Metoda wyznaczania rezystancji termicznej styku nabiegunnika

porównawczą [42], zaproponowano sposób pomiaru rezystancji cieplnej styku

nabiegunnika z chłodnicą RC (rys. 5-28) przez pomiary rezystancji termicznej dwóch

różnych pakietów linii opóźniających LFB. Obydwa zawierają ten sam pakiet spirali w osłonie próżniowej, umieszczany kolejno w chłodnicy z zestawem różnych typów nabiegunników:

 typ 1, nabiegunnik żelazny; traktowany w dalszych rozważaniach jako zespół składający się z dwóch identycznych kształtek o wypadkowej rezystancji cieplnej

R1,

 typ 2, nabiegunnik przekładkowy; w istocie jest to nabiegunnik typu 1 poszerzony

148

Jeżeli R2 jest wypadkową rezystancją termiczną nabiegunnika przekładkowego, będącego

równoległym połączeniem nabiegunnika wykonanego z żelaza o rezystancji R1

i miedzianego pierścienia o rezystancji termicznej R, wówczas:

. (5.26) Rezystancję termiczną R miedzianego walca można łatwo wyznaczyć korzystając bezpośrednio z prawa Fouriera:

, (5.27)

gdzie q jest gęstością strumienia cieplnego, λ współczynnikiem przewodzenia ciepła a T

temperaturą. Jeżeli założymy, że ciepło dostarczane jest do wewnętrznej powierzchni

walca ze stałą gęstością strumienia i λ nie zależy od temperatury, to linie stałej temperatury

muszą być koncentrycznymi okręgami76

o promieniu r a równanie Fouriera przyjmuje

postać jednowymiarową:

.

(5.28)

Gęstość strumienia cieplnego w odległości r (r1 ≤ r ≤ r2) od osi walca wynosi:

, (5.29)

gdzie: Q jest strumieniem cieplnym dostarczanym do wewnętrznej powierzchni walca,

a b wysokością walca. Rozdzielając zmienne i całkując powyższe równanie obustronnie

dla znanych warunków początkowych otrzymujemy zależność:

(

5.30)

gdzie: T2 jest temperaturą powierzchni wewnętrznej walca o promieniu r1

,

T4

temperaturą powierzchni zewnętrznej walca o promieniu r2 . Stąd szukana rezystancja

termiczna walca wynosi:

.

(5.31) 76

149

.

Chociaż przyjęto upraszczające założenie, że w całym obszarze całkowania

współczynnik

λ

nie zależy od temperatury, to w ogólnym przypadku taka zależność

oczywiście istnieje. Na rysunku (5-29) pokazano zależność współczynnika przewodzenia

ciepła od temperatury, dla kilku wybranych materiałów stosowanych

w technologii lamp mikrofalowych [45]. W rozważanym układzie pomiarowym mamy jednak do czynienia z niewielkimi zmianami temperatury w zakresie do 50 °C.

W wypadku miedzi współczynnik przewodzenia

λ

pozostaje prawie stały, podczas gdy dla

żelaza zmiany nie przekraczają wartości 0,068 W/mK/°C [60,45] co prowadzi do zmian wartości współczynnika przewodzenia ciepła na poziomie 4 ÷ 5 %.

W dalszych rozważaniach zakładamy, że własności fizyczne styku nabiegunnika

z chłodnicą są identyczne w przypadku obu typów nabiegunników. Zatem, jeżeli RC1 jest

rezystancją termiczną styku

nabiegunnika typu 1 o wysokości

c, to rezystancję termiczną styku Rys. 5-28 R₁ – rezystancja cieplna nabiegunnika litego (typ 1) o grubości c, wraz ze

schematem zastępczym; R – rezystancja cieplna miedzianej przekładki o grubości b; R2 - rezystancja cieplna nabiegunnika przekładkowego (typ 2); T2 – temperatura podstawy nabiegunnika; T₄ – temperatura chłodnicy; R_c1/2 – rezystancja cieplna styku

nabiegunnik-chłodnica; Q1/2 – strumień cieplny przepływający przez nabiegunnik.

Rys.-5-29 Zależność

temperaturowa współczynnika przewodzenia ciepła dla kilku wybranych metali powszechnie stosowanych do budowy LFB [45].

150

RC2 aluminiowej chłodnicy i nabiegunnika typu 2 o wysokości a, można wyrazić jako RC2

= c/a RC1. Dla obu typów układów można więc napisać układ równań liniowych:

, (5.32)

gdzie oraz stanowią wyznaczone eksperymentalnie rezystancje pakietu

z odpowiednim rodzajem nabiegunników.

Jeżeli grubość nabiegunnika typu 1 jest zbliżona do sumarycznej grubości obu

wykonanych z żelaza elementów nabiegunnika typu 2 ⁷⁷, to rezystancję termiczną

wykonanej z żelaza części nabiegunnika przekładkowego przybliżyć można jako:

,

(5.33)

Na podstawie (5.26) i (5.31) rezystancję termiczną R2 wyrażamy przez R1 i R2Fe :

. (5.34) Zatem układ równań (5.32) można rozwiązać, uzyskując w rezultacie wartości wszystkich trzech rezystancji termicznych: R1, R2 i RC1.

