Metoda Strohscheina

Optymalną dla poprzednich metod konfigurację cewek kompensujących dla danej liczby cewek podali Kim et al. [7.8]. Według ich rozważań reaktancja XLr każdego równoległego elementu indukcyjnego powinna wynosić

XLr = Z₀ ctg (βl/2n), (7.20)

gdzie:

Z0 = (Lr /Cr)–1/2 – impedancja charakterystyczna linii transmisyjnej,

l – długość falowodu,

n – liczba cewek,

β = ω(Lr /Cr)^1/2.

Łatwo zauważyć, że dla n → ∝ zależność (7.20) redukuje się do wyrażenia okre-ślającego przypadek rezonansu równoległego według Chenausky’ego.

Aby warunek (7.20) był spełniony, powinno zachodzić

n > lβ/π oraz

¾ powinien być spełniony warunek

⏐XCr⏐<<⏐Zd⏐, (7.21)

w którym:

XCr – reaktancja rozłożona falowodu,

Zd – impedancja plazmy,

Zd = Rd + jXd, (7.22)

gdzie:

Rd – rezystancja plazmy,

74

¾ lub powinien być spełniony warunek

Rd ≤ ⏐Xd⏐, (7.23)

co oznacza, że linia jest transmisyjna bezstratna.

Dla rezonansu równoległego, aby optymalna konfiguracja (7.20) była spełniona, powinien być spełniony jeden z warunków (7.21) lub (7.23).

Warunek (7.21) łatwo jest spełnić w laserach jednokanałowych, natomiast w falo-wodach płaskich ich impedancja Zd jest odwrotnie proporcjonalna do szerokości kana-łu. Poza tym, aby spełnić warunek (7.20), musi być spełniony warunek (7.21), tzn. pojemność struktury falowodu powinna być odpowiednio zwiększona (XCr = 1/ωCCr). To wymaga zwiększenia liczby cewek wyrównujących. Tak skonstruowana głowica laserowa jest z kolei czuła na zmiany częstotliwości wzbudzającej. Struktura lasera z falowodem płaskim nie spełnia zatem ani warunku (7.21), ani (7.23) i wyrażenie (7.20) nie może być do niej zastosowane.

Strohschein et al. [7.17] zaprezentowali model numeryczny falowodu wypełnio-nego plazmą i szczegółowo przeanalizowali parametry tak zamodelowanej linii trans-misyjnej. W modelu wykorzystano prawa skalowania dotyczące plazmy lasera CO2

wzbudzanej prądem w.cz. [6.16, 7.18].

Istotne dla naszych rozważań jest to, że w laserze z falowodem płaskim wypełnio-nym plazmą w.cz. nie może być pomijany wpływ plazmy na pojemność i rezystancję całej struktury lasera. Jak już powiedziano w poprzednim rozdziale, dominującym elementem pojemnościowym w wyładowaniu w.cz. typu α są powłoki przyelektrodo-we. Elektryczny układ zastępczy wyładowania w falowodzie możemy przedstawić jak na rysunku 7.4. Pojemność powłok przyelektrodowych Cs i pojemność plazmy Cp

można wyrazić jako

Cs = ε₀ S/d,

Cp = ε₀ S/(d – ds). (7.24)

Z praw skalowania [6.16] wynika, że E/p nie zależy od mocy doprowadzanej do wyładowania, dlatego dynamiczna rezystancja plazmy Rp ma charakter ujemny, taki, że napięcie na kolumnie plazmowej Vp = (E/p) p (d – ds) nie zależy od gęstości prądu plazmy Jd. Z analizy układu, jak na rysunku 7.4, wynika, że

( )

2

( )

2 p p d p p V C S J V R ω − = . (7.25)

Wyrażenie to może być zredukowane do postaci Rp ≈ Vp /Jd S ze względu na pomijalną

pojemność plazmy Cp.

W pewnych warunkach pracy lasera, oprócz rezystancji plazmy Rp należy również wziąć pod uwagę rezystancję powłok przyelektrodowych Rs, którą należy w układzie zastępczym wyładowania w.cz. dołączyć równolegle do pojemności powłok Cs.

Jak powiedziano w p. 6.5, dla wyładowania w.cz. opracowano prawa skalowania, upraszczające opis zachowania się plazmy. Dla lasera falowodowego opracowane prawa skalowania dotyczą pewnego zakresu parametrów, jak: częstotliwości wzbu-dzania f od 100 do 160 MHz, ciśnienia mieszanki gazowej p od 53 do 133 hPa (40 do 100 Tr) i odległości międzyelektrodowej d od 1 do 3 mm [6.16].

Rys. 7.4. Układ zastępczy plazmy w.cz. w laserze falowodowym: Cs – pojemność powłok przyelektrodowych, Cp – pojemność kolumny plazmowej, Rp – rezystancja

kolumny plazmowej

Fig. 7.4. Equivalent circuit of RF plasma in a waveguide laser

Z praw tych wynika, że moc rozpraszana w powłokach skaluje się jak 1/f2 i nie może być nie wzięta pod uwagę dla niższego zakresu częstotliwości niż wyżej wy-mieniony. Z praw skalowania można wyprowadzić relację między mocą rozpraszaną w powłokach Ps i kolumnie plazmowej Pp i przedstawić ją jako

(Ps /Pp) f2 ≈ 1120 MHz2.

