Metoda UTA

Metoda UTA (franc.: UTilités Addditives) zaprojektowana przez Jacquet-Lagréze’a [68][69] odwołuje się do filozofii oceny zbioru wartości użytkowych na podstawie rozkładu preferencji. Metodologia UTA wykorzystuje aparat matematyczny wieloatrybutowej teorii użyteczności (w tym przypadku techniki programowania liniowego) stworzony dla optymalizacji funkcji użyteczności U(a) posiadających charakter addytywny w taki sposób, aby pozostawały one maksymalnie spójne z preferencjami decydenta [127][17]. Funkcja użyteczności jest wynikiem syntezy wielu kryteriów do postaci pojedynczego kryterium globalnego bez uwzględnienia nieporównywalności wariantów. Ma ona zastosowanie w zadaniach związanych z rozwiązywaniem problemu wyboru wariantów (wskazanie tego o największej użyteczności) oraz z szeregowaniem zbioru wariantów (ustalenie rankingu rozwiązań).

Dane wejściowe umożliwiające zastosowanie metody UTA stanowią:

 skończony zbiór wariantów A;

 spójna rodzina kryteriów F = (f1, f2, … fn);

 przykładowe uporządkowanie zbioru A zdefiniowane przy pomocy relacji preferencji P i równoważności I.

Na podstawie powyższych danych określana jest optymalna funkcja użyteczności przedstawiana zależnością 2.12. Optymalność funkcji użyteczności rozumiana jest jako jej postać najlepiej wyrażająca preferencje decydenta [127].

𝑈(𝑎) = ∑ 𝑢_𝑗

𝐽

𝑗=1

(𝑓_𝑗 (𝑎)) (2.12) gdzie:

u j (fj (a))=wj · fj (a) – użyteczność cząstkowa wariantu a względem kryterium j;

wj – waga danego kryterium i (współczynnik wymiany albo kompensacji) określający stopień dominacji danego kryterium nad innymi (ile razy kryterium i przewyższa każde z pozostałych).

Przy założeniu, że znany jest podzbiór A’, dla którego określone są preferencje decydenta i który tworzy preporządek zupełny, możliwe są do określenia warunki brzegowe, które muszą być spełnione dla ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴′

32 {

𝑈(𝑎) − 𝑈(𝑏) > 0 jeżeli 𝑎𝑃𝑏 𝑈(𝑎) − 𝑈(𝑏) = 0 jeżeli 𝑎𝐼𝑏 𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑙+1) − 𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑙) > 0 ∀𝑗, ∀𝑙

∑ 𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑚𝑎𝑥)

𝑛

𝑗=1

= 1 (normalizacja) 𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑚𝑖𝑛) = 0 ∀𝑗, 𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑙) ≥ 𝛿(𝑎) ≥ 0.

(2.13)

gdzie U(a) i U(b) są wyrażone w postaci funkcji zmiennych decyzyjnych 𝑧_𝑗^𝑙, 𝛿(𝑎), 𝛿(𝑏).

Zmienne te określają postać funkcji użyteczności, przy czym powinny być one wyznaczane w taki sposób, aby zminimalizować wartość:

∑ 𝛿(𝑎)

𝑎∈𝐴

. (2.14) Wychodząc z założenia, że znany jest zbiór wariantów, określony preferencjami decydenta, dla określenia przybliżonych wartości częściowych użyteczności odpowiadających poszczególnym wariantom, przyjmuje się, że funkcja U przyjmuje formę odcinkami liniową [69]. Dla każdego kryterium odcinek [z_j^min … z_j^max] będący zakresem zmienności kryterium j dzielony jest na (pj – 1) przedziałów a ich punkty styczności gij

obliczane są z zależności:

𝑧_𝑗^𝑙 = 𝑧_𝑗^𝑚𝑖𝑛+ 𝑙 − 1

𝑝_𝑖− 1 (𝑧_𝑗^𝑚𝑎𝑥 − 𝑧_𝑗^𝑚𝑖𝑛) ∀𝑙 = 1,2, … 𝑝_𝑖 (2.15) Wartość cząstkowa wariantu a jest aproksymowana wówczas poprzez interpolację liniową:

𝑈_𝑗𝑧_𝑗 = 𝑈(𝑧_𝑗^𝑙) +𝑧_𝑖(𝑎) − 𝑧_𝑗^𝑙

𝑧_𝑗^𝑙+1− 𝑧_𝑗^𝑙 [𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑙+1) − 𝑈_𝑗(𝑧_𝑗^𝑙)] 𝑧_𝑗𝑎 ∈ [ 𝑧_𝑗^𝑙, 𝑧_𝑗^𝑙+1] (2.16) Jako rezultat optymalizacji uzyskuje się funkcję U, która jest sumą odcinkami liniowych cząstkowych funkcji użyteczności. Rozwiązaniem końcowym jest ostateczne uszeregowanie wariantów od najlepszego do najgorszego zgodnie z uzyskanymi wartościami funkcji użyteczności U(a).

