˙zenia. Wspomniana rozprawa zawiera szereg ciekawych obserwacji na temat
„tworzywa” modeli matematycznych reprezentuj ˛acych rzeczywisto´s´c fizyczn ˛a. Przy-pomina o zale˙zno´sci owych modeli od dost˛epno´sci ´srodków obecnych w mate-matyce danego okresu. Dostrzega matematyczne aspekty, kryj ˛ace si˛e za brakiem uzgodnienia mi˛edzy opisem na poziomie kwantowym oraz na poziomie relatywi-stycznym. Cz˛e´s´c trzecia rozprawy Michniowskiego zawiera m.in. uwagi na temat sposobów klasyfikowania modeli wykorzystywanych w fizyce. Subtelne analizy autora dotycz ˛ace współczesnej postaci paradygmatu relatywistycznego, paradyg-matu kwantowego, prób unifikacji cało´sci fizyki prowadz ˛a go do uznania hipotezy o matematyczno´sci ´swiata za do´s´c dobrze potwierdzon ˛a, por. np. (Michniowski 2004, 133):
Refleksja w odniesieniu do naukowej ewolucji modeli klasyfikowa-nych w sensie jak powy˙zej ponownie prowadzi do oczywistego teraz stwierdzenia (artykułowanego ju˙z w poprzednich cz˛e´sciach pracy), i˙z matematyczno´s´c poznania nie ma charakteru akcydentalnego, a przy tym raczej nie jest „projekcj ˛a” ludzkich nawyków mentalnych na ´swiat i struktury nauki. Mo˙zna dyskutowa´c, czy gdyby matematyczno´s´c zo-stała „narzucona” poznaniu przez człowieka, wci ˛a˙z powstawałyby mo-dele bł˛edne. W naturalnym d ˛a˙zeniu staraliby´smy si˛e bowiem kreowa´c wył ˛acznie struktury doskonałe i jedynie naszej nieudolno´sci i niedba-ło´sci przypisywa´c by mo˙zna pojawianie si˛e modeli próbnych lub jaw-nie chybionych. Wówczas jednak, jak si˛e wydaje, mogliby´smy ocze-kiwa´c stopniowej optymalizacji naszego post˛epowania do sytuacji, w której modelowanie udawałoby nam si˛e „coraz lepiej”. Tego jednak nie obserwujemy [Tu przypis: Przeciwnie, z im trudniejszymi meryto-rycznie i odleglejszymi od zmysłowo postrzegalnych obszarami emu-lacji mamy do czynienia, tym trudniejszy i bardziej pracochłonny (wy-magaj ˛acy wi˛ekszej liczby prób) wydaje si˛e proces kreowania struk-tur modelowych.]. Strukstruk-tury modelowe wydaj ˛a si˛e zatem obecne w
´swiecie matematyki w niejako naturalny sposób i zdaj ˛a si˛e równie
„naturalnie” identyfikowa´c ogólne własno´sci rzeczywisto´sci, w któ-rej si˛e znajdujemy. My staramy si˛e jedynie wyró˙znia´c je spo´sród in-nych struktur. Je´sli wyró˙znienie takie nam si˛e udaje, posługujemy si˛e odkrytym modelem w celach poznawczych, je´sli nie, pozostaj ˛a nam dalsze poszukiwania. Tym samym identyfikacja modeli matematycz-nych i poznanie naukowe w pewnym sensie si˛e uto˙zsamiaj ˛a, a ma-tematyczno´s´c poznania jest tego ostatniego naturaln ˛a („zewn˛etrzn ˛a”) i niepomijaln ˛a własno´sci ˛a. Wszech´swiat (a nie jedynie nasz intelekt) rzeczywi´scie wydaje si˛e by´c gł˛eboko „matematyczny”.
W naszym subiektywnym odczuciu, teza o matematyczno´sci ´swiata, wspierana wynikami nauk szczegółowych wydaje si˛e bardziej przekonuj ˛aca od deklaracji La-koffa i Núñeza o całkowitym uciele´snieniu matematyki oraz przydawaniu wszel-kiej matematyce transcendentalnej statusu urojenia.