Jeśli zatem impedancję wyładowania wyrazić w postaci szeregowej reaktancji i rezystancji, jak Zd = Rd + jXd (patrz rys. 7.4), to obecność rezystancji powłok Rs

można potraktować jako poprawkę na Rd w następujący sposób = R

´

d

R d (1 + Ps /Pp). (7.26)

W metodzie Strohscheina elektroda jest dzielona na n segmentów o powierzchni S. Na rysunku 7.5 pokazano podział na segmenty, np. k-ty znajdujący się na pozycji xk

z jego indukcyjnością wyrównującą Zk i napięciem Vk(x) oraz prądem Ik(x). Dla po-szczególnych segmentów możemy zapisać warunki brzegowe:

V0(x₀) = VLS,

Vk(xk) = Vk+1(xk),

Ik(xk) = Ik+1(xk) + (1/Zk) Vk(xk), k = 1, ..., n – 1,

Vn(xn) = VRS, (7.27) gdzie: VLS i VRS odpowiednio napięcia na lewym i prawym końcu każdego segmentu (patrz rys. 7.5).

Na podstawie rozważań dotyczących linii transmisyjnych możemy każdy z seg-mentów scharakteryzować lokalną stałą propagacji γ i lokalną impedancją charaktery-styczną Z0

76

(

R jωL

)(

G_r jωC_r

)

, γ = _sz+ _sz + r r j C G L j R Z ω ω + + = sz sz 0 , (7.28) gdzie:

Lsz, Rsz – odpowiednio lokalna indukcyjność i rezystancja szeregowa,

Gr, Cr – odpowiednio lokalna konduktancja i pojemność równoległa.

Rys. 7.5. Układ zastępczy fragmentu linii transmisyjnej modelującej falowód lasera – rysunek pomocniczy do obliczeń numerycznych

Fig. 7.5. Equivalent circuit of the transmission line fragment for modeling the laser – drawing for numerical calculations

Podczas braku wyładowania pozostałe parametry linii możemy zapisać jako

Rsz = 2Rs/w, L = µ0 d/w, G = 0, C = ε0 w/d, (7.29)

gdzie:

d – odległość między elektrodami, w – szerokość szczeliny,

Rs – powierzchniowa rezystancja cewek wyrównujących (do pominięcia).

Mając γ i Z0, możemy zapisać napięcie Vk(x) na k-tym segmencie i prąd Ik(x) w nim płynący jako

Vk(x) = Ak exp (–γk x) + Bk exp (γk x),

Ik(x) = (Ak/Z₀) exp (–γk x) + (Bk/Z₀) exp (γk x), (7.30)

gdzie: Ak i Bk – amplitudy fal biegnących w falowodzie.

Równania (7.27) i (7.30) tworzą razem pentadiagonalny układ 2n równań z 2n niewiadomymi Ak i Bk.

Procedura iteracyjna rozwiązania powyższego układu równań jest następująca: ¾ dla danych f, d, p, S i Jd obliczyć wartości Cs, Cp, i Rp za pomocą wyrażeń (7.24) i (7.25);

¾ wyrazić impedancję każdego segmentu w postaci Zd = Rd + jXd zgodnie z rysun-kiem 7.5;

¾ w razie innej częstotliwości wzbudzającej niż z zakresu 100÷160 MHz dokonać korekcji na rozpraszanie mocy w powłokach przyelektrodowych przez poprawkę na

¾ wyrazić obliczoną impedancję wyładowania przez wartości równoległych ele-mentów G⏐⏐ i C⏐⏐, którymi należy zastąpić wartości G i C w zależności (7.10);

¾ rozwiązać układ równań (7.27) i (7.30), aby otrzymać Vk(z) i Ik(z);

¾ obliczyć gęstość prądu Jd dla każdego segmentu średniego napięcia przypadają-cego na jeden segment i wartości Zd z poprzedniej iteracji.

Zbieżność rozwiązania równań (7.27) i (7.30) zachodzi dla [7.17]

. (7.31)

S R J P_d = _d^{2 ´}_d

Podobne rozważania przeprowadzili Lapucci et al. [7.9–7.11] oraz Sinclair et al. [7.16].

Należy też dodać, że przedstawione problemy z równomiernością rozkładu napię-cia zasilającego wzdłuż falowodu rozwiązuje się również za pomocą techniki segmen-towania. Oddzielne, znacznie mniejszej mocy generatory zasilające w.cz. zasilają frag-menty falowodu na całej jego długości [7.15].

W dokumencie Właściwości promieniowania falowodowych laserów CO/sub 2/ wzbudzanych prądem w. cz. (Stron 73-77)