Miarą zgodności rankingu finalnego uzyskanego w metodzie UTA jest wielkość zwana współczynnikiem Kendalla – k^Ken . Jest on określany wzorem:

𝑘^𝐾𝑒𝑛 = 1 − 4 ∙𝑙^𝐾𝑒𝑛(𝑋, 𝑋^′)

𝑛(𝑛 − 1) (2.17) gdzie:

n – liczba rozważanych wariantów;

X, X’ – macierze o rozmiarach [n x n], związane odpowiednio z porządkiem zadanym przez decydenta oraz z porządkiem określonym przez funkcję użyteczności;

l^Ken – odległość Kendalla, określająca różnicę pomiędzy odpowiednimi elementami macierzy X i X’.

Ranking finalny jest akceptowany przy wartości k^Ken>0,75 [163].

33 2.3.5 Metoda ELECTRE III

Metoda ELECTRE III jest wielokryterialną metodą porządkowania zbioru wariantów, ocenianych przy pomocy określonego zbioru kryteriów. Wywodzi się ona z początku lat 60-ych XX wieku, kiedy to zespół naukowców francuskiej firmy SEMA podjął pracę nad rozwiązywaniem wielokryterialnych problemów dotyczących podejmowania decyzji w działalności realnie funkcjonujących przedsiębiorstw. Dla ich rozwiązania skonstruowano metodę MARSAN [81], wykorzystującą opisany w rozdziale 2.3.1 model ważonej sumy.

Posiadała ona jednak szereg wad, które powodowały niechęć do jej stosowania oraz skutkowały podejrzeniami o ograniczoną wiarygodność rezultatów obliczeń.

Dopiero metoda przedstawiona przez B. Roy’a w 1965 roku znalazła sposób na uniknięcie ograniczeń metody MARSAN. Nowa metoda otrzymała później nazwę ELECTRE I (ELECTRE jeden). Postępujące zapotrzebowanie na narzędzia do rozwiązywania coraz bardziej skomplikowanych problemów decyzyjnych spowodowały wdrożenie kolejnych wersji rozwojowych metody ELECTRE, oznaczonych ELECTRE II (wprowadzenie szeregowania wariantów od najlepszego do najgorszego), ELECTRE III (wprowadzenie pseudokryteriów oraz rozmytych relacji binarnych pomiędzy kryteriami) [39]

oraz ELECTRE IV (zmiana sposobu wykorzystania współczynników wagi kryteriów) [95][96][21].

Metody ELECTRE służą do rozwiązywania problemów wielokryterialnych przy zastosowaniu rankingu preferencji decydenta. Nowością metody ELECTRE jest zastosowanie nowych relacji preferencji. Pierwsza z nich, określana jako ogólnie jako relacja S, oznacza, że rozważany wariant jest „co najmniej tak dobry jak” inny. Drugą relacją jest

„nieporównywalność”, która pozwala na zbadanie sytuacji w której decydent, bądź działający w jego imieniu analityk, nie jest w stanie w stanie porównać rozważanych wariantów.

Posługuje się ona również własnym aparatem pojęciowym służącym do określenia ważności względnej przyjętych kryteriów oraz ich rozróżnialności. Zastosowany w niej algorytm, wykorzystujący relację przewyższania S doprowadza do utworzenia czterech typowych relacji przewyższania [52]:

a) aSb i ¬ bSa, czyli aPb (a jest silnie preferowane względem b), lub

b) bSa i ¬ aSb, czyli bPa (b jest silnie preferowane względem a), lub (2.18) c) aSb i bSa, czyli aIb (a jest równoważne względem b i b względem a), lub

d) ¬ aSb i ¬ bSa, czyli aRb (a jest nieporównywalne względem b).

Metody należące do rodziny ELECTRE (ELECTRE I, ELECTRE II, ELECTRE III i ELECTRE IV) składają się z trzech zasadniczych faz [161][162][48]:

1. Konstrukcji macierzy ocen oraz definicji modelu preferencji decydenta;

2. Konstrukcji relacji przewyższania;

3. Eksploatacji relacji przewyższania,

Pierwszy etap rozpoczyna się od określenia zbioru wariantów A oraz zdefiniowania spójnej rodziny kryteriów F. Dla wszystkich wariantów należących do zbioru A określa się wartości poszczególnych funkcji kryterialnych. W etapie tym model preferencji decydenta definiowany jest za pomocą:

34 - progu równoważności (q_j^’) – wyrażającego sytuację, w której warianty uważane są za

równoważne aIb;