W powyższych rozważaniach założono, że ciepło Joula-Lenca wytwarzane w spirali, w wyniku przepływu prądu elektrycznego, w całości odprowadzane jest na drodze przewodnictwa cieplnego do chłodnicy. W rzeczywistości jednak jego część zostaje wypromieniowana na zewnątrz układu pomiarowego a część odprowadzona przez przewody zasilania zaniżając nieco wartości obliczanych rezystancji termicznych zestawu. Obliczenie rzeczywistego współczynnika straty mocy dostarczanej do układu w wyniku promieniowania jest trudne, można jednak oszacować jego wpływ na wynik rozwiązania układu równań (5.32).

W tym celu zakładamy, że odprowadzanie ciepła przez przewody zasilania jest

pomijalnie małe78. Jeżeli P jest mocą dostarczoną do spirali, Pr mocą wypromieniowaną

a Pp mocą przewodzoną przez nabiegunniki do chłodnicy układu, to układ równań (5.32)

można zapisać następująco:

,

(5.35) 77

tak jest, bowiem: a-b = 1,2 mm, c = 1,04 mm.

78 Doprowadzenia bezpośrednie do spirali wykonano z cienkiego (w porównaniu z przewodami zasilania), przewodu ze stopu AgCu28.

151

gdzie są zależnymi od typu nabiegunnika współczynnikami

rozpraszania mocy przez promieniowanie przy założeniu, że moc wypromieniowywana jest przede wszystkim ze spirali jako elementu o zdecydowanie najwyższej temperaturze

(rys.5.33). Stosując prawo Stefana-Boltzmanna i zakładając, że wartość k dla temperatury

chłodnicy 7°C k = k7 jest znana i jednakowa dla obu typów nabiegunników, można

powyższy układ równania zapisać w postaci:

,

(5.36)

gdzie T7 jest wartością bezwzględną temperatury spirali dla chłodnicy o temperaturze

7 °C a T1 i T2 jej aktualną temperaturą bezwzględną (załącznik nr 2).

Według danych literaturowych rezystancja termiczna styku w istotny sposób zależy od struktury powierzchni kontaktowych, ich chropowatości i siły docisku [44,61,62]. Shojaefard (rys. 5-30) pokazał znaczny wpływ ciśnienia kontaktowego na jednostkową

rezystancję termiczną styku (TCR 79

) w wypadku próbek ze stali nierdzewnej i aluminium o powierzchniach przygotowanych przez obrabianie skrawaniem [44].

Znacznie większy wpływ ciśnienia na

przewodność styku (TCC80) pokazują

pomiary i symulacje numeryczne w przypadku zastosowania próbek miedzianych [62] o chropowatości 5µm (rys. 5-31). Pozwala to na postawienie hipotezy, że zjawisko zależności rezystancji termicznej styku od ciśnienia należy uwzględnić

w przeprowadzanej analizie

i obliczeniach jako czynnik mający istotny wpływ na wyniki obliczeń.

79 Z ang. TCR – Thermal Contact Resistance

80 Z ang. TCC – Thermal Contact Conductance

Rys. 5-30 Zależność rezystancji termicznej

styku od ciśnienia; próbek jednorodnych (stal nierdzewna lub aluminium), stali nierdzewnej i aluminium [44].

152

Dla zbadania wpływu wzajemnej relacji obu rezystancji termicznych styku

RC1 i RC2, na rozwiązanie układu równań

(5.36) wprowadzamy współczynnik

α opisujący szybkość zmian termicznych

stosunku RC2/RC1 względem

temperatury otoczenia tj. 20°C

(współczynnik ten można traktować jako

analogiczny do współczynnika

temperaturowego rezystancji

elektrycznej). Bezpośrednim powodem takiej zależności może być np.

zastosowanie w eksperymencie

nabiegunnika przekładkowego

składającego się z połączonych stopem lutowniczym na bazie srebra dwóch zewnętrznych, wykonanych z żelaza okładek i wykonanego z miedzi pierścienia pomiędzy nimi. Znaczna różnica współczynników

rozszerzalności termicznej miedzi (16,5·10-6) i żelaza (11,8·10-6) powoduje zmianę

warunków styku nabiegunnik – chłodnica. W zakresie zmian ∆T = 50°C różnica średnic nabiegunnika, w obu obszarach wynosi 0,0043 mm. Nabiegunnik uzyskuje cechy złącza bimetalicznego, co może mieć wpływ na rezystancję termiczną styku z aluminiową chłodnicą.

Zatem, ostateczną postać układu równań (5.6) można przedstawić jako:

(5.37)

W dokumencie Zastosowanie analitycznych i numerycznych metod wspomagania projektowania do lamp z falą bieżącą (Stron 147-152)