METODY DOKŁADNE 77 zastosowanie jest całkowicie uzasadnione tylko wtedy gdy uzyskamy

pew-ność, że rozważany problem jest silnie NP-trudny. Schemat B&B dostarcza algorytmów wykładniczych (czas działania algorytmu jest funkcją wykładni-czą od rozmiaru rozwiązywanego problemu). Może być stosowany dla dowol-nego problemu dyskretdowol-nego z nieliniową badź liniową funkcją celu i takimi też ograniczeniami.

Ogólny schemat B&B

Dla dowolnego zadania optymalizacji zachodzi min x∈XK(x) = min{min x∈X1 K(x), . . . , min x∈Xs K(x)} (8.8)

gdzie Xj, j ∈ S jest rozbiciem zbioru X na podzbiory parami rozłączne i wyczerpujące, tzn.

Xi∩ Xj = ∅, i, j ∈ S, i 6= j, (8.9) [

j∈S

Xj = X . (8.10)

Zatem rozwiązanie problemu (8.7) można otrzymać poprzez rozwiązanie zbioru podproblemów postaci

min

x∈X_jK(x) (8.11)

dla j ∈ S, a następnie używając zależności (8.8). Pełny zbiór podpro-blemów jest scharakteryzowany poprzez funkcję celu K(x) oraz rozbicie

P = {Xj : j ∈ S}. Odpowiednie podproblemy mogą być rozwiązywane szeregowo (system jednoprocesorowy) lub równolegle (system wieloproce-sorowy). Podana dekompozycja jest racjonalna jeśli uzyskanie rozwiązania dla (8.11) jest istotnie łatwiejsze niż dla (8.7). Problem (8.11) dla wybra-nego ustalowybra-nego j ∈ S można rozwiązać stosując sekwencję następujących podejść: (1) relaksację, (2) bezpośrednio, (3) pośrednio, (4) dokonując po-działu. Omówimy te techniki kolejno.

Relaksacja oznacza usunięcie lub osłabienie; może odnosić się do

ograni-czeń i/lub funkcji celu. Relaksacja ograniograni-czeń to usunięcie lub złagodzenie części (lub całości) ograniczeń wyznaczających zbiór rozwiązań dopuszczal-nych Xj. W sposób oczywisty zachodzi Xj ⊆ Xj^R, gdzie XR

j jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych problemu zrelaksowanego min_x∈XR

j K(x) oraz min x∈Xj K(x)­ min x∈XR j K(x) = K(x^∗R)^def= LB(Xj). (8.12)

78 8. METODY OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ

Jeżeli dla wyznaczonego rozwiązania optymalnego x∗R problemu zrelakso-wanego zachodzi x∗R ∈ Xj to otrzymane rozwiązane jest także rozwiąza-niem optymalnym problemu bez relaksacji (8.11). W przeciwnym przypad-ku problem (8.11) nie został rozwiązany, zaś wielkość K(x∗R) stanowi dolne

ograniczenie LB(Xj) wartośći funkcji celu dla wszystkich rozwiązań proble-mu (8.11). Relaksacja funkcji celu to zastąpienie funkcji celu K(X) funkcją

K^′(x) taką, że K′(x) ¬ K(x) dla wszystkich x ∈ X . W sposób oczywisty zachodzi min x∈Xj K(x)­ min x∈Xj K^′(x) = K′(x′)^def= LB′(Xj). (8.13) Jeżeli dla wyznaczonego rozwiązania optymalnego x′ problemu zrelakso-wanego min_x∈XjK^′(x) zachodzi K(x′) = K′(x′) to otrzymane rozwiązane

x^′ jest także rozwiązaniem optymalnym problemu bez relaksacji (8.11). W przeciwnym przypadku problem (8.11) nie został rozwiązany, zaś wielkość

K(x^∗R) stanowi dolne ograniczenie LB′(Xj) wartości funkcji celu dla wszyst-kich rozwiązań problemu (8.11). Postać relaksacji jest w zasadzie dowolna chociaż zakłada się domyślnie, że rozwiązanie problemu zrelaksowanego po-winno być istotnie łatwiejsze niż problemu (8.11), np. problem zrelaksowany należy do P-klasy. W praktyce relaksacja jest silnie specyficzna dla każdego rozważanego problemu.

Bezpośrednio został rozwiązny problem jeśli obliczyliśmy explicite

war-tości funkcji celu K(X) dla wszystkich x ∈ Xj w celu wyboru wartości mi-nimalnej przy założeniu, że Xj jest niewielkiej liczności. W praktyce metoda ta jest stosowana tylko jeśli zbiór Xj jest jedno-elementowy z elementem podanym jawnie.

Pośrednio rozwiązany został problem (8.11) dla którego stwierdzono

za-chodzenie warunku

LB(Xj) ­ UB, (8.14)

gdzie UB jest pewnym górnym ograniczeniem wartości funkcji celu dla wszystkich rozwiązań problemu (8.7). Problem taki faktycznie nie jest roz-wiązywany lecz eliminowany z rozważań jako nie zawierający rozwiązań o wartości funkcji celu mniejszej niż podana wartość progowa UB. Dla szeregu problemów szczególnych możliwe jest uzyskanie specyficznych reguł

elimina-cji, które mimo iż nie zawsze są przedstawiane w formie warunku (8.14) mogą

być do niego sprowadzone.