- progu preferencji (pj’

) – wyrażającego sytuację, w której jeden z wariantów jest uważany za dominujący (prawdziwa jest relacja przewyższania aPb);

- progu weta (vj’

) – wyrażającego sytuację, w której hipotezę o przewyższaniu wariantu a przez wariant b należy odrzucić nawet wówczas, gdy jest on silnie preferowany ze względu na wszystkie pozostałe kryteria uwzględniane w procesie decyzyjnym;

- współczynnika wagi (w_i) – wskazującego na ważność danego kryterium decydującego o ważności twierdzenia o relacji przewyższania aSb,

przy czym obowiązuje zasada, że qj’

< pj’

< vj’

.

W etapie drugim następuje budowa relacji przewyższania, mających na celu porównanie każdej pary wariantów (a, b) przy pomocy spójnej rodziny kryteriów. Dla każdej z tych par wyznacza się:

- współczynniki zgodności kjzg

(a, b), które określają w jakim stopniu wariant a jest „co najmniej tak dobry jak” wariant b, przy ich ocenie względem kryterium j (Rysunek 2.3):

𝑘_𝑗^𝑧𝑔(𝑎, 𝑏) = {

1, jeżeli 𝑓^𝑗(𝑎) + 𝑞_𝑗^′(𝑓_𝑗(𝑎)) ≥ 𝑓_𝑗(𝑏), 0, jeżeli 𝑓_𝑗(𝑎) + 𝑝_𝑗^′(𝑓_𝑗(𝑎)) ≤ 𝑓_𝑗(𝑏), funkcja liniowa o wartości pomiedzy 0 i 1;

(2.19)

- indeks zgodności, tworzący macierz zgodności:

𝑘^𝑧𝑔(𝑎, 𝑏) = 1

- współczynniki niezgodności kjnzg

(a, b) - Rysunek 2.3:

𝑘_𝑗^𝑛𝑧𝑔(𝑎, 𝑏) = {

0, jeżeli 𝑓^𝑗(𝑏) ≤ 𝑓_𝑗(𝑎) + 𝑝_𝑗^′(𝑓_𝑗(𝑎)) , 1, jeżeli 𝑓_𝑗(𝑏) ≥ 𝑓_𝑗(𝑎) + 𝑣_𝑗^′(𝑓_𝑗(𝑎)) , funkcja liniowa o wartości pomiedzy 0 i 1;

(2.21)

- relację przewyższania, zdefiniowaną przez stopień przewyższania S(a, b):

𝑆(𝑎, 𝑏) =

gdzie J(a, b) jest zbiorem kryteriów, dla których

𝑘_𝑗^𝑛𝑧𝑔(𝑎, 𝑏) > 𝑘_𝑗^𝑧𝑔(𝑎, 𝑏) (2.23)

35 Trzecią fazą metody ELECTRE jest procedura uzyskania rozwiązania problemu, którym jest (w zależności od potrzeb), wybór pojedynczego wariantu, lub utworzenie rankingu rozwiązań. Dla jej przeprowadzenia niezbędnym jest zdefiniowanie wartości λ, będącej wartością maksimum danej relacji przewyższania S(a, b) dla a,b∈A.

Szeregowanie wariantów dokonywane jest początkowo poprzez określenie dwóch preporządków zupełnych będących wynikiem zastosowania algorytmów klasyfikowania zwanych destylacją zstępującą oraz destylacją wstępującą. Obydwa algorytmy prowadzą do szeregowania wariantów od najlepszego do najgorszego, jednak ich działanie przebiega niejako w odwrotnym kierunku. W przypadku destylacji zstępującej, najlepszy wariant umieszczany jest na szczycie klasyfikacji. Następnie spośród pozostałych wariantów wybierany jest najlepszy z nich i umieszczany na kolejnej pozycji. W ten sposób działania prowadzone są aż do wyczerpania zbioru A. W przypadku destylacji wstępującej jako pierwszy wybierany jest wariant najgorszy i umieszczany jest na ostatnim miejscu. Następnie wybierany jest najgorszy spośród pozostałych wariantów i umieszczany na pozycji wyższej.

Procedura taka kontynuowana jest do wyczerpania zbioru A [163].

Rysunek 2.3 Sposób definiowania współczynnika zgodności kjzg

(a,b) i współczynnika niezgodności kjnzg

(a,b) na podstawie osiągów samolotów transportowych oraz kosztów ich zakupu

Ostatnim krokiem jest utworzenie rankingu finalnego, będącego wynikiem porównania preporządków – wstępującego i zstępującego zgodnie z poniższymi zasadami:

- wariant a jest lepszy niż wariant b (aPb), jeżeli w co najmniej jednym preporządku zupełnym wariant a jest umieszczony przed b, a w drugim preporządku wariant a jest co najmniej tak dobrze sklasyfikowany jak b;

- wariant a jest równorzędny w stosunku do b (aIb), jeżeli obydwa warianty są sklasyfikowane na tej samej pozycji w obydwóch uszeregowaniach;

Preferencja osiągi

k_j^zg (a,b) kjnzg

(a,b)

fj(a)+q’j(a)

fj(a)-p’j(b) fj(a)-q’i(b) fj(a) fj(a)+p’j(a) fj(a)+ν’j(a) fj(b) 0

Preferencja koszt zakupu

kjzg

(a,b) kjnzg

(a,b)

fj(a)-q’j(a) fj(a)

fj(a)-p’i(a) fj(a)+q’j(b) fj(b)

fj(a)-ν’j(a) fj(a)+p’j(b)

0

36 - warianty a i b są nieporównywalne (aRb), jeżeli w jednym z dwóch preporządków wariant a jest na pozycji lepszej niż wariant b, a w drugim preporządku wariant b jest sklasyfikowany na pozycji lepszej niż wariant a.

Wynikiem końcowym jest uszeregowanie (ranking) wariantów, w którym pomiędzy nimi mogą zachodzić wszystkie wspomniane wcześniej zależności: równoważności – I, przewyższania – P, odwrotności przewyższania – P^- oraz nieporównywalności – R.

2.3.6 Metoda Promethee II

Metody Promethee, w tym opisana poniżej metoda Promethee II należą do metod szkoły europejskiej, opartych na wykorzystaniu relacji przewyższania [115]. Twórca tej metody, J. Brans (1984), wykorzystał w niej aparat pojęciowy podobny jak w przypadku metody ELECTRE. Metoda Promethee II stosuje jednak wyłącznie progi równoważności i preferencji [18][19][14]. Uszeregowanie wariantów opiera się na porównaniach parami, do skonstruowania rankingu końcowego stosowane są ich zagregowane rezultaty, noszące nazwę przepływów dominacji. Metoda Promethee II składa się z czterech etapów [50]:

1) Konstrukcji relacji przewyższania;

2) Określenia indeksu preferencji;

3) Określenia przepływu dominacji dla wszystkich wariantów;

4) Utworzenia rankingu końcowego.

W Etapie 1 tworzy się relacje przewyższania, których podstawą są zdefiniowany zbiór wariantów, spójna rodzina kryteriów, współczynniki ważności oraz wartości funkcji kryterialnych. Relacja przewyższania ustalana jest na podstawie indeksu preferencji π wariantu a względem wariantu b. Indeks π określony jest poniższą zależnością:

𝜋 (𝑎, 𝑏) =1

𝜋∑ 𝜋_𝑖𝐻_𝑖(𝑎, 𝑏), 𝑝𝑟𝑧𝑦 𝑐𝑧𝑦𝑚 𝜋 = ∑ 𝜋_𝑖

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

(2.24)

gdzie:

π (a,b) – wielokryterialny indeks preferencji decydenta dla wariantu a względem wariantu b dla wszystkich rozważanych kryteriów;

i=1,2, …. n – zbiór kryteriów oceny wariantów;

Hi (a,b) – funkcja preferencji określona dla kryterium i.

Etap 2 to określenie indeksów preferencji. Wymaga on wyznaczenia funkcji preferencji Hi (a,b), która pozwala normalizować relacje pomiędzy poszczególnymi wariantami tak, aby możliwe było jednoczesne porównanie par wariantów względem wszystkich kryteriów. Zadaniem decydenta na tym etapie jest utworzenie funkcji preferencji, które wskazują relacje dominacji wariantu a względem wariantu b dla każdego kryterium i.

Funkcja preferencji Hi (a,b) wyrażona jest w postaci różnicy wartości porównywanych wariantów względem danego kryterium gi(a)-gi(b). Wartość funkcji wzrasta wraz ze wzrostem tej różnicy i może występować w jednej z sześciu postaci preferencji przedstawionych poniżej [18][19]:

37 - Relacja typu 1 – natychmiastowa silna preferencja (dla takich samych ocen 0), brak parametrów do określenia. Typ podstawowy funkcji preferencji odpowiada sytuacji, w której dla danego kryterium i wariant a i wariant b są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy gi(a)=gi(b). W przeciwnym razie występuje silna preferencja jednego wariantu względem drugiego (Rysunek 2.4).