Podział stosujemy do problemu, którego nie można rozwiązać używając

podejść (a)–(c). Problem (8.11) odpowiadający wybranemu Xj jest usuwany ze zbioru P, zaś na jego miejsce dodawane są podproblemy otrzymane przez

8.3. METODY DOKŁADNE 79 rozwiązań Yk, k = 1, . . . , r, takimi że Yk, k = 1, . . . , r jest podziałem zbioru

Xj. Proces ten wygodnie jest przedstawić w postaci drzewa rozwiązań, w którym węzłowi drzewa odpowiada pewien zbiór Xj, zaś krawędziom drzewa para podzbiorów (Xi,Xj) taka, że Xj został otrzymany poprzez podział

Xi.Korzeniowi drzewa odpowiada X . W tak zaprojektowanym algorytmie zbiór P posiada charakter dynamiczny.Analiza kolejnych kolejnych węzłów odpowiadających P powoduje zamykanie węzłów lub dalsze rozgałęzianie drzewa.

Cały schemat B&B wygodnie jest przedstawić w formie następującego ogólnego algorytmu.

Ogólny algorytm B&B

Krok 0. ((inicjalizacja) Podstaw P = {X } oraz UB = ∞.

Krok 1. (powrót) Jeżeli P = ∅ then STOP; x∗ jest rozwiązaniem optymalnym zaś K(x∗) = UB.

Krok 2. (wybór) Wybierz zbiór Xj ∈ P. Podstaw P := P \ Xj. Krok 3. (relaksacja) Rozwiąż problem zrelaksowany min_x∈XR

j K(x) = K(x^∗R). Jeżeli x∗R ∈ Xj to przejdź do kroku 6 inaczej podstaw LB(Xj) :=

K(x^∗R) i przejdź do kroku 5.

Krok 4. (eliminacja) Jeżeli LB(Xj) ­ UB przejdź do kroku 1. Krok 5. (podział) Podziel Xj oraz podstaw P := P ∪Sr

k=1Yk gdzie Yk, k = 1, . . . , r jest podziałem Xj. Przejdź do kroku 1.

Krok 6. (aktualizacja) Jeżeli K(x∗R) < UB to podstaw UB := K(x∗R) oraz

x^∗:= x∗R. Przejdź do kroku 1.

Jeżeli X jest zbiorem skończonym, algorytm zatrzyma się po skończonej liczbie kroków. Każdy algorytm B&B wymaga precyzyjnego określenia na-stępujących elementów: (a) reguła wyboru w kroku 2 określająca kolejnośc rozwiązywania podproblemów, (b) przyjęta relaksacja dostarczająca dolne

ograniczenie w kroku 3, (c) reguły eliminacji stosowane w kroku 4, (d) za-sada podziału w kroku 5, (e) technika dostarczająca górne ograniczenie w

kroku 6. Algorytm B&B jest tym lepszy im więcej podproblemów z P jest eliminowanych. Skuteczność eliminacji zależy od wielu współgrających ze so-bą czynników (postać relaksacji, dokładność dolnego/górnego ograniczenia wartości funkcji celu, reguła wyboru, itp.).

80 8. METODY OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ Specjalizowane warianty B&B

Specjalizowane warianty schematu B&B są zwykle bardziej efektywne dzięki wykorzystaniu szczególnych własności problemu do poprawy własno-ści eliminacyjnych schematu. Konkretne postacie tych własnowłasno-ści zależą od rozważanego problemu. Niekiedy stosowane są także drobne modyfikacje po-danego schematu ogólnego, jak np. inicjowanie UB wartością K(x0) dla pewnego x0 ∈ X , aktualizacja (krok 6) jest wykonywana w każdej iteracji

algorytmu w oparciu o wartość K(x′), gdzie x′ ∈ Xj, itp.

8.3.3 Schemat programowania dynamicznego

Schemat ten określa ogólne podejście polegające na przekształceniu za-dania optymalizacji w wieloetapowy proces podejmowania decyzji, w którym stan na każdym etapie zależy od decyzji wybieranej ze zbioru decyzji dopusz-czalnych. Oznaczając stany procesu na poszczególnych etapach poprzez Si,

i = 1, 2, . . . , N , zaś odpowiednie decyzje porzez d_i, i = 1, 2, . . . , N, to prze-bieg wieloetapowego procesu decyzyjnego można zapisać w postaci transfor-macji Sk= T (Sk−1, dk−1). Z procesem podejmowania decyzji jest związana skalarna funkcja celu F (S₁, S₂, . . . , S_N; d₁, d₂, . . . , d_N) służąca do oceny cią-gu decyzji d1, d₂, . . . , d_N którą należy minimalizować. Jeżeli S1 jest znany, to przebieg wieloetapowego procesu decyzyjnego jest wyznaczony poprzez ciąg decyzji dopuszczalnych d₁, d₂, . . . , d_N nazywanych strategią. Strategia minimalizująca funkcję F jest nazywana strategią optymalną.

Podstawowy schemat PD

Wyznaczanie strategii optymalnej w przypadku ogólnym ma postać dość trudnego zadania optymalizacji nieliniowej

min

d1,d2,...,d_NF (S₁, S₂, . . . , S_N; d1, d₂, . . . , d_N) (8.15)

S_k= T (S_k−1, d_k−1), k = 2, . . . , N, (8.16) gdzie S1 jest dane. Stąd zysk z zastosowania schematu PD do optymalizacji dyskretnej jest osiągany tylko dla pewnej podklasy problemów decyzyjnych bez pamięci. Są to problemy posiadające tzw. własność Markowa, w któ-rych przebieg procesu począwszy od stanu na etapie k-tym dalej nie zależy od jego historii, lecz tylko od S_k. Istnieje stosunkowo duża klasa proble-mów o znaczeniu technicznym i ekonomicznym posiadających wymienioną własność.

8.3. METODY DOKŁADNE 81