𝐻_𝑖(𝑎, 𝑏) = {0 𝑔_𝑖(𝑎) − 𝑔_𝑖(𝑏) ≤ 0

1 𝑔_𝑖(𝑎) − 𝑔_𝑖(𝑏) > 0 (2.25)

Rysunek 2.4 Metoda Promethee II - Relacja typu 1

- Relacja typu 2 – w której musi być określony próg nierozróżnialności. Kształt funkcji preferencji oznacza, że dla danego kryterium i wariant a i wariant b są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy różnica gi(a)-g_i(b) nie przekracza progu nierozróżnialności q_i. W przeciwnym razie istnieje silna preferencja jednego wariantu względem drugiego (Rysunek 2.5).

𝐻_𝑖(𝑎, 𝑏) = {0 𝑔𝑖(𝑎) − 𝑔𝑖(𝑏) ≤ 𝑞_𝑖

1 𝑔𝑖(𝑎) − 𝑔𝑖(𝑏) > 𝑞_𝑖 (2.26)

Rysunek 2.5 Metoda Promethee II - Relacja typu 2

- Relacja typu 3 – w której musi być określony próg preferencji. W tej relacji preferencja wzrasta od wartości 0 do progu preferencji. Kształt funkcji V opisuje sytuację, w której dla danego kryterium i oraz dla wartości g_i(a)-g_i(b) wariantu a i wariantu b, mniejszej niż wartość progu preferencji pi, preferencje decydenta wzrastają liniowo, natomiast jeżeli wartość gi(a)-gi(b) jest większa niż próg pi, występuje silna preferencja jednego wariantu względem drugiego (Rysunek 2.6). Rysunek 2.6 Metoda Promethee II - Relacja typu 3.

gi(a)-gi(b)

38 - Relacja typu 4 – w której musi być określona wartość średnia pomiędzy progami nierozróżnialności i preferencji. Ten typ relacji wymaga określenia progów równoważności qi oraz preferencji pi dla każdego kryterium i. Jeżeli różnica gi(a)-gi(b) jest większa niż qi, ale nie przekracza wartości pi, to występuje słaba preferencja jednego wariantu względem drugiego, a wartość preferencji równa się 0,5 (Rysunek 2.7).

𝐻_𝑖(𝑎, 𝑏) = {

Rysunek 2.7 Metoda Promethee II - Relacja typu 4

- Relacja typu 5 – w której również muszą być określone progi równoważności qi oraz preferencji pi dla każdego kryterium i, jednak wartość preferencji rośnie liniowo.

Odpowiada to sytuacji, w której preferencja zmienia się od 0 do 1 w przypadku, kiedy różnica gi(a)-g_i(b) mieści się w przedziale pomiędzy progiem równoważności q_i, i progiem preferencji pi (Rysunek 2.8).

𝐻_𝑖(𝑎, 𝑏) = {

Rysunek 2.8 Metoda Promethee II - Relacja typu 5

- Relacja typu 6 – w której preferencja rośnie zgodnie z rozkładem normalnym Gaussa.

W tym przypadku preferencje decydenta w stosunku do kryterium i wyrażają się wg rozkładu normalnego. W związku z tym konieczne jest określenie wartości odchylenia standardowego σi zakładając, że wartość średnia μi=0 (Rysunek 2.9).

𝐻_𝑖(𝑎, 𝑏) = {0, 𝑔_𝑖(𝑎) − 𝑔_𝑖(𝑏) ≤ 0

Rysunek 2.9 Metoda Promethee II - Relacja typu 6

0,5

gi(a)-gi(b) Hi (a,b)

1

0

Progi: równoważności qi i preferencji pi

qi pi

Progi: równoważności qi i preferencji pi

qi pi

39 Budowa modelu preferencji decydenta w metodzie Promethee II polega na wyborze odpowiedniego kształtu funkcji preferencji Hi (a,b) oraz określeniu charakterystyk tej funkcji dla każdego kryterium i (progów równoważności i preferencji). Każdy z powyższych typów funkcji jest symetryczny względem różnicy wariantów równej zero, czyli w sytuacji, kiedy gi(a)>gi(b) wartość funkcji preferencji wynosi Hi (a,b), wartość Hi (b,a)=0. Równocześnie, jeżeli gi(a)<g_i(b) wartość funkcji preferencji wynosi H_i (b,a), natomiast wartość H_i (a,b)=0.

Etap 3 związany jest z określeniem przepływu dominacji netto Φ(a) dla każdego wariantu. Wartość przepływu dominacji netto stanowi różnicę pomiędzy przepływem dominacji wyjścia i przepływem dominacji wejścia, informując o charakterze i wielkości dominacji wariantu i względem pozostałych wariantów (wzór 2.33). Przepływ dominacji wyjścia Φ⁺(a) wskazuje w jaki sposób (jak bardzo) wariant i dominuje nad pozostałymi wariantami, czyli należy do grupy wariantów dominujących. Przepływ dominacji wejścia Φ^-(a) informuje natomiast w jaki sposób inne warianty dominują nad wariantem i, co oznacza, że należy on do grupy wariantów zdominowanych .

Φ(a) = Φ⁺(a) – Φ^-(a) (2.31) gdzie:

𝛷⁺(𝑎) = ∑ 𝜋

𝑏∈𝐴

(𝑎, 𝑏) (2.32)

𝛷⁻(𝑎) = ∑ 𝜋

𝑏∈𝐴

(𝑏, 𝑎) (2.33) Wariant a jest lepszy od wariantu b jeżeli Φ(a)>Φ(b). W przypadku kiedy Φ(a)=Φ(b) warianty a i b są względem siebie równoważne.

Etap 4 polega na skonstruowaniu rankingu końcowego, który jest uszeregowaniem wariantów od najlepszego do najgorszego zgodnie z malejącym porządkiem przepływów dominacji netto.

2.3.7 Metoda TOPSIS

Metoda TOPSIS (ang. Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution) została opracowana przez S. J. Chena i C. L. Hwanga w celu ułatwienia rozwiązywania złożonych problemów decyzyjnych [27][28][102] za pomocą porządkowania liniowego. Zasadniczą ideą tej metody jest stwierdzenie, że wybrany wariant powinien znajdować się jak najbliżej rozwiązania idealnego (ang. Positive Ideal Solution – PIS), a jednocześnie najdalej od rozwiązania najgorszego (ang. Negative Ideal Solution - NIS).

W metodzie TOPSIS rozpatrywany jest zbiór wariantów A, oceniany przy pomocy spójnej rodzinny kryteriów F. Dodatkowo określane są wektory wag przypisanych poszczególnym rozważanym kryteriom oraz ich kierunek, czyli wpływ na sposób oceny danego kryterium (pozytywny lub negatywny).

Algorytm metody TOPSIS składa się z siedmiu etapów [109]:

1. Określenie względnej wagi kryteriów wij, poprzez przeprowadzenie porównań parami względem poszczególnych kryteriów. W tym celu wykorzystywana jest 9-cio stopniowa, fundamentalna skala porównań podobna do skali stosowanej w metodzie AHP.

40 2. Utworzenie znormalizowanej macierzy decyzyjnej, w której znormalizowana wartość r_ij

obliczona jest ze wzoru:

𝑟_𝑖𝑗 = 𝑓_𝑖𝑗

√∑^𝐽 𝑓_𝑖𝑗²

𝑗=1

𝑗 = 1,2, … , 𝐽; 𝑖 = 1,2, … 𝑛.

(2.34)

3. Utworzenie ważonej macierzy decyzyjnej, jako iloczynu wag poszczególnych kryteriów określonych w etapie 1 oraz macierzy decyzyjnej utworzonej w etapie 2. Ważona wartość vij wyrażona jest zależnością:

𝑣_𝑖𝑗 = 𝑤_𝑖𝑗 𝑟_𝑖𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝐽; 𝑖 = 1, … , 𝑛, (2.35) gdzie w_ij jest wagą danego kryterium a_i oraz spełnione jest równanie:

∑ 𝑤_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 1 (2.36)

4. Określenie najlepszego i najgorszego rozwiązania:

𝐴⁺ = {𝑣_𝑖⁺, … , 𝑣_𝑛⁺}, gdzie

𝑣_𝑖⁺ = {(max

𝑗 𝑣_𝑖𝑗|𝑖 ∈ 𝐼^′) , (min

𝑗 𝑣_𝑖𝑗|𝑖 ∈ 𝐼^")} (2.37) 𝐴⁻ = {𝑣_𝑖⁻, … , 𝑣_𝑛⁻}, gdzie

𝑣_𝑖⁻ = {(min

𝑗 𝑣_𝑖𝑗|𝑖 ∈ 𝐼^′) , (max

𝑗 𝑣_𝑖𝑗|𝑖 ∈ 𝐼^")} (2.38) oraz gdzie:

I^’ – jest wskaźnikiem kryteriów zysku (stymulantem);

I^” – jest wskaźnikiem kryteriów strat (destymulantem).

5. Obliczenie odległości euklidesowych badanych obiektów od rozwiązania najlepszego i najgorszego. Odległość od rozwiązania najlepszego (PIS) jest wyrażona wzorem:

𝐷_𝑖⁺= √∑(𝑣_𝑖𝑗 − 𝑣_𝑖⁺)²

𝑛

𝑖=1

, dla 𝑖 = 1,2, … 𝑛, 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 (2.31)

Podobnie, odległość od rozwiązania najgorszego (NIS) wyrażona jest wzorem:

41 𝐷_𝑖⁻= √∑(𝑣_𝑖𝑗 − 𝑣_𝑖⁻)²

𝑛

𝑖=1

, dla 𝑖 = 1,2, … 𝑚, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (2.32)

6. Obliczenie współczynnika rankingowego pokazującego podobieństwo (bliskość) do rozwiązania idealnego:

𝑅𝐶_𝑖⁺ = 𝑑_𝑖⁻

𝑑_𝑖⁺+ 𝑑_𝑖⁻ 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (2.33) przy czym C_i przyjmuje wartości 0 ≤ C_i ≤ 1.

7. Utworzenie rankingu preferencji, w którym największa wartość współczynnika Ci wskazuje na rozwiązanie najlepsze w rozpatrywanym problemie.

2.3.8 Metoda VIKOR

Metoda VIKOR (srb. VIseKriterijumska Optimizacija i Kompromisno Resenje) została powstała dla wielokryterialnej optymalizacji problemów decyzyjnych. Została opracowana przez S. Opricowica [102][101] jako metoda rozwiązywania problemów decyzyjnych w sytuacji konfliktowych oraz nieporównywalnych ze sobą kryteriów. Jako założenie w metodzie VIKOR przyjęto, że rozwiązaniem dopuszczalnym jest rozwiązanie kompromisowe. Jej rezultatem jest zatem opracowanie kompromisowego rankingu rozwiązań na podstawie określonego zbioru kryteriów, z których każde posiada przypisaną mu indywidualnie wagę. Metoda zakłada, że każde potencjalne rozwiązanie (alternatywa) jest oceniane poprzez ocenę jego funkcji w stosunku do każdego kryterium, a rozwiązaniem jest ranking kompromisowy tworzony jest poprzez porównanie miary bliskości do rozwiązania optymalnego. Metoda VIKOR jest użytecznym narzędziem w sytuacjach, kiedy decydent nie jest w stanie określić swoich preferencji w początkowej fazie procesu decyzyjnego.

Metoda VIKOR wprowadza tzw. indeks rankingowy, oparty na pomiarze odległości od rozwiązania idealnego. Indeks rankingowy jest rozwinięciem teorii zagregowanej funkcji w metodzie programowania kompromisowego opracowanej przez P. L. Yu [158]

i M. Zelenyego [159]. Poszczególne warianty należące do zbioru A (a1, a2, … aJ) i oceniane przy pomocy n kryteriów, są opisane współczynnikiem f_ij, który stanowi wagę wariantu a_j względem kryterium ni. Parametrem wyjściowym do metody VIKOR jest Lp-metryczna odległość:

𝐿_𝑝𝑗 = {∑ [𝑤_𝑖 (𝑓_𝑖⁺− 𝑓_𝑖𝑗) (𝑓_𝑖⁺− 𝑓_𝑖⁻)^𝑝]

𝑛

𝑖=1

}

𝑝1

, 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞, 𝑗 = 1,2, … 𝐽. (2.34)

gdzie:

n –numer kryterium.

Kompromisowy ranking w metodzie VIKOR tworzony jest według następującego algorytmu:

42 1. Określenie najlepszych (punkt ideal – f_ij⁺) i najgorszych (punkt nadir – f_ij^-) wartości dla

wszystkich funkcji kryteriów i=1, 2, …n. Jeżeli i-ta funkcja reprezentuje zysk, wtedy:

𝑓_𝑖⁺ = max_𝑗𝑓_𝑖𝑗, 𝑓_𝑖⁻ = min_𝑗𝑓_𝑖𝑗. (2.35) 2. Obliczenie wartości Sj i Rj (j=1, 2, …J) tworzących miarę rankingu z następujących

zależności:

𝐿_1𝑗 = 𝑆_𝑗 = ∑ 𝑤_𝑖

𝑛

𝑖=1

(𝑓_𝑖⁺− 𝑓_𝑖𝑗)

(𝑓_𝑖⁺− 𝑓_𝑖⁻) (2.36)

𝐿_∞𝑗 = 𝑅_𝑗 = max

𝑖 [𝑤_𝑖(𝑓_𝑖⁺− 𝑓_𝑖𝑗)

(𝑓_𝑖⁺− 𝑓_𝑖⁻)] (2.37) gdzie:

wi – względna waga kryterium.

3. Obliczenie wartości Q_j, j=1,2, ….J, ze wzoru:

𝑄_𝑗 = 𝑣 (𝑆_𝑗 − 𝑆⁺)

(𝑆⁻− 𝑆⁺)+(1 − 𝑣)(𝑅_𝑗− 𝑅⁺)

(𝑅⁻− 𝑅⁺) (2.38) gdzie:

𝑆⁺ = min

𝑗 𝑆_𝑗, 𝑆⁻ = max

𝑗 𝑆_𝑗, (2.39) 𝑅⁺ = min_𝑗𝑅_𝑗, 𝑅⁻ = max_𝑗𝑅_𝑗, (2.40) v –miara wagi strategicznej (zwaną wagą większości kryteriów, bądź maksimum użyteczności grupowej).

4. Utworzenie trzech osobnych rankingów, odpowiednio według wartości S, R i Q, każdy w porządku malejącym.

5. Wskazanie rozwiązania kompromisowego (a’), które zajmuje najwyższe miejsce w rankingu według wartości Q (minimum), jeżeli spełnione są dwa następujące warunki:

W1: “Akceptowalna przewaga”

𝑄(𝑎^′′) − 𝑄(𝑎^′) ≥ 𝐷𝑄 (2.41)

𝐷𝑄 = 1

(𝐽 − 1) (2.42) gdzie:

a^”– wariant na pozycji drugiej w rankingu według wartości Q;

J – ilość wariantów.

W2: “Akceptowalna stabilność podejmowania decyzji”

Wariant a’ musi być również najlepiej ocenionym według wartości S i/lub R. Tak uzyskane rozwiązanie kompromisowe jest stabilne w ramach danego procesu

43 decyzyjnego, który może przebiegać zgodnie z „zasadą większości” (niezbędnym jest uzyskanie wartości v>0,5), „zachowaniem konsensusu” (przy v≈0,5) lub „zasadą veta”

(przy v<0,5).

Jeżeli jeden z powyższych warunków nie został spełniony, przedstawia się zbiór rozwiązań kompromisowych, składający się z:

- wariantów a^’ i a^” jeżeli nie jest spełniony wyłącznie warunek W2;

- wariantów a^’ i a^” … a^m jeżeli nie jest spełniony warunek W1, gdzie a^m jest określony przez zależność

𝑄(𝑎^𝑚) − 𝑄(𝑎^′) < 𝐷𝑄 (2.43) przy maksymalnej wartości m (rozwiązania o zbliżonej pozycji w rankingu).

Uzyskane rozwiązanie kompromisowe może być podstawą do negocjacji i zostać zaakceptowane ze względu na maksymalną użyteczność grupową (minimalna wartość S), bądź głosem większości przy minimalnych stratach oponenta (minimalna wartość R).

44 3. Problem oceny wojskowej floty transportowej oraz selekcji wojskowego samolotu

transportowego

3.1 Wojskowy transport powietrzny na tle transportu lotniczego

Transport lotniczy jest gałęzią transportu powietrznego (czyli przemieszczania drogą powietrzną osób lub towarów), w którym środki transportu stanowią statki powietrzne z kategorii samolotów i śmigłowców [119]. Pod względem systemowym transport lotniczy dzieli się na cywilny i wojskowy.

Najważniejszą zaletą transportu lotniczego jest szybkość realizacji usług (dostaw).

Dlatego też transport lotniczy jest szczególnie ważny w przypadku produktów (artykułów) nietrwałych pod względem jakości i wartości rynkowej. Są to przede wszystkim: żywność, kwiaty, warzywa i owoce oraz żywe zwierzęta. Poważną grupę towarów przewożonych transportem powietrznym stanowią szybko zbywalne produkty przemysłowe, takie jak odzież i obuwie, ale także wysoce użyteczne produkty elektroniczne, części komputerowe i części zamienne, leki. Właśnie prędkość realizacji dostaw transportem lotniczym powoduje, że jest on konkurencyjny w stosunku do transportu lądowego i wodnego, nawet pomimo wyższych kosztów własnych.

Cywilny transport lotniczy jest ważnym elementem infrastruktury kraju wpływającym na rozwój rynku lokalnego, jak i całej gospodarki państwa. Pod względem funkcjonalnym dzieli się na lotniczy transport pasażerski oraz lotnicze przewozy towarowe. Słownikowa definicja opisuje lotniczy transport pasażerski jako przewóz pasażerów, bagażu, przesyłek ekspresowych oraz poczty transportem lotniczym. Analogicznie – lotnicze przewozy towarowe to określenie dotyczące przewozu poczty i mienia transportem lotniczym [25].

Powyższa definicja wskazuje, że przedmiotem lotniczych przewozów towarowych mogą być:

międzynarodowa poczta lotnicza, przesyłki ekspresowe, paczki nadawane w ruchu krajowym i zagranicznym, ładunki i dokumenty firmowe.

Obecnie transport lotniczy jest jedną z najnowocześniejszych, a z pewnością

Obecnie transport lotniczy jest jedną z najnowocześniejszych, a z pewnością

W dokumencie dla Sił Powietrznych RP Wielokryterialna ocena samolotów transportowych (Stron 31-200)